Реферат: Шпаргалки по математике

ШПАРГАЛКИ ПО МАТЕМАТИКЕ.


Признаки делимости.


На 2: Если последняя цифра числа делится на 2, то число делится на 2.


На 5: Если последняя цифра числа 0 или 5, то число делится на 5.


На 10: Если последняя цифра числа 0,то число делится на 10.


На 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.


На 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.


На 4: Если последние две цифры составляют число, кратное 4 (или два нуля), то число делится на 4.

Примеры. 23.312 4, 7.308 4, 275.600 4.



На 6: Если число кратно 3 и четное, то оно делится на 6.

Примеры. 714 6, 2.526 6.


На 15: Если число кратно 3 и 5, то оно делится на 15.

Примеры. 8.715 15, 2.520 15.


На 8: Если последние три цифры составляют число, кратное 8 (или три нуля), то число делится на 8.

Примеры. 7848 8, 92024 8, 3008 8, 3640 8, 75000 8.


На 25: Если последние две цифры составляют число, кратное 25 (или два нуля), то число делится на 25.

Примеры. 325 25, 7.350 25, 275.600 25.


На 11: Если сумма цифр числа, занимаемых нечетные места и сумма цифр,

занимаемых четные места, равны или отличаются на число, кратное 11, то число делится на 11.

Примеры. 746.526 (4+5+6=15, 7+6+2=15), 746.526 11

281.446 (8+4+6=18, 2+1+4= 7, 18−7=1111), 281.446 11


28.193.209 (8+9+2+9=28, 2+1+3+0=6, 28−6=22 11), 28.193.20911


Формулы сокращенного умножения




Формула

Словесная формулировка



(a + b)2= a2+ 2ab + b2

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс

удвоенное произведение первого числа и второго и плюс

квадрат второго числа.



(a – b)2= a2– 2ab + b2

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа

минус удвоенное произведение первого числа и второго и плюс

квадрат второго числа.



(а + b + с)2=

= а2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc

Квадрат суммы трёх чисел равен сумме квадратов этих чисел

плюс всевозможные удвоенные произведения.



a2 – b2= (a – b)(a + b)

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы

этих чисел и их разности.




(a + b)3= a3+ 3a2b +3ab2+ b3

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс

утроенное произведение квадрата первого и второго числа

плюс утроенное произведение первого числа на квадрат

второго и плюс куб второго числа.



(a – b)3= a3 – 3a2b +3ab2 – b3

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус

утроенное произведение квадрата первого и второго числа

плюс утроенное произведение
первого числа на квадрат второго и минус куб второго числа.



a3+ b3= (a + b)(a2 – ab + b2)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел

на неполный квадрат и их разности.




a3 – b3= (a – b)(a2+ ab + b2)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих

чисел на неполный квадрат их суммы.







Тригонометрические формулы.




Формулы зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.




Формулы двойного угла.


;


;





Формулы сложения.










Формулы половинного угла.


; ;


; ;


;




Сумма и разность синусов.

Сумма и разность косинусов.















Формулы произведения.




Тригонометрические уравнения




cos x = a ; где a[–1; 1]


x = arcos a + 2πk, kZ


arcos(–a) = π – arcos a


Частные случаи:

cos x = 0 ;

cos x = 1 ;


cos x = –1;

cos(arcos a) = a ; a[–1; 1]


arcos(cos) = ;


sin x = a; где a[–1; 1]


x = (–1)karcsin a + πk, kZ


arcsin(–a) = –arcsin a


Частные случаи:

sin x = 0 ;

sin x = 1 ;

sin x = –1;

sin(arcsin a) = a; a[–1; 1]


arcsin(sin) = ;


tg x = a


x = arctg a + πk; kZ


arctg(–a) = –arctg a


tg(arctg a) = a; a Z


arctg(tg) = ;


Метод дополнительного угла.


a sinx + b cosx = c


эквивалентно уравнению






Логарифмы.


Основное логарифмическое тождество:



b>0, a>0, a1


Свойства логарифмов:


a>0, a1, b>0, c>0, r R















,





^ Таблица первообразных


Функция.

Первообразная.









ex

ex+C

sin x

– cosx +C

cos x

sinx + C













sin(kx + b),



cos(kx+b),





tgx + C



−ctgx + C






Геометрический смысл производной.

Уравнение касательной.



Геометрический смысл производной





Физический смысл производной.








^ Область определения функций.



D(y): x R

D(y): xR,

исключая одно или несколько значений.

Область определения задаётся неравенство.


y = 2x2+6x –

Квадратичная функция


y = , x≠0

Функция обратной пропорциональности



y = ; x ≥ 0

Функция квадратного корня


y = –2x +3

Линейная функция



y =, x≠–2


y = ; x ≥ 6


y = x6+2x



y = ,

y = ; x ≥ 0

Степенная функция, показатель – положительное нецелое число


y =


y = х–2, x≠0

Степенная функция, показатель –отрицательное целое число

y = ; x – 2 ≥0

y=

y = х–5, x≠0

y =; x2–9 ≥ 0


y =


y = (х+3)–4 ,

y =; x > 0

Степенная функция, показатель –отрицательное нецелое число

y =

y = (х2 – 9)–3,

y =; x + 5 >0

y =

y=




y =;

x2–16 > 0

y =

y = ,

(x +3)2 > 0

Показательная функция

у = ах




Логарифмическая функция


y=logax; x>0


y=lgx; x>0


y=ln x; x>0


Тригонометрические функции


у=cos x,


y=sin x




у=tg x, x≠

у=ctg x, x≠ πx