Реферат: Евгений Куланин, Алексей Мякишев о некоторых кониках, связанных с треугольником Москва

Евгений Куланин, Алексей Мякишев


О некоторых кониках, связанных с треугольником


Москва

2007

Коники+треугольник: Terra incognita ? 1

Три задачи.


Конические сечения (в просторечии – коники) были открыты, насколько это известно, еще в IV веке до н.э. древнегреческим математиком Менехмом (учеником самого Платона). Решая задачу об удвоении куба, Менехм рассматривал сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его образующей. Затем весьма детальное (а в сущности, даже и полное) описание разнообразных свойств коник2 дал знаменитый геометр Аполлоний Пергский (трактат из восьми книг «Конические сечения» был создан в конце III века до н.э.).

Без сомнения, в настоящее время каждый образованный человек, окончивший ВУЗ естественно-научного направления, хоть что-нибудь, хоть краем уха, а слышал о кониках.

Кому-то повезло (впрочем, кому-то, может, и «повезло») повстречаться с ними еще в школе. Во всяком случае, в любом техническом ВУЗе свойства конических сечений обязательным порядком входят в стандартный курс аналитической геометрии.

Но вот что можно заметить: в институте ли, в школе – эти свойства изучаются обыкновенно в замкнутом, самодостаточном виде, как «вещь в себе» - рассказывается, разве что, о некоторых приложениях к задачам механики.

А между тем, многие сложные и содержательные утверждения ^ Геометрии Треугольника тесно связаны с теми или иными кониками.3 Зачастую, обозревая ландшафт треугольника с высоты соответствующего конического сечения, удается вскрыть самую суть проблемы, добраться, по словам поэта, «до оснований, до корней, до сердцевины».4

Отметим также, что возникающие здесь коники продолжают и развивают всевозможные классические направления в планиметрии, нередко взаимодействуя с такими, например, объектами, как окружность Эйлера, прямая Валлиса – Симсона и т.д. и т.п.

Конечно, эксперты5 в области ^ Элементарной Геометрии прекрасно осведомлены о всяческих замечательных свойствах этих коник - чего, увы, не скажешь об основной массе любителей6.

В настоящей статье мы попытаемся ознакомить читателя с некоторыми кониками, связанными с треугольником и показать, как применяются они к решению задач. И с этой целью рассмотрим три утверждения (автором которых является Евгений Куланин):


1. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через точки Жергонна и Нагеля, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Фейербаха7 лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.

2. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через его центроид и точку Лемуана, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Штейнера лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.

3. Докажите, что гипербола Киперта касается описанного эллипса Штейнера тогда и только тогда, когда парабола Киперта касается вписанного эллипса Штейнера.


Прежде чем переходить к доказательствам, предлагаем совершить небольшое путешествие в страну «треугольных» коник.

Доказательство изложенных ниже фактов можно найти в [1],[2],[3],[5],[6],[8].

В первых трех работах упор делается именно на выявлении геометрического смысла происходящего, в то время как авторы трех остальных трудов (чрезвычайно богатых фактическим материалом) пользуются исключительно вычислениями. (Барицентрические координаты – о которых см. также [4] – могучий метод, посредством которого может быть доказана практически любая теорема геометрии треугольника. Жаль только - без малейшей геометрии, а чисто формальными выкладками).

Мы особенно рекомендуем книжку [1], где геометрия коник предстает во всей своей красе.


Некоторые сведенья из геометрии треугольника.

Основные свойства «треугольных» коник.


Замечательные точки треугольника.

Строгого математического определения замечательной точки треугольника не существует. С интуитивной точки зрения, «степень замечательности» той или другой точки можно оценить дробью, в числителе которой – количество нетривиальных свойств, связанных с этой точкой, а в знаменателе – «сложность» ее построения8.

Приведем некоторые примеры.

Первая четверка известна с незапамятных времен.

Точка пересечения медиан (центроид)G, точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности или инцентр) I, точка пересечения высот (ортоцентр) H, центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника) O.




^ Пятой (согласно [5],[6]) была обнаружена т.н. точка Ферма-Торричелли.

Если построить на сторонах треугольника правильные треугольники вовне, то вершины этих треугольников образуют треугольник, перспективный исходному с перспектором T. В этой же точке пересекаются все три окружности, описанные около правильных треугольников. Если T расположена внутри треугольника АВС (т.е. его углы не превосходят ), то она минимизирует сумму расстояний до вершин.



Дадим описание еще нескольких замечательных точек.

^ Точка Аполлония A– точка, педальный треугольник (образованный основаниями перпендикуляров, опущенной из данной точки на стороны треугольника или их продолжения) которой является правильным.



^ Точки Жергонна J и Нагеля N.

Треугольник, образованный точками касания вписанной (соответственно вневписанных) окружности перспективен исходному с перспектором в точке J (соответственно N).




Точка Шпикера S – центр окружности, вписанной в серединный треугольник (образованный серединами сторон).





Является центром тяжести периметра треугольника (составленного из однородных стержней).


^ Изогональное и изотомическое сопряжения. Неподвижные точки.

Изогональное сопряжение.

Рассмотрим произвольную точку Р в плоскости треугольника АВС и ее чевианы (т.е. тройку прямых, соединяющие вершины треугольника с этой точкой). Сделаем затем симметрию чевиан относительно соответствующих биссектрис. Тогда новая тройка прямых пересечется в точке , называемой точкой, изогонально сопряженной точке Р.



(Если точка Р расположена на прямой, содержащей сторону треугольника, и отлична от вершины треугольника, то, руководствуясь соображениями непрерывности, следует считать, что она переходит в противолежащую вершину треугольника).

Таким образом, имеем отображение плоскости на себя (однозначность нарушается для точек, расположенных на продолжении сторон исходного треугольника), такое что (тождественное преобразование). Очевидно, неподвижными точками этого отображения являются центр вписанной и центры трех вневписанных окружностей ().

^ Изотомическое сопряжение.

Рассмотрим произвольную точку Р в плоскости треугольника АВС и ее чевианы . Сделаем затем симметрию оснований чевиан относительно середин соответствующих сторон. Тогда новая тройка прямых пересечется в точке , называемой точкой, изотомически сопряженной точке Р.



И здесь возникает отображение плоскости на себя (однозначность также нарушается для точек, расположенных на продолжении сторон исходного треугольника), такое что . Неподвижными точками являются центроид и вершины антидополнительного треугольника (образованного прямыми, проходящими через вершины исходного треугольника параллельно соответствующим сторонам) .



^ Еще несколько замечательных точек.


Можно заметить, что многие замечательные точки «ходят парами». Так, например, изогонально сопряженными являются пары Н и О (ортоцентр и центр описанной окружности), Т и A (точка Ферма-Торричелли и точка Аполлония). Точки J и N (Жергонна и Нагеля) сопряжены изотомически.

Рассматривая изогональные или изотомические сопряжения некоторых других точек, получим новые замечательные точки. Так появляются (антиинцентр – точка, изотомически сопряженная к инцентру), (антиортоцентр - изотомически сопряженная ортоцентру) и (антицентр описанной окружности - изотомически сопряженная к О).



Точки и , изогонально сопряженные точкам Жергонна и Нагеля, совпадают с центрами гомотетий, переводящих описанную и вписанную окружности друг в друга.

Точка ^ К, изогонально сопряженная центроиду G, называется точкой Лемуана.




Это – единственная точка, являющаяся центроидом своего педального треугольника. Можно показать, что она минимизирует сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.

^ Прямая и окружность Эйлера. Теорема Фейербаха. Точки Фейербаха.


Справедлива следующая теорема:

Точки H, G и O расположены на одной прямой – т.н. прямой Эйлера (считаем треугольник неравносторонним – иначе все три точки совпадают), причем .

На этой же прямой расположен центр окружности Эйлера Е (или окружности девяти точек), причем точка Е делит отрезок ОН пополам. Окружность Эйлера содержит середины сторон треугольника, основания высот, а также середины отрезков, соединяющие ортоцентр с вершинами.




В 1822 году немецкий математик Карл Фейербах опубликовал одну из самых поразительных теорем геометрии треугольника:

^ Окружность Эйлера касается вписанной и трех вневписанных окружностей (точки касания обозначают соответственно, первую из них называют точкой Фейербаха, а остальные три – добавочными точками Фейербаха).

Исключительно геометрическое доказательство этой теоремы можно найти в статье Владимира Протасова «Вокруг теоремы Фейербаха» (в приложении к журналу «Квант» №1/98 – «Математический кружок. Геометрия»).




А в 2002 году в журнале «Математическое просвещение» (выпуск 6) была опубликована статья Льва и Татьяны Емельяновых «^ Семейство Фейербаха»9. Авторам удалось выявить некий набор чевианных треугольников, описанные окружности которых проходят через точку Фейербаха. (Глубокая геометрия, стоящая за этим открытием, описана в [1] и [2])

В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, описанная около оснований биссектрис.

.



^ Еще несколько замечательных прямых.


Помимо прямой Эйлера существуют и многие другие, содержащие различные замечательные точки. Вот некоторые примеры:

^ Прямая Нагеля.

Точки N, G и I расположены на одной прямой (если исходный треугольник не является равносторонним – иначе все три точки совпадают), причем .

На этой же прямой расположена точка Шпикера ^ S, которая делит отрезок NI пополам.

Ось Брокара.

Прямая, которая содержит точки О, К и A.

Линия центров описанной и вписанной окружностей.

Прямая, проходящая через центры гомотетий и , переводящих описанную и вписанную окружности друг в друга. Естественно, содержит также точки О и I.

Прямая Жергонна.

На этой прямой расположены точки

^ Прямая Лемуана.

Прямая, содержащая точки К, G, , причем


^ Прямая Валлиса – Симсона.


Педальный треугольник точки Р вырождается в отрезок тогда и только тогда, когда точка Р лежит на описанной около исходного треугольника окружности. Прямая, проходящая через основания перпендикуляров, называется прямой Валлиса-Симсона.



^ Бесконечно удаленные точки. Бесконечно удаленная прямая и сопряжения.


С точки зрения проективной геометрии, пучок параллельных прямых на обычной евклидовой плоскости пересекается в бесконечно удаленной точке. Все бесконечно удаленные точки образуют на проективной плоскости бесконечно удаленную прямую.

Оказывается, изогональное сопряжение переводит в бесконечно удаленную прямую описанную окружность (и наоборот).




Изотомическое сопряжение переводит в бесконечно удаленную прямую описанный эллипс Штейнера10. Это – эллипс, описанный около исходного треугольника, с центром в точке пересечения медиан G и содержащий также точки, симметричные центроиду относительно середин соответствующих сторон.




^ Некоторые общие свойства конических сечений.


Все коники проективно эквивалентны, т.е. переводятся друг в друга подходящим проективным преобразованием.11 При этом гипербола пересекает бесконечно удаленную прямую в двух точках, парабола ее касается, а эллипс не имеет с ней общих точек.

Любые пять точек общего положения (т.е. среди которых отсутствуют тройки коллинеарных точек) лежат на некоторой конике, однозначно определенной этими точками.

Двойственное к этому утверждение состоит в том, что пять прямых общего положения (т.е. среди них нет троек конкурентных прямых) однозначно задают конику, их касающуюся.

Эллипс и гипербола имеют центр симметрии (который в случае параболы удаляется в бесконечность – точку пересечения прямых, параллельных оси параболы). Любая прямая, соединяющая середины двух параллельных хорд коники, проходит через ее центр (в случае параболы имеем прямую, параллельную оси параболы), т.е. является диаметром коники.





^ Коники, описанные около треугольники и вписанные в него.


Коника, содержащая вершины треугольника АВС, называется описанной около этого треугольника.

Каждая такая коника может быть получена как изогональный (или изотомический) образ некоторой прямой. При этом возникают гипербола, парабола или эллипс в зависимости от количества точек пересечения прямой (соответственно 2,1 или 0) с описанной около треугольника окружностью (а в случае изотомического сопряжения нужно рассмотреть описанный эллипс Штейнера).

Гипербола, описанная около треугольника, является равносторонней (т.е. имеет перпендикулярные асимптоты) тогда и только тогда, когда на гиперболе лежит ортоцентр треугольника Н. Центр такой гиперболы расположен на окружности Эйлера, асимптоты же совпадают с прямыми Валлиса-Симсона диаметрально противоположных точек, образованных пересечением изогонального образа гиперболы с описанной окружностью.




Центр описанной гиперболы, проходящей через центроид G, всегда расположен на вписанном эллипсе Штейнера12 (это – вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в серединах и с центром в G).



Наконец, если описанная коника получена соответствующим сопряжением из некоторой прямой, содержащей его неподвижную точку, то эта прямая будет касаться коники в неподвижной точке (на рисунке изображена коника, полученная под действием изотомического сопряжения на прямую, проходящую через центроид G).



Коника, касающаяся прямых, содержащих стороны треугольника, называется вписанной.

Треугольник, образованный точками касания, всегда будет перспективен исходному. Полученную точку именуют перспектором вписанной коники.13


^ Перспектор вписанной параболы расположен на описанном эллипсе Штейнера.




Директриса вписанной параболы всегда проходит через ортоцентр Н треугольника, а ее фокус лежит на описанной около треугольника окружности.

Отсюда вытекает прямо-таки концептуальное доказательство двух красивых фактов, связанных с полным четырехсторонником:

Пусть имеются четыре прямые общего положения, образующие четыре треугольника.

Оказывается, их ортоцентры лежат на одной прямой (т.н. прямая Штейнера-Обера полного четырехсторонника), а описанные около этих треугольников окружности пересекаются в одной точке (т.н. точка Микеля полного четырехсторонника).




В самом деле, обязательно должна найтись парабола14, касающаяся всех четырех прямых (ибо пятой прямой, которой касается парабола, будет бесконечно удаленная прямая).

Таким образом, эта парабола будет вписана во все четыре треугольника, а значит, их ортоцентры лежат на директрисе, а описанные окружности проходят через фокус.


^ 2.10. Пять замечательных коник треугольника.

Ниже мы перечислим пять именных коник (названных в честь некоторых выдающихся геометров) и перечислим их основные свойства.

Описанный и вписанный эллипсы Штейнера. Точка Штейнера S.

Определения этих коник были уже даны ранее (см. 2.7 и 2.9). Они эквивалентны тому, что описанный и вписанный эллипсы Штейнера есть аффинные 15образы, соответственно, описанной около некоторого правильного треугольника окружности, и вписанной в него.


Гомотетия с центром в точке пересечения медиан G и коэффициентом -2 переводит вписанный эллипс Штейнера в описанный (между прочим, та самая гомотетия, которая переводит окружность Эйлера в описанную окружность).

Стороны антидополнительного треугольника касаются описанного эллипса в вершинах исходного треугольника.

^ Точкой Штейнера S называют четвертую точку пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера.



Еще отметим, что среди всех описанных и вписанных эллипсов эллипсы Штейнера имеют, соответственно, наименьшую и наибольшую площади.

^ Гипербола Киперта.

Это описанная около треугольника равносторонняя гипербола, проходящая через центроид G и ортоцентр Н. Ее можно получить как изогональный образ оси Брокара или изотомический образ прямой Лемуана (см. 2.5), причем последняя касается гиперболы в центроиде (см. 2.9). Гипербола Киперта может также быть получена как множество перспекторов исходного треугольника и треугольников, составленных из вершин равнобедренных треугольников, построенных на сторонах данного, с одним и тем же углом при основании (причем вершины одновременно откладываются или вовне или вовнутрь). Поэтому на гиперболе Киперта лежит, например, точка Ферма-Торричелли Т, а центроид и ортоцентр соответствуют двум предельным случаям – когда углы при основании равны, соответственно, 0 и .

Согласно результатам, изложенным в 2.9, центр гиперболы Киперта лежит на четвертой точке пересечения окружности Эйлера и вписанного эллипса Штейнера, а значит, при гомотетии с центром в G, и коэффициентом -2 переходит в точку Штейнера

S. Т.е., точки S, ^ G, коллинеарны, причем .




^ Парабола Киперта.

Это – вписанная в треугольник парабола, директриса которой совпадает с прямой Эйлера.

Ее перспектор совпадает с точкой Штейнера S. Можно также показать, что фокус параболы Киперта (расположенный на описанной окружности), получается в результате композиции (S).




^ Гипербола Фейербаха.

Это описанная около треугольника равносторонняя гипербола, проходящая через инцентр I и ортоцентр Н. Ее можно получить как изогональный образ прямой OI (и эта прямая касается гиперболы в инцентре) или изотомический образ прямой Жергонна (см. 2.5), а потому на ней расположены точки Жергонна J и Нагеля N.

Центром гиперболы Фейербаха является, натурально, самая точка Фейербаха F (отсюда и пошло название этой гиперболы).




3. Решение задач


Все теперь готово, чтобы обсудить три задачи, сформулированные в пункте 1.

Докажем вначале лемму, важную для доказательства первых двух утверждений.



Лемма:

Пусть Р и - изотомически сопряженные точки относительно треугольника АВС. Тогда прямая Рпараллельна прямой ВС если и только если центр коники, описанной около АВС и проходящей через Р и лежит на медиане .

Доказательство:

Согласно 2.8, конику через пять точек провести можно. Предположим, что прямая^ Р параллельна прямой В