Реферат: Логика l-противоречий

Из новой книги «Логика Синтеза»


Глава 11. Логика L-противоречий


§ 1. Критерий логической демаркации


В истории философии всегда присутствовали два образа логики, один из которых берет свое начало из философских систем Парменида и Аристотеля и может быть назван линией Парменида, второй происходит из философских идей Гераклита и Платона и может быть назван линией Гераклита в логике. В линии Парменида развивался образ логики как логики формальной, в основании которой лежат законы тождества, (не)противоречия и исключенного третьего. Эта линия сегодня достигла высочайшего уровня, развившись в один из разделов математики – математическую логику. Сильными сторонами линии Парменида всегда были строгость и обоснованность. Однако сторонники второй линии логики полагали, что формальная логика обладает и рядом существенных недостатков. В формальной логике представлен образ некоторого статического и абстрактного логоса, не способного выразить движение, органическую связь и конкретно-общее. Представители линии Гераклита всегда утверждали, что существует некоторая иная логика, которая могла называться «диалектикой», «диалектической логикой», «трансцендентальной логикой», или как-то еще, и которая выходит за границы формального логоса и его законов, способна выразить движение и целостность. Отличие диалектики от формальной логики выражается в первую очередь в том, что диалектика не вполне непротиворечива. Противоречие каким-то образом лежит в основании этой логики. Такие противоречия могли называть «диалектическими противоречиями», или «антиномиями», и так или иначе диалектическая логика как-то должна работать с такого рода противоречиями. Но здесь же возникает и чрезвычайно сложная проблема, которая до сих пор не была решена представителями линии Гераклита. Дело в том, что ошибки – тоже противоречия. И если диалектики не хотят отождествить свою логику просто с ошибочным рассуждением, если диалектическая логика также претендует на истинность своих утверждений, то, следовательно, необходимо указать некоторый признак, критерий, который бы позволил отличить противоречия-ошибки от диалектических противоречий. Я уже писал об этой проблеме в своей книге «Логика всеединства», обозначив этот критерий термином критерий логической демаркации. Говорить о построении диалектической логики можно будет лишь после того, когда так или иначе будет сформулирован критерий логической демаркации, что позволит отличить ошибки от антиномий и построить в некотором смысле непротиворечивую логику противоречий.

Можно предполагать, что в общем случае возможны разные виды антиномических структур. Один из этих видов был представлен выше в рамках Онтологий на предикатах в форме мета-предикаов, «склеенных» из несовместимых обычных предикатов. Это антиномии как предикаты-модусы, способные проявляться на модах своего носителя несовместимыми представлениями. Преодоление формальной противоречивости для таких антиномий обеспечивается введением специальной Проективно Модальной Онтологии, в рамках которой все обычные предикаты оказываются одинаково рядоположенными атомами. Поверх логического порядка, в рамках которого свойства Р и Р оказываются несовместимыми, вводится проективно-модальный порядок, с точки зрения которого свойства Р и Р являются совместимыми. Критерий логической демаркации выразится в рамках этого подхода в представлении кажущихся противоречий (Р  Р) в форме непротиворечивых «склеенных» свойств (Р  Р) (см. ).

Второй вид антиномий – логические структуры, тесно связанные с конструкцией предела. Поэтому ранее я называл такие объекты L-противоречиями (от лат limit - предел). Речь идет о некоторой технике построения предельных последовательностей формул (а не термов, как это обычно бывает в математике). Рассмотрим следующий простой пример. Пусть теория Т – некоторая логическая теория, в рамках которой можно выразить теорию вещественного числа, в том числе формулы вида an = a – «а является пределом бесконечной последовательности чисел {an}n=1». Рассмотрим в рамках этой теории последовательность чисел 1, ½, 1/3, … 1/n, … Пределом этой последовательности будет число 0, т.е. (1/n) = 0. А теперь рассмотрим не последовательность термов, но последовательность формул:

(1/1 = 1/1)  (1/1 = 1/2)

(1/2 = 1/2)  (1/2 = 1/3)

…

(1/n = 1/n)  (1/n = 1/(n+1))

…

Это бесконечная последовательность формул теории Т. Каждый элемент этой последовательности можно переписать как результат соответствующей подстановки:


(1/1 = 1/1)  (1/1 = 1/2) f (x=x  (x = y)) x,y [1/1, 1/2]

(1/2 = 1/2)  (1/2 = 1/3) f (x=x  (x = y)) x,y [1/2, 1/3]

…

(1/n = 1/n)  (1/n = 1/(n+1)) f (x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/(n+1)]

…

Формула (x=x  (x = y)), в которую производится подстановка во всех этих случаях, остается одной и той же. Меняются только подставляемые термы. Назовем формулу (x=x  (x = y)) инвариантом последовательности. Далее заметим, что на место переменной х в инвариант подставляются термы 1/1, ½, 1/3, …, 1/n,…, а на место переменной у – термы ½, 1/3, …, 1/(n+1), … Последовательность термов {1/n}n=1, подставляемых на место переменной х, назовем х-последовательностью, последовательность термов {1/(n+1)}n=1, подставляемых на место переменной у, - у-последовательностью.

Приведенную выше последовательность формул можно в сжатом виде изобразить следующим образом:

{(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1]}n=1

Определим теперь для этой последовательности понятие предела по следующему правилу. Положим, что пределом последовательности формул будет инвариант (x=x  (x = y)), в который на места переменных х и у подставлены пределы х- и у-последовательностей соотв. Символически это можно записать таким образом:


(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1] =Df (x=x  (x = y)) x,y [(1/n), (1/(n+1))]

Поскольку (1/n) = (1/(n+1)) = 0, то окончательно получим:


(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1] f (x=x  (x = y)) x,y [0,0] f (0=0  (0 = 0))


Но формула (0=0  (0 = 0)) является противоречием. Итак, пределом последовательности истин теории Т оказалось противоречие, т.е. ложная формула. Однако, если бы мы пытались строить логику не просто формул, но – предельных последовательностей формул, то мы могли бы заменить работу с противоречием работой с той последовательностью истин, которая дает это противоречие в пределе. Так возникает идея некоторой логической техники работы с предельными последовательностями формул. Особенно интересным в этом случае будут такие последовательности истин, которые в пределе дают ложь. Такие последовательности и были названы мной «L-противоречиями». В этом случае критерий логической демаркации формулируется таким образом, чтобы противоречие можно было представить как предел некоторого L-противоречия, и только это последнее представляет собою антиномию. В отличие от противоречий-ошибок, возникает возможность построить некоторую непротиворечивую теорию L-противоречий.

Философия построения логики предельных последовательностей формул очень напоминает философию построения вещественных чисел в математическом анализе. В анализе рациональные числа пополняются вещественными числами, которые строятся на основе предельных последовательностей рациональных чисел. Сами рациональные числа всегда можно представить так называемыми стационарными последовательностями, т.е. последовательностями, в которых, начиная с какого-то номера, повторяется один и тот же элемент. Что же касается иррациональных чисел, то они могут быть представлены только нестационарными последовательностями рациональных чисел. Пределом такой последовательности уже не может быть рациональное число. Начинаясь и всегда пребывая в области рациональных чисел, иррациональные последовательности в пределе выходят из этой области. Нечто подобное возникает и в логике L-противоречий. Здесь для любой теоремы теории Т можно построить стационарную последовательность из самой этой теоремы. Тогда вполне естественно пределом стационарной последовательности считать повторяющийся элемент. Следовательно, все стационарные последовательности из теорем Т дадут в пределе эти же теоремы. Что же касается L-противоречий, то, хотя, начиная с некоторого номера, они состоят из теорем, в пределе они дают противоречия, т.е. не теоремы Т, если мы рассматриваем Т как непротиворечивую теорию. Можно предполагать, что L-противоречие не найдет себе аналога среди теорем теории Т.

Все такого рода аналогии требуют более строгого оформления логики L-противоречий, к чему я теперь и перехожу.


§ 2. О свойствах L-противоречивых теорий


Пусть Т – формальная теория с языком L, и в теории Т выводимы формулы, которые могут быть сокращены метавыражениями вида «an = a» и проинтерпретированы на некоторой модели А теории Т как равенство предела последовательности элементов из А элементу а из А. Такого рода теорию Т будем называть «t-предельной теорией» (t – от “term”). В качестве примеров t-предельных теорий можно привести теорию множеств, в которой могут быть определены пределы последовательностей множеств, теорию вещественных чисел, где могут быть определены предельные последовательности на вещественных числах.

Пусть Т – некоторая t-предельная теория с языком L, и формула Аn – формула из L вида

(*) An f A x1, x2, …, xm [a1n  p1, a2n  p2, …, amn  pm], где pj  N, j=1,…,m


Это означает, что формула An - это результат подстановки (не обязательно правильной подстановки, и такую подстановку я буду называть простой подстановкой) на места свободных вхождений переменных x1, x2, …, xm в формулу A соответственно термов a1np1, a2np2, …, amnpm, каждый из которых является элементом бесконечной последовательности {ajk}k=1, и в теории Т выводимы теоремы вида:

ajn = aj

для каждого j.

Построим для теории Т некоторую теорию Т* с языком L* по следующим правилам.

Для формул Аn вида (*) определена последовательность {Аn}n=1. Положим по определению:

А =DfАn =Df A x1, x2, …, xm [a1n, a2n,…,amn]


Это определение позволяет свести понятие предела формулы к пределам термов, входящих в эту формулу.


Определение 1. Последовательности {Аn}n=1 формул Аn вида (*), а также стационарные последовательности из формул языка L будем называть предельными последовательностями формул из L.


Построим язык L* как множество тех же термов, что и в языке L, и множество всех предельных последовательностей формул из L. Язык L может быть вложен в язык L* на основе такого инъективного отображения : L L*, что, если а – терм из L, то (а)fа; если же А – формула из L, то (А) – это стационарная последовательность из формул А.


Определение 2. Предельные последовательности формул {Аn}n=1 будем называть формулами языка L*.


Таким образом, языки L и L* не различаются между собою алфавитами и множествами термов, но только множествами формул.

Для языка L* введем логические операторы отрицания (), конъюнкции (), дизъюнкции (), кванторов существования () и всеобщности () по следующим правилам:

{Аn}n=1 =Df {Аn}n=1

{Аn}n=1  {Вn}n=1 =Df {Аn  Вn }n=1

{Аn}n=1  {Вn}n=1 =Df {Аn  Вn}n=1

х{Аn}n=1 =Df {хАn}n=1

х{Аn}n=1 =Df {хАn}n=1


Здесь я принимаю следующее условие эквиформности двух формул из L*:


Определение 3. Две формулы {Аn}n=1 и {Вn}n=1 из L* считаются эквиформными, {Аn}n=1 f {Вn}n=1, если и только если (е.т.е.) n(Аn f Вn).


Лемма 1. Если {Аn}n=1 и {Вn}n=1 - формулы из L*, то и {Аn}n=1, {Аn}n=1  {Вn}n=1, {Аn}n=1  {Вn}n=1, х{Аn}n=1 и х{Аn}n=1 - также формулы из L*.

Док-во. Если {Аn}n=1 и {Вn}n=1 - стационарные последовательности формул из L, то производные от них формулы также будут стационарными последовательностями, т.е. формулами из L*. Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из формул {Аn}n=1 или {Вn}n=1 не является стационарной последовательностью. Пусть, например, {Аn}n=1 не являестя стационарной последовательностью, а {Вn}n=1 является, т.е. Bn f В для любого n. Тогда формула Аn – это формула вида (*), т.е An f A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm], где pj  N, j=1,…,m, и существуют теоремы теории Т вида ajn = aj для каждого j. Рассмотрим для примера случай конъюнкции {Аn}n=1  {Вn}n=1. Здесь получим: {Аn}n=1  {Вn}n=1 f {Аn  Вn}n=1 f {A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm]  В}n=1. Пусть переменные z1, z2, …, zm – такие переменные, которые отсутствуют как в формулах А, Аn, так и в формуле В. Обозначим через формулу А* формулу A x1, x2, …, xm [z1, z2, …, zm]. Тогда получим: Аn  Вn f A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm]  В f A* z1, z2, …, zm [a1np1, a2np2, …, amnpm]  В f (A*  В)z1, z2, …, zm [a1np1, a2np2, …, amnpm]. Т.о. формула Аn  Вn также является формулой вида (*), и

(Аn  Вn) f (A*  В)z1, z2, …, zm [a1n, a2n, …, amn] f (A*z1, z2, …, zm [a1n, a2n, …, amn]  В f A x1, x2, …, xm [a1n, a2n, …, amn]  Вn fАn  Вn. Следовательно, существует предел последовательности {Аn  Вn}n=1, и эта последовательность является формулой из L*. Рассмотрим теперь тот же случай конъюнкции {Аn}n=1  {Вn}n=1, когда обе последовательности формул {Аn}n=1 и {Вn}n=1 не являются стационарными последовательностями. Тогда формулы Аn и Вn - это формулы вида (*), т.е. An = A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm], Bn f B y1, y2, …, ym [b1nk1, b2nk2, …, bsnks], где pj, kh N, j=1,…,m, h=1,…,s, и существуют теоремы теории Т вида ajn f aj для каждого j, и существуют теоремы теории Т вида bhn f bh для каждого h. Пусть переменные z1, z2, …, zm, zm+1, zm+2, …, zm+s – такие переменные, которые отсутствуют как в формулах А, Аn, так и в формулах В, Вn. Обозначим через формулу А* формулу A x1, x2, …, xm [z1, z2, …, zm], через формулу В* формулу В у1, у 2, …, у s [zm+1, zm+2, …, zm+s]. Тогда получим: Аn  Вn f A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm]  Вy1, y2, …, ym [b1nk1, b2nk2, …, bsnks] f A* z1, z2, …, zm [a1np1, a2np2, …, amnpm]  В* zm+1, zm+2, …, zm+s [b1nk1, b2nk2, …, bsnks] f (A*  В*)z1, z2, …, zm, zm+1, zm+2, …, zm+s [a1np1, a2np2, …, amnpm, b1nk1, b2nk2, …, bsnks]. Т.о. формула Аn  Вn также является формулой вида (*), и

(Аn  Вn) f (A*  В*)z1, z2, …, zm, zm+1, zm+2, …, zm+s [a1n, a2n, …, amn, b1n, b2n, …, bsn] f A*z1, z2, …, zm [a1n, a2n, …, amn]  В* [b1n, b2n, …, bsn] fАn  Вn. Следовательно, существует предел последовательности {Аn  Вn}n=1 и в этом случае, так что эта последовательность является формулой из L*. Аналогично могут быть рассмотрены случаи для отрицания, дизъюнкции. Остановимся только на случае с квантором существования х{Аn}n=1, предположив, что последовательность {Аn}n=1 не является стационарной последовательностью. Тогда вновь, как и ранее, можно сделать вывод, что формула Аn – это формула вида (*), т.е An f A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm], где pj  N, j=1,…,m, и существуют теоремы теории Т вида ajn = aj для каждого j. Переменная х, фигурирующая в кванторной приставке х, либо не входит свободно в формулу An, либо входит свободно в часть этой формулы вне термов a1np1, a2np2, …, amnpm, либо входит свободно в один или несколько термов a1np1, a2np2, …, amnpm. Первые два случая не влияют на предельность формулы хАn, и последовательность таких формул будет иметь предел. Рассмотрим третий случай, когда переменная х входит свободно в один или несколько термов a1np1, a2np2, …, amnpm. Тогда эта переменная либо свяжется уже в некоторой части формулы Аn (т.к. подстановка термов не обязательно правильная), либо будет связана только в формуле хАn. Если х свяжется уже в некоторой части формулы Аn, то переход к формуле хАn никак не повлияет в этом случае на эту часть формулы. Если же х впервые свяжется в некоторой части Сn формулы Аn только с переходом к формуле хАn, то проблема существования предела у формулы хАn будет в этом случае равносильна проблеме существования предела у формулы хСn. В связи с этим, без ограничения общности, мы можем допустить, что Сn f Аn. Итак, пусть переменная х свободна в формуле Аn и связана в формуле хАn. Подберем переменные x1, x2, …, xm в формуле А так, чтобы они были отличны от переменной х. Тогда хАn f х{A x1, x2, …, xm [a1np1, a2np2, …, amnpm]}. Поскольку от подстановки в формулы вида (*) не требуется, чтобы она была правильной, и переменная х отлична от переменных x1, x2, …, xm, то мы можем записать: хАn f (хA) x1, x2, …, xm [а1np1, а2np2, …, аmnpm]. Т.о. формула хАn также имеет вид (*), и для нее существует предел: хАn f{(хA) x1, x2, …, xm [а1np1, а2np2, …, аmnpm]} f (хA) x1, x2, …, xm [а1n, а2n, …, аmn] f х (A x1, x2, …, xm [а1n, а2n, …, аmn]) f хАn. Для квантора всеобщности рассуждения аналогичны.

Как следствие доказанной леммы, получаем следующие соотношения:

Аn f Аn

Аn Вn fАn  Вn

АnВn fАn  Вn

хАn f хАn

хАn f хАn


Определение 4. Назовем формулу языка L* {Аn}n=1метатеоремой теории Т, если найдется такое m0, что для любого nm формула Аn является теоремой теории Т.


Определение 5. Назовем предельную последовательность формул {Аn}n=1, являющуюся метатеоремой теории Т, L-противоречием (L – от “limit”), если предел этой последовательности, Аn, имеет вид BB, где B – формула языка L.


Определение 6. Назовем теорией Т* множество метатеорем теории Т.

Теперь метатеоремы теории Т можно называть также теоремами теории Т*. Язык L* будем рассматривать как язык теории Т*. Теорию Т* назовем «ft-предельной теорией» (f – от “formula”). Описанная выше техника может быть рассмотрена как методология построения ft-предельных теорий на основе t-предельных теорий. Теорию Т* я также буду называть L-противоречивой теорией, если в ней существует L-противоречие.


Определение 7. Назовем теорию Т* непротиворечивой, если не все формулы из L* являются теоремами теории Т* (см. также теорему 19).


Теорема 1. Если теория Т непротиворечива, то теория Т* также непротиворечива.

Док-во. Если теория Т непротиворечива, то найдется формула А из языка L, которая не является теоремой теории Т. Образуем стационарную последовательность {Аn}n=1 формул из L, где для любого n верно: Аn = А. Последовательность {Аn}n=1 - это формула из L*, но она не является теоремой теории Т*. Следовательно, теория Т* непротиворечива.


Теорема 2. Если теория Т* непротиворечива, то теория Т также непротиворечива.

Док-во. Предположим противное, т.е. пусть теория Т* непротиворечива, а теория Т противоречива. Если Т противоречива, то любая формула теории Т является теоремой этой теории. Если Т* непротиворечива, то найдется формула {Аn}n=1 из L* такая, что {Аn}n=1 не является теоремой теории Т*. Это означает, что для любого m1 найдется nm такое, что формула Аn не является теоремой теории Т. Полученное противоречие доказывает требуемое.


Теорема 3. Теория Т непротиворечива е.т.е. теория Т* непротиворечива.

^ Док-во. См. теоремы 1 и 2.


Определение 8. Пусть М – структура для языка L. Будем говорить, что формула {Аn}n=1 из языка L* является истинной на структуре М при приписывании g переменным индивидов из М, если существует m1 такое, что для любого nm формула Аn является истинной в структуре М при приписывании g.


Определение 9. Структуру М для языка L назовем моделью теории Т*, если любая теорема теории Т* является истинной на структуре М при любом приписывании g.

Структуру М для языка L можно называть также структурой для языка L*.


Теорема 4. Пусть М – модель теории Т. Тогда М – модель теории Т*.

Док-во. Пусть формула {Аn}n=1 из языка L* является теоремой теории Т*. Тогда существует m1 такое, что для любого nm формула Аn является теоремой теории Т, т.е. Аn истинна на модели М теории Т при любом приписывании g. Но тогда и формула {Аn}n=1 является истинной на М при любом приписывании g. Следовательно, М – модель теории Т*.


Теорема 5. Пусть М – модель теории Т*. Тогда М – модель теории Т.

Док-во. Пусть М – модель теории Т*, и А – теорема теории Т. Построим стационарную последовательность {Аn}n=1, где Аn f А для любого n. Тогда {Аn}n=1 - теорема теории Т*, и {Аn}n=1 истинна на М при любом приписывании g, т.е. существует m1 такое, что для любого nm формула Аn является истинной на М при любом приписывании g. Но т.к. Аn f А, то формула А является истинной на М при любом приписывании g. Следовательно, М – модель теории Т.


Теорема 6. Структура М для языка L является моделью теории Т е.т.е. М является моделью теории Т*.

^ Док-во. См. теоремы 4 и 5.


Определение 10. Формулу {Аn}n=1 из языка L* назовем аксиомой теории Т*, если существует m1 такое, что для любого nm формула Аn является аксиомой теории Т.


Определение 11. Пусть Гn – некоторое множество формул из L, и существует m1 такое, что для любого nm Гn├ Аn – выводимость формулы Аn из множества формул Гn в теории Т. Пусть последовательность множеств {Гn}n=1 имеет предел и последовательность формул {Аn}n=1 также имеет предел. В этом случае будем говорить, что объект {Гn├ Аn}n=1 является выводимостью в теории Т*. Будем использовать в этом случае для обозначения выводимости {Гn├ Аn}n=1 сокращение {Гn}n=1├Т* {Аn}n=1 или просто {Гn}n=1├ {Аn}n=1.


Определение 12. Выводимость {Гn├ Аn}n=1 в теории Т* назовем доказательством в теории Т*, если существует m1 такое, что для любого nm Гn является множеством аксиом теории Т или Гn пусто.


Определение 13. Последовательность множеств {Гn}n=1 назовем регулярной, если {Гn}n=1 f {k=1N{Аkn}}n=1, где N – это конечное натуральное число или бесконечность, и {Аkn}n=1 - формулы из L*. В этом случае договоримся {Гn}n=1 записывать также в виде {{Аkn }n=1}Nk=1, а выводимость {Гn}n=1├ {Аn}n=1 будем передавать в этом случае как {{Аkn}n=1}Nk=1├ {Аn}n=1, говоря, что формула {Аn}n=1 выводима из множества {{Аkn}n=1}Nk=1 формул {Аkn}n=1 в теории Т*.

Теорема 7. Если {Аn}n=1 - теорема теории Т*, то {Аn}n=1 выводима в теории Т* из аксиом теории Т*.

Док-во. Пусть {Аn}n=1 - теорема теории Т*. Тогда существует m1 такое, что для любого nm формула Аn является теоремой теории Т, т.е. существует выводимость Вn1, Вn2, …, Вnk (n)├ Аn в теории Т, где Вn1, Вn2, …, Вnk (n) - аксиомы теории Т. Здесь Гn =z {Вn1, Вn2, …, Вnk (n)}, причем, Гn может быть и пустым множеством. Заметим, что, если Гn├ Аn, то и Гn├ Аn, где Гn =z k=0n Гk. Последовательность {k=0n Гk}n=1 имеет предел, и этот предел равен бесконечному объединению Г =z k=0 Гk, причем, заметим, что Г├ Аn, для любого nm. Занумеруем все элементы множества Г, если Г не пустое множество. Получим некоторую последовательность аксиом из Т вида В1, В2, …, ВN, где N конечное или бесконечное. Образуем новую последовательность множеств аксиом {Г*n}n=1, где Г*n =z Г для любого n. Имеем: Г*n ├ Аn для любого nm, причем, последовательности {Г*n}n=1 и {Аn}n=1 имеют пределы. Тогда определена выводимость {Г*n}n=1├ {Аn}n=1 в теории Т*. Кроме того, если Г не пустое множество, то последовательность {Г*n}n=1 является регулярной, т.к. {Г*n}n=1 = {k=1N {Вkn}}n=1, где Вkn = Вk для любого k. В связи с этим мы можем записать последовательность {Г*n}n=1 в виде {{Вkn}n=1}Nk=1, где стационарные последовательности аксиом из Т {Вkn}n=1 являются аксиомами теории Т*. Следовательно, если {Аn}n=1 - теорема и не аксиома теории Т*, то существует выводимость {{Вkn}n=1}Nk=1├ {Аn}n=1 теоремы {Аn}n=1 теории Т* из аксиом теории Т*. Если же {Аn}n=1 - аксиома теории Т*, то существует выводимость {├ Аn}n=1 теоремы {Аn}n=1 теории Т* из пустого множества аксиом теории Т*.


Согласно теореме 7, любая теорема и не аксиома теории Т* может быть выведена в Т* из аксиом теории Т*, причем, множество таких аксиом теории Т* может быть представлено в этом случае как множество стационарных последовательностей аксиом из Т. Однако, одним из частных случаев такой выводимости является выводимость из пустого множества посылок для аксиом теории Т*. В этом случае среди аксиом теории Т* могут оказаться и нестационарные последовательности формул из L.


Определение 14. Назовем t-предельную теорию Т t-нестационарной теорией, если в Т существует нестационарная предельная последовательность термов.


Теорема 8. Пусть Т – t-нестационарная теория, и в теории Т может быть доказана теорема о том, что подпоследовательность предельной последовательности термов имеет тот же предел. Тогда в теории Т* существует L-противоречие.

Док-во. Пусть {ak}k=1 - нестационарная предельная последовательность термов из Т, и ak f a. Нестационарность последовательности означает, что для любого m1 найдется nm такое, что am  an. Выберем из последовательности {ak}k=1 некоторую бесконечную подпоследовательность {aki}i=1. Для каждого aki, в силу нестационарности, найдется некоторый элемент a*ki из последовательности {ak}k=1 такой, что aki  a*ki. Образуем из a*ki также бесконечную последовательность {a*ki}i=1. Последовательности {aki}i=1 и {a*ki}i=1 имеют один предел a. Образуем последовательность формул вида aki = aki  aki  a*ki. Каждая такая формула является теоремой теории Т, и последовательность этих формул имеет предел a = a  a  a, т.е. противоречие. Следовательно, последовательность формул {aki = aki  aki  a*ki}i=1 является L-противоречием.


Теорема 9. Пусть теория Т непротиворечива и теория Т* содержит L-противоречие. Тогда не существует такого отображения : Thm*  Thm, где Thm* - множество теорем теории Т*, Thm – множество теорем теории Т, что:

 - биекция,

({Аn}n=1) является теоремой теории Т е.т.е. {Аn}n=1 является теоремой теории Т*,

({Аn}n=1) = Аn, если {Аn}n=1 - стационарная последовательность.

Док-во. Предположим противное, т.е. предположим, что существует некоторое отображение  со свойствами 1, 2 и 3. Тогда, если {Аn}n=1 - теорема теории Т*, то найдется теорема А из Т такая, что ({Аn}n=1) = А. Рассмотрим стационарную последовательность {Вn}n=1, где Вn = А для любого n. Получим: ({Аn}n=1) f А f ({Вn}n=1). Т.к.  - биекция, то отсюда получаем, что {Аn}n=1 f {Вn}n=1, т.е. любая теорема теории Т* равна некоторой стационарной последовательности теорем из Т. С другой стороны, пусть {Сn}n=1 - L-противоречие, т.е. {Сn}n=1 f C, и С - противоречие. Тогда, если {Сn}n=1f {Dn}n=1, где {Dn}n=1 - стационарная последовательность теорем из Т, т.е. Dnf Dдля любого n, и D - теорема Т, то Сn f Dn, но Сn f С и С – противоречие, а Dn f D – теорема Т. Т.к. теория Т предполагается непротиворечивой, то С не может быть теоремой Т, т.е. С не может быть равна D. Полученное противоречие доказывает требуемое.


Определение 15. Отображение : L*  L, где L* - язык теории Т*, L – язык теории Т, и ({Аn}n=1) fАn для каждой формулы {Аn}n=1 из L*, а f а для каждого терма а языка L*, будем называть естественным вложением языка L* в язык L. С другой стороны, отображение : L  L*, где для любой формулы А языка L верно, что А f {Аn}n=1 и Аn f А для любого n, и для любого терма а языка L верно: а f а, будем называть естественным вложением языка L в язык L*.


Ясно, что, если А – теорема теории Т, то (А) также является теоремой теории Т*. Обратное соотношение, для отображения , как следует из теоремы 9, не верно для непротиворечивой теории Т и теории Т*, содержащей L-противоречие.

Отображения  и можно попытаться обобщить и на выводимости теорий Т* и Т соотв. Именно, если дана выводимость{Гn├ Аn}n=1 теории Т*, то в качестве ({Гn├ Аn}n=1) определим объект {Гn├ Аn}n=1 fГn├ Аn (в общем случае – см. теорему 10 – объект Гn├ Аn может не быть выводимостью теории Т. В этом случае знак “├” выступает как формальный символ). Если же дана выводимость Г├ А теории Т, то положим: (Г├ А) f {Гn├ Аn}n=1, где Гn =z Г и Аn f А для любого n. Ясно, что, если Г├ А – выводимость теории Т, то (Г├ А) – выводимость теории Т*. Обратное соотношение не всегда верно. Здесь может быть доказана


Теорема 10. Если Т – непротиворечивая теория, и Т* содержит L-противоречие, то найдется выводимость {Гn├ Аn}n=1 теории Т* такая, что ({Гn├ Аn}n=1) не является выводимостью теории Т.

Док-во. Рассмотрим случай выводимости {Гn├ Аn}n=1 теории Т*, где Гn =z  для любого n (т.е. выводимость является доказательством), и {Аn}n=1 является L-противоречием. В этом случае ({Гn├ Аn}n=1) f{Гn├ Аn}n=1 fГn├ Аn f ├ Аn, где Аn - противоречие. Так как теория Т непротиворечива, то объект ├ Аn не может быть выводимостью в теории Т.


Определение 16. Пусть Т – теория со схемами аксиом, и {Аn}n=1 - аксиома теории Т*. Тогда, если существует m1 такое, что для любого nm Аn принадлежит одной схеме аксиом А, то будем говорить, что и {Аn}n=1 принадлежит схеме аксиом А.


Рассмотрим далее теорию Т*, где Т – теория со схемами аксиом, и в теории Т* каждая аксиома теории Т* принадлежит какой-то схеме аксиом из Т. Такую теорию Т* я буду также называть теорией со схемами аксиом.


Теорема 11. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом, и аксиомы разных схем в теории Т попарно независимы. Тогда попарно независимы и аксиомы теории Т*, относящиеся к разным схемам аксиом.

Док-во. Дано, что, если А, В – аксиомы теории Т, относящиеся к разным схемам аксиом, то не существует выводимости А ├ В в теории Т. Предположим при этом, что аксиомы теории Т*, относящиеся к разным схемам, не являются попарно независимыми, т.е., найдутся аксиомы {Аn}n=1 и {Вn}n=1 теории Т* такие, что эти аксиомы относятся к разным схемам аксиом и существует выводимость {Вn}n=1├{ Аn}n=1 в теории Т*. Это в свою очередь означает, что существует m1 такое, что для любого nm существует выводимость Вn├Аn в теории Т, где Аn и Вn - аксиомы теории Т разных схем аксиом. Но это противоречит попарной независимости аксиом в теории Т. Это противоречие и доказывает теорему.


Теорема 12. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом. Тогда, если любые две аксиомы разных схем теории Т* независимы, то независимы и любые две аксиомы разных схем теории Т.

Док-во. Предположим противное, т.е. при верности попарной независимости аксиом разных схем теории Т* допустим, что найдутся аксиомы А и В разных схем в теории Т такие, что существует выводимость А ├ В в теории Т. Построим в этом случае выводимость {Вn}n=1├{Аn}n=1 в теории Т*, где Аn f А и Вn f В для любого n. Стационарные формулы {Аn}n=1 и {Вn}n=1 являются аксиомами разных схем в теории Т*, и для них оказывается существующей выводимость в теории Т*, что противоречит попарной независимости аксиом из Т*. Указанное противоречие доказывает требуемое.


Теорема 13. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом. Тогда аксиомы разных схем теории Т попарно независимы е.т.е. попарно независимы аксиомы разных схем теории Т*.

^ Док-во. Следует из теорем 11 и 12.


Теорема 14. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом. Если ни одну аксиому теории Т нельзя вывести из любого конечного множества аксиом иных схем теории Т, то это же верно и для аксиом теории Т*.

Док-во. Предположим противное, т.е. верность условия теоремы и существование аксиомы {Аn}n=1 и множества аксиом иных схем {{Вkn}n=1}Nk=1 теории Т* таких, что существует выводимость {{Вkn }n=1}Nk=1├ {Аn}n=1 в теории Т*, и N является конечным числом. Запись {{Вkn}n=1}Nk=1 предполагает, что множество аксиом {{Вkn}n=1}Nk=1 является регулярным, т.е. {{Вkn}n=1}Nk=1 f {{Вkn}Nk=1}n=1, и существует m1 такое, что для любого nm существует выводимость {Вkn }Nk=1├ Аn в теории Т и формулы Вkn и Аn являются аксиомами теории Т, что противоречит условию теоремы. Противоречие доказывает требуемое.


Теорема 15. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом. Если ни одну аксиому теории Т* нельзя вывести из любого конечного множества аксиом иных схем теории Т*, то это же верно и для аксиом теории Т.

Док-во. Вновь будем доказывать от противного, предположив, что при верности условия теоремы в теории Т найдутся аксиома А и аксиомы В1, В2, …, Вn иных схем, чем А, такие, что существует выводимость В1, В2, …, Вn ├ А в теории Т. В этом случае построим выводимость теории Т* {{Вki }i=1}n1=1├ {Аi}i=1, где Аi f А и Вki f Вk для любого i. Эта выводимость будет выводимостью в теории Т* аксиомы {Аi}i=1 теории Т* из аксиом теории Т* {Вki }i=1 иных схем, чем {Аi}i=1, что противоречит условию. Указанное противоречие доказывает теорему.


Теорема 16. Пусть Т и Т* – теории со схемами аксиом. Тогда ни одну аксиому теории Т нельзя вывести из любого конечного множества аксиом иных схем теории Т е.т.е. это же верно и для аксиом теории Т*.

^ Док-во. См. теоремы 14 и 15.


Определение 17. Назовем теорию Т* семантически полной, если любая формула из языка L*, являющаяся истинной в любой модели М теории Т* при любом приписывании g, является теоремой теории Т*.

В этом же смысле, но для формул, теорем и моделей теории Т, будем говорить о семантической полноте теории Т.


Теорема 17. Пусть теория Т семантически полна. Тогда семантически полна и теория Т*.

Док-во. Предположим противное, т.е. при допущении семантической полноты теории Т допустим, что теория Т* семантически неполна, т.е. найдется формула {Аn}n=1 языка L* такая, что {Аn}n=1 истинна в любой модели М теории Т* при любом приписывании g, и в то же время {Аn}n=1 не является теоремой теории Т*. Если {Аn}n=1 истинна в модели М теории Т* при любом приписывании g, то существует m1 такое, что для любого nm формула Аn истинна в модели М при любом приписывании g. Т.к., согласно теореме 6, модель М теории Т* - это одновременно модель теории Т, то мы получим, что для любого nm формула Аn истинна в модели М теории Т при любом приписывании g. Т.к. М – любая модель теории Т, и теория Т семантически полна, то отсюда получим, что для любого nm формула Аn является теоремой теории Т, т.е. формула {Аn}n=1 из языка L* также является теоремой теории Т*, что противоречит предположению. Данное противоречие доказывает теорему.


Теорема 18. Пусть теория Т* семантически полна. Тогда семантически полна и теория Т.

Док-во. Предположим противное, т.е. при допущении семантической полноты теории Т* допустим, что теория Т семантически не полна. Следовательно, существует формула А из языка L теории Т такая, что для любой модели М теории Т формула А является истинной в модели М при любом приписывании g, но, тем не менее, формула А не является теоремой теории Т. Построим формулу {Аn}n=1 из языка L*, положив, что Аn f А для любого n. Модель М, согласно теореме 6, является одновременно и моделью теории Т*. Тогда формула {Аn}n=1 будет истинной в любой модели М теории Т* при любом приписывании g. Т.к. мы предполагаем, что теория Т* семантически полна, то, следовательно, формула {Аn}n=1 является теоремой теории Т*, что равносильно тому, что формула А является теоремой теории Т – противоречие. Полученное противоречие доказывает теорему.


Теорема 19. Пусть формула {Аn}n=1 языка L* такова, что существует m1 такое, что для любого nm верно: Аn f ВВ для некоторой формулы В языка L. Тогда существует выводимость в теории Т* {Аn}n=1├ {Сn}n=1 для любой формулы {Сn}n=1 из языка L*.

Док-во. Согласно определению, выводимость {Аn}n=1├ {Сn}n=1 - это объект {Аn├ Сn}n=1, где существует р1 такое, что для любого nр Аn├ Сn - выводимость теории Т. Но такая выводимость всегда определена при любом nmax{m,p}, т.к. для любой формулы Сn языка L всегда существует выводимость Аn├ Сn, где Аn f ВВ.


Теорема 19 позволяет показать равносильность двух определений непротиворечивости теории Т*: 1)теория Т* непротиворечива, если не всякая формула из языка L* является теоремой теории Т* (см. определение 7), 2)теория Т* непротиворечива, если в ней не выводимо противоречие, т.е. формула {Аn}n=1 языка L* такая, что существует m1, и для любого nm верно: Аn f ВВ для некоторой формулы В языка L.