Реферат: Лекції. Розділ Вступ до математичного аналізу

ІV.2 ЛЕКЦІЇ.

Розділ 2. Вступ до математичного аналізу
Тема 2.1. Функція, її границя і неперервність

Л-1. Дійсні числа та їх геометричне зображення. Абсолютна величина дійсного числа та її властивості. Множини дійсних чисел. Обмежені множини. Нижня і верхня межі в обмеженій множині.

Література: (7), гл.1, §§1,2, стор. 13-16.


Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

та аналітична геометрія

Тема 1.1. Елементи лінійної алгебри


Л-2. Визначники квадратних матриць другого та третього порядків: визначення, основні властивості. Мінори і алгебраїчні доповнення. Теореми про величину визначника, та анулювання. Поняття про визначник квадратної матриці n-го порядку. Прямокутні матриці та їх мінори. Ранг матриці. Елементарні перетворення матриць.


Л-3. Системи n лінійних рівнянь с n невідомими. Теорема Крамера. Довільні системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капелі (без доведення). Однорідні системи. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса. Дії над матрицями. Обернена матриця. Розв’язування системи лінійних рівнянь за допомогою матричного методу.

^ Тема 1.2. Аналітична геометрія

Л-4. Геометричні вектори. Лінійні операції над геометричними векторами та їх властивості. Лінійно-незалежні системи векторів. Базис системи векторів. Координати вектора у деякому базисі. Дії над векторами, які задано координатами у деякому базисі.


Л-5. Базиси систем векторів на прямій, площині та у просторі. Розклад вектора за координатними базисами. Прямокутна декартова система координат. Координати векторів і точок у прямокутній декартовій системі координат. Поділ відрізка за даним відношенням. Полярна система координат.


^ Л-6. Скалярний добуток двох геометричних векторів та його властивості. Векторний і мішаний добутки векторів та їх властивості.


Л-7. Різні види рівнянь площин та прямих. Деякі основні задачі на площину та пряму: визначення кутів та відстаней. Пучки прямих та площин.


Література: (1), §§1,2, стор. 4-6, §§5-14, стор.34-80;

(2), гл.I, §§1-3, стор. 9-37, гл.II, §§1-3, стор. 43-76,

гл.V, §§1-5, стор. 133-189, гл.VI, §1, стор.189-196,

гл.VII, §1, стор. 220-225;

(11), розд.1, §§1.1-5.4, стор.4-26,

розд.2, §§1.1-5.3, стор.74-103.


Питання для самостійного вивчення.

поділ відрізка за даним відношенням; літ.: (1), §7, стор. 46-48;

пучки прямих та площин; літ.: (11), розд.2, §5.3.



Розділ 2. Вступ до математичного аналізу
^ Тема 2.1. Функція, її границя і неперервність

Л-8. Функція, способи її задання. Обернена функція. Обернені тригонометричні функції. Складена функція. Класифікація функцій. Границя функції і послідовності, основні властивості границі функції. Нескінченно малі і нескінченно великі функції та зв’язок між ними. Леми про нескінченно малі функції.


Л-9. Арифметичні операції над границями. Перехід до границі в нерівності. Теорема про проміжну зміну, існування границі монотонної обмеженої послідовності.


Л-10. Перша і друга чудові границі. Натуральні логарифми. Гіперболічні функції. Порівняння нескінченно малих.


Л-11. Неперервність функції в точці, одностороння неперервність функції в точці. Точки розриву, їх класифікація. Неперервність функцій на інтервалі і на відрізку. Арифметичні операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Теореми Коші і Вейєрштраса. Рівномірна неперервність, теорема Кантора.

Література: (5), гл.I, стор.12-27, гл.II, стор.34-80, гл.III, стор.66-122;

(7), гл.VII, стор. 11-26, гл.II, стор. 29-60.


Питання для самостійного вивчення.

основні елементарні функції (означення, властивості, графіки);

літ.: (7), гл.I, §8, стор.22-27;

перша чудова границя; літ.: (7), гл.II, §6, стор. 47-49.


Розділ 3. Диференціальне числення функції

однієї змінної
^ Тема 3.1. Похідна та її обчислення


Л-12. Задачі, які приводять до поняття похідної. Похідна. Обчислення похідних від основних елементарних функцій.


Л-13. Формула для приросту функції. Неперервність функції, яка має похідну. Правила обчислення похідних. Теорема про існування і неперервність оберненої функції. Похідна оберненої функції. Похідна обернених тригонометричних функцій.


Л-14. Похідна складної функції. Похідні гіперболічних функцій. Таблиця похідних. Похідна показниково-степеневої функції. Логарифмічне диференціювання. Односторонні похідні. Приклад неперервної функції в точці, яка не має в цій точці похідної.


Л-15. Диференційовність функції. Диференціал функції. Зв’язок диференціала з похідною, геометричний зміст диференціалу. Застосування диференціала до наближених обчислень. Диференціал суми, добутку і частки. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Неявна функція. Похідна функції заданої неявно. Похідні і диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.


Л-16. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа. Теорема Коші.


Л-17. Правило Лопіталя. Формула Тейлора.


Література: (5), гл.IV, стор.127-158;

(7), гл.II, стор. 63-118,

гл.IV, стор.127-143, гл.V, стор. 148-183.


Питання для самостійного вивчення.

теорема про арифметичні операції над диференційованими функціями; літ.: (7), гл.II, §7, стор. 75-80;

формула Тейлора; літ.: (7), гл.IV, §6, стор.143-149.



^ Тема 3.3. Дослідження функцій за допомогою похідних

Л-18. Умови сталості функції. Умови монотонності функції. Максимуми, мінімуми. Необхідна умова екстремуму.


Л-19. Достатні умови екстремума, які встановлюються за допомогою першої і другої похідної. Найбільше і найменше значення функції неперервної на відрізку.


Л-20. Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину, необхідна і достатня умова перегину. Асимптоти. Дослідження функцій і побудова графіків.

Література: (5), гл.IV, стор.137-198;

(7), гл.IV, стор. 63-118, стор.127-142, гл.V, стор. 148-183.


Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

та аналітична геометрія
^ Тема 1.2. Аналітична геометрія

Л-21. Поняття про криві другого порядку. Коло, еліпс, гіпербола.


Л-22. Парабола. Директриси кривих другого порядку. Лінійні перетворення. Перетворення координат.


Л-23. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Спрощення загального рівняння кривої другого порядку.


Л-24. Циліндричні поверхні. Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку.


Л-25. Поверхні другого порядку.


Розділ 3. Диференціальне числення функції

однієї змінної
^ Тема 3.2. Застосування похідної до деяких задач геометрії та алгебри

Л-26. Параметричні рівняння просторової лінії. Векторна функція скалярного аргументу, її границя та похідна. Рівняння дотичної прямої та нормальної площини до просторової лінії. Механічний зміст першої та другої дотичних векторної функції скалярного аргументу.


Література: (1), §19, стор. 108-110, §§23-25, стор.132-150;

(2), гл.I, §4, стор. 35-39, гл.II, §1, стор. 73-85,

§§3,4, стор. 90-105;

(7), гл.IХ, §§1-2, стор. 305-311, §4, стор.322-324;

(11), розд.2, §§6.1-8.2, стор.103-118.

Л-27. Оглядова лекція.