Реферат: Темы курсовых работ на 2011-2012 учебный год Вячеслав Павлович Спиридонов

Темы курсовых работ

на 2011-2012 учебный год


Вячеслав Павлович Спиридонов
        ведущий научный сотрудник Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, г. Дубна

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


 
Эллиптические гипергеометрические функции являются в настоящее время   вершиной достижений теории специальных функций. Они были открыты всего около 10 лет назад и являются предметом активных исследований.


Они нашли много важных приложений в математике (комбинаторика,      гармонический анализ на корневых системах, теория представлений групп Ли, теория автоморфных форм, теория аппроксимации, цепные дроби, топология, теория разностных уравнений и пр.) и в математической физике (системы многих тел в квантовой механике, точно решаемые модели статистической механики, случайные матрицы,       стохастические процессы и, самое интересное, описание топологического сектора в четырехмерных суперсимметричных теориях поля). В качестве курсовых работ предлагается разбор наиболее важных формул теории и, возможно, анализ некоторых нерешенных математических вопросов.


        ^ Темы (для студентов 3 курса и старше):

 
        1) Эллиптические гамма-функции.

 Тэта-функции Якоби. Определение эллиптических гамма-функций в виде    специальных решений разностного уравнения первого порядка с коэффициентом в виде тэта-функции Якоби. Формулы удвоения аргумента и отражения и другие тождества. Предельные соотношения.

  
        ^ 2) Многократная дзета-функция и гамма-функция Барнса.

Определение многократной дзета-функции Барнса в виде ряда и интегральное представление для нее. Определение многократной гамма-функции Барнса и гиперболической гамма-функции и интегральные представления для них. Вывод связи гамма-функции Барнса третьего порядка с эллиптической гамма-функцией.


         ^ 3) Эллиптическая бета-функция.

Эллиптические функции. Разностное уравнение первого порядка с       коэффициентом в виде эллиптической функции. Определение общих эллиптических гипергеометрических интегралов. Определение эллиптического бета-интеграла в виде контурного интеграла от специальной комбинации эллиптических гамма-функций. Теорема о точном вычислении этого интеграла.


         4) Эллиптический аналог гипергеометрической функции Эйлера-Гаусса.

Определение 2F1-функции Эйлера-Гаусса, интегральное представление Эйлера, гипергеометрическое уравнение. Эллиптические функции и эллиптическая гамма-функция. Определение эллиптического аналога гипергеометрической функции, вывод преобразования симметрии и эллиптического гипергеометрического уравнения.