Реферат: Поперечные колебания бесконечной струны. Формула Даламбера. Метод Даламбера (метод бегущих волн)

Тема2

Поперечные колебания бесконечной струны. Формула Даламбера. Метод Даламбера (метод бегущих волн).


Предположим, что длина струны велика. Тогда, если, например, при t=0 вывести

струну из положения равновесия в некоторой окрестности ее середины, то

волны нескоро дойдут до ее концов. Значит, какое-то время при t>0

волна, распространяясь, не будет отражаться от них. Этот процесс идеализируют

и считают, что струна бесконечна. В этом случае для выделения из множества решений

уравнения



одного решения не надо задавать краевые условия. Остаются начальные условия, и

задача превращается в задачу Коши

, -0,



При этом мы предполагаем, что функции (x), (x) известны и обладают достаточным числом производных.

Давая математическую постановку задачи, мы предположили, как и в Теме1, что струна в положении равновесия находится на оси Ох, а будучи выведена из положения равновесия в начальный момент времени t=0, совершает свободные поперечные колебания. Так что

функция u(x, t) имеет тот же смысл: это- величина отклонения от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t.


^ Формула Даламбера.


Мы сейчас докажем, что решение этой задачи- функцию u(x, t)- можно найти

по следующей формуле:

/1/

Сначала проверим, что функция u(x, t) из /1/ удовлетворяет начальным условиям.

Имеем

то есть первое из начальных условий выполняется.

Представим Используя теорему Барроу

(ее можно применять, если подынтегральная функция непрерывна), найдем

производную по t:

Следовательно, при x-at=, x+at=



. Значит, и второе из начальных условий выполняется.

Теперь найдем вторые (чистые) частные производные от функции u(x, t) из формулы /1/

и подставим их в дифференциальное уравнение

. /2/

Имеем






функция u(x, t) из /1/ удовлетворяет дифференциальному уравнению /2/.

Итак, мы доказали что функция u(x, t), найденная по формуле /1/, является

решением поставленной задачи Коши.

Формула /1/ называется формулой Даламбера. В этой теме мы будем ею неоднократно пользоваться, чтобы изучить характер колебаний бесконечной струны.

Можно показать, что решение задачи Коши, найденное по формуле Даламбера, единственно.


В выкладках, которые мы только что провели, мы пользовались тем, что функция (x)

имеет производные первого и второго порядков, а (x) имеет первую производную.

Если функции  и  обладают достаточным числом производных, то- согласно формуле

/1/- функция u(x, t) имеет частные производные по х и по t до второго порядка включительно. Такое решение u(x, t) задачи Коши с достаточно гладкими начальными функциями называется

классическим решением поставленной задачи Коши.


Распространение волн отклонения.


Пример1.

Пусть начальные функции таковы: (х)0, а (х)=-|x|+1 при |x|1 и (х)=0 при |x|>1:


Рис.1 t=0

Из рисунка видно, что функция (х) в точках (-1, 0), (1, 0), (0, 1) не имеет производной.

Правая часть формулы Даламбера представляет собой дробь При данной начальной функции (х) эта дробь в некоторых точках

(x, t) не имеет частных производных второго порядка. Поэтому формула /1/ в этом случае

не дает классического решения задачи Коши.

То, что начальная функция может иметь указанный вид, есть некоторая идеализация процесса. Ведь если на практике струна в начальный момент времени получила некоторое отклонение, то она принимает обычно форму кривой, на которой нет угловых точек.

Но можно считать, что в этом случае формула /1/ задает обобщенное решение задачи Коши. Поясним, что под этим понимается. Ограничимся случаем, когда, как в примере1,

начальные скорости отсутствуют, а при t=0 струне придали форму u(x, 0)=(x).


^ Обобщенным решением задачи Коши



называется предельная функция, к которой стремится при n последовательность классических решений un(x, t) задач Коши



при условии, что Сходимость последовательности функций {n(x)}к

функции (х) должна быть равномерной. Для функции (х) это означает, что для всех

значений xOx справедливо следующее: для любого как угодно малого положительного числа  найдется целое положительное число N, такое, что неравенство

при n>N; и это число N одно и то же для всех xOx.

Такое определение обобщенного решения задачи Коши оправданно, т.к. можно доказать, что малые изменения начальных условий (начальных данных) мало изменяют решение задачи Коши (это свойство решений называется непрерывной зависимостью решения от начальных данных).

Как можно приближать кривую с «углами» гладкой кривой, показано на рисунке:


Мы сейчас разберем два конкретных примера. Сначала мы решим задачу Коши, поставленную в Примере1, то есть изучим распространение волн отклонения.

Затем решим такую задачу Коши, в которой (х)0, а некоторым точкам струны

придана начальная скорость (х) (говорят, что при этом по струне распространяются волны импульса). Мы будем рассматривать обобщенные решения. Чтобы изложение не стало громоздким, мы не станем строго определять обобщенное решение в общем случае

задачи Коши, когда от нуля отлично не только начальное отклонение, но и начальные скорости. Отметим лишь, что интеграл

в формуле Даламбера /1/ может существовать, даже если функция (х) в некоторых точках интервала (x-at, x+at) имеет точки разрыва (первого рода).

Итак, вновь рассмотрим


Пример1


Представим

/3/

и построим мгновенные профили струны в различные фиксированные моменты времени t0. Пусть для простоты а=1.

При t=0 u(x,0)=½(x)+½(x)=(x):




Рис.2


При t>0 волна представляет собой сумму двух «полуволн», одна из которых перемещается вдоль оси Ох вправо со скоростью а, а другая- влево с той же скоростью. Складывая эти «смещенные» полуволны, получим мгновенный профиль струны при t=½:




Рис.3


при t=1:




Рис.4


при t=2:



Рис.5


При t1 точки, которые в окрестности точки х=0 вернулись в положение равновесия, в нем остаются, как бы велико ни было t (запомним это, чтобы сравнить со случаем распространения волн импульса в примере 2!).

Полуволна ½(x-at) называется прямой полуволной. Полуволна ½(x+at) называется обратной полуволной. На каждой из этих полуволн есть точки, которые отделяют возмущенную часть волны от той части, где величина отклонения струны от положения равновесия остается постоянной (в частности, от той части, все точки которой находятся в положении равновесия). Эти точки носят названия переднего фронта и заднего фронта волны:


Рис.6




Рис.7


В рассматриваемом примере при любом фиксированном t, t>1, на мгновенном фото струны есть оба передних фронта (прямой и обратной полуволн) и оба задних фронта. (Запомним это, чтобы сравнить со случаем распространения волн импульса в примере2!).


Проследим за распространением волн отклонения в примере 1 на фазовой плоскости

Oxt при t0. Фиксируем точку (x0, t0) в верхней полуплоскости и проведем прямые

. Первая из них пересекает ось Ох в точке Q с абсциссой

x0+t0, вторая- в точке P с абсциссой x0-t0.

Воспользуемся тем, что по формуле Даламбера в фиксированной точке (x0, t0)

то есть значение функции u(x, t) в точке

(x0, t0) равно среднему арифметическому значений начальной функции  в точках P и Q.


Q


Рис.8


В результате получим следующую картину:





Рис.9


В треугольнике, ограниченном прямыми l, k, t=0, u=½(-|x-t|+1)+½(-|x+t|+1).

Между прямыми l, m, k u=½(x-t)=½(-|x-t|+1). Между прямыми k, p, l u=½(x+ t)=½(-|x+t|+1).

Напомним, что мы нашли в этом примере обобщенное решение задачи Коши, поскольку начальная функция  в некоторых точках не имеет даже первой производной. В то же время функция  непрерывна на всей оси Ох. Исследования полученного обобщенного решения u(x, t) показывают, что и решение есть функция непрерывная.


Метод, которым мы решили задачу с помощью формулы Даламбера, называется методом Даламбера. Мы видим, что при t>0 волны бегут по струне. Поэтому этот метод называют еще методом бегущих волн.

Переходим к исследованию распространения волн импульса.


^ Распространение волн импульса.


Пусть теперь струна не получает начального отклонения при t=0 ((х)0), а выводится из положения равновесия ударом молоточка. При этом некоторые точки струны получают начальные скорости и струна начинает колебаться. Как мы уже говорили, волны, которые возникают при этом, называются волнами импульса.


Пример2

Пусть начальные функции таковы: (x)=0, (x)=1 при -11.

Пусть для простоты а=1. Введем функцию

/4/

По формуле Даламбера



что соответствует условию задачи.


Построим графики функций воспользовавшись соотношениями /4/.



Рис.10




Рис.11


Построим мгновенные профили струны в различные фиксированные моменты времени

t0.








Выйдя из положения равновесия, точка х струны уже к нему не возвращается (это явление называется диффузией). Еще говорят, что «происходит размыв заднего фронта волны».


Проследим за распространением волн импульса на фазовой плоскости

Oxt при t0.





В треугольнике, ограниченном прямыми l, k, t=0, u=t. Между прямыми l, m, k

u=-½(x-t)+½=-½(x-t)+½. Между прямыми k, p, l u=½(x+t)+½=½(x+t)+½.

При t>1 между прямыми k и l u=1.


Замечание. В случае струны конечной длины бегущие волны в некоторый момент времени достигают концов струны и отражаются от них. И бегущие волны, как мы видели, превращаются в суперпозицию (наложение) стоячих волн, каждая из которых со временем не меняет своей формы.


Литература та же, что и в первой теме о свободных поперечных колебаниях струны длины l.


Задача 1. В примере1 построить мгновенные профили 1) при t =0,1;2) при t =0,56.

Задача 2. В примере 2 построить мгновенный профиль при t =3.

Задача 3. В примере 1 в пространстве Oxtu построить график функции u=u(x, t) в треугольнике, ограниченном осью Ох и линией t=1-|x|.


Даламбер Жан Лерон(1717-1783)- французский математик. Первые труды Даламбера были посвящены движению твердых тел в жидкостях и интегральному исчислению. В 1741г. он становится членом французской Академии. Он был также членом Берлинской Академии Наук. Среди трудов Даламбера- «Трактат о чистом анализе», «О колебании струн», работы по астрономии. Вся физико-математическая часть «Энциклопедии» Дидро написана Даламбером. Классический принцип Даламбера в механике: движение твердого тела сводится к вопросам статики. Писал труды по эстетике и музыке.


Коши Огюстен Луи(1789-1857)- французский математик. Работы Коши посвящены анализу, геометрии, теории чисел и математической физике. Он обобщил богатое наследие математиков XYIII века.

Последовательно пользовался понятием предела. Коши занял выдающееся место в истории дифференциального и интегрального исчисления. Его перу принадлежат учебники математического анализа, ставшие образцом научного мышления для последующих поколений математиков. В молодости Коши работал в качестве инженера- строителя морских портов. Коши был членом французской Академии. Некоторое время работал в Турине, где возглавлял кафедру математической физики, которую сам же основал.


Барроу Исаак (1630-1677)-английский математик, филолог и богослов. Родился в Лондоне. Был учителем Исаака Ньютона и его предшественником на кафедре в Кембриджском университете (1663-1669гг.). Барроу - один из главных предшественников И.Ньютона и Г.Лейбница в разработке исчисления бесконечно малых. Крупным достижением Барроу является установление связей между операцией отыскания производной и операцией интегрирования. В своем главном труде "Оптические и геометрические лекции" (1669-1670гг.) Барроу получил формулы, которыми пользуются и сейчас при вычислении дуг кривых, заданных уравнениями в полярных и декартовых координатах.