Реферат: Теория и методы цифровой обработки сигналов

Теория и методы цифровой обработки сигналов

SPECTRAL LEAKAGE IMPACT ON BEHAVIOUR OF THE AUTO-CORRELATION FUNCTION OF A LIMITED HARMONIC SIGNAL
Khanyan G.
Central Institute of Aviation Motors named after P.I. Baranov 2, Aviamotornaya st., Moscow, 111116, Russia, www.ciam.ru
In digital signal processing applications, the discrete correlation function

(1) is calculated by means of an inverse DFT of the module square of the discrete spectral function Sm:

. (2)

Here, sn is a N-point digital realization of signal s(t), observed in the time window of T duration and sampled (starting with a certain moment T0) at frequency F=1/t=N/T: . (3)

The problem under discussion in the art (e.g., [1]) is which correlation function should be considered the “authentic” – the circular function Ck or the linear one Rk. The issue is still open how to divide the sum when determining Rk – by the number of addends N–k, as in (1), or by the number of samples N.

In the present paper this problem is solved for a base type signal – a harmonic oscillation of an amplitude a0, frequency f0 , and phase 0, whose digital realization has the following form:

. (4)

Here, m0 is the address of a maximum peak in the signal amplitude spectrum Am=2|Sm|; 0 – a fractional complement to the peak address; 0 – the initial signal phase in the time reference system linked to the viewing window. Those parameters are established in the following way:

; . (5)

The paper [2] demonstrates that the 0, parameter, varying in the range –1/2<01/2, is the main factor which distorts both the amplitude (spectral leakage) and the phase (displacement) of an oscillation. It is natural to suppose that this parameter can also influence the correlation function’s structure. To find out the character and degree of that impact we have derived precise analytical formulas (of time delay k=k t dependence) for the functions Ck and Rk of signal (4):

, (6)

. (7)

Analysis of these formulas, verified by their modeling and through a correlation analysis of process (4) according to (2), shows that addends containing cos20 are negligible as compared to the main, “classical” part cos2f0k. As for the addend with k before the sine in (7) it introduces a distortion (the envelope narrowing) of function Ck proportional to sin 0 and only disappearing when 0=0. High sensitivity of Ck to spectral leakage is a weighty argument in favor of Rk choosing for developing correlation analysis applications.




^ КОГЕРЕНТНЫЙ МЕТОД ПРОНИ С КВАЗИПРОРЕЖИВАНИЕМ

Савинов Ю.И.

Военная академия войсковой ПВО ВС РФ им. Маршала Советского Союза А. М. Василевского

Разрешающая способность – одна из важных характеристик методов спектрального анализа. Большие надежды в вопросе разрешения сигналов с близкими частотами возлагаются на методы современного цифрового спектрального оценивания [1]. Отличительной чертой методов этого направления является использование дополнительной априорной информации об анализируемых сигналах. Прежде всего, это допущения о существовании сигнала за пределами интервала наблюдения, об ограниченном составе и характере составляющих его компонент. Анализируемая последовательность отсчетов рассматривается как фрагмент более продолжительного процесса, описываемого некоторой заданной моделью. Высокое разрешение методов современного цифрового спектрального оценивания достигается за счет анализа не короткой исходной, а более длинной экстраполированной реализации сигнала, что снижает эффект «окна», присущий всем классическим методам спектрального анализа.

Главным достоинством методов современного цифрового спектрального оценивания является способность измерять параметры сигналов по короткой выборке с разрешением меньшим величины, обратной интервалу наблюдения. Однако для реализации таких методов требуется высокое отношение сигнал-шум, что недостижимо без накопления сигнала перед измерением.

Существует два подхода к накоплению энергии сигнала. Первый – накопление в процессе формирования корреляционной матрицы (КМ) сигнала, на использовании которой основаны все методы цифрового спектрального оценивания. Но при достаточно большой выборке и малом отношении сигнал-шум эти методы теряют свои преимущества и становятся соизмеримыми по разрешающей способности с методами классического гармонического анализа. Более того, возникают проблемы с выбором размерности модели, так как возможное количество составляющих сигнала во всем диапазоне анализа заранее неизвестно, а, следовательно, приходится формировать и обращать КМ максимально возможной размерности, увеличивая потребность в вычислительных ресурсах по сравнению с зарекомендовавшей себя фильтровой обработкой.

Второй подход предусматривает предварительную фильтрацию сигнала, обужающую полосу анализа. Для этого необходимо либо иметь априорную информацию о возможном диапазоне частот измеряемых сигналов, либо использовать результаты традиционной фильтровой и пороговой обработки. При этом получение временного ряда выборок сигнала, подлежащего анализу при цифровом спектральном оценивании, реализуется снятием отсчетов сигнала с выхода сигнального фильтра, к которым затем применяются процедуры повышенного разрешения. Но при таком способе накопления получение требуемого количества отсчетов сигнала вызывает необходимость многократного повторения процедуры фильтровой обработки входных данных. Это так же приводит к росту вычислительных затрат и увеличению времени выполнения измерительных процедур.

Таким образом, известные методы цифрового спектрального оценивания не позволяют получить существенных преимуществ перед традиционным гармоническим анализом, достаточных для того, чтобы рассматривать их применение в практическом плане в большинстве приложений.

Новый метод, получивший название «когерентного метода Прони с квазипрореживанием» совмещает в себе достоинства традиционного гармонического анализа, поскольку предусматривает когерентное накопление сигнала в системе узкополосных фильтров, и достоинства цифрового спектрального оценивания, поскольку позволяет получить оценки частот анализируемых сигналов, отличающихся по частоте меньше чем на ширину фильтра. При этом для анализа достаточна одна реализация сигнала.

Суть метода заключается в следующем. Измеряемые сигналы накапливаются когерентно в системе частотных фильтров по алгоритму БПФ до величины, достаточной для их регистрации в сигнальном фильтре. Выделяется узкая часть частотного диапазона в окрестностях сигнального фильтра (усечение спектра) и осуществляется обратный переход во временную область. В результате такой операции во временной области формируются короткая выборка временных отсчетов, в каждом из которых отношение сигнал-шум существенно выше, чем в исходной последовательности, а интервал наблюдения остается неизменным. Полученная короткая выборка сигнала подвергается обработке в соответствии с методом Прони.

Последовательность этапов обработки сигнала при использовании когерентного метода Прони с квазипрореживанием иллюстрируются следующими рисунками (рис. 1-3). Входными данными для первого этапа является последовательность N отсчетов сигнала, поступающих с приемного устройства с периодом Tп в течение времени наблюдения Tнабл=NTп В результате обработки сигнала формируется эквивалентное представление сигнала в частотной области (спектр) (рис. 1), в котором наблюдается концентрация энергии гармонических составляющих входного сигнала в окрестности сигнального фильтра (фильтр номер 836 между литерами L и R).

Когерентный метод Прони с квазипрореживанием исходит из тезиса о том, что практически вся энергия сигнала содержится в сигнальном и нескольких ближайших к сигнальному фильтрах. Поэтому на втором этапе выбирается S фильтров, в окрестностях сигнального фильтра (так называемое усечение спектра). На рисунке 1 эти фильтры ограничены вертикальными штриховыми линиями с маркерами L и R.



Рис. 1 – Амплитудно-частотный спектр входного сигнала

Рассматривая выделенный участок частотного диапазона как самостоятельный спектр (рис. 2) можно сделать вывод, что такой спектр мог быть получен при фильтровой обработке S отсчетов сигнала на таком же интервале наблюдения Tнабл что и исходная выборка, но с периодом снятия отсчетов TпN/S. Другими словами последовательность отсчетов для получения данного спектра должна быть прорежена в N/S раз.



Рис. 2 – Усеченный спектр входного сигнала в окрестности сигнального фильтра

Получение именно такой последовательности отсчетов осуществляется на третьем этапе обработки путем обратного БПФ над усеченным спектром (рис. 3). В результате обратного БПФ формируется квазипрореженная выборка исходного сигнала. Префикс квази- означает, что сформированная выборка будет отличаться от просто прореженной выборки. Главное отличие заключается в том, что отношение сигнал-шум по мощности в каждом отсчете квазипрореженной выборки будет в N/S раз выше, чем в исходной. Это объясняется тем, что в диапазоне усечения спектра сигнала остается только часть мощности шума, а мощность сигнала практически не изменится. Следовательно, если диапазон усечения спектра в N/S раз уже полосы частот исходного спектра, то и мощность шума в этом диапазоне будет во столько же раз меньше, чем во всем спектре.



Рис. 3 – Квадратурные составляющие квазипрореженной выборки входного сигнала и огибающая их модулей

Таким образом, создаются идеальные условия для применения методов цифрового спектрального оценивания и реализации всех их преимуществ. Анализ квазипрореженной выборки сигнала по методу Прони осуществляется на четвертом этапе обработки сигналов.

В качестве примера можно привести результаты обработки двух гармонических сигналов с шумом. Анализу подвергалась последовательность данных размером 2048 комплексных отсчетов, выбираемых с тактом 8 мкс, которая после взвешивания в окне Дольфа-Чебышева, обрабатывалась по алгоритму БПФ. В результате такой обработки в частотной области формировалась система из 2048 узкополосных фильтров с шириной полосы пропускания около 150 Гц, расстроенных по частоте с шагом 60 Гц, в которых когерентно накапливались гармонические составляющие входного сигнала. Разность частот гармонических сигналов составляла 50 Гц, то есть 0,8 ширины фильтра БПФ или 0,3 ширины сформированного узкополосного фильтра. Диапазон усечения спектра составлял 16 частотных отсчетов в окрестностях сигнального фильтра. Результаты обработки представлены на рис. 4.



Рис. 4 – Спектр сигнала и оценки спектральных составляющих при наличии двух сигналов одинаковой мощности с разносом частот 50 Гц, при отношении сигнал-шум в максимуме сигнального фильтра 20 дБ

На рис. 4 изображается часть амплитудно-частотного спектра сигнала, в районе сигнального фильтра, полученного в результате обработки по алгоритму БПФ со взвешиванием. Вертикальные линии с ромбовидными маркерами обозначают амплитуды выходных сигналов фильтров БПФ. Для наглядности спектр сигнала изображается непрерывной линией. Вертикальными линиями с круглыми маркерами изображаются оценки спектральных составляющих принимаемого сигнала, полученные по когерентному методу Прони с квазипрореживанием.

Представленный метод спектрального оценивания позволяет получать оценки высокого разрешения, основываясь на традиционном фильтровом способе накопления сигнала, в том числе и после весовой обработки, при незначительном увеличении вычислительных затрат. Аналитическое обоснование метода приводится в [2].

Литература

1. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М., Мир, 1990. – 584 с.

2. Савинов Ю. И. Метод Прони: моногр. – Смоленск, изд. ВА ВПВО ВС РФ, 2007. – 74 с.




^ COHERENT METHOD OF PRONY WITH QUASI-DECIMATION

Savinov Y.

Military Academy of Army AAD of Armed Forces of Russian Federation in honor of Marshal of Soviet Union А. М. Vasilevsky

Resolving power - one of the important characteristics of methods of a spectral analysis. The large hopes in a problem of the resolving of signals with close frequencies are linked with methods of modern digital spectral estimation.

Main advantage of methods of modern digital spectral estimation is the ability to measure parameters of signals on short sample with the allowing to smaller, than value, inverse to an interval of observation. However implementations of such methods need high signal-to-noise ratio, which is inaccessible without signal accumulation before measurement.

There are two approaches to accumulation of energy of a signal. At first - the accumulation during formation of a correlative matrix of a signal, which is used by all modern methods of digital spectral estimation. But at large sample of a signal and small signal-to-noise ratio these methods lose their advantages and become commensurable on resolving power with methods of classical Fourier analysis.

The second approach provides a prefiltration of a signal. For this purpose it is necessary either to have the preliminary information concerning possible frequency band of measured signals, or to use outcomes of Fourier analysis. Then the time row of sampling of a signal for the analysis are removed from an output of the signal filter. Then, to this time series the procedures of the heightened resolving are applied. But at such a way of accumulation the obtaining of a call-off quantity of samples of a signal demands frequentative repetition of a filtering of input data.

Thereby, the known methods of digital spectral estimation do not allow receiving the essential advantages before traditional Fourier analysis, sufficient to consider their application on practice.

The new method called of «coherent method of Prony with quasi-decimation» combines advantages of Fourier analysis, because provides coherent signal integration in a system of narrow band filters, and the advantage of digital spectral estimation, because it allows to receive estimations of frequencies of parsed signals differing in frequency less than in width of the filter. Thus one implementation of a signal is sufficient for the analysis.

The essence of method consists in following. The measured signals are accumulated coherently in a system of frequency filters on the algorithm of a FFT up to value, sufficient for their detection in the signal filter. The narrow part of frequency band in neighborhoods of the signal filter (truncation of a spectrum) is excreted the returning in a time domain. As a result of such operation in a time domain are shaped a short sample of signal. Signal-to-noise ratio in each of samples is much higher, than in initial sample. Though, the interval of observation remains unchanged. The obtained short sample of a signal subjects to processing pursuant to a Prony's method.




^ ГЕНЕРАЦИЯ ШИРОКОПОЛОСНОГО СЛУЧАЙНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ: ПРОБЛЕМЫ ВЫБОРОК С ПЕРЕКРЫТИЕМ

Тележкин В.Ф.1, Ибатуллин В.М.2

1Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск),
2ФГУП ГРЦ «КБ им академика В. П. Макеева» (г. Миасс)

При формировании широкополосного случайного воздействия (ШСВ) одним из основных проблем является генерация сигнала. Основные требования к сигналу ШСВ: распределение мгновенных значений амплитуд по закону Релея, распределение мгновенных значений фаз равномерное, (условия нормального случайного процесса), также спектральная плотность мощности должна иметь определенную форму, например, равномерную в диапазоне от до с некоторой точностью.

Существует два основных способа получения случайного сигнала с определенным спектром: фильтрация белого шума, или применение обратного преобразования Фурье.

Первый способ можно назвать аналоговым, поскольку широко применялся в аналоговых генераторах шума. В нем сигнал от источника белого шума поступает в банк полосовых фильтров с регулируемыми усилениями, и затем суммируется. В цифровых системах этот метод принципиально реализовать возможно, но затраты машинного времени существенно выше, чем во втором способе. Достоинствами его являются высокое качество получаемого сигнала в смысле его характеристик как в малом отрезке времени, так и в длинной выборке; возможность формировать сигнал с нелинейным разрешением по частоте – например, с логарифмическим, что актуально для физических систем, поскольку их свойства, как правило, имеют логарифмическую зависимость от частоты.

Второй способ – цифровой – оптимален по вычислительным затратам, поскольку основан на быстром преобразовании Фурье. Для формирования выборки массив амплитуд требуемой спектральной плотности (детерминированные значения) дополняется массивом случайных фаз, равномерно распределенных от –π до π. Над полученным массивом производится ОБПФ. В итоге, полученный временной сигнал удовлетворяет всем требованиям, в том числе, распределению мгновенных значений амплитуд по закону Рэлея [1], но с некоторыми допущениями:

– в пределах выборки сигнал представляет собой полигармонику, поскольку фаза каждой составляющей постоянна,

– мгновенные значения амплитуд отвечают распределению Рэлея при достаточно большом количестве выборок,

– выборки не связаны между собой, поэтому, при переходе от одной выборки к другой, происходит скачок самого сигнала и его производных, с вероятностью стремящейся к 100%. Т.е. наблюдается разрыв первого рода.

Сформированный таким образом сигнал будет являться, по сути, полигармоникой с кусочно-стационарными фазами составляющих.

На рис. 1, а приведен пример двух выборок с одинаковой СПМ и случайными фазами. Для наглядности СПМ принята довольно низкочастотная: при , 0 – при остальных значениях (в диапазоне от 0 до 64). Видно, что в точке перехода первой выборки ко второй, имеется разрыв.

В итоге спектр выборки сигнала, включающей этот разрыв, отличается от требуемого. На рис. 1, б приведен модуль спектра выборки .

Появление дополнительных – низко- и высокочастотных компонент обусловлено скачкообразным изменением сигнала, эквивалентным свертке с дельта-импульсом. Величина эквивалентного дельта-им-пульса зависит от величины разрыва и может достигать значительных значений. Для такой сферы применения как виброиспытания, подобные искажения недопустимы, т.к. могут привести к разрушению объекта испытания.



Рис. 1. Выборки и с одинаковой СПМ и разрывом между ними (а), модуль спектра выборки с разрывом и без разрыва (б)

Для устранения этой проблемы было предложено формировать сигнал из выборок с перекрытием (рис. 2, а). Окно взвешивания – трапецеидальное. Степень перекрытия – около 10 %.



Рис. 2. Выборки с перекрытием в 6 точек и трапецеидальное окно (а), результирующий сигнал (б)

Этот метод позволяет избавиться от разрыва сигнала в точке сшивки (рис. 2, б). Однако спектральная плотность выборки, включающей точку, вернее, отрезка перекрытия исходных выборок, также отличается от требуемого (рис. 3).



Рис. 3. Модуль спектра выборки, включающей отрезок перекрытия исходных выборок

Видно, что высокочастотные составляющие подавлены, но спектр по-прежнему отличается от требуемого. На слух этот процесс выглядит как звук движения поезда: стационарные участки с шумом на их стыке.

Рассмотрим поведение одной гармоники (с точки зрения преобразования Фурье) в фазовой плоскости.

У полигармоники вектор постоянной амплитуды и фазы (рис. 3, а).



Рис. 3.

У полигармоники с кусочно-стационарными фазами, гармоника имеет постоянную амплитуду, а фаза постоянна в пределах выборки и скачет на стыках выборок, принимая случайные значения (рис. 3, б). А, учитывая переходы, вид рис. 3, в.

Таким образом, синтез процесса с применением частично перекрывающихся выборок с трапецеидальным окном позволяет устранить разрывы на стыке выборок и снижает паразитные искажения спектра синтезированного сигнала. Однако, спектр такого сигнала существенно отличается от требуемого и имеет периодический во времени характер.

Вероятно, если применить другое окно, например, Хана с многократным перекрытием [2], процесс станет более отвечать «настоящему» ШСВ.

Остаются открытыми, в связи с этим, вопросы:

– какое окно, и с каким перекрытием лучше использовать, чтобы максимально приблизиться к характеристикам «настоящего» ШСВ процесса;

– вероятно, что многократное перекрытие приведет к настолько большим затратам машинного времени, что станет выгоднее вернуться к применению банка полосовых фильтров.

Литература

Бендат Дж., Пирсол А., Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989.

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1978.




GENERATION OF BROADBAND CASUAL INFLUENCE: PROBLEMS of samples WITH OVERLAPPING

Telezhkin V.1, Ibatullin V. 2

1South Ural State University (Chelyabink), 2SRC “Academician V.P. Makeyev DB” (Miass)

At formation of broadband casual influence (BCI) one of the basic problems is generation of a signal. The basic requirements to signal BCI: distribution of instant values of amplitudes under Rayleigh’s law, distribution of instant values of phases uniform, (conditions of normal casual process), also the spectral density of power should have the certain form, for example, uniform in a range from up to with some accuracy.

There are two basic ways of reception of a casual signal with the certain spectrum: a filtration of white noise, or using inverse Fourier transform.

The first way can be named analog as it was widely applied in analog generators of noise. In this case the signal from a source of white noise acts in set of band-pass filter with adjustable amplifications, and then is summarized. The second way - digital - is optimum on computing expenses as it is based on fast Fourier transformation. As a result, the received time signal meets all requirements, including, to distribution of instant values of amplitudes under Rayleigh’s law, but with some assumptions:

- Within the limits of sample the signal represents a polyharmonic as the phase of each component is constant,

- Instant values of amplitudes answer distribution of Rayleigh at enough plenty of samples,

- Samples are not connected among themselves, therefore, at transition from one sample to another, there is a jump of the signal and its derivatives, to probability aspiring to 100 %. I.e. break of the first sort is observed.

The signal generated thus will be, as a matter of fact, a polyharmonic with piecewise phases of components.

For elimination of this problem it was offered to form a signal from overlapped samples. A window of weighing is trapezoidal function. A degree of overlapping is about 10 %.

This method allows to get rid of break of a signal in a point of join of samples.




^ ДЕКОМПОЗИЦИЯ НА ЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЫ В СОВРЕМЕННОЙ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

Клионский Д.М.

Научно-инженерный центр Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета “ЛЭТИ”

Метод декомпозиции на эмпирические моды является одним из самых современных в области цифровой обработки сигналов [1-4]. В силу своей высоко адаптивной природы данный подход идеально подходит для анализа нелинейных и нестационарных сигналов. главным преимуществом которого является высокая степень адаптации к тем сигналам, с которыми он работает, и, следовательно, данный метод отражает реальное поведение таких сигналов. Ключевым моментом является использование “декомпозиции на эмпирические моды”, с помощью которой любой сложный сигнал может быть разложен на конечное и часто довольно малое число “эмпирических мод”, каждая из которых содержит определенную информацию об исследуемом процессе. Проведенное разложение позволяет качественно лучше понять природу и внутреннюю структуру сигнала, а также входящие в него компоненты. Наличие нескольких важнейших свойств у разложения (адаптивность, локальность, полнота, мультиразрешение), а также неизменная динамика свойств мод в частотной области [4] делают возможным проведение адаптивной очистки от шума с возможностью классификации шумовой составляющей по регулярности и хаотичности (по показателю Херста), выделение тренда среднего значения [3], экстраполяцию сигналов на основе построенных огибающих и оцененного значения его средней частоты, статистический анализ. В последнее время также активно осваиваются модификации данного алгоритма.

Функции, на которые раскладывается исходный процесс, получили название эмпирических мод [1,2]. Смысл слова “эмпирические” заключается в том, что это могут быть произвольные функции, заданные непрерывно или дискретно, описываемые аналитически или заданные таблично, однако удовлетворяющие 2-м необходимым условиям:

Общее число экстремумов равняется общему числу нулей с точностью до 1;

Полусумма верхней огибающей, интерполирующей локальные максимумы, и нижней огибающей, интерполирующей локальные минимумы, близка к нулю.

Второе свойство требует некоторых комментариев. Построение огибающих осуществляется с помощью кубических сплайнов, что обусловлено их высокой гладкостью и фундаментальным свойством, утверждающим, что из всевозможных непрерывных и дважды дифференцируемых функций на любом конечном интервале кубические сплайны минимизируют колебательное поведение функции, следовательно, гарантируют наименьшую интенсивность осцилляций. Выбор сплайнов более высокого порядка обычно нецелесообразен вследствие больших временных затрат на вычисление коэффициентов соответствующих полиномов. Недостатком являются уже упоминавшиеся временные затраты на вычисления, краевые эффекты (возможными решениями являются включение начального и/или конечного отсчета в множество максимумов и/или минимумов, зеркальное отображение экстремумов, экстраполяция огибающих и т.д.), “недоскоки” и “перескоки” (явления, при которых в промежуточных точках между экстремумами значения сплайна либо намного превосходят, либо намного уступают значениям процесса). Альтернативой может выступать использование параболической интерполяции по 3-м соседним точкам, при которой вычисляются коэффициенты параболы и по ним находится более точное положение экстремумов (как координата вершины параболы). Это позволяет сэкономить время расчета (на 1 понижается порядок интерполирующей функции), а также более точно определить число мод в сигнале (за счет более точного определения местоположения экстремумов).

Что касается точности равенства нулю полусуммы 2-х огибающих, то все определяется зашумленностью сигнала, выраженностью краевых эффектов и требуемой точностью. Если 2-е свойство выполняется точно, то речь идет о характеристических модах (гармонический сигнал, ЛЧМ-сигнал, меандр, гауссов радиоимпульс и др.), в противном случае подразумеваются эмпирические моды.

Схема алгоритма разложения показана на рис. 1:



Рис. 1. Схема алгоритма декомпозиции.

Основными этапами алгоритма являются следующие [1-2]:

Шаг 1) На первом шаге производится работа с самим исходным сигналом . Определяются его экстремумы: ; где и - набор максимумов и минимумов соответственно;

Если либо экстремумы, либо нули отсутствуют в сигнале, то он подвергается линейному преобразованию с целью порождения экстремумов. По окончании выполнения процедуры алгоритма производится возврат к начальному множеству значений.

Далее по найденным экстремумам строятся две огибающие с помощью выбранного метода интерполяции (чаще всего применяется сплайн-интерполяция): , где и - верхняя и нижняя огибающие, построенные соответственно по найденным локальным максимумам и минимумам;

Необходимо отметить, что построенные огибающие должны окаймлять весь сигнал, т.е. любой отсчет должен удовлетворять условию:

Однако в некоторых случаях наблюдается так называемые “всплески”, т.е. явление, когда какой-либо отсчет, взятый обычно в начале или конце сигнала, оказывается большим верхней огибающей или же меньшим нижней. Это нежелательный эффект объясняется тем, что необходимо учитывать начальный и конечный отсчеты при построении обеих огибающих. И делается это в основном тремя возможными способами:

Начальный и конечный отсчеты одновременно относят к числу максимумов и минимумов;

Каждый из этих отсчетов полагается либо минимумом, либо максимумом так, чтобы гарантировать чередование экстремумов на всей длительности сигнала;

Начальный и конечный отсчеты не участвуют в построении огибающих.

После этого определяется полусумма двух огибающих (мгновенное среднее значение, зависящее от времени): .

Затем производится переход к шагу 2.

Шаг 2) Найденное среднее значение вычитается из сигнала, и полученный результат оказывается “кандидатом” на то, чтобы стать очередной модой: .

Однако необходимо проверить два необходимых условия отнесения функции к классу ЭМ. Если оба условия выполняются или же выполняются примерно (должна быть задана степень точности получаемых результатов), то выполняется переход к шагу 3. Если какое-либо из условий не выполнено, то осуществляется возврат к шагу 1, но теперь уже в качестве исходного сигнала выступает полученный на 2-м шаге результат. Тем самым начинается т.н. процесс отсеивания, который может быть записан в следующем виде:

…, где - среднее значение функции на -ой итерации процесса отсеивания, - мода на -ой итерации отсеивания.

На итерации с номером процесс отсеивания для извлечения очередной моды прекращается и осуществляется переход к шагу 3.

Шаг 3) После извлечения моды производится ее вычитание из сигнала и формируется т.н. остаток: , где - полученная мода; - остаток.

Шаг 4) Далее осуществляется переход к шагу 1, где в качестве исходного сигнала уже будет выступать тот остаток, который был получен на 3-м шаге:

Из полученного остатка продолжается извлечение мод с более высокими номерами.

Дадим теперь комментарии к основным этапам представленного алгоритма. В настоящее время он не имеет такой стройной и глубоко изученной теоретической базы, которой наделен классический анализ Фурье или вейвлет-анализ. Алгоритм имеет эмпирическую природу. Однако существует несколько постулатов, или принципов, заложенных в основу данной концепции:

- Мода, умноженная на любую вещественную константу, также является модой того же сигнала, умноженного на эту константу;

- Изменение среднего значения исходного сигнала (в результате центрирования, добавления постоянной составляющей) не влияет на результаты декомпозиции, изменяя лишь величину отсчетов последней моды (результирующего остатка);

- Мода, выделенная из обращенного во времени сигнала (в результате инверсии временной оси), совпадает с модой с тем же номером, претерпевшей операцию временного обращения.

Ключевая роль в алгоритме отводится уже упоминавшемуся процессу отсеивания. Он имеет итерационную природу и предназначен для извлечения конкретной моды, а если быть точнее, то для извлечения функции, удовлетворяющей тем двум необходимым условиям, о которых уже шла речь. Смысл названия “отсеивание” заключается в том, что отсеиваются все те “претенденты” на роль моды, которые ими на самом деле не являются, поскольку не удовлетворяют одному из 2-х требуемых условий. Процесс отсеивания направлен на то, чтобы полученная мода имела симметричные верхнюю и нижнюю огибающие, следовательно, представляла собой амплитудно-модулированную функцию. Как будет показано в дальнейшем, мгновенная частота каждой моды, вычисленная путем применения преобразования Гильберта, также не остается постоянной, а меняется во времени. Поэтому помимо амплитудной модуляции, мода также обладает и частотной модуляцией, особенно отчетливо заметной на частотно-временном представлении сигнала. Поэтому можно сказать, что ДЭМ представляет сигнал в виде конечного набора функций, обладающих амплитудной и частотной модуляциями.



Цифровая обработка сигналов и ее применение

Digital signal processing and its applications