Реферат: Міністерство освіти І науки України Відділ освіти Сєвєродонецької міської ради Міський методичний центр Середня загальноосвітня школа №5 Види задач, які вирішуються в курсі математики Вчитель вищої категорії «старший вчитель» Попович О. В. Сєвєродоне

Міністерство освіти і науки України

Відділ освіти Сєвєродонецької міської ради

Міський методичний центр

Середня загальноосвітня школа № 5


Види задач, які вирішуються в курсі математики





Вчитель вищої категорії «старший вчитель»

Попович О.В.


Сєвєродонецьк

Методичний посібник призначено для вчителів математики з метою підвищення кваліфікації та для учнів старших класів середньої школи.





Зміст

Вступ 3

1. Класифікація задач 5

2. Методи розв’язку нестандартних задач 7

3. Що таке задача 10

4. Практичні і математичні задачі 15

5. Структура процесу розв’язку задач 16

6. Стандартні задачі та їх розв’язок 18

7. Нестандартні задачі та їх розв’язок 22

8. Складання і розв′язування алгебраїчних текстових задач 29

Література 52


Вступ

Уміння розв’язувати задачі є одним з основних показників рівня математичного розвитку глибини засвоєння навчального матеріалу. Під час навчання у школі кожний з Вас розв’язує велику кількість задач – декілька десятків тисяч. При цьому Ви розв’язуєте одні й ті самі задачі. Як підсумок – деякі учні оволодівають загальним вмінням розв’язування задач, а багато хто, зустрівши задачі незнайомого або малознайомого вигляду – розгублюються та не знають, як до неї підступитися. В чому причина такого стану?

Причин, звичайно, багато, і одна з них – те, що одні учні вникають в процес розв’язування задач і намагаються зрозуміти, в чому складаються прийоми та методи розв’язування задач, вивчають задачі, інші, на жаль, не замислюються над цим і намагаються розв’язувати якомога швидше задачі.

Ті учні не аналізують в певній мірі задачі, які розв’язують та не виділяють із розв’язку загальні прийоми і засоби . Задачі часто розв’язуються лише заради отримання відповіді.

Цей методичний посібник допоможе вчителям та учням отримати теоретичні знання розв’язування нестандартних задач.

Якщо у Вас вистачить терпіння опрацювати цей посібник до кінця, то Ви зрозумієте, що отримали достатню впевненість, щоб не розгубитися при зустрічі з незнайомою задачею.

Ви будете з бажанням та інтересом розв’язувати задачі.

Бажаю успіху!





^ 1. Класифікація задач


практичні (реальні)

По характеру

об′єктів математичні


стандартні

По відношенню до

теорії нестандартні


знаходження (розпізнавання)

шуканих

По характеру

перетворення або

вимог побудова

доказ або пояснення



Задача




Схематичний запис задачі













^ Аналіз задачі



Пошук способу

розв′язку





Дослідження




План розв’язку
Аналіз

розв′язку







Здійснення плану розв’язку




Перевірка







Відповідь



^ 2. Методи розв′язку нестандартних задач

I. Розкладання на стандартні або більш прості задачі за допомогою розбиття на частини:




1. Умова задачі

^ 2. Об′єкти задачі

3. Вимоги задачі



II. Заміна даної задачі, її рівносильною за допомогою:





3. Заміни
(кодуванням) об′єктів іншими

1. Перетворення

умови

^ 2. Заміна змінних невідомих)



ІII. Введення допоміжних елементів для:





^ 1. Зближення даних і шуканих

2. Розкладання задачі на частини

^ 3. Надання задачі визначеності






Схема пошуку вирішення нестандартної задачі


Задача




^ Аналіз задачі і побудова її допоміжної моделі






Можна вичленити з умови більш прості задачі або розбити умову на під задачі




^ Можна перетворювати задачу шляхом введення допоміжних елементів (допоміжних

побудов)
Так Ні


^ Розбити на під задачі і

кожну з них вирішити


Так


^ Можна переформулювати

задачу в іншу, більш

знайому

Перетворити і побудувати модель, і вирішити
Ні






Так Ні


^ Переформулювати (побудувати модель) і вирішити

Потрібно шукати

особливий прийом вирішення задачі





^ 3. Що таке задача

Вирішення задач – це робота декілька незвичайна, а саме розумова робота. А щоб навчитися якій-небудь роботі, потрібно завчасно добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати. Щоб навчитися вирішувати задачі, потрібно розібратися в тому, що вони собою представляють, як вони влаштовані, із яких складових частин складаються. Задача представляє собою вимогу або питання, на які треба знайти відповідь, опираючись та враховуючи ті умови, які вказані в задачі. Приступаючи до розв’язку якої-небудь задачі, потрібно її уважно вивчити, встановити, в чому полягає її вимога. Які умови, виходячи із яких потрібно вирішувати задачу.

Умови і вимоги задачі

Отримав задачу, ми її уважно читаємо. Формулювання будь-якої задачі складається із декількох тверджень і вимог. Твердження задачі називаються умовами задачі. (Іноді умовою за дачі називають усе формулювання задачі, тобто всі умови та вимоги разом.) Перше, що треба зробити при аналізі задачі,- це розділити формулювання задачі на умови та вимоги. Зазвичай в задачі не одна умова, а декілька незалежних елементарних умов; вимог в задачі також може бути не однієї.

Задача: В прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на від- різки довжиною 5 см і 12 см. Знайти катети трикутника.

^ Елементарні умови:

1) трикутник, про який йде мова – прямокутний;

2) в цей трикутник вписане коло;

3) точка дотику кола з гіпотенузою ділить її на 2 відрізки;

4) довжина одного з цих відрізків дорівнює 5 см;

5) довжина другого відрізка дорівнює 12 см.

^ Вимоги розділимо на два елементарних:

знайти довжину одного катета трикутника;

Знайти довжину другого катета трикутника.

Розділення задачі на умови і вимоги не завжди легко створити.

Схематичний запис задач

Результати передчасного аналізу задачі потрібно якось зафіксувати, записати. Та словесна, описуюча форма запису, звісно, менш зручна. Треба знайти більш зручну, більш компактну і в той же час достатньо наглядну форму запису результатів аналізу задачі. Така форма являє собою схематичний запис задачі. Не для усіх задач треба робити схематичний запис. Так, наприклад, для задач по розв’язку рівнянь, нерівностей, перетворень виразів аналіз проводиться зазвичай усно і ніяк не оформлюється. Взагалі для задач, які записані на символічній мові схематичний запис не потрібен.

Першою відмінною особливістю схематичного запису задач є широке використання в ній різного роду позначень, символів, букв, малюнків, креслень... Другою особливістю є те, що в ній чітко виражені всі умови та вимоги задачі, а в записі кожної умови вказані об’єкти та їх характеристики, нарешті, в схематичному записі фіксується лише тільки те, що необхідно для вирішення задачі; всі інші подробиці, існуючі в задачі, при схематичному записі відкидаються.


Використання креслень для схематичного запису задач


Для схематичного запису геометричних і деяких інших задач корисно

використовувати креслення тієї фігури, яка роздивляється в задачі. При побудові такого креслення потрібно виконати ряд вимог.

Креслення повинно представляти собою схематичний малюнок основного об’єкта задачі (геометричної фігури, або сукупності фігур) з позначенням за допомогою букв й інших знаків усіх елементів фігури та деяких їх характеристик. Якщо в тексті задачі вказані які-небудь позначення фігури або її елементів, то ці позначення повинні бути на кресленні; якщо ж в задачі ніяких позначень немає, то потрібно скористатися загальноприйнятим позначенням або придумати найбільш зручні.

Це креслення повинно відповідати задачі. Це значить, що, якщо в задачі в якості основного об’єкта названий, наприклад, трикутник і при цьому не вказаний його вид, то треба побудувати який-небудь різносторонній трикутник. Або, якщо в задачі в якості основного об’єкта названа трапеція та не вказаний її вид, то не треба будувати рівнобедрену або прямокутну трапецію...

При побудові креслення немає потреби дотримуватися строго якого-небудь визначеного масштабу. Проте, бажано дотримуватися яких-небудь пропорцій в побудові окремих елементів фігури. Наприклад, якщо за умовою задачі сторона АВ трикутника АВС найбільша, то це повинно бути дотримано на кресленні. Або якщо задана медіана трикутника, то відповідний їй відрізок на кресленні повинен проходити приблизно через середину сторони трикутника. Точно так потрібно дотримуватися на кресленні таких відносин, як паралельність, перпендикулярність й інші, задані в задачі.

При побудові креслень просторових фігур необхідно дотримуватися всіх правил креслення таких фігур. Там, де це можна та доцільно, краще будувати які-небудь площинні січення цих фігур.

Крім креслення, для схематичного запису геометричних задач використовується ще короткий запис усіх умов і вимог задачі. В цьому короткому записі, користуючись прийнятими на кресленні позначеннями, записуються всі характеристики та відношення, вказані в умовах задач. Назва фігур або окремих її частин бажано замінити записом їх означень.


^ 4. Практичні і математичні задачі


Задачі, які розв’язуються в школі, розрізняються в першу чергу характером своїх об’єктів. В одних задачах об’єктами є реальні предмети, в інших – всі об’єкти математичні. Перші задачі, в яких хоча б один об’єкт є реальним предметом, називаються практичними; другі, всі об’єкти яких математичні, називаються математичними задачами.

Із наведених прикладів можна зробити висновок:

Розв’язати математичну задачу – це значить знайти таку послідовність спільних положень математики (визначень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), застосовуючи які до умов задачі або до їх слідств, отримаємо те, що вимагається в задачі, - її відповідь.

До питання про суть рішення задач ми ще неодноразово будемо повертатися та наведена формулювання будемо уточнювати. Крім того, це питання роздивимось з інших точок зору. Так що на приведене визначення належно дивитись лише як на перше, саме спільне тлумачення розв’язку математичних задач.


^ 5. Структура процесу розв’язку задач


Із яких етапів складається процес розв’язку задач? Очевидно, що, отримавши задачу, перше, що потрібно зробити – це розібратися в тому, що це за задача, які її умови, у чому полягають її вимоги, тобто провести аналіз задачі. Цей аналіз і складатиме перший етап процесу розв’язку задачі.

Цей аналіз треба якось оформити, записати. Для цього використовуються різного роду схематичні записи задач, побудова яких складає другий етап.

Аналіз задачі та побудова її схематичного запису необхідного головним чином для того, щоб знайти спосіб розв’язку даної задачі. Пошук цього способу – третій етап.

Коли спосіб розв’язку задачі знайдено, його потрібно здійснити - це буде вже четвертий етап процесу розв’язку – етап здійснення розв’язку.

Після того як розв’язок здійснено, необхідно впевнитися, що цей розв’язок правильний, що він задовольняє всі вимоги задачі. Для цього проводять перевірку розв’язку, що є – п′ятий етап процесу розв’язку.

При розв’язку задач, окрім перевірки, необхідно ще провести дослідження задачі, а саме встановити, при яких умовах задача має розв’язок і при тому, скільки різних розв’язків в кожному окремому випадку. Все це є шостий етап.

Впевнившись у вірності розв’язку і, якщо треба, провести дослідження задачі, необхідно чітко сформулювати відповідь задачі – це сьомий етап.

Нарешті потрібно також провести аналіз виконаного розв’язку, вияснити, чи немає іншого, більш раціонального способу розв’язку, які висновки можна зробити з цього розв’язку. Все це складає останній восьмий етап.

Весь процес розв’язку задачі поділено на вісім етапів:

1-й етап – аналіз задачі;

2-й етап – схематичний запис задачі;

3-й етап – пошук способу розв’язку задачі;

4-й етап – здійснення розв’язку задачі;

5-й етап – перевірка розв’язку;

6-й етап – дослідження задачі;

7-й етап – формулювання відповіді задачі;

8-й етап – аналіз розв’язку задачі.


^ 6. Стандартні задачі та їх розв’язок


Ви вже знаєте, що задача складається з послідовності кроків, кожен із яких є умовою задачі або до їх слідства. Тому розшук цієї послідовності кроків – це найголовніше, що потрібно робити для того, щоб розв’язати задачу.

Математика і займається тим, що встановлює для багатьох видів задач правила, користуючись якими можна знайти вказану послідовність кроків для розв’язку будь-якої задачі даного виду.

Для багатьох видів задач такі правила вже давно знайдені. Правила, користуючись якими можна знайти послідовність кроків для розв’язку для будь-якої задачі деякого виду, в математиці викладається в різних формах.

^ 1. Словесне правило

Прикладом такого правила може слугувати правило знаходження степеня виразу; степінь виразу дорівнює виразу степенів множників. Це правило дозволяє скласти таку програму послідовності кроків для розв’язку будь-якої задачі знаходження степеня виразу:

1) встановити усі множники добутку;

2) знайти дану степінь кожного з цих множників;

3) результати 2-го кроку помножити.

У відповідності з цією програмою розв’язок задачі: « Знайти (а2b3)4 » - буде таким:

1) Встановлюємо, що заданий добуток складається з 3-ьох множників: 3; а2 і b3;

2) Знаходимо 4-ту степінь кожного з множників:

34 = 81; (а2)4 = а8; (b3)4 = b12;

3) Знаходимо добуток результатів попереднього кроку: 81a8b12. Відповідь: (3a2b3)4 = 81а8b12.

2. Правило-формула

Прикладом такого правила слугує формула коренів квадратного рівняння. Корені рівняння:

ах2 +bх +с = 0; якщо а ≠ 0 і D≥0, де D = b2 – 4ас; можна порахувати х =

Перевіряємо умови: а ≠ 0;

Знаходимо: D = b2 – 4ас;

Перевіряємо умову: D ≥ 0;

Якщо ці умови виконані, то порахуємо корені за формулою, яка наведена вище.

Наприклад, для розв’язку рівняння 2х2 – 3х + 1 = 0 отримаємо таку послідовність кроків:

а = 2 ≠ 0;

D = b2 – 4ас = (-3)2 – 4 * 2 * 1 = 1;

D = 1 > 0;

х =

Правило-тотожність


Приклад: (а+в)2 = а2+2ав+в2;

Словесне формулювання цієї тотожності таке: квадрат двочлена дорівнює сумі 3 виразів: квадрата першого члена, подвоєний добуток першого члена на другий і квадрат другого члена.

Послідовність кроків для розв’язку задачі знаходження квадрата двочлена:

знайти перший член двочлена;

знайти другий член двочлена;

піднести перший член двочлена до квадрата;

піднести другий член двочлена до квадрата;

скласти вираз першого і другого членів двочлена;

результат п’ятого кроку подвоїти;

результат третього, четвертого і шостого кроків скласти.




Правило-теорема



Багато теорем можуть слугувати правилами для розв’язку задач відповідного виду. Наприклад теорема: середня лінія трапеції паралельна двом основам, і її довжина дорівнює півсум і довжин основ, слугує правилом для розв’язку задач знаходження довжини середньої лінії трапеції по її основам.

Послідовність кроків:

встановлюємо довжину основ трапеції;

знаходимо їх пів суму. Це і є середня лінія.




Правило-означення



Іноді основою для правила вирішення задач деякого виду служать означення відповідного поняття. Прикладом цього означення є розв’язок системи рівнянь з однією змінною.

Така програма розв’язку системи нерівностей з однією змінною:

Вирішити кожну з нерівностей системи, отримаємо для кожної нерівності числовий проміжок – її розв’язку;

Знайти перетин отриманих числових проміжків. Знайдений перетин і буде розв’язком системи нерівностей;

Розв’язок системи:


7х + 3 ≥ 5х – 19;

4х + 1 ≤ 22 – 3х;

6 < х2 – х(х – 3)

буде складатися з послідовності наступних кроків:

вирішуємо першу нерівність системи:

7х + 3 ≥ 5х – 19; 2х ≥ - 22; х ≥- 11;

2) розв’язуємо другу нерівність системи:

4х + 1 ≤ 22 – 3х; 7х ≤ 21; х ≤ 3;

3) знаходимо перетин числових проміжків:

[ - 11; + ∞[ , ] - ∞; 3 ] , ] 2; + ∞[ . Отримаємо проміжок ] 2 ; 3]. Це і буде відповідь.

Математичні задачі, для розв’язку яких існують готові правила або усі правила безпосередньо витікають із яких-небудь означень, або теорем, розв’язок цих задач у вигляді послідовності кроків, назвемо стандартні. При цьому для вирішення окремих кроків рішення стандартних задач у курсі математики також маються певні правила.


^ 7. Нестандартні задачі та їх розв’язок


В означенні стандартних задач, яку було дане в якості основної ознаки цих задач вказано наявність таких спільних правил або положень, які однозначно визначають програму розв’язку цих задач і виконання кожного кроку цієї програми. Звідси зрозуміло, що нестандартні задачі – це такі, для яких немає спільних правил і положень, які визначають точну програму їх розв’язку.


Вміння розв’язувати задачі є основним показником хороших математичних знань. Щоб навчитися розв’язувати задачі, необхідно зрозуміти відповідну теорію, а глибоко зрозуміти суть теорії допомагає розв’язування достатньої кількості різноманітних задач.

Характерно, що багато учнів, виявляючи зовнішньо благополучні знання теорії, слабо розв’язують задачі. Навпаки ж, як правило, не буває.

Здійснення завершального, найбільш відповідального етапу вивчення якої-небудь теореми або теми – успішне розв’язування достатньої кількості відповідних задач – часто викликає в учнів великі труднощі. Нерідко учень навіть не знає, як «приступити» до розв’язування задачі. У таких випадках він намагається вирішити задачу серією спроб – сліпих, нецілеспрямованих шукань. І якщо ці спроби кінець кінцем і досягають своєї мети, то про учня, який так розв’язав задачу, ще не можна сказати, що він навчився розв’язувати задачі, оскільки фактично він ще не оволодів методом розв’язування, який дав би змогу піддавати аналізу довільну текстову задачу.

Нерідко учні намагаються «розв’язувати» задачу, в умові якої немає достатньої кількості даних величин або цих величин більше, ніж потрібно.

На підставі багаторічного досвіду роботи в школі ми переконалися в тому, що найважливішими причинами труднощі в у розв’язку задач є:

1. Відсутність аналізу задачі з погляду її визначеності (достатності або недостатності числа даних елементів), невміння бачити внутрішню структуру задачі, процес складання задачі, а також процес її «розвитку» від більш простої задачі, невміння пов’язувати між собою процеси складання і розв’язування задачі.

2. Відсутність у шкільній практиці загальних методів розв’язування задач, зокрема задач на розв’язування геометричних фігур, відсутність загального погляду на різноманітні текстові задачі шкільного курсу математики.

3. Відсутність такого методу вивчення теоретичного матеріалу на уроці, який максимально сприяв би успішному розв’язування відповідних задач.

4. Надзвичайно вузький погляд на саме поняття текстової задачі в курсі шкільної математики, як задачі обов’язково визначеної , тобто такої, що має цілком певний розв’язок або скінчене число розв’язків.

У школі мало приділяється уваги неозначеним задачам, тобто таким, що мають нескінченне число розв’язків, як і неозначеним рівнянням.

Не вміючи розв’язувати неозначені задачі і неозначені рівняння та нерівності, учень не буде підготовлений до розуміння задач лінійного програмування, які мають досить широке застосування у народному господарстві, а також до розв’язування задач на максимум і мінімум.

Відчувається розрив між поняттям текстової задачі і найголовнішим поняттям шкільної математики – поняттям функції. У методичній літературі панує статичний, а не функціональний погляд на текстову задачу. Пояснимо цю думку.

Відомо, що розв’язування неозначених задач зображається у вигляді функції одного або кількох параметрів.

Графічною інтерпретацією розв’язку задачі, що є функцією одного параметра, є деяка крива. Випадок, коли розв’язок задачі зображається графічно скінченим числом точок координатної площини (визначені задачі) , − це частинний випадок і з теоретичного, і з практичного поглядів.

Необхідно наблизити тему «Алгебраїчне розв’язування текстових задач» до її природної бази – до функціональної залежності величини. Лише в такому світлі яскраво вимальовується справжній смисл текстових задач, їх теоретичне і практичне значення.

Слід перейти на функціональний погляд в оцінці текстової задачі шкільного курсу математики. У викладанні математики звичайні визначені задачі повинні зайняти належне їм місце окремих випадків більш загальних, більш багатих за своїм функціональним змістом неозначених задач. Визначені задачі повинні бути основним видом задач тільки на початкових етапах, а в старших класах слід розв’язувати і досліджувати (головним чином) неозначені, функціональні задачі.

Питання про складання задач у середніх та старших класах майже не висвітлене в методичній літературі. Залишається непоміченим глибокий зв’язок між процес складання задачі і процесом її цілеспрямованого розв’язку.


ВИСНОВКИ

1. Практика показує, що завдяки систематичному застосуванню навчаючих задач учні швидко оволодівають різноманітними прийомами розв’язування задач, зокрема так званих нешаблонних задач. Кожний ланцюг навчаючих задач ознайомлює учнів з тим чи іншим підходом до розв’язування, з тим чи іншим прийомом. Поступово змінюючи характер і зміст навчаючих задач, ми тим самим керуємо мисленням учнів, розвиваємо і тренуємо його.

2. Навчаючі задачі дають учням змогу спочатку порівняно легко, а пізніше з більшою витратою сил здобувати самостійні «перемоги», що підбадьорює їх, розвиває інтерес і ініціативу; учні починають відчувати естетичну насолоду від розв’язування задач – з’являються зачатки глибокого інтересу до математики.

3. Навчаючі задачі створюють сприятливі умови для індивідуального навчання: можна всьому класові запропонувати максимальний набір навчаючих задач або кожному учневі відповідний набір навчаючих задач. Яким би не був рівень відставання учня, можна завжди підібрати систему основних задач і відповідні їм навчаючі задачі, які досягатимуть своєї мети з найменшою витратою сил учня і вчителя.

4. Навчаючі задачі створюють сприятливі умови для здійснення прямого і оберненого зв’язку між учителем і учнем. Керування процесом засвоєння методів розв’язку задач здійснюється в самому ході їх розв’язування.

5. Пропонуючи учням навчаючі задачі, ми спрямовуємо їх думку в певне русло і замість того, щоб пропонувати учням для самостійного розв’язування одну (основну) задачу, ми пропонуємо їм 7-8 задач (задач-запитань, а не відповідей на запитання!). Цим ми створюємо сприятливі умови для успішної самостійної роботи.

6. Найголовніша мета вчителя математики – навчити учнів самостійно розв’язувати задачі, самостійно складати допоміжні задачі. Ця мета досягається поступово: спочатку ланцюг навчаючих задач містить «максимальний» набір, потім в міру досягнення успіхів число цих задач зменшується.

7. Уміння складати навчаючі задачі – надзвичайно цінна якість учителя математики. Це вміння набувається нелегко: необхідно наполегливо тренуватися, а в першу чергу – глибоко проникати в суть задачі і методи її розв’язування.


^ 8. Складання і розв′язування алгебраїчних текстових задач


У шкільному курсі алгебри тема «Розв’язування задач за допомогою рівнянь» є однією з найважливіших. Однак доводиться спостерігати, як учні розв’язують алгебраїчну текстову задачу з недостатнім або зайвим числом даних елементів і щиро дивуються, чому задачі «не розв’язується». Це пояснюється тим, що учні не розуміють логіки і схеми «утворення» задачі, які тісно зв’язані з процесом її розв’язування: свідоме і цілеспрямоване складання задачі є процес, обернений до процесу свідомого і цілеспрямованого її розв’язування.

Несвідоме ставлення до задач викликається не лише тим, що учні не володіють «механізмом» їх складання, а й тим, що в наших підручниках і збірниках задач приділяється увага лише в и з н а ч е н и м задачам, що наша методика визнає лише визначені текстові задачі та ще й, здебільшого, з «круглою» відповіддю.

Практика показує, що коли поряд з визначеними пропонувати учням для розв’язування задачі невизначені і особливо неозначені, то усвідомлення і якість розв’язування ними задач значно підвищується.

Однією з причин тих труднощів, які відчувають при розв’язування задач, які відчувають учителі при навчанні, є також недооцінка ролі і значення для розвитку логічного мислення арифметичного розв’язування задач.

Доцільно арифметично розв’язувати такі задачі, зокрема типові, які сприяють не лише розвитку логічного мислення, а й більш глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу, підготовці учнів до успішного засвоєння алгебраїчних методів розв’язування задач. Правильно роблять ті вчителі, які в старших класах періодично розв’язують з учнями арифметичні задачі.

Навчальний ефект штучного й надто громіздкого арифметичного розв’язування задач незначний. Всю різноманітність математичної фабули арифметичних задач, які доцільно вивчати в школі, можна вкласти в 10-15 «типів» таких задач. Кожна така задача може бути сформульована за допомогою ланцюга нескладних арифметичних задач так, щоб вона стала само навчаючою, щоб учень, розв’язуючи послідовно кожну задачу ланцюга, сам «відкрив» розв’язання даної типової задачі.

Процес алгебраїчного розв’язування задач (процес складання рівнянь) являє собою послідовне арифметичне розв’язування задач з буквенними даними. Отже, арифметичні розв’язування підготовляють учнів до алгебраїчних. Крім того, арифметичне розв’язування задачі в загальному вигляді (буквене арифметичне розв’язування) має велике практичне значення, бо вказує шлях раціонального розв’язування відповідних числових практичних задач. Розглянемо приклад.

«Вологість зерна була 23 %. Після просушування вологість дорівнювала 12 %. На скільки процентів зменшилась вага зерна?».

Один зі студентів запропонував таке «арифметичне розв’язування цієї задачі, яким він користувався на практиці:

1) 23% - 12% = 11%. На скільки процентів зменшилась вологість зерна?

2) 100% - 12% =88%. Скільки процентів становила вага зерна після усушки?

3) 11/88* 100 = 12,5%. На скільки процентів зменшилась вага зерна?

Всі дії правильні, відповідь правильна, але це розв’язування арифметично нелогічне, бо проценти 23%, 12% беруться від різних величин, і дія 23% - 12% ніякого «арифметичного сенсу» не має. Для обґрунтування правильності розв’язання « в діях» доводиться розв’язувати задачу в загальному вигляді.

Позначимо p = 23%, q = 12%.

1) 100% - p%. Скільки процентів від початкової ваги становить вага «чистого» зерна?

2) 100% - q%. Скільки процентів від ваги зерна після усушки становить та сама вага «чистого» зерна?

3) Яку частину початкової ваги становить вага зерна після усушки?

4) На скільки процентів зменшилась вага зерна після усушки?

Можливі й інші способи арифметичного розв’язування. Відзначимо, що розв’язування цієї задачі рівняннями не було б легшим, раціональнішим: ніяк не вдалося б обминути «арифметичні» міркування і тим більш – арифметичні дії.


^ Алгебраїчне розв’язування задач методом

послідовного позначення величин

Сучасна методика математики заперечує існування загального способу алгебраїчного розв’язування задач, загального «підходу» до процесу складання рівнянь. Така думка правильна, якщо мати на увазі всю різноманітність текстових задач на складання рівнянь. Але щодо алгебраїчних текстових задач, які звичайно розглядаються в середній школі, така думка неправильна. Коли вважати, що загального «рецепта» для складання рівнянь не існує, то цим ніби підкреслюють, що той навчиться добре розв’язувати задачі, хто більше їх розв’язуватиме.

Заперечити проти цієї рекомендації не можна. Треба тільки сказати, що нелегко навчитися розв’язувати задачі лише практичним застосуванням різноманітних штучних і нецілеспрямованих прийомів.

При складанні рівнянь до текстової задачі користуються здебільшого так званим методом послідовного позначення величин, сіть якого полягає в тому, що всі величини шляхом «проб» і здогадів виражають через дані і шукані. При цьому виникають труднощі, зв’язані з «виявленням» в умові задачі величин, які безпосередньо не вказуються. Наприклад, якщо в умові задачі сказано, що поїзд прибуває з пункту А в пункт В з запізнення на 20 хв, то тут виступають дві величини: час, який повинен затратити поїзд на шлях АВ за графіком, і час, який витрачає поїзд на шлях АВ.

У процесі «перекладу» умови задачі на мову алгебри ми поступово «використовуємо» дані елементи; вираження останнього «невикористаного» елемента через решту елементів дає нам необхідне рівняння (якщо рівняння з одним невідомим). Не можна сказати, що такий план складання рівнянь відзначається якоюсь певною послідовністю, планомірністю і глибоко осмислюється учнями.

Учень, який розв’язує задачу цим способом, переконаний, що «переклад» обов’язково повинен привести до необхідного рівняння. Коли ж замість рівняння виходить тотожність, він шукає інший варіант «перекладу», поки не натрапить на потрібний. Не можна також брати до уваги і внутрішній протест, який виникає в зв’язку з таким сумнівом: а може існує ще якийсь «переклад», який приведе нас до зовсім нової відповіді?

Для порівняння з іншими методами алгебраїчного розв’язання задач, про які мова буде далі, наведемо приклад розв’язування задачі цим способом. Розглянемо задачу.

1. «Велосипедист прибув з пункту А в пункт В призначений строк, рухаючись з певною швидкістю. Якби він збільшив цю швидкість на 3 км/год, то прибув би на годину раніше строку, а якби проїжджав за годину на 2 км менше, то запізнився б на годину. Визначити відстань між пунктами А і В, швидкість велосипедиста і час його руху».

Позначимо шукану відстань через x км, а швидкість руху – через y км/год (невдалий вибір шуканих елементів! Але як знати, який вибір буде вдалим?). на весь шлях x км велосипедист повинне був витратити часу x/y год (чому, для якої мети ми зацікавились цим часом? Чи бачили ми перспективу його використання?). При швидкості, на 3 км/год більшій, часу було б витрачено x/(y+3) год. За умовою задачі

x/y –x/(y+3) = 1.

Аналогічно дістанемо друге рівняння: x/(y-2) – x/y = 1.

Ми подали зразок цілком правильного розв’язування і вказали на ті внутрішні сумніви, якими воно може супроводитись. Але ми нічого не сказали про ті труднощі, ті сумніви, які виникають в учня в процесі пошуків розв’язування. А вони, як відомо, великі, бо учень не має загального «підходу» до складання рівняння, виконуючи той чи інший крок, він не бачить перспективи його використання.

Учня «заспокоюють», скажімо, такі моменти:

під час складання системи рівнянь «використано» всі числові дані. Але існують задачі з зайвим числом даних елементів, при розв’язуванні яких не використовують в с і дані елементи. В таких випадках учень нерідко вважає розв’язування помилковим і вперто шукає інших способів – аби «використати» всі дані елементи (він не бачить внутрішню структуру задачі, процес її складання, а тому не може її проаналізувати з точки зору визначеності);

складені рівності не є тотожностями;

задача розв’язалась за відповіддю.

Орієнтування учня в такому напрямі свідчить про відсутність ясної мети, перспективи.

Отже, розглянутий спосіб складання рівнянь до текстових задач – малоефективний. Основний його недолік – «сліпі» шукання, спроби, «гадання». Тих самих успіхів можна досягти швидше, раціональніше за допомогою інших методів, які відзначаються загальністю, цілеспрямованістю і плановістю.


^ Застосування «методу обернених задач»

до розв’язування і складання текстових задач

Дані та шукані елементи (величини) всякої текстової задачі зв’язані між собою деякими незалежними рівняннями. Ці рівняння можуть легко розв’язуватись відносно одних параметрів і дуже складно відносно інших. Це саме модна сказати і про розв’язування задач, які відповідають тому чи іншому вибору невідомих.

3. «За планом колгосп повинен був засівати 40 га. Але колгоспники засівали на 12 га більше і тому закінчили сівбу на два дні раніше, причому засіяли на 4 га більше, ніж намічалось за планом. Скільки гектарів засіяли колгоспники?»

Знайти безпосередньо (тобто арифметично) шукане число гектарів х як функцію даних елементів важко і незручно (через штучність відповідних міркувань). Тому складаємо і розв’язуємо більш легку арифметичну задачу, обернену даній; наприклад: за «даними» 40 га, 12 га, 4 га і х га «знаходимо» елемент 2 дні. За трудністю ця обернена задача стоїть на рівні задач для ІІІ класу: щоб знайти, на скільки днів раніше була закінчена сівба, знаходимо, за скільки днів була закінчена сівба і за скільки днів її треба було закінчити, прирівнюємо різницю до числового значення того елемента, який ми шукали.


Шуканим можна вважати будь-який з даних елементів. Його слід вибирати так, щоб відповідна задача була якнайлегша. Досвід показує, що учні легко виконують такий вибір, оскільки для успіху справи досить лише навчитися «перефіксовувати», перефразовувати умову задачі.

Корисно дати учням вказівку про те, що обернена задача буде найбільш простою в тих випадках, коли шукані елементи є величинами, які виражають: суму (загальну вартість, загальну відстань та ін.), різницеве або кратне відношення. Іншими словами: шукані елементи повинні бути по можливості більш складними, а дані елементи – більш простими, які виражають швидкість, ціну, питому вагу і т. д., а також різницеве або кратне збільшення (зменшення) швидкості, ціни, питомої ваги і т. д.

При розв’язуванні складних задач доводиться вводити більше невідомих, складати більше число рівнянь. У цьому разі обернена задача розпадається на кілька (відповідно до числа невідомих) обернених задач (більш легких порівняно з прямою). Коли шукані елементи задачі складні, то доцільно вводити допоміжні невідомі елементи, функціями від яких легко виражаються шукані елементи. Так, наприклад, в задачі 3 число у днів роботи за планом є елемент «більш простий», ніж число х га, які засіяли колгоспники, бо х = 52 (у – 2). «Знайшовши» за даними у, 40, 12, 2 «невідоме» 4 га, дістанемо не дробове рівняння 52 (у – 2) – 40у = 4.

4. «Кілька товаришів вирішили купити моторний човен. Якщо кожний з них внесе по 70 крб., то не вистачить 30 крб., а якщо кожний внесе по 80 крб., то залишиться 40 крб. Скільки крб. не вистачить, якщо кожний внесе по 65 крб., і скільки крб. буде зібрано, якщо кожний внесе по 75 крб.?»

Шукані елементи легко виражаються через вартість човна (у крб.) і число товаришів (х). Тому вводимо ці допоміжні невідомі і розв’язуємо дві обернені арифметичні задачі (за «даними» х, у , 70 «знайти» 30 і за «даними» х, у, 80 знайти 40):


у – 70х = 30,

80х – у = 40.

За математичним змістом ці дві задачі стоять на рівні задач для 1 класу.

Основною передумовою успішного розв’язування задач «методом обернених задач» є вміння розв’язувати найпростіші арифметичні задачі з буквеними даними. Тому доцільно ще в молодших класах практикувати розв’язування таких задач з наступною підстановкою числових значень і обчисленням за виведеною загальною формулою. Таку роботу слід поступово ускладнювати і видозмінювати.

Дуже корисно перед розв’язуванням «важкої» задачі хоча б усн