Реферат: Типова програма кандидатського іспиту із спеціальності 01. 01. 03 Математична фізика київ, 1998

Міністерство освіти України


ТИПОВА ПРОГРАМА КАНДИДАТСЬКОГО ІСПИТУ ІЗ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 01.01.03 - МАТЕМАТИЧНА ФІЗИКА


Київ, 1998

Програма розроблена авторським колективом у складі: доктор фізико-математичних наук, професор О.Л.Ребенко (Інститут математики НАН України) , доктор фізико-математичних наук, професор І.Ю.Чудінович, доктор фізико-математичних наук, професор І.Д.Чуєшов (Харківський державний університет).

Програма погоджена з науково-методичною комісією Міністерства освіти України.

Затверджена ВАК України та Атестаційною колегією Міністерства освіти України “25” 06 1998 р.

^ ПРОГРАМА КАНДИДАТСЬКОГО ІСПИТУ

ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 01.01.03 — МАТЕМАТИЧНА ФІЗИКА

І. Математичні проблеми сучасної фізики.

Класична механіка: елементи варіаційного числення, умови екстре- мума; рівняння Ейлера-Лагранжа, Гамільтона, Гамільтона -Якобі; фізичні задачі, що приводять до основних рівнянь математичної фізики. (Література: [1], [15].)

Класична статистична механіка: статистичні ансамблі; міра Гіббса; кореляційні функції; термодинамічна границя; фазові переходи. (Література: [2], [3], [4].)

Квантова механіка: простір станів, операторна природа спостережуваних величин; еволюція, рівняння Шредінгера; основні математичні проблеми квантової механіки. (Література: [5], [15], [16], [17])

Квантова статистична механіка: матриця густини; квантові стани та алгебра спостережуваних; статистика Возе-Ейнштейна та Фермі-Дірака: рівняння Шредінгера та Гайзенберга для системи возємодіючих частинок, вторинне квантування. (Література: [2], [5], [17])

Квантова теорія поля (на прикладі скалярного поля): рівняння руху; Гамільтоніан; вторинне квантування, простір станів, "голий" та фізичний вакууми. (Література: [6]).

II. Рівняння математичної фізики та елементи

^ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО АНАЛІЗУ.

Локально випуклі, нормовані та злічено-нормовані простори: означення; збіжність; лінійні функціонали, теорема Хана-Банаха; приклади.

Гільбертові простори: означення; збіжність; ортонормовані системи; сепарабельні та несепарабельні простори; приклади.

Простір Фока: означення для Бозе та Фермі систем; базис, числа заповнення.

Простори С. Л, Соболева; узагальнені функції: простори D' та S'; перетворення Фур'є та його основні властивості; згортка; додатні та додатньо-визначені узагальнені функції; властивості узагальнених функцій: δ(х), Ρ 1/х, , тощо.

Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші для лінійних систем першого порядку.

Лінійні рівняння і системи зі (змінними коефіцієнтами. Многовид розв'язків. Формула Ліувіля-Остроградського.

Теореми про гладкість розв'язку диф.рівняння відносно початкових умов та параметрів.

Автономні системи. Класифікація особливих точок.

Стійкість за Ляпуновим. Граничні цикли.



Класифікація рівнянь у частинних похідних. Характеристичні поверхні. Задача Коші. Теорема Коші-Ковалевського.

Фундаментальні розв'язки рівнянь: Лапласа, теплопровідності, хвильового.

Розв'язування крайових задач для рівняння Пуассона за допомогою об'ємного та поверхневого потенціалів.

Розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності.

Розв'язування задачі Коші для хвильового рівняння.

(Література: [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [23]).

III. Оператори математичної фізики.

1. Елементи спектральної теорії: означення спектру та регулярних значень; резольвента та її властивості, класифікація точок спектру; спектр додатньо-визначеного оператора, критерій дискретності спектру; спектральна міра, побудова функцій від операторів.

Теорія розширення необмежених симетричних операторів: індекси дефекту, побудова самоспряжених розширень; побудова самоспряжених розширень для оператора імпульсу у L2(а,Ь), (а,b) E R1;розширення по Фрідріхсу.

Елементи теорії напівгруп: гіперстискаючи напівгрупи; формула Тротера; теореми про збурення напівгруп, напівгрупи породжені оператором — Δ + V(х), формула Фейнмана-Каца.

Теорія збурень самоспряжених операторів: скінченномірна і регулярна теорія збурень; асимптотична теорія збурень; методи сумування розбіжних рядів (сумування по Борелю).

(Література: [7], [8], [9], [14], [16]).


IV Елементи теорії ймовірності, випадкових процесів та функціонального інтегрування.

Основні поняття теорії ймовірності, випадкові процеси, умовні математичні сподівання, напівгрупи і випадкові процеси, узагальнені випадкові процеси.

Міри у лінійних просторах: циліндричні множини; гаусові міри у скінченомірних просторах; гаусові міри у гільбертовому просторі та в оснащеннях.

(Література: [9], [20]).

V. Алгебраїчні, групові, геометричні та топологічні методи.

Алгебраїчні методи: загальні положення алгебраїчного підходу до квантової теорії; С*-алгебри; канонічні комутаційні співвідношення; теорема Хаага.

Поняття групи, групи симетрій диференціальних рівнянь, поняття квантової групи.

Геометричні та топологічні методи: поняття алгебраїчного, топологічного, диференціального та комплексного многовидів; геометрія поверхні: кривизна, геодезичні.

(Література: [17], [18], [19], [21], [22])

ЛІТЕРАТУРА

В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1974.

Керзон, Хуанг. Статистическая механиха. - М.: Мир, 1966.

Д. Рюэль. Статистичесхая механика. - М.: Мир, 1971.

Д. Я. Петрина, В. И. Герасименхо, П. В. Малышев. Математические основы классической статистической механики. - К. Наукова думка, 1985.

Д. Я. Петрина. Математические основы квантовой статистической механики. - К.: Институт математики, 1995.

Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М.: "Наука", 1973.

Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Злементы функционального анализа. - М.: Наука, 1956.

Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966.

Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. - К.: Наукова думка, 1983.

И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. - М.: Физматгиз, 1961.

Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974.

С. Г. Михлин. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высшая школа, 1977.

137 О. А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973.

С. Мизохата. Теория уравнений с частными производными, - М.: Мир 1977.

В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1984.

М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. тт. 1-4. - M.: Мир, 1977,1978,1982,1982гг.

Ж. Эмх. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. - М.: Мир, 1976.

А. В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1974.

Дж. Милнор, А. Уоллес. Дифференциальная топология. - М.: Мир, 1972.

М. Рид. Функциональный анализ и теория вероятностей. // "Конструктивная теория поля". - М.: Мир, 1977.

П. I. Голод, М. У. Клімик. Математичні основи теорії про симетрію. - К.: Наукова думка, 1992.

В. И. Фущич, А. Г. Никитин. Симметрия уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1990.

Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко. Математические проблемы нелинейной механики. - К.: Вища школа, Головное изд. 1987.