Реферат: Курс, 1 семестр На самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» выносятся следующие темы: Тема №1

Специальность Математика

дисциплина «Аналитическая геометрия»

1 курс, 1 семестр


На самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» выносятся следующие темы:


Тема № 1. Аффинное n-мерное пространство. Аффинная система координат на плоскости и в 3-х-мерном аффинном пространстве.

Задание:

Ответить на контрольные вопросы и выполнить задание из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» стр. 16

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 1,3,4, 6, 10,13 стр. 17-18.

Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990

Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1. М.: Просвещение, 1986

Базылев В.Т. и др. Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1974

Атанасян Л.С. Сборник задач по аналитической геометрии .- Ч. 1 - М.: 1973

Хлопонина Э.П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: учебное пособие. – часть 1. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2003. с.80

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и самостоятельная работа № 1 (итоги прилагаются)


Тема № 2 Евклидово n-мерное пространство.

Задание.

Ответить на контрольные вопросы и выполнить задание из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» стр. 26-27

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 11,13,19,29, 30,36 стр. 29-31.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990

Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1. М.: Просвещение, 1986

Базылев В.Т. и др. Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1974

Атанасян Л.С. Сборник задач по аналитической геометрии .- Ч. 1 - М.: 1973

Хлопонина Э.П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: учебное пособие. – часть 1. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2003. с.80

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и контрольный срез.


Тема № 3. Примеры аффинных преобразований плоскости.


Задание.

1.Ответить на контрольные вопросы и выполнить задание из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» стр. 31-32

2.Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 6, 8-14 стр. 33-34.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990

Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1. М.: Просвещение, 1986

Базылев В.Т. и др. Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1974

Атанасян Л.С. Сборник задач по аналитической геометрии .- Ч. 1 - М.: 1973

Хлопонина Э.П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: учебное пособие. – часть 1. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2003. с.80

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и контрольный срез.


Тема № 4. Подобные преобразования плоскости.

Задание

1.Ответить на контрольные вопросы и выполнить задание из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» стр. 37-38

2.Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 5-7, стр. 38-39.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990

Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1. М.: Просвещение, 1986

Базылев В.Т. и др. Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1974

Атанасян Л.С. Сборник задач по аналитической геометрии .- Ч. 1 - М.: 1973

Хлопонина Э.П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: учебное пособие. – часть 1. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2003. с.80

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и контрольный срез.


ВОПРОСЫ к коллоквиуму № 1


Определение векторного пространства и простейшие следствия.

линейные операции над векторами.

Линейная зависимость и независимость векторов.

N-мерные векторные пространства. Базис. Координаты вектора в заданном базисе.

Евклидово векторное пространство. Метрические вопросы в евклидовом векторном пространстве.

операции над векторами (скалярное, смешанное и векторное).

Аффинное N-мерное пространство. Основные аффинные задачи.

Прямая на плоскости. Различные способы задания и уравнения.

Плоскость в N-мерном аффинном пространстве. Различные способы задания и уравнения.

Прямая в аффинном пространстве. Различные способы задания и уравнения.

Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве, плоскостей.

Метрические вопросы теории прямых и плоскостей.



ВОПРОСЫ к экзамену по "Аналитической геометрии"

для студентов 1 курса (1 семестр)

Геометрические векторы.

Сложение геометрических векторов.

Произведение вектора на число.

Аксиоматическое определение векторного пространства.

Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

Вычитание векторов.

Линейная зависимость и независимость векторов.

Коллинеарные векторы.

Компланарные векторы.

N-мерное векторное пространство. Базис. Векторные пространства.

Координаты вектора в заданном базисе и их свойства.

Условие коллинеарности и компланарности векторов в координатах.

Переход от одного базиса к другому.

Ориентация векторного пространства.

Скалярное произведение векторов. Евклидово векторное пространство. Угол между векторами.

Ориентированный базис. Скалярное произведение векторов в координатах.

Векторное произведение векторов.

Векторное произведение в координатах.

Свойства векторного произведения векторов.

Смешанное произведение векторов. Ориентированный параллелепипед.

Смешанное произведение векторов в координатах.

Свойства смешанного произведения векторов.

Аффинное пространство.

Определения прямой, отрезка, луча, параллельных прямых.

Определение плоскости.

Аффинная система координат.

Деление отрезка в данном отношении.

Формулы преобразования координат точек.

Метод координат.

Алгебраическая линия и ее порядок.

Уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой на плоскости.

Исследование общего уравнения прямой.

Геометрический смысл знака трехчлена Р(х,у)= Ах+Ву+С

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости.

Условие параллельности вектора и плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости.

Геометрический смысл знака многочлена Р (х,у, z)= Ах+Ву+С z+Д.

Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

Уравнения прямой в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Евклидово n-мерное пространство.

Прямоугольная система координат. Понятие длина отрезка и меры угла. Уравнение окружности.

Площадь треугольника, объем параллелепипеда и тетраэдра.

Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости.

Метрические вопросы теории плоскостей и прямых в пространстве.

Полярная система координат.


На самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» для студентов 1 курса специальность Математика во 2 семестре, отводятся следующие темы


Тема 1. Парабола.

Ответить на контрольные вопросы из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» (стр. 42).

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 9,10, 11,12.


Тема 2. Пересечение линии второго порядка с прямой. Центр линии.

Ответить на контрольные вопросы из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» (стр. 47-48).

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 1,2, 3, 4.


Тема 3. Цилиндры второго порядка.

Ответить на контрольные вопросы из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» (стр.53-54, вопросы 1-5).

2 Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» №№ 2, 3.


Тема 4. Эллипсоиды.

Ответить на контрольные вопросы из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» (стр. 56, вопросы 1-4).

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» стр. 57 №№ 1а, б; 7


Тема 5. Проективные системы координат.


Ответить на контрольные вопросы из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» (стр. 58, №№ 8,9,10,11).

Решить задачи из учебного пособия «Практикум по аналитической геометрии» сип. 59 №№ 1, 2, 3, 4, 5.


Для подготовки рекомендуется использовать следующую литературу

Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990

Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986

Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1969

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1., ч.2.- М.: Просвещение, 1986

Базылев В.Т. и др. Геометрия, ч. 1, ч.2.-М.: Просвещение, 1974

Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и контрольный срез.
^ ВОПРОСЫ к экзамену по геометрии



Линии 2-го порядка.

Эллипс, каноническое уравнение.

Исследование свойств эллипса.

Эксцентриситет и директрисы эллипса.

Гипербола, каноническое уравнение.

Исследование свойств гиперболы.

Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Парабола, каноническое уравнение.

Исследование свойств параболы.

Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы.

Квадратичные функции на плоскости и их матрицы.

Ортогональные преобразования квадратичных функций. Ортогональные инварианты.

Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к простейшему виду при помощи поворота системы координат.

Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду при помощи параллельного переноса системы координат.

Канонические уравнения линий второго порядка.

Пресечение линий второго порядка с прямой.

Асимптотические направления линий второго порядка.

Центр линии второго порядка.

Диаметры линий второго порядка.

Сопряженные диаметры.

Сопряженные направления.

Главные направления.

Главные диаметры, оси.

Получение канонических уравнений линий второго порядка при помощи ортогональных инвариантов.

Аффинная классификация линий второго порядка.

2. Поверхности второго порядка.

Понятие поверхности. Теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка.

Метод сечений.

Поверхности вращения.

Цилиндрические поверхности.

Цилиндры второго порядка.

Конические поверхности второго порядка.

Эллипсоид.

Однополостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид.

Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид.

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Аффинная классификация поверхностей второго порядка.

Проективная плоскость.

Центральная проекция и ее свойства.

Расширенная прямая, плоскость, пространство.

Понятие проективного пространства и его свойства

Модели проективной плоскости, прямой, пространства.

Проективный репер на проективной плоскости.

Координаты точек на проективной плоскости.

Проективный репер на прямой и координаты точек на проективной прямой.

Проекции точек проективной плоскости на координатных прямых..

Преобразование координат точек на проективной плоскости, прямой.

Уравнение прямой . Координаты прямой.

Принцип двойственности.

Трехвершинник. Теорема Дезарга.

Сложное отношение 4-х точек на прямой.

Сложное отношение 4-х прямых пучка.

Полный четырехвершинник и его свойства.

Проективные преобразования плоскости и его свойства.

Гомология. Построение соответственных точек при гомологии

Группа проективных преобразований.

Формулы проективных преобразований плоскости.

Проективное отображение прямых и пучков.

Проективные преобразования прямой. Инволюция.

Линии второго порядка на проективной плоскости и их проективная классификация.

Теорема Штейнера и следствия из нее.

Полный шестивершинник. Теорема Паскаля и следствия из нее

Теоремы Паппа, Брианшона.

Полюс и поляра.

Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения.



^ Дисциплина «Линейная алгебра и геометрия»
на самостоятельное изучение по дисциплине «Линейная алгебра и геометрия» для студентов 2 курса специальность «Математика» в

4-ом семестре выносятся следующие темы:


Тема № 1. Понятие к-мерной плоскости в многомерном пространстве. Составление уравнений многомерных плоскостей.

Задание:

Ответить на контрольные вопросы № 1-18 страница 21 из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» .

Решить задачи из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» №№ 1-10 стр. 30.

Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.

Отчетом по проделанной работе является контрольный опрос и самостоятельная работа № 1


Тема № 2 К-параллелепипеды. Вычисление объема к-параллелепипеда.

Задание.

Ответить на контрольные вопросы №№ 7-11 стр. 34 из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» .

Решить задачи из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» №№ 9 стр. 40.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.

Отчетом по проделанной работе является контрольный опрос и самостоятельная работа № 2


Тема № 3. Аффинные отображения и их свойства.


Задание.

Ответить на контрольные вопросы:

Понятие аффинных отображений и их свойства.

Аффинные преобразования и их координатное задание.

Группы аффинных преобразований и ее подгруппы.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.
^ Отчетом по проделанной работе является контрольный опрос

Тема № 4. Понятие квадратичной формы и ее приведение к каноническому и нормальному виду.

Задание

1.Ответить на контрольные вопросы №№ 1-13 стр.44 из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» .

Решить задачи из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» №№ 1-2, стр. 49.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:


Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.

Отчетом по проделанной работе является контрольный опрос и контрольный срез.


Тема 5. Центр квадрики.


Задание.

1.Ответить на контрольные вопросы №№ 7-12 стр. 53 из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики»

2.Решить задачи из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» №№ 1, стр. 57.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.

Отчетом по проделанной работе является контрольный опрос и контрольный срез.


Тема № 6. Аффинная квалификация квадрик.

Задание.

1.Ответить на контрольные вопросы:1. Виды квадрик в n-мерном аффинном пространстве и их частные случаи в 3-х-мерном пространстве; 2. Вопросы 1-2 стр. 62 из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики»

2.Решить задачи из учебного пособия «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» №№ 1-2, стр. 68.


Для подготовки рекомендуется использовать литературу:

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Учеб. для физ-мат. и инж. - физ. спец. вузов - М.: Наука, 2000 ..

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т., Дуничев К.И. др. Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1 Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979.

Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966

Хлопонина Э.П. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – методические рекомендации. – Ставрополь: изд-во СГУ, 2001.- 71с.

Отчетом по проделанной работе является коллоквиум и контрольный срез.

^ ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
Коллоквиум № 1


Аффинные системы координат в аффинном n-мерном пространстве. Основные задачи.

Понятие к-мерной плоскости в n-мерном аффинном пространстве.

Векторное параметрическое и общие уравнения к-плоскости.

Взаимное расположение к-плоскостей.

К-плоскости в евклидовом пространстве.

К-параллелепипеды.
^ Коллоквиум № 2
Движения евклидова пространства: определение, общие свойства и общая формула.

Частные виды движений в 2-x и 3-х-мерном евклидовом пространстве: определение, построение образов точек, формулы, свойства каждого из 9-ти типов движения.

Цилиндрические квадрики.

Конические квадрики.

Приведение квадрики к нормальному виду в пространстве Аn*.

Классификация квадрик в аффинном пространстве.

Классификация квадрик в 3-х-мерном евклидовом пространстве.

Отображения и преобразования.

Произведение преобразований, группа преобразований множества, подгруппа группы преобразований.

Аффинное преобразование плоскости и пространства. Теоремы о преобразовании векторов.

Общие свойства аффинных преобразований.

Основные теоремы об аффинных преобразованиях.

Основные теоремы об аффинных преобразованиях.

Аналитическое задание аффинных преобразований.

Группа аффинных преобразований пространства (плоскости).

Примеры аффинных преобразований плоскости.

Аффинная эквивалентность фигур.

Изометрические преобразования (движения).

Аналитическое задание движений плоскости.

Частные виды движений плоскости.

Классификация движений плоскости.

Группа движений плоскости и ее подгруппы.

Равенство фигур.

Гомотетия на плоскости.

Аналитическое задание гомотетии.

Преобразование подобия на плоскости.

Аналитическое задание подобия.

Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы



Дисциплина


Дифференциальная геометрия

3 курс, 5 семестр

На самостоятельное изучение выносятся следующие вопросы:


Раздел 1. Теория кривых

1) Найти в учебной литературе различные определения линии (с точки зрения геометрии, дифференциальной геометрии, математического анализа и других наук). Проанализировать их на эквивалентность и возможность использования в дифференциальной геометрии.

2) Рассмотреть особенности применение метода подвижного репера к изучению свойств плоских кривых (по аналогии с тем, как это было сделано в лекциях при изучении пространственных кривых).

3) Дать определение и знать свойства кривой Бертрана и гладкой линии.

4) Провести самостоятельно пропущенные доказательства при применении сопровождающего трехгранника к изучению свойств линии.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номерами 1, 3, 4, 5 из списка основной литературы и 2 из списка дополнительной литературы, а также учебником Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. – М.: Просвещение, 1987.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №1).

^ Раздел 2. Теория поверхностей

1) Найти и предложить различные определения поверхности и линии на поверхности.

2) Дать определение и привести примеры поверхностей постоянной кривизны.

3) Привести различные модели проективных пространств малой размерности.

4) Дать пояснения выражению «точки расположены достаточно близко».

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номерами 1, 3, 4, 5 из списка основной литературы и 1 из списка дополнительной литературы а также учебником Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. – М.: Просвещение, 1987.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №2).


Задания для самостоятельной работы на решение задач

Тема: «Параметрические уравнения линии. Касательная к линии. Длина дуги. Естественная параметризация».

1. По неподвижной окружности с внутренней ее стороны катиться без скольжения вторая окружность, радиус которой в 4 раза меньше радиуса неподвижной окружности. На катящейся окружности зафиксирована некоторая точка M. Траектория этой точки называется астроидой. Найти уравнение астроиды и сделать чертеж.

2. Вычислить длину дуги кривой, заключенной между точками M1 (t=0), M2 (t=1), если .

3. Найти точку пересечения касательной к кривой в точке t=1 с плоскостью XOY.


Тема: «Метод подвижного репера. Формулы Френе. Кривизна и кручение. Сопровождающий трехгранник линии и его применение для изучения свойств линии»

1. Найти координаты вектора канонического репера, кривизну и кручение линии при t=1. Написать уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника.

2. Составить натуральные уравнения линии .


Тема: «Определение поверхности. Параметризация поверхности. Линии на поверхности. Касательная плоскость и нормаль»

1. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности xy2+z3=12 в точке M(1,2,2).

2. Найти касательную плоскость к поверхности , проходящую через прямую x+y-1=0, z=0.

3. Показать, что объем тетраэдра, образованного пересечением координатных плоскостей и касательной плоскости к поверхности , не зависит от выбора точки касания.



Тема: «Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Длина дуги, величина угла, площадь замкнутой области»

1. Вычислить первую квадратичную форму сферы.

2. Найти угол между кривыми : v=u+1, ’: v=3-u на поверхности .

3. На поверхности вычислить длину дуги линии v=au между точками ее пересечения с линиями u=1, u=2.

4. Найти площадь треугольника, образованного пересечением линий u= av,u=av, v=1 на поверхности и первой квадратичной формой: ds2=(du)2+(u2+a2)(dv)2.


Тема: «Индикатриса кривизны. Главные направления и кривизны. Нормальная средняя и полная кривизны. Геодезическая кривизна»

1. Найти вторую квадратичную форму линии в точке M(2,1).

2. Найти вторую квадратичную форму катеноида.

3. Найти главные кривизны поверхности .


Для контроля знаний и проверки самостоятельной работы студентов могут быть использованы приложенные тесты.
^ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Различные подходы к определению линии.

Параметрическое и векторное уравнения линии.

Векторные функции одного скалярного аргумента и их свойства.

Эквивалентные параметризации.

5. Касательная к линии.

Длина дуги линии.

Естественная параметризация линии.

Метод подвижного репера и его применение к изучению плоских и пространственных кривы

8. Вывод формул Френе.

Кривизна и кручение кривой.

Формулы для вычисления кривизны и кручения в произвольной параметризации.

Натуральные уравнения линии.

Применение сопровождающего трехгранника к изучению свойств линии.

Винтовая линия.

Плоские кривые.

Эволюта и эвольвента плоской линии.

15. Определение поверхности.

16. Гладкие поверхности.

Векторная функция двух скалярных аргументов и ее свойства.

Эквивалентные параметризации поверхности.

19. Линии на поверхности.

Криволинейные координаты на поверхности.

Касательная плоскость и нормаль.

Длина дуги, величина угла, площадь замкнутой области на поверхности.

Первая квадратичная форма.

23. Нормальная и геодезическая кривизны линии на поверхности.

24. Вторая квадратичная форма поверхности.

25. Индикатриса кривизны, классификация регулярных точек поверхности.

26. Инварианты пары квадратичных форм, главные, средняя и гауссова кривизны поверхности.

27. Применение метода подвижного репера к изучению свойств поверхности: деривационные формулы, символы Кристоффеля, теорема Гаусса.

28. Теорема Гаусса-Бонне.

29. Геодезические линии и их свойства.

30. Внутренняя геометрия поверхности.

31. Реализации «в малом» неевклидовых геометрий на поверхностях.

32. Многомерные геометрические объекты: проективное пространство, аффинная карта проективного пространства ; модели проективных пространств малой размерности; матричные группы как поверхности.


Дисциплина


Топология

3 курс, 6 семестр


На самостоятельное изучение выносятся следующие вопросы:


Раздел 1. Введение в топологию

Тема 1. Элементы общей топологии

Найти в учебной литературе определение метрики, метрического пространства, тривиальной метрики. Рассмотреть примеры наиболее важных в математических дисциплинах пространств с соответствующими метриками (евклидово пространство, множество точек числовой прямой, гильбертово пространство и обобщенное пространство, пространство непрерывных на отрезке функций и др.). Проанализировать связь между топологическими и метрическими пространствами. Рассмотреть метризуемые топологические пространства.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номером 2 из списка основной литературы и 6 из списка дополнительной литературы.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №1).

^ Тема 2. Гладкие многообразия

Повторить и углубить знания по Теме «Проективная плоскость и проективное пространство». Знать соответствующие определения, различные модели и интерпретации (пучок прямых в трехмерном пространстве, сфера с дыркой, заклеенной листом Мебиуса, сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками, полу сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками границы, тройки и четверки чисел – однородные координаты).

Уметь показать, что проективная плоскость и проективное пространство являются замкнутыми компактными многообразиями.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номерами 1, 4 из списка основной литературы и 1 из списка дополнительной литературы.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №1).

Раздел 2. Теория поверхностей

Тема 1. Тензоры на римановом многообразии

Изучить самостоятельно следующие вопросы:

1) дифференциальные формы: знать определение линейной и билинейной дифференциальных форм, уметь приводить соответствующие примеры;

2) внешнее произведение дифференциальных форм: знать определение внешнего произведения и внешней алгебры, доказать теорему о внешнем произведении дифференциальных форм как билинейной операции.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номером 5 из списка основной литературы.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №2).

^ Тема 2. Связность и ковариантное дифференцирование

На самостоятельное изучение выносится вопрос «Связности, согласованные с метрикой». Знать два определения евклидовых координат (с использованием метрики и с использованием компонент связности), определение связности, согласованной с метрикой. Уметь формулировать теоремы:

о связи операции опускания тензорного индекса со связностью, согласованной с метрикой;

о векторных полях, параллельных вдоль некоторой кривой;

о существовании и единственности связности, согласованной с невырожденной метрикой.

Уметь приводить примеры.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номером 5 из списка основной литературы.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №2).

^ Тема 4. Элементы топологии многообразий

На самостоятельное изучение выносится вопрос «Индекс особой точки векторного поля».

Знать:

определения особой точки поля, изолированной точки поля, невырожденной точки поля, корней невырожденной особой точки, индекса невырожденной особой точки. Индекса изолированной особой точки;

теоремы о невырожденной точке (уметь доказывать), о связи степени векторного поля с суммой индексов особых точек, о независимости индекса особой точки на плоскости от направления поля.

Привести примеры зависимости векторного поля от вида корней невырожденной особой точки на плоскости.

Для подготовки кроме лекций следует воспользоваться номером 5 из списка основной литературы.

Отчетом о проделанной работе является коллоквиум (рассматриваемый материал входит в вопросы коллоквиума №2).


Литература

Основная

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 368 с.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987.

Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1989.

Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. – М.: Высшая школа. 1980. – 295с.

Малютин В.В., Махринова М.В. Курс лекций по топологии: Учебное пособие. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001.

Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. – М.: Просвещение, 1991. – 255с.

Дополнительная

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.

Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. - М. :Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 424 с.

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 700 с.

Келли Дж.Л. Общая топология.- М.: Наука, Гл.ред.физ.- мат.лит., 1981. - 432 с.

Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 3. Гладкие многообразия.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 479 с.

Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.- 488 с.

Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. - М.: Мир, 1970. - 412 с.

Телеман К. Элементы топологии и дифференцируемые многообразия. - М.: Мир, 1967. - 390 с.

Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. - М.: Мир, 1982. -360 с.

^ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ТОПОЛОГИИ



Топология как наука.

Покрытие, подпокрытие, топология. Примеры.

Различные определения топологического пространства. Примеры.

Сравнение топологий.

Взаимное расположение точек и множеств в топологическом пространстве.

Теоремы об открытых и замкнутых множествах.

База топологии.

Пространство со счетной базой, примеры. Предбаза топологии.

Метрическое пространство. Определение и примеры.

Связь метрических и топологических пространств.

Подпространство топологического пространства.

Некоторые свойства топологических пространств.

Открытые и непрерывные отображения топологических пространств. Связь между ними. Примеры.

Гомеоморфизм, примеры.

Компактность.

Отделимость.

Связность.

Сепарабельные пространства. Плотные множества.

Определение n-мерной карты, атласа пространства, n-мерного топологического многообразия. Примеры.

Определение гладкого многообразия, примеры.

Локально евклидово пространство, свойства. Другое определение топологического многообразия, примеры.

Замкнутые и открытые многообразия. Примеры. Свойства многообразий.

Гладкие отображения.

Диффеоморфизм.

Гладкая поверхность как многообразие.

Матричные группы.

Проективная плоскость и проективное пространство.

Многообразие с краем.

Риманова метрика.

Касательный вектор, касательное пространство к многообразию.

Векторные поля на многообразии.

Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.

Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.

Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой точкой.

Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.

Доказать, что y=x3 – непрерывное отображение.

Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.


^ Планирование контролируемой самостоятельной работы студентов по НОШКМ (научные основы школьного курса математики)

3 курс, 5 семестр

Профессор Кучугурова Н.Д.


^ Самостоятельная работа – вид познавательной деятельности обучаемых на уроке и дома; ее выполнение осуществляется