Реферат: Логика компьютера

Логика компьютера

В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.
Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно.

Например:
Земля - планета Солнечной системы. (истинно)
2+8<5 (Ложно)
Всякий квадрат есть прямоугольник (истинно)
Каждый прямоугольник есть квадрат (ложно)
Рим — столица Франции (ложное)

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

1. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- “Какого цвета этот дом?”
- “Пейте томатный сок!”
- “Стоп!”
2. Не являются высказываниями и определения.
“Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны”.
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.
3. Не являются высказываниями и предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" или “х-4х+3=0” - в них не указано о каком конкретно городе, о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные высказывания логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

У кошки четыре ноги. А 1; Москва расположена на двух холмах. В 0

Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не",   "и",   "или",  "если... , то",   "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются   логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются   составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются   элементарными.

^ Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым.

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний связками - частицей НЕ; союзами И; ИЛИ; НЕВЕРНО, ЧТО...; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА..., КОГДА...; ЕСЛИ..., ТО... Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, даны четыре простых высказывания:
На улице идет дождь. (1)
На улице светит солнце. (2)
На улице пасмурная погода. (3)
На улице идет снег. (4)
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.
Неверно что на улице идет дождь и на улице идет снег.
Тогда и только тогда на улице идет дождь, когда на улице пасмурная погода.
На улице не идет дождь и на улице не идет снег.
Если на улице идет дождь, то на улице светит солнце.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

^ Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ    - отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).   Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.   Пример. "^ Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

И    - конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

ИЛИ   - дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.  

^ ЕСЛИ-ТО   импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание   ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

В обычной речи связка   "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.   Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы",   "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

^ РАВНОСИЛЬНО   эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком    или  ~.   Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают
^ Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквивалентность

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) C.
^ Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?
Использование знаков 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.
Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь.
Причем входные числа - значения входных логических переменных, а выходное число - значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.



Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Таблица может иметь вид:

X

Y

Z

F(X, Y, Z)

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0
^ Как составить таблицу истинности?
Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А

В

С



А+



· С

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

1. Составим таблицу истинности для формулы , которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу:

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула

















0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

2. ^ Таблица истинности для формулы :

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула















0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

3. ^ Таблица истинности для формулы :

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула



















0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

Из таблицы видно, что формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой.
^ Логические задачи Решение логических задач табличным способом
Пример 4. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Имя

Юра

 

 

Профессия

 

врач

 

Увлечение

 

туризм

 

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Имя

Юра

Тимур

Влад

Профессия

физик

врач

юрист

Увлечение

бег

туризм

регби

^ Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

парижанка не снимается в кино;

та, кто живет в Риме, певица;

Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:

Париж

Рим

Чикаго

 

Пение

Балет

Кино

0

 

 

Джуди

 

 

 

 

 

 

Айрис

 

 

 

 

0

 

Линда

 

0

 



Вопросы:

Какие предложения являются высказываниями?

а) 3+2=5.
б) Не шуметь!
в) y2  0.
г) Окружностью называется множество всех точек на плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет заданную величину.
д) Число символов в этом предложении равно 7.
е) 3 < 2.
ж) Войдите!

2. Установите: какие из следующих предложений являются истинными, а какие - ложными высказываниями:

а) “Число 123 меньше числа 124”.
б) “Все треугольники равнобедренные”.
в) “Сумма чисел 4 и z равна 15”.
г) “(13-2*4)*4=-7”.

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. X X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. X X X , X X  Законы идемпотентности
6        ,        Законы коммутативности (переместительности)
                ,                - Законы ассоциативности (сочетательности)
8.                   ,                    - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. X 1  ,     
11.      ,     
12.          ,          Законы поглощения
13.             ,             Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

^ Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

^ Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

^ Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2 2 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

^ Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

^ Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

^ Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1)                                              

+                   (Закон склеивания)

2)            +     +            (Закон поглощения)
^ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Закон

Для   ИЛИ

Для   И

Переместительный





Сочетательный





Распределительный





Правила де Моргана





Идемпотенции





Поглощения





Склеивания





Операция переменной с ее инверсией





Операция с константами





Двойного отрицания



http://www.gmcit.murmansk.ru/text/information_science/base/logic/materials/logic/logic.htm5>