Реферат: 3. 1 Электромагнитные поля в эмус и их основные уравнения

3.1 Электромагнитные поля в ЭМУС и их основные уравнения


Изучение, моделирование и проектирование электротехнических устройств (ЭТУ) основано на трёх фундаментальных теоретических дисциплинах: электромагнетизм, термодинамика и механика. Действие электрического или магнитного поля или их совокупности – электромагнитного поля определяет работу электрических машин и аппаратов, трансформаторов и других ЭТУ. По распределению этих полей в перечисленных устройствах и их изменению во времени можно определить интегральные показатели и характеристики устройства как в установившихся, так и в переходных режимах. Например, при известной индукции и напряжённости магнитного поля можно рассчитать магнитный поток и электродвижущие силы (ЭДС) в электрогенераторах, вращающие моменты в электродвигателях, силы притяжения или отталкивания в контакторах, потери от собственных или наведённых токов и т. д.

Тепловые поля определяют температуру, скорость и степень нагрева, режимы, условия и способы охлаждения ЭТУ, их элементов, а также других устройств, работа которых обеспечивается ЭТУ или наоборот, которые обеспечивают работу ЭТУ. Механические нагрузки и напряжения, возникающие, некоторым образом распределяющиеся и изменяющиеся, например, в быстро вращающемся роторе электрической машины вследствие растягивающих усилий, вызываемых центробежными силами, действующими на ротор, непосредственно влияют на механическую стабильность и прочность конструкции ротора, а также на магнитные и гистерезисные свойства активных материалов ротора. Последнее также напрямую влияет на рабочие показатели и характеристики ЭТУ.

Все электромагнитные явления, которые имеют место в электротехнических устройствах, в общем случае описываются уравнениями Максвелла в частных производных. Если полностью пренебречь токами смещения, что допустимо при обычно используемых на практике значений скоростей и частот, то имеет место следующая общая модель электромагнитных явлений на основе уравнений Максвелла [1]:





rot

E = – d B / d t ,




(3.1)




rot

H = J ,




(3.2)




div

B = 0 ,




(3.3)




div

D =  ,




(3.4)







B =  H + B r ,




(3.5)







D =  E ,




(3.6)







J =  E ,




(3.7)

где E и D – соответственно векторы напряжённости и индукции электрического поля; H и B – векторы напряжённости и индукции магнитного поля; J – плотность тока;  – объёмная плотность заряда; B r – вектор индукции остаточной намагниченности; t – время;  и  – соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости;  – удельная электрическая проводимость. В зависимости от используемых материалов величины , ,  могут быть либо скалярами, как в случае изотропных материалов, либо тензорами, позволяющими учесть анизотропию, часто встречающуюся в электрических машинах.

Уравнения (3.1), (3.2) отражают электромагнитную связь; (3.3), (3.4) – непрерывность поля; (3.5), (3.6) – описывают свойства материалов; (3.7) – закон Ома. В совокупности эти уравнения описывают все электромагнитные явления. Однако в большинстве случаев уравнения нельзя решить аналитически по целому ряду причин: сложность геометрических форм электротехнических устройств, в том числе наиболее сложных из них – электромеханических преобразователей энергии, и их элементов: магнитопроводов, часто собранных из пластин, обмоток, имеющих лобовые части, и других; невозможность аналитически описать свойства проводниковых, полупроводниковых и магнитных материалов, их зависимости от тепловых, механических и иных воздействий и т. п. С другой стороны, для конкретных устройств можно пренебречь некоторыми эффектами и тогда система уравнений принимает более простые формы.

Для улучшения понимания излагаемого материала в курсе лекций рассматриваются наиболее простые и вместе с тем типичные для элементов электротехнических устройств, в первую очередь электромеханических преобразователей энергии, поля. Приводимые примеры относятся к элементарным фрагментам полей магнитных систем электротехнических устройств, которые на практике являются весьма сложными, и уравнения, описывающие их, будут существенно сложнее, однако структура уравнений, принципы их составления и методы решения будут аналогичными.


^ 3.2 Методы анализа электромагнитных полей в ЭМУС


Методы анализа электромагнитных полей подразделяются на экспериментальные, графические и математические [2].

Основные экспериментальные методы исследования полей следующие:

методы непосредственного измерения потенциалов и значений напряжённости поля;

методы построения картины поля (см. § 2.7 [2]) в области реальных полей посредством металлических стрелок, штырей и других видов зондов;

методы моделирования одних полей другими с помощью электролитических (электрических) ванн, заполненных жид­кими электролитами, и проводящих резиновых листов.

Экспериментальные методы позволяют получить реальное распределение поля, которое необходимо не только для физического моделирования и натурного макетирования ЭМУС и их элементов, но и для объективной оценки точности математического моделирования поля в ЭМУС, а, следовательно, и точности поверочных расчётов ЭМУС.

В курсе рассматриваются базовые экспериментальные методы: метод моделирования с помощью электрических сеток и методы моделирования с помощью электролитических (электрических) ванн и прово­дящих листов.

Графические методы могут применяться, в первую очередь, для построения картины потенциальных плоскопараллельных и плоскомеридианных полей с осевой симметрией и применяются тогда, когда математические методы не могут быть использованы. Графические методы сравнительно несложные в применении, но отличаются большой трудоёмкостью. Две их основные группы составляют методы, базирующиеся:

на свойствах линий равного потенциала и силовых линий;

на решении уравнений Лапласа в конечных разностях.

В курсе рассматриваются два наиболее часто применяемых графических метода: метод построения картины плоскопараллельного поля и метод ожидаемых путей.

Математические методы анализа электромагнитных полей, в свою очередь, подразделяются на аналитические и численные.

К основным аналитическим методам относятся:

метод конформных преобразований;

метод изображений;

метод разделения переменных и др. [3].

При проектировании электромеханических устройств и систем (ЭМУС), в первую очередь электромеханических преобразователей энергии, аналитические методы использовать весьма трудно, а во многих случаях невозможно из-за постоянно увеличивающейся геометрической сложности объектов проектирования, нелинейности характеристик активных материалов, используемых в них, и ряда других факторов.

Поэтому при проектировании ЭМУС в основном применяются численные методы анализа электромагнитных полей, в которых важнейшее значение имеет дискретизация, то есть воспроизведение области, в которой рассчитывается электромагнитное поле, в виде набора элементарных частей – элементов. Основные численные методы исследования полей следующие:

метод конечных элементов;

метод интегральных уравнений (вторичных источников);

метод сеток;

метод конечных разностей;

методы интегрирования и др. [2, 3].

В курсе рассматриваются три основных численных метода, применяемых для расчёта электромагнитных полей в ЭМУС, в первую очередь в электромеханических преобразователях энергии: конечных элементов, интегральных уравнений (вторичных источников) и сеток.

С помощью численных методов уравнения полей в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, решение которых даёт аппроксимацию поля в дискретных точках на плоскости и в пространстве. Метод конечных элементов в своей вариационной или проекционной формулировке исходит из соответствующей физической задачи, в методе конечных разностей применяется дискретизация уравнений поля в частных производных, а методы интегрирования используют теорему Грина для удовлетворения условий на границе [3].

Таким образом, численные методы расчёта электрических и магнитных полей приводят к системе алгебраических уравнений, порядок которой обычно совпадает с общим числом неизвестных, а оно, в свою очередь, может быть достаточно велико (сотни, тысячи). Для реализации численных методов осуществляется программирование решения задачи на ЭВМ. В процессе программирования сначала формируется схема вычислительной процедуры выбранного метода, в которую затем вводятся изменения, необходимые для конкретной задачи. После этого составляется программа на одном из алгоритмических языков и отлаживается на ЭВМ. Численные методы являются приближёнными, поэтому основным их недостатком является трудность оценки ошибок. Ошибки может вызывать как сам метод, так и применение ЭВМ: ошибки округления, случайный сбой и др. Как правило, алгоритмы и программы проверяются известными точными методами или сравнением результатов расчётов и экспериментов.


^ 3.3 Графические методы анализа электромагнитных полей

в ЭМУС


Метод построения картины плоскопараллельного поля.

Этот графический метод позволяет определить среднее значение напряжённости поля в пределах клетки, ёмкость и проводимость, как электрическую, так и магнитную, между электродами. Для плоскомеридианного поля средние размеры клеток различны.

Рассматриваемый метод состоит в построении линий напряжённости v = const и эквипотенциальных линий u = const, то есть в построении в области плоскопараллельного поля между проводниками сетки по эквипотенциалям и перпендикулярным им линиям вектора поля, с последующим вычислением напряжённости в точках поля и ёмкости между электродами. Построение проводится так, чтобы силовые линии – линии напряжённости поля – были перпендикулярны эквипотенциалям и поверхностям проводников. При этом приращение потенциала напряжённости от одной эквипотенциали к другой должно быть постоянным:  u = const ;  v = const . Приращения выбираются такими, чтобы расстояния между эквипотенциалями  n и линиями вектора поля  S в каждой ячейке сетки были равны. В этом случае отношение  n /  S = 1 , то есть ячейки являются почти квадратными, но в разных областях поля имеют различный размер. Так для каждой ячейки обеспечивается примерно одинаковое отношение средних линий ячейки вдоль силовой линии и эквипотенциали. Выполнение этих условий возможно после нескольких построений.

Построение картины поля (рис. 3.4) начинается с участков, в пределах которых поле можно считать однородным. В этой области пространство между электродами делится на k равных частей. Первая эквипотенциальная линия, проводимая около электрода, по форме близка к форме электрода – поверхности электродов – эквипотенциали с потенциалами  1 и  2 . Нормально к этим потенциалям проводятся две линии вектора поля так, чтобы ячейки сетки были приблизительно квадратными. После этого строится следующая эквипотенциаль и т. д. Построение квадратной сетки можно осуществить только с нескольких попыток. Выражение для напряжённости поля E = – grad  заменяется приближённым выражением


.















Рис. 3.4 Электрическая схема замещения элементарного объёма среды





^ Рис. 3.5 Построение картины поля между заряженными телами вращения

с общей осью вращения


С учётом того, что  u = (  1 –  2 ) / k , рассчитывается среднее значение напряжённости поля в пределах соответствующей клетки:


E с р = (  1 –  2 ) / ( k  n ) .





В областях поля, в которых эквипотенциали расположены гуще, напряжённость поля больше. Ёмкость на единицу длины


,




где М - число линий напряжённости v = const .

Построение картины поля между заряженными телами вращения с общей осью вращения (рис. 3.5) проводится в одной из меридианных плоскостей. При вращении картины поля вокруг оси заряженных тел каждая линия напряжённости поля опишет поверхность вращения. Эти поверхности строятся таким образом, чтобы поток между двумя соседними поверхностями был постоянным:   E = const . В этом случае средние размеры ячеек будут различны. Среднее значение напряжённости электрического поля в ячейке


,




где  ^ S – среднее расстояние между соседними поверхностями в пределах ячейки, отсчитываемое в меридианной плоскости по направлению к эквипотенциали; 2  R  S – площадь поперечного сечения канала, проводящего поток; R – расстояние от центра отрезка  S до оси вращения.

Из выражения для E с р следует, что  n /  S = 2  R  U /   .

Метод ожидаемых путей – приближённый графический метод и не имеет критериев оценки точности и достоверности. В соответствии с ним поле разбивается на элементарные объёмные фигуры: кольца, усечённые конусы, призмы и др. Общая ёмкость, проводимость определяются как совокупность ёмкостей, проводимостей каждого элементарного объёма.


^ 3.4 Экспериментальные методы анализа электромагнитных полей

в ЭМУС


Метод моделирования с помощью электрических сеток.

В соответствии с этим методом моделирования строится электрическая модель поля из большого числа элементов эквивалентной электри­ческой цепи. Каждый элементарный объём поля приближённо заменяется резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности. С помощью конденсаторов и катушек индуктивности учитываются токи смещения и ЭДС, индуцируемые переменным магнитным током. Метод может быть применён и для модели­рования переменных электромагнитных полей и предполагает численное решение полевой задачи на ЭВМ.

Распределение потенциала в поле проводящей среды находится путём моделирования этого поля с помощью электрических схем. Моделируемая сплошная электропроводящая среда с электрической проводимостью  делится на элементарные объёмы, например кубы, каждый из которых представляется электрической схемой замещения. При моделировании постоянного (потенциального) поля схема замещения состоит из резисторов, которые располагаются по трём взаимно перпендикулярным координатным осям прямоугольной системы координат с началом в центре куба (рис. 3.6).

В центре куба резисторы соединяются в один узел O , а свободные концы 1–6 резисторов выводятся на грани куба и соединяются с резисторами соседних кубов. Сопротивления резисторов вычисляются по выбранному шагу сетки в направлении координатных осей  x ,  y и  z :




(3.19)


При  x =  y =  z = a все сопротивления равны R = 1 / ( 4  a ).







^ Рис. 3.6 Электрическая схема замещения элементарного объёма среды


Сопротивления резисторов на поверхности электрической сетки в два раза больше сопротивлений резисторов внутри сетки: R x =  x / / ( 2   y  z ) = 1 / ( 2  a ) , а сопротивление на ребре куба сетки на границе поля вдоль линий тока в четыре раза больше: R x = ( 1 /  )  x / / (  y  z ) = 1 / (  a ) . Источники исходного поля моделируются источниками тока I 0 ( напряжения U ) путём присоединения их к общему узлу O или к внешним точкам сетки. При этом


I 0 = 4 J ( x , y , z )  x ,  y ,  z ,

(3.20)


где J ( x , y , z ) – заданное распределение плотности тока источников. При  x =  y =  z = a ток I 0 = 4 J ( x , y , z ) a 3 . В этом случае для каждой ячейки справедливо уравнение


 1 +  2 +  3 +  5 +  6 – 6  0 = ( J /  ) a 2 ,

(3.21)


которое моделирует конечноразностное уравнение Пуассона.

Распределение потенциалов в электрической сетке описывается уравнением с точностью до частных производных четвёртого порядка от  в проводящей среде, умноженных на a 2 / 4 !


^ Метод моделирования с помощью электролитических (электрических) ванн.

Этот метод моделирования применяется для экспериментального исследования двумерных и трёхмерных равномерных и неравно­мерных полей (потенциальных полей), описываемых уравнением Лапласа.

Экспериментальное моделирование одного потенциального поля другим основано на аналогии уравнений и подобии картин электростатиче­ского, электрического и магнитного полей. Электростатическое поле и магнитное поле постоянного магнитного потока заменяются электрическим полем тока низкой частоты с целью исключения явления поля­ризации, а также более лёгкого вос­произведения поля.

При моделировании полей необхо­димо соблюдать геометрическую конфи­гурацию и заданное расположение электродов (полюсов), а также гранич­ные условия. Двумерные поля иссле­дуются с помощью металлических листов или листов из проводящей бумаги. Трёхмерные поля моделируются с по­мощью наклонных ванн, заполненных слабо проводящей жидкостью. Во всех случаях эквипотенциальные линии ис­следуются с помощью зонда.

В ванну, заполненную электролитом, например, слабо подсоленной водой, погружаются металлические электроды. Форма ванны и электродов, взаимное рас­положение электродов должны соответствовать гранич­ным условиям моделируемого поля. К электродам под­водится небольшое переменное напряжение частотой в несколько Герц. Это позволяет уменьшить явление электролитической поляризации и нагрев электролита, снизить искажения поля. Искажающее влияние стенок и дна ванны уменьшается за счёт выполнения ванны из полупроводящих материалов. Кроме того, размеры ванны должны быть значительно больше расстояния между электродами и их линейных размеров.

Измерение потенциалов точек поля осуществляется с помощью зонда (штыря). При моделировании плоско­параллельных полей электроды погружаются на всю глу­бину электролита. В плоскомеридианном поле электроды, представ­ляющие собой тела вращения, погружаются в электро­лит на такую глубину, чтобы ось симметрии поля на­ходилась на поверхности электролита. При исследовании трёхмерного поля электроды по­гружаются в электролит полностью, а эквипотенциальные линии снимаются в нескольких параллельных плоскостях.

Неравномерные поля моделируются в ванне со сту­пенчатым дном, которое обеспечивает получение слоёв элект­ролита разной толщины. Эквипотенциальные линии снимаются так, чтобы по всему полю приращение потен­циала между потенциалями Δ  было одинаковым. По снятым эквипотенциалям строятся силовые линии. В ре­зультате получается полная картина моделируемого поля.

Линии вектора поля должны быть перпендикулярны линиям равного потенциала. Ячейки, образованные эквипотенциалями и линиями вектора поля, должны по возможности иметь форму криволинейных квадратов (квадраты на разных участках поля неодинаковы). Если между эквипотенциалями имеется n интервалов, то приращение потенциала Δ  = = U / n, а напряжённость поля в квадрате при расстоянии между эквипотенциалями a = E = Δ / a = U / (n a) . Ёмкость между электродами C = ε am / n ( m – число интервалов между силовыми линиями). На основании аналогии между по­лями (см. § 2.9 [2]) осуществляется переход к моделируемому полю ( C = ε am / n , G = γ m / n , Gм = μ am / n ) .

Метод, в частности, позволяет прямо измерить сопротивление между электродами модели ^ R , а по его значению рассчитать для соответствующих полей ёмкость между электродами C и магнитную проводимость G м :


;

(3.22)


где l / l  – отношение линейных размеров оригинала и модели;  – удельная проводимость электролита;  а ,  а – диэлектрическая и магнитная проницаемости сред моделируемых полей.


^ Метод моделирования с помощью прово­дящих листов.

Метод применяется только для моделирования плоскопараллельных полей, описываемых уравнением Лапласа, – потенциальных полей. Его суть состоит в следующем. На проводящем листе располагаются электроды, удельная электрическая проводимость которых должна быть значительно больше удельной электрической проводимости листа. В качестве материала проводящего листа целесообразно использовать проводящую бумагу. Материал электродов – металл, их форма, размеры и расположение на листе должны быть подобны форме, размерам и расположению электродов моделируемого устройства. С помощью зонда снимаются эквипотенциальные линии, затем строятся линии вектора поля, подобно тому, как это делается при использовании метода моделирования с помощью электролитической ванны.


^ 3.5 Математические методы моделирования

электромагнитных полей. Общая характеристика


Экспериментальные методы моделирования электромагнитных полей достоверны, наглядны, но требуют сложного физического моделирования конкретных полей и натурного макетирования конкретных ЭМУС и их элементов, значительных материальных и трудовых затрат. Поэтому всё большее распространение получают математические методы расчёта электромагнитных полей, которые практически невозможны без применения современных компьютеров. Расчёты электромагнитных полей с помощью компьютерной техники состоят из следующих основных этапов:

ввод в компьютерную программу структуры магнитной системы рассчитываемого устройства, то есть структуры всей области, в которой нельзя пренебречь электромагнитным полем, создаваемым устройством;

выбор метода расчёта электромагнитного поля;

разбиение магнитной системы на элементарные участки – элементы в соответствии с выбранным методом;

выполнение расчётов.

Ввод в компьютерную программу структуры магнитной системы рассчитываемого устройства состоит в задании геометрической формы и размеров всех элементов магнитной системы, а также свойств и характеристик материалов, из которых эти элементы изготовлены. Должно быть обеспечено по возможности наиболее точное воспроизведение магнитной системы в модели. Ряд программ расчёта электромагнитных полей, например Quick Field, Elcut, Ansys, могут использовать чертежи устройства в электронном виде, выполненные с помощью систем автоматизированного конструирования, например AutoCAD.

На рис. 3.7 показан пример поэтапного приближённого воспроизведения простейшей магнитной цепи в компьютерной программе, предназначенной для анализа вихревых токов в трёхмерной проводящей среде, на рис. 3.8 – пример приближённого воспроизведения в указанной программе магнитной системы электродвигателя с электромагнитным возбуждением [3].

На рис. 3.9 приведён пример задания магнитной системы контактора интегральным методом для компьютерных программных средств, использующих методы интегральных уравнений на границе сред для моделирования линейных или сводимых к линейным задач электростатики и магнитостатики с применением трёхмерных магнитодинамических моделей. В указанных моделях анализ сильных пульсаций внешних источников и внешнего распределения индуцированных токов сводится к анализу решения уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями Неймана [3].











^ Рис. 3.7 Построение простейшей магнитной цепи с помощью программных средств









Рис. 3.8 Пример задания магнитной системы электродвигателя

с электромагнитным возбуждением



Рис. 3.9 Пример задания магнитной системы контактора интегральным методом


Математические модели представляют собой совокупность математических объектов: чисел, символов, множеств, уравнений и т. д. и связей между ними, описывающих физические, химические и другие процессы, происходящие в проектируемом объекте. При построении моделей-аналогов используется свойство изоморфизма, то есть одинаковости математического описания процессов различной физической природы. Например, взаимосвязи напряжения, индуктивности и скорости изменения тока во времени для электрической цепи; теплового потока, теплоёмкости и скорости изменения температуры во времени для тепловой системы; приложенной силы, массы тела и его ускорения для механической системы описываются одинаковыми математическими соотношениями. Используя свойство изоморфизма, можно с помощью одних объектов, в первую очередь электрических цепей, исследовать процессы в объектах другой физической природы: тепловых, механических, гидравлических и пр.

Для решения практических задач исследования и разработки многих ЭТУ и ЭМУС достаточно проводить их моделирование как систем с сосредоточенными параметрами. Поэтому целесообразно более подробно рассмотреть особенности построения математических моделей на макроуровне. Математические модели систем формируются с использованием математических моделей их элементов. Уравнения моделей элементов называются компонентными. Взаимосвязи элементов в системе задаются с помощью топологических уравнений.

Моделируемую техническую систему удобно представлять в виде совокупности физически однородных подсистем: электрических, тепловых, механических, гидравлических и др. Как правило, для описания состояния каждой такой подсистемы достаточно использовать фазовые переменные типов потенциала и потока. При этом компонентные уравнения связывают разнородные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу, а топологические уравнения – однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы. В физически однородных подсистемах различаются элементы ёмкостного, индуктивного и резистивного типов, которым соответствуют следующие простейшие математические модели:








где C , L , R – параметры элементов.

Элементы подсистем в зависимости от числа однотипных фазовых переменных, входящих в модели элементов, разделяются на двухполюсники, характеризующиеся парой переменных типов u и i , взаимосвязь между которыми может быть как линейной, так и нелинейной, и многополюсники, представляющие собой объединение взаимосвязанных двухполюсников.

Наименования фазовых переменных и параметров простых элементов для различных физически однородных подсистем, характеризующие аналогию между ними, приведены в табл. 3.3.


Т а б л и ц а 3.3

Соотношения аналогии фазовых переменных и параметров элементов


Подсистема

Фазовые переменные

Параметры элементов

типа

потенциала u

типа

потока i
C L R
Электрическая

Электрическое

напряжение

Электрический

ток

Электрическая

ёмкость

Электрическая

индуктивность

Электрическое

сопротивление

Магнитная

Магнито-движущая сила

Магнитный

поток





Магнитное

сопротивление

Тепловая

Температура

Тепловой

поток

Теплоёмкость



Тепловое

сопротивление

Механическая

поступа-тельная

Скорость

Сила

Масса

Гибкость

Механическое

сопротивление

Механическая

вращательная

Угловая

скорость

Вращающий

момент

Момент

инерции

Вращательная

гибкость

Вращательное

сопротивление

Гидрав-лическая

Давление

Расход

Гидравлическая

ёмкость

Гидравлическая

индуктивность

Гидравлическое

сопротивление

Пневма-тическая

Давление

Расход

Пневма-тическая

ёмкость

Пневма-тическая

индуктивность

Пневма-тическое

сопротивление


Наглядным способом графического отображения моделей систем с сосредоточенными параметрами является их представление в виде эквивалентных схем. Для электрических, магнитных, электронных, тепловых, механических, гидравлических и пневматических подсистем при известных связях функциональных элементов построение эквивалентной схемы состоит в замене этих элементов соответствующими двух- или многополюсниками и добавлении ветвей, учитывающих неидеальность элементов.


^ 3.6 Характеристика основных математических методов

моделирования электромагнитных полей


Метод интегральных уравнений (метод вторичных источников).

Метод позволяет исследовать электрические и магнитные поля в неоднородной среде путём сведения расчётной задачи к расчёту поля в однородной среде. Влияние на поле неоднородностей (диэлек­трических, проводящих и магнитных тел) учитывается введением в поле (в эквивалентную однородную среду) вместо неод­нородностей добавочных (вторичных) источников. В качестве вторичных источников рассматриваются связанные заряды (заряды поляризации), токи намагниченности, наведённые вихревые токи и др. Эти источники вводятся распре­делёнными на границах (по бывшим поверхностям) или в объёме (по объёмам) неодно­родностей и, таким образом, учитывают влияние неоднородностей на характер поля.

Вид вторичных источников и интегральных уравнений, описывающих распределение их плотностей при аналитическом расчёте, предложены Г. А. Гринбергом [5]. В этой работе вводятся расчётные заряды (токи) σ˝, ρ˝, (η˝), равные сумме заданных σ, ρ, (η) и связанных зарядов, т. е. σ˝ = σ + σ', ρ˝ = ρ + ρ', (η˝ = η + η'). Последующее обобщение метода интегральных уравнений проведено в [6]. Получены интегральные уравнения для численных расчётов как статических, так и квазистационарных (от вихревых токов) полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. При этом вместо заданных зарядов и токов рассматриваются плотности фиктивных зарядов и токов (в том числе и фиктивных магнитных зарядов).

При расчёте поля методом интегральных уравнений сначала определяется распределение вторичных источников на границе неоднородных сред, а затем находятся искомые векторы и скаляры поля. Наличие нескольких различных областей в рассматриваемом пространстве (когда область многосвязная) приводит к системе инте­гральных уравнений. Таким образом, первоначально определяются интегральные уравнения, которые должны соответствовать распределению вторичных источников, а затем по уравнениям поля с учётом заданных и вторичных источников решается задача анализа поля. При скачкообразных или непре­рывных изменениях параметров ε r, μ r, γ и т. д. инте­гральные уравнения представляют собой систему двух интегральных уравнений относительно функций σ и ρ. В уравнение относительно σ входят коэффициенты , и т. д. Интегральные уравнения, описывающие распределения вторичных источников, решаются с помощью ЭВМ.

^ Метод зеркальных изображений аналогичен методу интегральных уравнений, только при его применении дополнительные источники вводятся внутрь каждой из неоднородных сред, тогда как в рассмотренном методе дополнительные источники размещаются на границах неоднородных сред.









Рис. 3.10 Графическое пояснение связи потенциалов рас­сматриваемой точки и соседних точек ^ Рис. 3.11 Графическое пояснение для случая полярной сетки

Уравнения связи решаются численным подбором (см. § 9.1 [2]). Для этого на область исследуемого поля между граничными поверхностями наносится квадратная или полярная координатная сетка, для узлов которой рассчитываются значения потенциалов с подстановкой для каждого узла  k значений потен­циалов соседних узлов  a ,  b ,  c и  d . Уравнения (3.23), (3.24) справедливы и для прямоугольной сетки с квадратичными ячейками равного размера и для полярной сетки (рис. 3.11), если радиусы узлов ячеек выбраны в геометрической прогрессии со знаменателем β = 1 + + α ( 1 + α / 2 ). Погрешность при за­мене уравнений Пуассона и Лапласа уравнениями (3.23), (3.24) уменьшается с уменьшением шага сетки.

Для расчёта значений потенциалов для узлов сетки на сетку наносится предполагаемая картина поля с заданием значений потенциалов в узлах и по уравнению связи, полученному из уравнения Лапласа, находятся потенциалы узлов сетки. При первом подсчёте предполагаемые и рассчитанные значения потенциалов могут не совпадать, образуя остаток. Поэтому снова задаются потенциалы в узлах и опять вычисляются их значения. Расчёты проводятся до тех пор, пока значения потенциалов не совпадут или остаток во всех узлах не будет превышать некоторого, заранее за­данного значения, например .

Метод предполагает использова­ние ЭВМ. Он применим в случае граничных поверхностей произвольной формы для дву­мерных, трёхмерных с осевой симметрией и других, более сложных, полей. Метод позволяет найти распределение скалярного потенциала электрических и магнитных полей, а также распределение векторного потенциала магнитного поля. Распределение потенциала методом сеток находится следующим образом.

1) В области поля между граничными поверхностями наносится сетка в соответствующей системе координат и буквами обозначаются её узлы.

2) На сетке приближённо проводятся эквипотенциальные и силовые линии (см. § 13.1 [2]), а затем, с ориентацией на картину поля, задаются значения потенциалов каждого узла сетки.

3) При последовательном задании зна­чений потенциалов для каждого узла составляются уравнения связи (3.23) или, если ρ = 0, уравнения (3.24). При первоначально принятых значениях потенциалов узлов уравнение связи не равно нулю, а равно некоторому числу – остатку, который фиксируется, например, записывается около соответствующего узла.

4) Изменяются потенциалы узлов так, чтобы остаток в уравнениях связи для всех узлов не превышал некоторого, заранее за­данного значения . Для этого самый большой остаток можно уменьшить, например, на 1/4 и, снова задаваясь значениями по­тенциалов узлов, вычислить все остатки. Расчёт повторяется до тех пор, пока остатки не станут равными или меньшими .

Поскольку для расчётов применяется ЭВМ, то система уравнений для узлов записывается в матричной форме.

^ Метод конечных разностей позволяет получать удовлетворительные решения для многочисленных задач, в частности широко используется при рассмотрении тепловых явлений, но при его применении важное место отводится составлению алгоритма и проведению пробного эксперимента. Интегральные методы недостаточно освоены для задач электротехники, их практическое применение всегда очень сложное и относится к прерогативе специалистов по прикладной и вычислительной математике.

Поэтому для решения большинства задач в электротехнике, а также теплотехнике, механике деформируемого тела и других областях науки и техники, требующих решения задач в частных производных, используется метод конечных элементов. Это обусловлено тем, что, кроме того, что он исходит из соответствующей физической задачи, этот метод обладает большой гибкостью и подходит для описания устройств со сложной геометрией. В связи с этим, а также с ограниченностью объёма курса, в курсе детально рассматривается только метод конечных элементов.


^ 3.7 Метод конечных элементов. Неавтоматизированная

и автоматизированная дискретизация магнитной системы


Метод конечных элементов основывается на исследовании глобальной функции, представляющей рассматриваемое явление, например, электромагнитное поле, тепловое поле, деформацию тела, во всех точках анализируемой области. Эта область должна быть предварительно разбита на конечное число смежных подобластей, называемых конечными элементами. Совокупность элементов, которые воспроизводят область, называется ансамблем или геометрической дискретизацией, или просто дискретизацией. Элементы имеют общие узловые точки, в совокупности они опи­сывают форму области. Внутри каждого элемента иско­мая функция аппроксимируется, чаще всего полиномом. Число коэффициентов аппроксимирующего полинома соответствует числу узлов рассматриваемого элемента. Полиномы должны быть такими, чтобы сохранилась непрерывность искомой величины вдоль границ элемента. Коэффициенты полинома выражаются через неиз­вестные значения искомой функции в узлах элемента и в аппроксимирующие полиномы элемента вместо коэф­фициентов вводятся (подставляются) полученные с