Реферат: Некорректные задачи

Некорректные задачи

Направление подготовки

010100 Математика (бакалавриат)

Профиль «Вычислительная математика и информатика»


Некорректно поставленные задачи – очень важный раздел новейшей вычислительной математики. Они возникают в качестве математической модели широкого круга, так называемых обратных задач. В различных разделах естествознания. Цель спецкурса – познакомить студентов с фундаментом теории и современными методами решения нелинейных некорректных задач. Основная задача спецкурса – ввести студентов в проблему очень важного раздела современной вычислительной математики и функционального анализа с тем, чтобы они могли изучить основные классы нелинейных некорректных задач и освоить подходы к построению эффективных алгоритмов их решения. Содержание курса:

Примеры неустойчивых задач. Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), численное дифференцирование и задачи восстановления функций, экстремальные задачи для выпуклого функционала, линейные интегральные уравнения типа свертки, Вольтерра и Фредгольма I--го рода, неклассические задачи математической физики, задачи томографии, обратные задачи для дифференциальных уравнений.

Понятие некорректно поставленной задачи. Две основные постановки: решение уравнения и задача вычисления значений неограниченного оператора. Корректность по Адамару, Тихонову и Фикера. Множества корректности. Лемма Хаусдорфа и её обобщения в линейном случае.

Понятие плохо и хорошо обусловленных задач (на примере задачи решения СЛАУ)

Мера обусловленности СЛАУ. Анализ погрешности вычислений. Число обусловленности: свойства и способы вычисления (оценки). Обусловленность СЛАУ и устойчивость обратных матриц. Матрица Гильберта и другие примеры.

Обобщенные решения (на примере задачи решения СЛАУ) Обобщение понятия решения. Псевдорешение. Анализ метода наименьших квадратов. Регулярный метод нахождения псевдорешения. Метод регуляризации Тихонова.

Методы регуляризации (на основе итерационных алгоритмов и сингулярного разложения) Двойственные вариационные методы и итерационные процессы для решения

плохо обусловленных СЛАУ. Метод сингулярного разложения и его регуляризация. Итерационное уточнение решения и числа обусловленности. Тактика решения плохо обусловленных СЛАУ и анализ программных средств.

Понятие оптимального метода регуляризации Задача об оптимальном регуляризаторе при вычислении значений неограниченного оператора. Оценка погрешности.

Задача численного дифференцирования

Регулярные алгоритмы для задачи численного дифференцирования: конечно--разностные схемы в ,C(-, ) метод средних функций. Интерполяционные и сглаживающие сплайны. Абстрактные сплайны. Сравнительный анализ эффективности различных методов численного дифференцирования.

Задачи на экстремум

Постановка задачи на экстремум функционала. Корректность по Адамару и Тихонову и их взаимосвязь. Достаточные условия корректности по Тихонову. Регуляризация с точными и приближёнными данными.

Регуляризация выпуклых проблем

Метод штрафных функций и регуляризация задачи выпуклого

программирования в общем случае.

Дискретная сходимость алгоритмов. Аппарат дискретной аппроксимации и дискретной сходимости. Достаточные условия сходимости дискретных аппроксимаций в задачах оптимизации.

Конечномерная аппроксимация РА. Приложение к вариационному исчислению: обоснование методов Ритца и Эйлера, конечно--разностного метода.

Уравнения I--го рода. Условия корректности операторных уравнений I--го рода. Уравнения, порождаемые интегральными операторами Фредгольма и Вольтерра и анализ их корректности. Уравнения с априорной информацией.

Регуляризация уравнений I--го рода. Тихоновская регуляризация некорректных задач. Методы регуляризации уравнений типа свертки. Итеративная регуляризация. Правила останова итераций. -процессы и их регуляризованные аналоги. Нелинейные итерационные процессы для решения задач с априорной информацией.

Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Конечномерная аппроксимация. Критерий сходимости. Приложения общей схемы: квадратурный метод, метод коллокации, проекционные методы. Теоремы сходимости. Методы саморегуляризации для уравнений Вольтерра.

Практические рекомендации. Сравнительный анализ эффективности регулярных численных методов решения интегральных уравнений 1 рода.