Реферат: Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070201 «Радіофізика І електроніка»

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА


Радіофізичний факультет


кафедра математики та

теоретичної радіофізики


Укладач: доц. Сугакова О.В.


ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ


РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА


для студентів спеціальності 070201 «Радіофізика і електроніка»


Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол № 6

від „16” травня 2008р.

Зав. кафедри

_____________ ____________ Висоцький В.І..


.

Декан факультету


____________

Анісімов І.О.


КИЇВ-2008


Робоча навчальна програма з дисципліни «Чисельні методи».

Укладач: кандидат фізико-математичних наук, доцент Сугакова О.В.


^ Лектор: к.ф-м.н., доц. Сугакова О.В.


Викладачі: к. ф.-м.н., доц. Майко Н.В., ас. Іваненко Д.О., ас. Масютка О.Ю.


Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 200__р.


___________________________


ВСТУП

Дисципліна «Чисельні методи» є нормативною дисципліною для спеціальності «радіофізика та електроніка», яка викладається в 3 семестрі в обсязі 2 кредити (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS) всього 72 години, в тому числі 18 годин лекцій, 18 годин практичних занять, 36 годин СРС. Підсумковий контроль – залік.


^ Метою і завданням навчальної дисципліни «Чисельні методи» є ознайомлення студентів з базовими методами наближень, з основними підходами в області апроксимації функцій, чисельного диференціювання, інтегрування тощо.


^ Предмет навчальної дисципліни " Чисельні методи" включає в себе розробку наближених методів обчислень, пошук апроксимацій для функцій, операторів, розв’язків рівнянь, систем і т.д.


^ Вимоги до знань та вмінь.

Студент повинен знати: основні підходи в області апроксимації функцій, чисельного диференціювання, інтегрування, наближені методи розв’язку алгебраїчних рівнянь, систем, інтегральних рівнянь, диференціальних рівнянь і систем, звичайних і в частинних похідних.


Студент повинен вміти: проаналізувавши задачу, правильно обрати наближений метод її розв’язку. Запрограмувавши відповідний алгоритм, отримати числовий результат. Оцінити похибку, що виникла в результаті розв’язку і проінтерпретувати одержані результати.


^ Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Нормативна навчальна дисципліна «Чисельні методи» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр», є базовою для вивчення спеціальних дисциплін «ЕОМ-експеримент», «Комп’ютерна обробка медичних зображень», «Методи обробки інформації», «Комп’ютерне моделювання». Потреба в застосуванні чисельних методів виникає також при обробці експериментальних даних при виконанні лабораторних робіт з загальних та спеціальних фізичних курсів. Але головне значення дисципліни «Чисельні методи» полягає в формуванні навичок прикладних математичних обчислень, які необхідні при проведенні наукових досліджень під час виконання бакалаврських та магістерських дипломних робіт.


^ Система контролю знань та умови складання заліку. Навчальна дисципліна "Чисельні методи" оцінюється за кредитно-модульною системою. Вона складається з 2 модулів. Підсумкова оцінка розраховується за накопичувальною системою.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою.

Форми поточного контролю:

- розрахункові роботи. Студент повинний на протязі семестру виконати і здати 6 розрахункових робіт. Завдання для цих робіт можуть бути 1 або 2 рівня. Розрахункові роботи оцінюються в залежності від рівня складності задачі; наявності відомостей, самостійно набутих студентом з додаткових джерел; глибини аналізу задачі – чи ретельно обгрунтоване використання того чи іншого методу при розв’язанні задачі; наявності оригінального алгоритму, що підвищує ефективність програми.

Модульний контроль: 2 модульні контрольні роботи.

Розподіл балів по змістовних модулях




Змістовий модуль 1 ( ЗМ1)

Змістовий модуль 2 ( ЗМ2)

Залік

Разом
(підсумкова оцінка)

Максимальна оцінка в балах

20

40

40

100


^ Розподіл балів всередині модулів відбувається наступним чином:

Максимальна оцінка

ПМК-1

ПМК-2

за модульну контрольну роботу

2

4

за виконані і здані розрахункові роботи

18

36

Всього

20

40


^ Максимальна кількість балів, яку може отримати студент за кожну виконану і здану лабораторну роботу міститься в таблиці:

^ Теми лабораторних робіт

I рівень

II рівень

I. Інтерполяція та чисельне диференціювання функцій.


8


10

II.Чисельне інтегрування.

6

8

III. Розв’язки нелінійних рівнянь і систем.

5

8

IV. Системи лінійних рівнянь. Знаходження екстремумів функцій багатьох змінних.


7


10

V. Задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь.


7


10

VI. Різницеві схеми.

8






^ Шкала відповідності

За 100-бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою

90 – 100

5

зараховано

85 – 89

4

зараховано

75 – 84

65 – 74

3

зараховано

60 – 64

35 – 59

2

не зараховано

1 – 34

Якщо за результатами модульно-рейтингового контролю студент отримав за змістовні модулі 1 та 2 менше ніж 36 балів, то він не допускається до складання заліку і вважається таким, що не виконав усі види робіт, які передбачаються навчальним планом на семестр з дисципліни "Чисельні методи".


^ НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

№ теми
^ Назва теми Кількість годин Лекції
Практичні

Самостійна

робота

ЗМІСТОВИЙ Модуль 1


1

Вступ. Теорія похибок.

1

2

2

2

Апроксимація функцій. Сплайни. Варіаційні і проекційні методи апроксимацій.

1

2

2

3

Методи чисельного диференціювання.

2

2

2

4

Чисельне інтегрування функцій.

2

2

4

5

Модульна контрольна робота







2

ЗМІСТОВИЙ Модуль 2


5

Розв’язки рівнянь та систем (лінійних та нелінійних).

4

4

8

6

Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

4

2

4

7

Наближені методи розв’язування інтегральних рівнянь.

2

2

4

8

Чисельні методи розв’язування крайових задач мат. фізики. Різницеві схеми.

2

2

6

9

Модульна контрольна робота







2

Всього

18

18

36

Загальний обсяг 72 год.


^ ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ 1


ТЕМА №1. Вступ


Лекція 1. Вступ.

Предмет і метод обчислювальної математики, ії роль в дослідженні математичних та фізичних моделей. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі. Елементи теорії похибок. Абсолютна та відносна похибки величин та функцій. Класифікація похибок. Пряма та обернена задачі теорії похибок. – 1 год.

Практичне заняття 1. Вступне заняття. Загальна характеристика робіт.

Завдання для самостійної роботи 1. Вивчення матеріалів лекції.

Література [1,c.7-17], [2, c.17-33], [3, c.13-26], [4, c. 11-24].


ТЕМА №2. Апроксимація функцій. Сплайни.

Варіаційні і проекційні методи апроксимацій.


Лекція 1. Теорія апроксимації функцій. Загальна постановка задачі. Апроксимації колокаційного типу. Многочлени Лагранжа. Поліноми Чебишова. Апроксимація сплайнами. Варіаційні та проекційні методи апроксимації. – 1 год.

Практичне заняття 2. Виконання розрахункової роботи №1 – 2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 2. Вивчення матеріалів лекції. Опрацювання матеріалу на тему «Інтерполяційний многочлен Ньютона. Середньоквадратичне наближення. Наближення ортогональними многочленами. Поняття про апроксимацію функцій багатьох змінних та функцій комплексної змінної.»

Література [1, с.18-102], [2, с.34-72], [3, с.27-69] [4, c.127-160].


ТЕМА №3. Методи чисельного диференціювання.


Лекція 2. Чисельне диференціювання. Принципи апроксимації похідних. Структура формул чисельного диференціювання. Похибка апроксимації похідних. – 2 год.

Практичне заняття 3. Виконання розрахункової роботи №2 – 2 год.

Завдання для самостійної роботи 3. Вивчення матеріалів лекції.

Література [1, с.55-62], [2, с.73-82], [3, с.70-84], [4, c.186-189].


ТЕМА №4. Чисельне інтегрування функцій.


Лекція 3. Принципи побудови формул чисельного інтегрування. Структура квадратурних формул. Похибки апроксимації інтегралів. Принцип Рунге наближеного визначення похибки чисельного методу. Поняття про методи чисельного інтегрування невласних та кратних інтегралів– 2 год.

Практичне заняття 4. Виконання розрахункової роботи №3 – 2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 4. Вивчення матеріалів лекції. Опрацювання матеріалу на тему «Методи інтегрування швидко осцилюючих функцій. Метод Монте-Карло.»

Література [1, с.103-126], [2, с.73-144], [3, с.85-123], [4, c.161-180].


^ ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ 2


ТЕМА №5. Розв’язки рівнянь та систем (лінійних та нелінійних).


Лекція 4. Кратність та відокремлення коренів. Метод бісекції. Методи спуску. Метод простої ітерації та метод Зейделя. Метод Ньютона–Канторовича. – 2 год.

Практичне заняття 5. Виконання розрахункової роботи №4 –2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 5. Вивчення матеріалів лекції. Опрацювання матеріалу на тему «Метод парабол. Пошук мінімума функції однієї змінної методом золотого перерізу та методом парабол.»

Література [1, с.173-192], [2, с.317-334], [3, с.138-149] [4, c.180-213]


Лекція 5. Методи розв’язку нелінійних систем. Методи простої ітерації, Зейделя, покоординатного спуску та найшвидшого градієнтного спуску. Деякі методи лінійної алгебри. Прямі методи розв’язання лінійних систем. Ітераційні методи. Погано обумовлені системи. Методи регулярізації. – 2 год.

Практичне заняття 6. Виконання розрахункової роботи №4 –2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 6. Вивчення матеріалів лекції. Опрацювання матеріалу на тему «Обернення матриці. Знаходження власних значень матриць.»

Література [1, с.138-172], [2, с.257-316], [3, с.150-155], [4, c.82-126].


ТЕМА №6. Чисельні методи розв’язування задачі Коші

для звичайних диференціальних рівнянь.


Лекція 6. Метод Ейлера, Рунге–Кутта. Похибка методів. Принцип Рунге наближеного визначення похибки. Багатокрокові методи. Поняття про їх стійкість та методи дослідження на стійкість. Жорсткі задачі. – 2 год.

Практичне заняття 7. Виконання розрахункової роботи №5 –2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 5. Вивчення матеріалів лекції. Опрацювання матеріалу на тему «Різницеві методи для розв’язування диференціальних рівнянь вищих порядків.»

Література [1, с.127-137], [2, с.357-398], [3, с.237-260], [4, c.214-258].


Лекція 7. Чисельні методи розв’язування крайових задач для одномірних диференціальних рівнянь. Зведення до задачі Коші. Метод пристрілки. Редукція до задачі Коші двоточкової крайової задачі. Різницеві методи. – 2 год.

Практичне заняття 7. Виконання розрахункової роботи №5 –2 год.

Завдання для самостійної роботи 5. Вивчення матеріалів лекції.

Література [2, с.403-473], [3, с.261-289].


ТЕМА №7. Наближені методи розв’язування інтегральних рівнянь.


Лекція 8. Наближені методи розв’язування інтегральних рівнянь. Апроксимаційні методи (метод заміни ядра виродженим, квадратурний метод, метод апроксимації розв’язку). Ітераційні методи. Метод розщеплення інтегрального оператора. – 2 год.

Практичне заняття 9. Виконання розрахункової роботи №5 –2 год.

Завдання для самостійної роботи 5. Вивчення матеріалів лекції.

Література [2, с.571-587], [3, с.452-478].


ТЕМА №8. Чисельні методи розв’язування крайових задач мат. фізики.

Різницеві схеми.

Лекція 9. Чисельні методи розв язування крайових задач математичної фізики. Апроксимація диференціального виразу, крайових умов та області. Поняття про стійкість різницевих схем. Коректність різницевих схем. Явні та неявні різницеві схеми. Приклади з побудови різницевих схем. – 2 год.

Практичне заняття 9. Виконання розрахункової роботи №6 –2 год.

^ Завдання для самостійної роботи 8. Вивчення матеріалів лекції. Виконання розрахункової роботи №6 –2 год.Опрацювання матеріалу на тему «Принцип максимума для різницевих схем.»

Література [1, с.200-243], [2, с.480-570], [3, с.290-233], [4, c.259-290].


Контрольні запитання до змістового модуля 1.

Класифікація похибок.

Пряма і обернена задача теорії похибок.

Поліноми Лагранжа. Похибка апроксимації поліномами Лагранжа.

Поліноми Чебишова.

Сплайни.

Метод мінімізації норми при наближенні поліномами.

Метод найменших квадратів.

Найпростіші формули чисельного диференціювання.

Чисельне диференціювання за допомогою інтерполяційного многочлену Ньютона. Порядок похибки.

Квадратурна формула.

Формули прямокутників, середніх точок, трапецій та Сімпсона.

Принцип Рунге оцінки похибки, уточнення за Річардсоном.

Методи обчислення кратних інтегралів.

Методи обчислення невласних інтегралів.


Контрольні запитання до змістового модуля 2.

Відокремлення коренів.

Метод половинного ділення.

Метод простих ітерацій.

Метод дотичних (Ньютона).

Метод хорд, метод січних.

Метод парабол.

Методи покоординатного та найшвидшого градієнтного спуску.

Методи розв’язку лінійних систем : а) метод простої ітерації; б) метод Зейделя;

Міра обумовленості системи. Методи регуляризації.

Обернення матриці. Знаходження власних значень матриць.

Метод Ейлера. Неявна формула Адамса другого порядку точності.

Методи Рунге-Кутта.

Багатокроковий метод Адамса.

Застосування правила Рунге до оцінки похибки.

Поняття стійкості різницевих схем.

Поняття жорсткості задачі.

Зведення до задачі Коші двохточкової крайової задачі для лінійного рівняння другого порядку.

Метод скінченних різниць.

Квадратурний метод розв’язку інтегрального рівняння.

Метод простої ітерації, оцінка похибки.

Метод заміни ядра виродженим.

Варіаційні і проекційні методи.

Основна ідея різницевих методів. Апроксимація диференціального виразу, крайових умов та області.

Поняття стійкості і коректності різницевої схеми. Порядок апроксимації. Явні і неявні різницеві схеми. Шаблон.

Рівняння з частинними похідними другого порядку. Різницеві схеми для рівнянь параболічного, еліптичного і гіперболічного типів.


Перелік запитань на залік повністю співпадає зі списком контрольних запитань до змістовних модулів.


^ СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ


а) основна:

Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1987.- 248с.

Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1987 – 600с.

Н.Н. Калиткин Численные методы. М.: Наука, 1978

И.А. Гулин, А.А. Самарский. Численные методы. М.: Наука, 1989.

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2–х т. М., 1959, т.1.– 464 с. т.2 – 602 с.

Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000. – 190 с.

б) додаткова:

Д. Каханер, К. Моулер, С.Неш. Численные методы и программное обеспечение. – М.:Мир, 2001. – 575с.

В.А. Ильина, П.К. Силаев. Численные методы для физиков-теоретиков. – Москва-Ижевск:ИКИ, 2003. – т 1,2.

Л.П. Фельдман, А.І. Петренко, О.А. Дмитрієва. Чисельні методи в інформатиці. – К. :Видавнича група BHV, 2006. - 480 c.

Б.И. Волков. Математический практикум для физиков. М.: Изд-во МГУ, 1981. – 104 с.

Методические указания и учебные задания для самостоятельной работы над курсом «Методы вычислений» для студентов мех.-мат. факультета. Под ред. А.А. Глущенко К.:КГУ, 1989. – 124с.

Лабораторні роботи та домашні завдання для самостійної роботи з дисципліни «Методи обчислень» для студентів мех.-мат. факультету. – К., 2006 – 32с.

І.П. Гаврилюк, М.П. Копистира, В.Л. Макаров, М.М. Москальков. Збірник задач з методів обчислень.- К.:ВЦ «Київський університет», 2004. – т 1,2.

Я.К.Шмидский. Mathematica 5. Самоучитель.-М.:Издательский дом «Вильямс», 2004. – 529 с.