Реферат: Кинематика тел в точечном представлении в гравитационном пространстве в произвольной системе отсчета Метод переменных систем отсчета

Кинематика тел в точечном представлении в гравитационном пространстве в произвольной системе отсчета Метод переменных систем отсчета.


Кинематика многих тел в галилеевом пространствеЮровицкий В.М.,

Российский государственный социальный университет, Москва

E-mail: vlad@yur.ru

Заканчивается разработка теории движения многих тел в точечном представлении, начатая в работах [1] и [2]. Приведены решения принципиально новых задач практической важности.

Универсальные уравнения поля и движения

В качестве системы отсчета используем ньютоно-эвклидовскую систему отсчета на базе абсолютно твердого тела. В качестве характеристики состояния всех элементарных механических объектов используем характеристику весомости W, равную нулю в невесомом состоянии, характеризующем свободное, невзаимодействующее состояние объекта и отличную от нуля при наличии механических воздействий на него со стороны других тел.

^ Пространство, в котором отсутствует феномен гравитации, назовем негравитационным или галилеевым.

В галилеевом пространстве можно ввести неинерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета. В этой системе она сохраняет жетскость и неизменность без воздействий тел отсчета друг на друга. Другими словами, все элементы инерциальной системы отсчета находятся в невесомом состоянии. Соответственно все невесомые (свободные) тела в этой системе отсчета имеют в качестве кинематической характеристики равномерное и прямолинейное движение или неподвижность.

^ Весомы тела имеют характеритистику движения в этой системе отсчета подчиняющуюся модернизированному второму закону Ньютона

(1)

где w ─ ускорение.

В галилеевом (негравитирующем) пространстве можно ввести и неинерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета (на базе твердого тела). Но теперь уже элементы системы отсчета уже будут в общем случае иметь весомое состояние. В том числе весомым может быть и начало системы отсчета W0.

^ Неинерциальные системы отсчета могут характеризоваться макроописанием (интегральными или глобальными характеристиками) и микроописаниями.

В качестве макроописания используется две векторные характеристики ─ весомость начала системы отсчета ^ W0 и угловая скорость вращения системы отсчета (скорость вращения относительно неподвижных звезд) . Микроописание состоит из распределения весомости кординатизированных элементов системы отсчета, т.е. поля весомости H(r). Эти характеристики могут меняться во времени.

Постулат. Неинерциальные системы отсчета в галилеевом пространстве, имеющие одинаковые глобальные характеристики, эквивалентны. В частности, это означает, что любые свободные (невесомые) объекты, имеющие одинаковое начальные характеристики в эквивалентных иеинрциальных системах отсчета, имеют одинаковое кинематическое описание

^ Для негалилеевых (гравитирующих) пространств этот постулат в общем случае не имеет места.

Связь между глобальными характеристиками и микроописанием дается уравнением состояния системы отсчета ─ уравнениями поля весомости. Для вывода уравнения состояния поля весомости в галилеевом пространстве воспользуемся хорошо известным распределением абсолютных ускорений элементов твердого тела

(2)

где w ─ абсолютное ускорение (ускорение в инерциальной системе отсчета) элемента твердого тела с радиус-вектором r, w0 ─ абсолютное ускорение элемента твердого тела в начале системы отсчета,  ─ угловая скорость вращения твердого тела.

^ Но согласно уравнению (1)

(3)

Здесь W ─ весомость элемента системы отсчета, а H ─ напряженность весомостного поля системы отсчета; W0 ─ весомость начального элемента системы отсчета, а H0 ─ напряженность начала системы отсчета. Подставляя (3) в (2), получаем уравнение состояния весомостного поля:о

= ()


В работе [1] получены дифференциальные уравнения гравитационного поля в гармонической системе отсчета в концепции полевой гравитации.

(1)

В работе [2] получено уравнение состояния неинерциальной системы отсчета в галилеевом (негравитационном) пространстве:

(2)

Физический смысл полей V и H одинаков ─ это поля весомости. Поэтому представляется логичной гипотеза, что общее весомостное поле B в произвольной системе отсчета в гравитационном (негалилеевом) пространстве является аддитивным и представляет собой сумму поля весомости неинерциальной системы отсчета при выключенной гравитации H и гравитационного поля в гармонической системе отсчета V, в которой отсутствуют имманентные характеристики системы отсчета? В результате чего получаем уравнение состояния системы отсчета ─ поле весомости произвольного пространства в произвольной системе отсчета:

(3)

Это максимально полное и универсальное уравнение, описывающее всех системы отсчета на ньютоно-эвклидовом универсуме системы тел отсчета, погруженном в любое пространство, с любой системой отсчета с любой координатизацией ее (имеется ввиду, что оно допускает любые системы координат – декартовые, сферические полярные и иные).

В работе [2] выведены уравнения движения для неинерциальной системы отсчета в галилеевом пространстве.



В это уравнение входят глобальный параметр , который сохраняется и в произвольном пространстве, и локальный параметр H, который локально неотличим от параметра V, что и есть, фактически, содержание принципа эквивалентности. А следовательно это уравнение полностью сохраняет силу, если параметр H заменить параметром B. Этим самым мы получаем универсальное уравнение движения произвольного тела в произвольной системе отсчета в произвольном пространстве:

(4)

^ Универсальные уравнения движения тел в точечном представлении

На основании уравнений поля и движения и используя результаты работ [1] и [2] получаем уравнения движения n тел в точечном представлении:

(5)

Для y и z компонент уравнения получаются циклической перестановкой (5).

Здесь мы использовали только потенциальные компоненты поля. Гипотетические вихревые составляющие в это уравнение не включены.

В небесной механике рассматриваются как правило свободные движения тел, находящиеся в невесомом состоянии, поэтому все правые части нулевые. Кроме того, наиболее удобно начало отсчета совмещать с одним из тел, т.е. иметь невесомое начало отсчета, что сразу обращает в нуль все компоненты H0. Однако, в космонавтике, где приходится рассматривать движения на активных участках полета космического объекта в гравитационном поле и еще совершать при этом некоторый маневр, может потребоваться уравнения (5) в полном виде.

Несмотря на устрашающий вид уравнений (5), их использование высокоэффективно. Дело в том, что оно универсально, в них «все включено», и потому использование его состоит в чисто механическом отборе требуемых факторов.

^ Примеры решения задач на движение тел в гравитационном поле

Мы будем использовать технологию переменных систем отсчета, т.е. использовать системы отсчета наиболее адекватные задаче, но в которых не всех характеристики систем отсчета заранее заданы, а часть их сами являются переменными. И решение задачи состоит как в определении характеристик системы отсчета, так и движений в ней.

^ Задача двух тел

Решаем наиболее простую и наиболее важную для небесной механики задачу Кеплера, т.е. движение двух тел в гравитационном поле, создаваемым самими телами.

В соответствии с принципами переменных систем отсчета вводим систему отсчета, начало которой на одном из тел, а ось Ox направляем на второе тело. Таким образом, движение тела является одномерным, но сама система отсчета нам неизвестна и ее характеристики (угловая скорость вращения) есть также переменная задачи. Таким образом, переменные задачи есть координата движения второго тела и вектор вращения самой системы. Этот вектор мы не фиксируем ни по величине, ни по направлению. Тогда система (5) сводится к следующей системе трех уравнений:

(6

Здесь мы использовали как это обычно принято в небесной механике гравитационную постоянную равную 1.

Подставляем Осуществляя стандартные преобразования, мы приходим системе с разделенными переменными:

(7)

Из последнего уравнения сразу следует:

(8)

Из второго уравнения

(9)

Подставляя в (8), получаем

(10)

Решение дает обычные движения по линиям конического сечения, отличающиеся от стандартного решения не приведенными массами, а суммой масс ввиду отличных систем отсчета. Главные особенности решения:

Показано существование новых решений в насчитывающей уже сотни лет задаче Кеплера. Это движе6ние в прецессирующей плоскости.

Особенность решения состоит в том, что здесь уже одинаково правомерно рассматривать движение планет вокруг Солнца и движение Солнца относительно мельчайшей пылинки.

Наконец, нельзя не обратить внимания на большую простоту решения. Классическое решение занимает несколько страниц текста. Наше решение заняло несколько строчек, в то время как в большинстве учебников и монографий решение занимает до 10 страниц (например, в [3] ─ 9).

Обычно решение этой задачи дается в центре масс с использованием понятия приведенной массы. Единственное найденное автором решение о движении одного тела относительно другого (относительное движение) ─ это решение в [3]. И там эта задача рассматривается цилиндрической, сферической системах отсчета, в форме Клеро-Лапласа, в каноническом виде. Но самого простого и естественного перехода в переменную одномерную неинерциальную систему отсчета так за столетия рассмотрения этой задачи самыми выдающимися механиками не удалось совершить. Из этого видна, сколь нетривиальна концепция переменных систем отсчета.

В относительном решении задачи Кеплера оба тела равноправны, и этим самым коперникианство, если и не терпит конфуз, то, по крайней мере, его победа над птолемеевизмом приобретает эфемерность. Но и этого вывода до сих пор никто не смог или не решился сделать.


^ Задача трех тел

Берем на нулевом теле начало системы отсчета. На первое тело направляем ось Ox. Второе тело включаем в плоскость xOy. Тогда получаем систему уравнений:

(11)

Гравитационные компоненты:

(12)

Задача трех тел сводится к шести уравнениям ранга 9. Возможно, видимо, понижение ранга системы ввиду отсутствия явной зависимости от времени.


^ Равновесные и гомографические решения многих тел

Представление задачи многих тел в форме (5) позволяет легко найти все равновесные и гомографические конфигурации многих тел. Такие решения возникают при обращении в нуль нецентральных компонент гравитационных полей.

При произвольных массах это возникает при равенстве всех расстояний между телами либо если нецентральный член вообще отсутствует:

В коллинеарной геометрии при произвольном количестве тел на вращающейся и прецессирующей прямой.

В плоской конфигурации правильного треугольника во вращающейся плоскости.

В невращающейся конфигурации правильного тетраэдра.

Такие решения возможны при любых симметричных многоточечниках

В конфигурации любых плоских многоточечников во вращающейся плоскости.

В конфигурации симметричных пространственных многоточечников в невращающейся системе .

Все эти решения возможны и с центрированными фигурами, причем масса в центре может быть отличной от массы периферийных тел.

Все эти решения легко исследуются в системе уравнений (5).

^ Плоская ограниченная круговая задача трех тел (элементарная теория движения Луны)

Ограниченной круговой задачей движения трех тел называют задачу о движении тела малой массы в окрестности тел, движущихся друг относительно друга по круговой орбите. Если движение происходит в одной плоскости, то говорят о плоской задаче. В первом приближении к этой задаче сводится задача о движении Луны. Этой задаче посвящено много работ, но до сих пор она не имеет полного решения [3, стр.524].

Рассмотрим задачу о движении Луны вокруг Земли с учетом влияния Солнца в первом приближении.

Обозначим:

М ─ масса Солнца; m ─ масса Земли, μ ─ масса Луны.

R ─ радиус-вектор Земля-Солнце, r ─ радиус-вектор Земля-Луна,  ─ радиус-вектор Солнце-Луна.

Введем систему отсчета с центром на Земле, с осью Ох направленной на Солнце. Принимаем движение системы отсчета с постоянной по направлению и величине угловой скоростью вращения  (плоскость непрецессирующая в системе неподвижных звезд).

Движение Луны происходит в плоскости, координаты ее (x, y). Уравнения движения:

(13)

Для гравитационных компонент из (12) имеем:

(13)

Для первого приближения принимаем, что расстояние Земля-Луна мало по сравнению с расстоянием Земля –Солнце и потому можно принять =R. Поэтому первым членом в уравнении для x-компоненты напряженности гравитационного поля можно пренебречь. Солнечный член есть, фактически, квадрат угловой скорости вращения по круговой орбите Земли вокруг Солнца при пренебрежении влиянием Луны, т.е. 2. Член с массой Земли и Луны есть квадрат угловой скорости 0 вращения в системе Земля-Луна в уединенном положении, т.е. вне влияния Солнца. Итак, получаем систему уравнений:

(14)

Проверяем, удовлетворяет ли этой системе круговое движение Луны с постоянной скоростью вращения . Для этого принимаем:

(15)

Подставляем в 14

(16)

Отсюда получаем соотношение между частотами:

(17)

Решение уравнения

(18)

Фактически,  есть угловая скорость sn синодического периода обращения Луны. Так как движение Солнца и Луны по небесному своду идет в одинаковом направлении, то в формуле (18) надо брать минус. Для получения сидерической угловой скорости sd надо вычесть угловую скорость обращения Земли вокруг Солнца, т.е.

(19)

Был произведен расчет сидерического значения Луны по системе астрономических постоянных МАК по формуле (19) и сравнен с средним значением по этим же данным. Расхождение оказалось около 0.7% (2.68*10-6 с-1 по расчету и средняя сидерического движение Луны по МАК 2.66*10-6 с-1). Для такой простой модели это может быть признано в качестве весьма удовлетворительного результата. Отсюда следует, что эта модель вполне может стать основой, первым приближением к точным расчетам эфемерид Луны, значительно более простым, чем существующие модели, если учесть, что, к примеру, в модели Делоне используется 500 членов, а последние модели насчитывают 1200 членов разложения.

Заключение

Выведены уравнения движения в произвольном пространстве в произвольной системе отсчета произвольного количества тел в произвольном состоянии в точечном представлении. Для решения задач использована техника переменных систем отсчета.

Дано решение задачи двух тел. Показано существование неизвестного до сего времени решения ─ движения в прецессирующей системе отсчета. Одновременно показана совместимость коперникианства и птолемеевизма.

Выписаны развернутые уравнения трех тел в виде шести уравнений ранга 9.

Приведена классификация равновесных и гомографических решений многих тел.

Создана элементарная теория Луны, которая может стать основой новой точной теории Луны


Библиография:

Юровицкий В.М. Гравитационное поле точечных тел на самих телах в гармонической системе отсчета в полевой теории гравитации. Представлено в ЖЭТФ.

2 Юровицкий В.М., Общая теория неинерциальных систем отсчета в галилеевом пространстве. Представлена в ЖЭТФ.

3 Справочное руководство по небесной механике и астрометрии. Под редакцией Г.Н.Дубошина. М., «Наука», 1976