Реферат: Н. Н. Яремко Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

Яремко Н.Н. Информационные технологии как инструментарий решения некорректных математических задач. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Всерос. научно-техн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2008. – С. 147-150.

Информационные технологии
как инструментарий решения
некорректных математических задач

Н.Н. Яремко

Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза

В начале XXI века П.И. Пидкасистый [1] определяет процесс обучения «как процесс активного целенаправленного взаимодействия между обучающим и обучаемым, в результате которого у обучающегося формируются определенные знания, умения, навыки, опыт деятельности и поведения, а также личностные качества». Процесс обучения в высшей школе имеет свою специфику. При сходстве с основной структурой дидактического процесса он обнаруживает свойства, основанные на следующих позициях:

вузовское обучение представляет собой профессиональное обучение;

вузовское обучение осуществляется в таких учебных заведениях, которые являются и исследовательскими учреждениями;

вузовское обучение осуществляется в особых формах организации преподавания и обучения.

В соответствии с высказанными положениями обучение высшей математике на экономическом факультете должно иметь профессиональную направленность, соответствовать современному уровню знаний и научных исследований, демонстрировать прикладное значение математики во многих важных содержательных вопросах, подчеркивать роль математики как эффективного и практического средства познания мира. Некорректные математические задачи играют роль средства достижения поставленных целей.

Задачи, возникающие из практических потребностей, в большинстве случаев некорректны, т.е. имеют неединственное решение либо содержат противоречивые данные, либо неустойчивы [2]. Напротив же, задачи, предлагаемые в учебниках по высшей математике, обладают математической определенностью и устойчивостью. Таким образом, потребность в изучении некорректных задач, их методов решения диктуется самой практикой современной жизни. Некоторые дидактические аспекты применения некорректных задач в обучении математике рассмотрены в работе [3].

Процесс решения некорректной задачи носит циклический характер. Он начинается с исходной проблемной ситуации, которая в результате проведения содержательного анализа переводится в практическую задачу. Далее практическая задача формализуется, и строится ее математическая модель, которая затем решается. Полученный результат оценивается с точки зрения критериев, предъявляемых формализованной моделью и реальной проблемной ситуацией. Таким образом, процесс решения задачи завершается возвратом к исходной проблеме, проверкой полученного результата, его практической интерпретацией. Если полученный результат не удовлетворяет условиям проблемной ситуации, то весь процесс повторяется заново, выбирается другая математическая модель, и после проведения решения результат вновь оценивается с точки зрения условий исходной проблемной ситуации. Весь процесс решения обладает цикличностью, представляет собой спиралеобразную процедуру. Решение завершается после выполнения нескольких циклов, когда получен результат, удовлетворяющий практическим потребностям, сформулированным в исходной проблемной ситуации.

Рассмотрим задачи о диете, относящиеся к линейной алгебре и линейному программированию. При их решении возникает потребность в проведении большого объема вычислений, поэтому в данном случае использование пакетов символьной математики естественно обоснованно. Ввиду большого объема вычислений при их решении возникает потребность использования стандартных пакетов символьной математики Mathcad, Maple, Mathematica, MatLab.

Задача. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки определенное количество питательных веществ . Используется два вида продуктов. Содержание питательных веществ в единице продукта, суточная норма их потребления и цена единицы продукта указаны в таблице.


^ Питательные вещества

Суточная норма

Содержание питательных веществ в единице продукта











14

10

20

2 1

1 2

2 4

Цена единицы продукта




1 2


Найти вариант диеты стоимостью в денежных единиц, которая содержит в точности суточную норму питательных веществ.

Р
.
ешение. Обозначим через число единиц продуктов. Условия задачи приводят к системе уравнений:



Задача имеет единственное решение лишь для стоимости диеты . При этом имеем вариант диеты: , . Любое, сколь угодно малое изменение стоимости диеты приводит к противоречивости системы уравнений и отсутствию решений, т.е. полученная система уравнений неустойчива.

Рассмотрим случай несовместности системы, например, . Для несовместных систем определяют так называемое псевдорешение, которое задается как вектор , минимизирующий невязку:

.

Получим: . Псевдорешение устойчиво.

Проведем экономический анализ полученного результата. Для этого подставим псевдорешение в систему. При данной диете происходит превышение суточного потребления веществ ,, и затраты на питание будут менее 11 денежных единиц. Полученный результат приводит к мысли, нельзя ли еще уменьшить стоимость диеты, при которой будет гарантировано суточное потребление питательных веществ. Так мы естественным образом подошли к необходимости изменения исходной математической модели. Новая математическая модель – задача линейного программирования, исследование на минимум стоимости диеты при ограничениях:



Решение задачи можно найти, например, геометрическим методом. В результате имеем однопараметрическое множество оптимальных планов: , для каждого из которых будут достигаться минимальные затраты на диету: , и будут полностью удовлетворены суточные потребности в питательных веществах (причем потребности в веществе будут превышены в случае планов , а по веществам будет строгое равенство).

Следуя логике рассуждений экономического характера, студенты от классической задачи линейной алгебры решения системы линейных уравнений переходят к задаче отыскания псевдорешений несовместной системы линейных уравнений, а затем – к задаче линейного программирования. Далее возможно составление цепочки задач-обобщений:

1) возможно ли составить диету стоимостью, меньшей 10 денежных единиц? (отв.: нельзя);

2) найти замещение в диете продукта на другой продукт с тем же составом питательных веществ, но более дешевый, ценой a денежных единиц, при этом стоимость затрат на диету не должна превзойти 9 денежных единиц (отв.: );

3) найти диету, при которой обеспечивается максимальное потребление питательных веществ, например, (отв.: найти невозможно).

Библиографический список

1. Педагогика: учеб. пособие / под ред. П.И. Пидкасистого. – М.: Пед. об-во России, 2003. – 608 с.

2. Тихонов, А.Н., Арсенин, В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 288 с.

3. Яремко, Н.Н. Некорректные задачи при обучении математике в школе и вузе // Известия РГПУим.Герцена. Общественные и гуманитарные науки, №11(62). – СПб.,2008. – С. 339 – 346.