Реферат: Расчет параметров автоколебательных процессов в нелинейных системах автоматического управления и регулирования. Введение. Постановка задачи

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ . 1 . Введение . Постановка задачи . Широкое применение метода гармонической линеаризации в инженерных исследованиях и расчетах нелинейных систем автоматического управления и регулирования вызвано тем, что этот метод позволяет в простейшем виде учитывать главные специфические свойства процессов в нелинейных системах в зависимости от структуры системы и от ее параметров. Основное достоинство метода состоит в том, что он без рассмотрения переходного процесса позволяет непосредственно определить главные характеристики процессов в системе: амплитуду и частоту колебаний; их зависимость от вида характеристики нелинейного звена системы и параметров ее линейной части; границы областей устойчивости и областей возникновения автоколебаний в системе и т. д. Наряду с этим важное преимущество метода гармонической линеаризации заключается в возможности его применения к системам высокого порядка с любой сложностью линейных частей системы и с самыми разнообразными комбинациямимест включения нелинейных звеньев. В более или менее простых нелинейных системах метод гармонической линеаризации позволяет решить задачу полностью аналитически или с применением гра фо аналитических построений . В основу метода гармонической линеаризации исследования периодических процессов в нелинейных автоматических системах положено гармоническое представление сигналов системы. Далее будем рассматривать системы автоматического управления с одним нелинейным звеном. Кроме этого полагаем, что линейная часть системы имеет передаточную функцию и к системе не приложены внешние воздействия.Тогда структурную схему системы можно представить в виде, представленном на рисунке 1. Задачу исследования периодических процессов в нелинейной системе автоматического управления сформулируем следующим образом. Пусть передаточная функция линейной части системы имеет вид , где и полиномы относительно комплексной переменной с постоянными коэффициентами, причем степень полинома больше степени полинома. Пусть далее нелинейное звено системы имеет характеристику . Требуется определить амплитуду и частоту периодического процесса в системе автоматического управления и определить его устойчивость, т. е. определить является ли этот периодический процесс автоколебанием . 2 . Алгоритм определения параметров автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления . Для того чтобы определить наличие в системе автоматического управления автоколебательного процесса с амплитудой и частотой полагаем, что:1) в системе возник периодический процесс с амплитудой и частотой;линейная часть системы обладает свойством фильтра . Здесь следует сделать следующее замечание . Значения амплитуды и частоты периодического процесса пока неизвестны и подлежат определению. Для определения амплитуды и частоты автоколебаний в системе автоматического управления следует выполнить следующую последовательность действий: < 1 >. Вычислить коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена по формулам , (1) . < 2 >. В исследуемой системе заменить нелинейное звено гармонически линеаризованным звеном с передаточной функцией . (2) В результате чего структурная схема системы принимает вид, показанной на рисунке 2 . < 3 > . Составить уравнение замкнутой гармонически линеаризованной системы . (3) < 4 >. Используя уравнение (3) с помощью алгебраического или частотного ме тода, определить амплитуду и частоту периодического процесса в системе. < 5 >. Провести исследование периодического процесса с амплитудой и ча стотой на устойчивость. Устойчивым периодическим процессам в системе соответствуют автоколебания . Замечание 1 . При выполнении пункта 4 часто используются графо аналити ческие способы определения амплитуды и частоты, зна чения которых целесообразно уточнить с помощью численных методов и применения ЭВМ. Замечание 2 . В исследуемой системе могут существовать периодические про цессы с разными амплитудами и частотами. Поэтому необходимо провести исследование всех периодических процессов на ус тойчивость . Замечание 3 . После выполнения пункта 5, если в системе управления могут возникнуть автоколебательные процессы, необходимо провести анализ полученных результатов, а именно: провести моделирование процессов в системе с помощью ЭВМ, проверить выполнение условия фильтра линейной части системы. Рассмотрим каждый из пунктов методики определения параметров периодических процессов в системе управления методом гармонической линеаризации. 3 . Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации . Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации напримере релейной характеристики общего вида (см. рис. 3.а). Если на вход этого нелинейного звена поступает гармонический сигнал , где (см.рис.3.в ), то на его выходе возникает периодический сигнал, период которогоравен. Здесь следует отметить, что все построения на рисунке 3 выполнены, если изменяется от 0 до. Если аргумент меняется от до, то следует выполнить аналогичные построения. Эти построения необходимо проводить пе ред вычислением коэффициентов гармонической линеаризации для того, чтобы ,во первых, знать качественный характер изменения сигнала на выходе нелинейного звена системы управления, если в ней возникли автоколебательные процессы.Во вторых, для определения характерных точек графика сигнала на выходе нелинейного звена. В данном случае это точки и, координаты которых вычисляются по формулам , . ( 4 ) Вычислим коэффициент гармонической линеаризаии. Для этого воспользуемся первой формулой равенств (1) , откуда , с учетом выполненных построений последовательно получаем , , , , , , . (5) Вычислим коэффициент гармонической линеаризации. Для этого воспользуемся второй формулой равенств (1) . откуда, с учетом выполненных построений последовательно получаем , , , , , , . (6) Формулы (5) и (6) дают аналитические зависимости коэффициентов гармонической линеаризации и от амплитуды периодического процесса в системеуправления и параметров заданного нелинейного звена системы. Здесь следует отметить, что формулы (5) и (6) справедливы при . И так , при вычислении коэффициентов гармонической линеаризации нелинейного звена полагают, что на его вход поступает сигнал вида , где обозначено , частота искомого периодического решения.Далее следует поступать следующим образом :построить приближенный график сигнала на выходе нелинейного звена системы управления, с помощью которого определяются координаты характерных точек графика (см. рис 3);по формулам (1) вычислить коэффициенты гармонической линеариза ции .На рис. 4 представлены графики функций и для случая , , . Теперь в исследуемой системе нелинейное звено можно заменить гармонически линеаризованным звеном с передаточной функцией , где коэффициенты гармонической линеаризации и вычисляются по формулам (5) и (6) . 4 . Алгебраический способ определения параметров периодических процессов в нелинейных системах автоматического управления . Пусть теперь структурная схема гармонически линеаризованной системы управвления имеет вид, показанный на рисунке 2, и пусть линейная часть системы с передаточной функцией обладает свойством фильтра. Тогда уравнение гармонически линеаризованной системы запишется в виде , (7)где амплитуда и частота являются постоянными действительными числами,которые подлежат определению. Поэтому уравнение (7) можно рассматривать каклинейное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого характеристическое уравнение будет . (8)Если в системе (7) возможен периодический процесс , то характеристическое уравнение (8) должно иметь пару чисто мнимых корней . Поэтому для того, чтобы найти это решение нужно подставить в него . Получаем . В последнем выражении выделим действительную и мнимую части в виде . Откуда получаем систему двух нелинейных алгебраических уравнений , (9)относительно искомых параметров периодического процесса, а именно его амплитуды и частоты . Решение задачи упрощается, если нелинейное звено имеет однозначную нечетную характеристику. В этом случае и уравнение (8) принимает вид . (10)При подстановке выделим действительные и мнимые части полиномов и в виде , Тогда вместо (9) получаем , . Из этих двух уравнений находим , (11) .7 Полученные соотношения следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых параметров периодических процессов в системе управления. Из второго уравнения системы (11) определяют частоты периодических процессов в системе, а из второго уравнения системы (11) соответствующие им амплитуды. Здесь важно отметить в этом случае частоты периодических процессов определяются только параметрами линейной части системы управления . Пример 1 . Задана передаточная функция линейной части системы автоматичес кого управления . Нелинейное звено имеет характеристику, показанную на рисунке 3. Определить амплитуду и частоту периодического процесса в систе ме, если , , , , , . Решение. В разделе 3 были получены коэффициенты гармонической линеаризации для заданного нелинейного звена , . Введем обозначения , . Тогда характе ристическое уравнение (8) гармонически линеаризованной системы принимает вид .В полученное уравнение подставим , в результате чего получаем . С учетом этого система уравнений (9) будет , (12) . Частоту периодического процесса в системе найдем из первого уравнения системы (10) . (13)Подставим (13) во второе уравнение системы (12) получаем . (14) Приближенное значение амплитуды периодического процесса в системе можноопределить из (14), если построить графики функций и (см . рис . 5 ) Из рисунка 5 следует, что амплитуда периодического процесса в системе будет равна . Подставив это значение амплитуды в (13), получим значение частоты периодического процесса в системе . 5 . Частотный способ определения параметров периодических процессов в нелинейных системах автоматического управления . Рассмотрим гармонически линеаризованную систему автоматического управления, структурная схема которой представлена на рисунке 2. В соответствии заданной структурной схемой амплитудно фазовая частотная характеристика разомкнутой системы имеет вид . Периодические процессы в гармонически линеаризованной системе (7) возможны, при наличии в характеристическом уравнении (8) замкнутой системы пары чисто мнимых корней . В соответствии с критерием Найквиста это соответствует тому, что график проходит через точку с координатами .Следовательно, периодические процессы в системе управления могут возникнуть,если , или , (15)где . (16) Уравнение (15) определяет искомые амплитуду и частоту периодического процесса системе. Приближенное решение этого уравнения можно найти графически следующим образом:На комплексной плоскости строится амплитудно фазовая частотная характеристика линейной части системы .На комплексной плоскости строится амплитудно фазоваая частотная характеристика гармонически линеаризованного звена системы .Точка пересечения построенных графиков определяет искомые величины амплитуды и частоты периодического процесса в системе. При этом значение амплитуды отсчитывается по кривой , а частоты по кривой . Рисунок 6 иллюстрирует указанные построения. Определить параметры периодических процессов в системе можно с помощьюлогарифмических частотных характеристик. Для этой цели воспользуемся двумя уравнениями , (17) , (18)которые являются следствием равенств (15) и (16) . Параметры периодических процессов в системе управления с помощью логарифмических частотных характеристик можно, если выполнить следующие построения( см. рис . 7 ) : < 1 > . Строится график логарифмической амплитудной частотной характеристи ки линейной части исследуемой системы управления . < 2 > . Строится график логарифмической фазовой частотной характеристики ли нейной части исследуемой системы управления . Замечание 1 . При построении логарифмических частотных характеристик линейной части системы оси ординат и должны находится на одной вертикальной линии ( см. рис . 7 ) . < 3 > . Строится график функции . < 4 > . Строится график функции . Замечание 2 . При построении графиков функций и должны располагаться на одной вертикальной линии, а оси абсцисс соответственно на одной горизонтальной линии с осями частот графиков функций и ( см. рис . 7 ). Замечание 3 . При построении графиков функций и масштаб по оси частот должен быть логарифмический, а при построении графиков функций и масштаб по оси амплитуд натуральный. < 5 >. Выбирается последовательность значений частот , ... , и выполняют ся построения так как показано на рисунке 7. В результате чего на плоскос ти графика функции получаем последовательность точек , ... , , соединив которые получим кривую . < 6 >. Из точки пересечения кривой с графиком функции выполнить построения так, как показано на рисунке 7. В результате таких графических построений находим приближенные значенияамплитуды и частоты периодического процесса в системе. Нахождение параметров периодического процесса в системе значительно упрощается в случае однозначной нечетной характеристики нелинейного звена. В этомслучае и уравнения (17) и (18) принимают вид , (19) . (20)Для этого случая графическое решение задачи определения параметров периодических процессов показано на рисунке 8. Пример 2. Задана система автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 9. Передаточная функция линейной части системы имеет вид . Характеристика нелинейного звена представлена на рисунке 10. Определить параметры периодического процесса в системе, если , , , , , . Решение. Для заданного нелинейного звена коэффициенты гармонической линеаризации равны , . Построим график логарифмической амплитудной частотной характеристики линейной части исследуемой системы управления (см.рис. 11). На рисунке 11 амплитудная частотная характеристика обозна чена через . График логарифмической фазовой частотной характеристикилинейной части исследуемой системы управления представленна рис. 12. На рисунке 12 характеристика обозначена как , кроме этогопунктиром проведена линия . На рисунке 13 для гармонически линеаризованного звена показан график функции . На рисунке обозначено через функция . Далее с помощью графика, представленного на рисунке 12, определяем частоту периодического процесса . Затем из графика (см. рис. 11) находим . И, наконец, из графика рисунка 13 для определяем приближенное значение амплитуды периодического процесса . После того как были определены приближенные значения параметры периодических процессов в системе управления, с использованием методов изложенными выше необходимо уточнить их значение с помощью численных методов с использованием ЭВМ, определить устойчивость периодических процессов и провести математическое моделирование процессов в системе. Позже мы рассмотрим некоторыевозможности использования пакета прикладных программ Mathcad 7.0 PLUS для решения этих задач с помощью ЭВМ. Но прежде рассмотрим методы анализа устойчивости периодических процессов в системах автоматического управления. 6 . Анализ устойчивости периодических процессов в нелинейных системах автоматического управления . После того как были определены амплитуда и частота периодическогопроцесса в системе необходимо определить устойчивость этого периодического процесса. Если периодический процесс устойчив, то это означает, что в системе возникают автоколебания. В основе анализа устойчивости периодических процессов в системе управлениялежит исследование расположения корней характеристического полинома гармонически линеаризованной системы , (21) Периодический процесс в системе имеет место в том случае, если амплитуднофазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы , (22)проходит через точку при и . Дадим амплитуде отклонение . Процессы в системе будут возвращаться к периодическому процессу,если при колебания затухают, а при расходятся. Следовательно,при характеристика должна изменяться та, чтобы при критерий Найквиста выполнялся , а при нет ( см. рис . 14 ). Итак требуется, чтобы на данной частоте было при ,или . Отсюда следует, что на рис. 6 положительный отсчет амплитуды вдоль кривой должен быть направлен изнутри вовне через кривую , как тами показано стрелкой. В противном случае исследуемый периодический процесс будет неустойчивым. Аналитические зависимости для анализа устойчивости периодических процессовв нелинейных системах управления можно получить с помощью критерия Михайлова для гармонически линеаризованной системы. Для этой цели в характеристический полином (21) гармонически линеаризованной замкнутой системы подставим . (23)В выражении (23) выделим действительную и мнимую части . (24)Так как мы исследуем периодический процесс в системе управления, то годографМихайлова должен пройти через начало координат плоскости при иизменении частоты от 0 до . Точку 0 кривая Михайлова пересекает при значении частоты (см. рис. 15) . Пусть теперь в (24) . В результате чего изменится конфигурация кривой Михайлова. Если кривая Михайлова займет положение 1 (см. рис. 15), то в системе возникнут затухающие колебательные процессы, если же положение 2,то в исследуемой системе будут иметь место расходящиеся колебательные процес сы. Таким образом, можно сделать следующий вывод. Для устойчивого периодического процесса в нелинейной системе управления требуется, чтобы при критерий устойчивости Михайлова для исследуемой системы выполнялся, а при нет. Условие устойчивости периодических процессов в нелинейной системе управления формулируется следующим образом. В системе возникают устойчивые периодические процессы (автоколебания), если:Выполняется условие . (25) Все остальные корни характеристического полинома (21) гармонически линеа ризованной системы (кроме использованной нами пары чисто мнимых) имели отрицательные вещественные части, т. е. полином (26) удовлетворял критерию Михайлова (Гурвица). Замечание 1 . В неравенстве (25) частные производные вычисляются при значе ниях амплитуды и частоты . Замечание 2 . Условие 2 надо проверять для систем пятого порядка и выше.Для систем третьего и четвертого порядков это условие сводится к требованиюположительности всех коэффициентов характеристического полинома. Пример 3 . Задана система автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 16. Передаточная функция линейной части системы име ет вид . Характеристика нелинейного звена представлена на рисунке 17. Определить параметры периодических процессов в системе и исследовать их наустойчивость. Решение. Пусть в системе возникли периодические процессы, а линейная частьсистемы обладает свойством фильтра. Вычислим коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с характеристикой, представленной на рисунке 17. Для этого выполним построения, аналогичные тому, как это было сделано вразделе 3. Эти построения показаны на рисунке 18. Из рисунка следует, что , . Далее последовательно получаем , , , . (27) Так как нелинейное звено обладает нечетной однозначной характеристикой, то . Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы в этом случае имеет вид , (28)после подстановки в которое получаем систему двух уравнений , (29) . относительно искомых параметров периодических процессов. Из второго уравнения системы (29) находим , (30)а из первого уравнения с учетом (30) получаем . (31) Как следует из рисунка 19 уравнение (31) имеет два решения и . Исследуем оба этих решения на устойчивость. Так как в нашем случае, как следует из равенств (29), действительная и мнимая части характеристического уравнения (28) при подстановке будут равны , , (32)то неравенство (25) принимает вид . (33)Вычислим частные производные, стоящие в левой части неравенства (33). С учетом равенств (32) имеем , (34) . (35) Подставим в (35) выражение (30) . Из выражения (34) и рисунка 19 следует, что при и при . Полученные неравенства показывают, что периодический процесс в исследуемой системе с параметрами является неустойчивым, а с параметрами устойчивым. 7 . Анализ нелинейных систем автоматического управления с помощью программного пакета Mathcad 7.0 PLUS . Расчет амплитуды и частоты автоколебательных процессов в нелинейных системах автоматического управления и регулирования сводится либо к решению одного алгебраического уравнения относительно амплитуды или частоты процесса, либо системы двух уравнений относительно искомых параметров автоколебательныхпроцессов. Для решения одного уравнения с одним неизвестным в программном пакете Mathcad 7.0 PLUS имеется функция root. Аргументами этой функции является выражение и переменная, входящее в выражение. Ищется значение переменной,при котором выражение обращается в нуль. Функция возвращает значение переменной, которое обращает выражение в нуль. root(f(x),x) возвращает значение x, при котором выражение или функция f(x) обращается в нуль. Оба аргумента этой функции должны быть ска лярами. Функция возвращает скаляр. Первый аргумент есть либо функция, определенная где либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения. Второй аргумент имя переменной, которое используется в выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить выражение в нуль.Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня . При использовании функции root следует иметь в виду следующее :Удостоверьтесь, что переменной присвоено начальное значение до начала использования функции root.Для выражения с несколькими корнями, например , начальное зна чение определяет корень, который будет найден Mathcad.Mathcad позволяет находить как комплексные, так и вещественные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве первого прибли жения комплексное число.Задача решения уравнения вида эквивалентна задаче поиска корня уравнения . Для этого функция root может быть использована следующим образом : root(f(x)g(x),x) . Mathcad в функции root использует для поиска корня метод секущих. Начальноезначение, присвоенное переменной , становится первым приближением к искомому корню. Когда значение выражения при очередном приближении становится меньшим чем встроенная переменная TOL, корень считается найденным, и функция root возвращает результат. Если после многих итераций Mathcad не может найти подходящего приближения, то появляется сообщение об ошибке «отсутствует сходимость». Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами :Уравнение не имеет корней.Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.Выражение имеет локальные минимумы или максимумы между начальным приближением и корнями уравнения.Выражение имеет разрывы между начальным приближением и корнями уравнения.Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным (или наоборот). Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график функции . Он может выяснить наличие корней уравнения и, если они есть, то разделитьприблизительно эти значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня,тем быстрее функция root будет сходится к точному решению. Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальноечисло уравнений и неизвестных равно пятидесяти. Для решения системы уравнений нужно выполнить следующее :Задайте начальные значения для всех неизвестных, входящих в систему урав нений. Mathcad решает систему уравнений итерационным методом. На осно ве начального приближения строится последовательность, сходящаяся к иско мому решению.Напечатайте ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следу ет система уравнений. При печати слова Given можно использовать любой шрифт, прописные и строчные буквы. Убедитесь, что при этом Вы не нахо дитесь в текстовой области или параграфе.Введите уравнения и неравенства в любом порядке ниже ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что между правыми и левыми частями уравнений сто ит символ = . Используйте {Ctrl} {=} для печати символа = . Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов < , > , , .Введите любое выражение, которое включает функцию Find. При печати сло ва Find можно использовать шрифт любого размера, произвольный стиль, про писные и строчные буквы. Find(z1,z2,z3,...) возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Функция Find возвращает найденное решение следующим образом :Если функция Find имеет один аргумент, то она возвращает решение уравне ния, расположенного между ключевым словом Given и функцией Find.Если функция Find имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора. Например, Find(z1,z2) возвращает вектор, содержащий значе ния z1 и z2, являющиеся решением системы уравнений. Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, икакоелибо выражение, содержащее функцию Find, называется блоком решенияуравнений . Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга. Каждый блокрешения уравнений может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find. Можно, однако, определить функцию в конце одного блока решения уравнений и затем использовать в другом блоке. Как правило, нельзя использовать оператор присваивания, внутри блока решения уравнений. Mathcad помечает оператор присваивания, которые находятся внутри блока решения уравнений, сообщением об ошибке. Mathcad содержит функцию, очень похожую на функцию Find. Она называетсяMinerr. Функция Minerr использует тот же самый алгоритм, что и функция Find.Различие состоит в следующем. Если в результате поиска решения уравнений не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению,Minerr возвращает это приближение. Функция Find, в отличие от функции Minerr, возвращает в этом случае сообщение об ошибке «решение не найдено». Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find. Minerr(z1,z2,z3,...) возвращает решение системы уравнени. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Функция Minerr обычно возвращает ответ, который минимизирует соответствующий функционал невязки, связанный с решаемой задачей. Однако Minerr не может проверить, реализует ли ответ абсолютный минимум для функционала невязки.Если функция Minerr используется в блоке решения уравнений, то необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности полученных результатов . Встроенная переменная ERR дает величину невязки для приближенного решения. Mathcad не имеет встроенной переменной для покомпонентного вывода вектора невязки на найденном приближенном решении . После того как в результате решения нелинейных уравнений определены численные значения амплитуды и частоты автоколебательного процесса следует выпол нить математическое моделирование системы управления. Целью математическогомоделирования является подтверждение результатов расчета параметров автоколебательного процесса в системе. Математическое моделирование процессов в системе осуществляется с помощью численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, которые являются математической моделью системы управления . Mathcad содержит несколько функций, которые позволяют выполнить численноеинтегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений. К ним относятся , , .Функция выполняет численное интегрирование систем дифференциальныхуравнений методом Рунге Кутта четвертого порядка точности. Функция выполняет численное интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Рунге Кутта четвертого порядка точности с переменным шагом. Функция выполняет численное интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Bulirsch Stoer. Каждая из этих функций возвращает матрицу, у которой n+1 столбец, где n порядок системы дифференциальных уравнений и строк. При чем первыйстолбец возвращаемой матрицы это дискретные значения независимой переменной (например, время), в которых вычисляются значения решений дифференциальных уравнений, остальные n столбцов это искомые решения системы дифференциальных уравнений, вычисленные при соответствующих значениях независимойпеременной . Каждая из этих функций имеет одни и те же аргументы : вектор начальных условий размерности n ; граничные точки интервала изменения независимой переменной, на котором ищется решение системы дифференциальных уравнений. На чальные условия, заданные в векторе , это значения решения в точке . число точек (не считая начальной точки), в которых ищется численное решение системы дифференциальных уравнений. Число строк в возвра щаемой матрице решений равно . функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, со держащие первые производные неизвестных функций. Каждый элемент этой вектор функции соответствующая правая часть системы диффе ренциальных уравнений. Пример 4. Задана система автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 20. Передаточная функция линейной части системы имеетвид . Характеристика нелинейного звена представлена на рисунке 21. Определить параметры периодических процессов в системе, исследовать их наустойчивость и провести математическое моделирование процессов в системе если , , , , , . Решение. Пусть в системе возникли периодические процессы, а линейная частьсистемы обладает свойством фильтра. Вычислим коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с характеристикой, представленной на рис. 21.Для этого выполним построения, аналогичные тому, как это было сделано в разделе 3. Эти построения показаны на рисунке 22. Из рисунка следует, что , . Далее последовательно получаем , , , . (36) Так как нелинейное звено обладает нечетной однозначной характеристикой, то . Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы в этом случае имеет вид , (37)после подстановки в которое получаем систему двух уравнений , (38) . относительно искомых параметров периодических процессов. Из второго уравнениясистемы (38) находим , (39)а из первого уравнения с учетом (39) получаем . (40) Решение уравнения (40) проведем в два этапа. Сначала с помощью программного пакета Mathcad 7.0 PLUS построим графики функций и . Как следует из рисунка 23 уравнение (31) имеет два решения и . Далее с помощью функции root программного пакета Mathcad 7.0 PLUS уточнимприближенные значения амплитуд периодических процессов в системе. В результатечего имеем : , . (41) Итак, в исследуемой системе имеются два периодических процесса с частотой,которая определяется равенством (39), и амплитудами (41). Исследуем оба этих процесса на устойчивость. Для этой цели воспользуемся соотношением (25) . Подставим в характеристическое уравнение (37) и выделим действительную и мнимую части у полученного выражения , (42) . Тогда неравенство (25) принимает вид . (43) Вычислим частные производные, стоящие в левой части неравенства (43). С учетом второго равенства соотношений (42) и равенства (39) получаем . С учетом первого равенства соотношений (42), равенств (36) и (39) для последовательно получаем : , . Следовательно, периодический процесс в системе с частотой и амплитудой является неустойчивым. Если теперь , то аналогично предыдущему имеем , . Таким образом, неравенство (25) условия устойчивости периодического процесса выполняется. Вычислим теперь полином (26) для нашего случая : , , . Таким образом, полином имеет корни , действительная часть которых имеют отрицательный знак. Это значи , что периодический процесс с частотой и амплитудой обладает свойством устойчивости, следовательно в системевозникают автоколебания с амплитудой и частотой . Для того чтобы провести математическое моделирование процессов в исследуемой системе управления составим математическую модель системы в виде дифференциальных уравнений. Согласно заданной в условии задачи структурной схемесистемы имеем . (44)Преобразуем это дифференциальное уравнение к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Для этого введем обозначения : , , , . (45)Решим дифференциальное уравнение (44) относительно старшей производной и сучетом введенных обозначений (45) получаем , , , (46) . Теперь можно воспользоваться одной из функций Mathcad 7.0 PLUS, предназначенной для интегрирования дифференциальнах уравнений . Далее представлена Mathcad программа расчета и моделирования периодических процессов в исследуемой системе. Пример 5. Задана система автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 26. Передаточная функция линейной части системы имеетвид . Характеристика нелинейного звена представлена на рисунке 27. Определить параметры периодических процессов в системе, исследовать их наустойчивость и провести математическое моделирование процессов в системе если , , , , , , . Решение. Пусть в системе возникли периодические процессы, а линейная частьсистемы обладает свойством фильтра. Вычислим коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейного звена с характеристикой, представленной на рисунке 27.Для этого выполним построения, аналогичные тому, как это было сделано в разделе 3. Эти построения показаны на рисунке 28. Из рисунка следует, что , . Далее последовательно получаем , , , , (47) , , , . (48) Характеристическое уравнение замкнутой гармонически линеаризованной системы в нашем случае имеет вид , (49)после подстановки в которое получаем систему двух уравнений , (50) относительно искомых параметров периодических процессов. Решение системы уравнений (50) выполним в той же последовательности как этобыло сделано в предыдущем примере. Приближенное решение найдем, построивлогарифмические частотные характеристики линейной части системы (см. рисунки 29 и 30) и характеристики гармонически линеаризованного нелинейного звена (см. рисунки 31 и 32). Далее, поступая так как было указано в разделе 5 (см. рис. 7) , находим приближенное решение системы уравнений (50) : , ,уточнение которого выполним с помощью функции Find программного пакетаMathcad 7.0 PLUS. Таким образом, решение системы уравнений (50) будет , . Итак, в исследуемой системе имеется периодический процесс с частотой и амплитудой . Исследуем этот процесс на устойчивость. Для этой цели воспользуемся соотношением (25). Подставим в характеристическое уравнение (49) и выделим действительную и мнимую части у полученного выражения , (51) . (52) Для определения устойчивости периодического процесса в системе воспользуемся неравенством (25) и вычислим частные производные в левой части неравенства при значениях и с учетом (47) и (48). Имеем , , , . Таким образом, неравенство (25) выполняется. Вычислим теперь полином (26). Для нашего случая имеем , корни которого равны . И так периодический процесс с амплитудой и частотой является устойчивым. В системе возникают автоколебания. Приступая к моделированию процессов в системе необходимо составить программу расчета сигнала на выходе нелинейного звена и с целью проверки правильности ее работы построить графики аналогичные тем, которые показаны на рис. 28(смотри рисунки 33 35). Далее, если задана математическая модель системы в виде , (53) , (54)где , соответственно выходной и входной сигналы линейной части системы, а и их изображения по Лапласу, то уравнения (53) и (54) в видесистемы дифференциальных уравнений запишутся следующим образом , , , (55) , Ниже приведена программа в Mathcad 7.0 PLUS расчета параметров автоколебаний и моделирования процессов в исследуемой системе. Литература .Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М: Высшая школа, 1977, 366 с.Математические основы теории автоматического регулирования, т. 2. Под ред. Б. К. Чемоданова. М: Высшая школа, 1977, 455 с.Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управ ления. М. Наука, 1979, 256 с.Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М. Наука, 1973, 584 с.