Реферат: Теория и методы цифровой обработки сигналов

Теория и методы цифровой обработки сигналов


computational costs. In this report the problem of reducing the computational complexity in radio vision tasks by means of multirate signal processing methods is considered.

The typical approach to solve the detection problem is to use Doppler effect, i.e. carrier frequency shift of a radio signal because of reflection from moving objects. In general the decision of the given task consists in processing the bandpass signal within wide range of frequencies from Fmin to Fmax. Sampling frequency Fd of incoming signal is defined by band width. For processing such a signal it is necessary to analyze the band with the certain step.

In this work the task of processing the probing signal with linear frequency modulation is considered. The block diagram of digital signal processing algorithm which includes the translation spectrum block, downsampling filter, Doppler filter and signal detecting circuit has been developed.

Simulations and implementation of the proposed algorithm have confirmed basic serviceability and computational efficiency of multirate signal processing methods. This approach allows reducing the computational costs due to using decimation, improving the accuracy and the reliability of the system due to enhanced signal-to-noise ratio, what in turn increases the detection probability.




^ АДАПТИВНАЯ ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ ПРОЦЕССОВ

Витязев С.В.

Рязанский государственный радиотехнический университет

Адаптивная цифровая фильтрация была предметом исследовательских работ, начиная с 1960-х годов. Этот мощный инструмент нашел широкое применение в системах связи и управления, гидро- и радиолокации, обработке звука и изображений. За прошедший период проблеме адаптивной фильтрации было посвящено много работ (в частности, [1-3]), в которых основные вопросы данной сферы достаточно хорошо исследованы. Настоящая работа посвящена узкому классу задач адаптивной обработки, связанному с фильтрацией узкополосных процессов. Рассматриваются эффективные с точки зрения вычислительных затрат и затрат памяти методы адаптивной фильтрации. Предложен метод на основе цифрового гребенчатого фильтра [4].

Задача адаптивной фильтрации узкополосных процессов встречается в ряде приложений, в частности, при компенсации электрического эха в системах связи или обнаружении объектов и картографировании земной поверхности в радиолокации. Сложность решения задач данного класса связана с высокими порядками адаптивных КИХ-фильтров (сотни и даже тысячи), приводящими к колоссальному возрастанию вычислительных затрат.

Рассмотрим задачу прямого моделирования динамической системы, представленной КИХ-фильтром 512-го порядка. Предполагается, что АЧХ фильтра задается произвольной формы и на частоте дискретизации 1 МГц занимает полосу частот от 270 до 300 кГц. На вход системы поступает случайный сигнал, представляющий собой дискретный белый шум с нулевым математическим ожиданием и условно единичной дисперсией. На выходе системы к сигналу добавляется аддитивный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией от 0.001 до 0.1 относительно дисперсии входного процесса.

При классическом подходе [1] в цепь идентификации ставится адаптивный КИХ-фильтр также 512-го порядка. В качестве метода адаптации будем использовать широко распространенный стандартный метод наименьших квадратов (МНК). Известно, что затраты на реализацию адаптивного фильтра в представленном виде составляют 2N, где N – порядок моделируемой динамической системы. То есть в нашем случае вычислительные затраты можно оценить, как З0 = 2×512 = 1024 операции умножения на один отсчет входного сигнала. Точность и скорость настройки можно оценить по кривым сходимости, представленным на рис. 3 (кривые 1).

Эффективным подходом к снижению вычислительных затрат при обработке узкополосных сигналов, является использование методов многоскоростной обработки сигналов [4]. Пользуясь тем, что полоса частот интересующего нас сигнала имеет ширину, намного меньшую частоты дискретизации, мы можем перейти к новой пониженной частоте дискретизации и вести фильтрацию и адаптацию на ней, что существенно снизит затраты (рис. 1). Коэффициент децимации зависит от степени узкополосности процесса и в нашем примере оказывается равным 8. Восьмикратное снижение частоты дискретизации означает, во-первых, уменьшение в то же число раз порядка адаптивного фильтра (АФ), а, во-вторых, снижение в 8 раз темпа поступления входных отсчетов. То есть общие приведенные затраты на реализацию адаптивного фильтра снижаются в 64 раза!

Процедура децимации, однако, неизбежно связана с наложением спектров и шумами децимации. Для снижения данного эффекта перед децимацией необходимо использовать фильтр (НЧФ), подавляющий все частотные компоненты, лежащие вне интересующей нас полосы. Этот фильтр имеет порядок, определяемый требуемой избирательностью и исходной частотой дискретизации, однако, работает он на вторичной частоте дискретизации. В рассматриваемом примере требуемый порядок фильтра оказался равен 100. Чтобы обеспечить возможность настройки адаптивного фильтра на пониженной частоте дискретизации, точно такая же цепь фильтрации-децимации должна присутствовать и в цепи моделируемой динамической системы.

Затраты на обработку при использовании методов многоскоростной обработки сигнала складываются, таким образом, из затрат на адаптивный фильтр (2N/64) и удвоенных затрат на фильтр-дециматор (2Nфд/8). В нашем случае имеем: З1 = 16 + 25 = 41 умножение на один отсчет входного сигнала. Кривые сходимости показаны на рис. 3 (кривые 2).



Рис. 1. Адаптация на основе многоскоростной обработки сигналов


Несмотря на существенное снижение вычислительных затрат и затрат памяти, построение адаптивного фильтра на основе многоскоростной обработки не лишено и ряда недостатков. Борьба с шумами децимации может при определенных условиях потребовать очень высоких порядков предварительной фильтрации или усложнения схемы использованием блоков смещения спектра с целью устранения эффектов наложения.

Альтернативным подходом может являться применение, так называемого, адаптивного цифрового гребенчатого фильтра (АЦГФ) [4, 5]. Такой фильтр представляет собой фильтр с прореженной импульсной характеристикой, у которой только М равномерно распределенных отсчетов являются ненулевыми. В частотной области это приводит к периодичности АЧХ в пределах частот цифрового сигнала – гребенчатости. Интересной представляется возможность настройки такой гребенчатой АЧХ на характеристику моделируемой системы. При этом к форме АЧХ динамической системы подстраивается одна из полос АЧХ цифрового гребенчатого фильтра. Остальные полосы являются ее копиями, число которых зависит от коэффициента прореживания импульсной характеристики, и их влияние должно быть устранено. Для подавления сигнала в боковых полосах фильтра необходим дополнительный сглаживающий фильтр (СФ), помещаемый в цепь моделируемой и моделирующей систем. Структура схемы адаптации на базе цифрового гребенчатого фильтра показана на рис. 2.



Рис. 2. Адаптация на основе цифрового гребенчатого фильтра


В процессе адаптации (по методу МНК в рассматриваемом случае) участвуют только М ненулевых коэффициентов цифрового гребенчатого фильтра. При выбранных параметрах задачи М оказалось равно 64, а коэффициент прореживания импульсной характеристики 8. Следовательно, затраты на модификацию коэффициентов и фильтрацию сокращаются в 8 раз по сравнению с классическим подходом.

Сложность сглаживающего фильтра (его порядок) определяется параметрами задачи и может быть существенно снижена с применением комплексной формы обработки. В рассматриваемом примере сглаживающий фильтр полностью устраняет влияние боковых полос цифрового гребенчатого фильтра при минимально требуемом порядке, равном Nсф = 100. Таким образом, вычислительные затраты, равные сумме затрат на адаптивный фильтр (N/8) и удвоенных затрат на сглаживающий фильтр (2Nсф) составят З2 = 64 + 200 = 264 операции умножения на один отсчет входного сигнала. Кривые сходимости представлены на рис. 3.

Проведенные эксперименты показывают, что при бесспорном лидерстве по точности сходимости классический метод адаптации существенно проигрывает по затратам на реализацию. В свою очередь, метод на основе многоскоростной обработки сигналов позволяет колоссально понизить вычислительные затраты, но точность настройки снижается. Метод на базе цифрового гребенчатого фильтра требует значительно меньших затрат, чем классический метод адаптации, и в общем случае выгодно отличается от многоскоростной обработки отсутствием проблем с шумами децимации. В рассмотренной реализации, однако, точность настройки для данного метода оказалась наименьшей.






Рис. 3. Кривые сходимости алгоритмов адаптации. 1 – классический метод, 2 – метод на основе многоскоростной обработки, 3 – метод с использованием АЦГФ

Литература

Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989, 440 с.

Адаптивные фильтры: Пер. с англ./Под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. М.: Мир, 1988, 392 с.

S. Haykin. Adaptive Filter Theory, 4th edition / S. Haykin — Prentice Hall, 2002. — 936 pp.

Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993, 240 с.

Витязев В.В., Витязев С.В. Методы синтеза узкополосного адаптивного КИХ-фильтра на основе многоскоростной обработки // Цифровая обработка сигналов, 2007, №4, с. 13-16.


digital adaptive filtering of narrowband processES

Vityazev S.

Ryazan State Radio Engineering University


The paper discusses a problem of narrowband adaptive filtering. Narrowband processing, and especially narrowband adaptive processing, requires tremendous computational and memory resources. For the classical solution of the direct modeling problem with LMS adaptation about 2N multiply-accumulate operations (MACs) are needed for each input sample. If an order of a modeled system is N = 512 the computational burden is 1024 MACs.

The effective way to reduce computations is base on multirate signal processing. The informative narrow frequency band is outlined by a passband filter and then the decimation is used. If a decimation coefficient is equal to 8 the computational needs are reduced for about 8×8 = 64 times! The multirate technic is very effective but it always deals with a decimation noise problem. An order of a filter-decimator could be large or aliasing could take place.

The alternative solution is based on combo filter. Such filters have sparse impulse responses. For example, if a sparse coefficient is equal to 8 the computational needs are reduced for about 8 times. This is not such effective as in case of multirate filtering, but it is much more effective than the classical solution.




^ ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕРАВНОПОЛОСНЫХ КОСИНУСНО-МОДУЛИРОВАННЫХ БАНКОВ ФИЛЬТРОВ: MATLAB-РЕАЛИЗАЦИЯ Вашкевич М.И., Парфенюк М., Петровский А.А.* Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники ул. П.Бровки, 6, БГУИР, каф. ЭВС, 220013, Минск Беларусь, E-mail: *palex@it.org.by Реферат. Статья посвящена практическим аспектам расчета неравнополосных косинусно-модулированных банков фильтров (БФ) с фазовыми звеньями и квазиполным восстановлением. Рассматриваются вопросы проектирования фильтра-прототипа, фильтра компенсации фазовых искажений, а также выбор коэффициентов децимации канальных сигналов банка фильтров. 1. Введение Существует ряд случаев, когда требования к перфективной реконструкции сигнала в банке фильтров не являются критичными, например, системы обработки речи и звука с применением принципов психоакустики. При этом, ошибка восстановления банка фильтров может быть ниже порога восприятия акустической информации человеком или соизмерима с ошибкой модификации субполосных сигналов, обрабатываемых по какому-либо алгоритму. Перцептуальная обработка сигнала предполагает построение неравнополосного банка фильтров, аппроксимирующего критическую шкалу частот. В связи с возросшим интересом к неравнополосным банкам фильтров возникает необходимость в средствах их расчета и проектирования. В системе MATLAB нет специализированных программ для расчета банка фильтров, поэтому в данной работе ставилась задача написания программы, позволяющей рассчитывать и анализировать неравнополосные косинусно-модулированные банки фильтров (КМБФ) с фазовыми звеньями. ^ 2. Структура неравнополосного КМБФ Для M-полосного КМБФ полифазное представление фильтра-прототипа записывается следующим образом [1]: (1) БФ фильтров образуется путем модуляции фильтра-прототипа дискретным косинусным преобразованием. Неравнополосный КМБФ получается из равнополосного БФ путем замены каждого элемента задержки на фазовое звено первого порядка [2] , (2), которое имеет нелинейную фазовую характеристику, зависящую от параметра . (3) ^ На рис. 2 приведена структура неравнополосного КМБФ (анализ и синтез). Рис. 2 – Структура неравнополосного КМБФ с фазовыми звеньями Под С на рисунке 2 понимается блок косинусной модуляции [1], который описывается уравнением ,, . (4) ^ 3. Проектирование фильтра-прототипа Длина фильтра-прототипа N=2mM, где M – это число каналов, а m – произвольное положительное целое число. Пусть Фурье-образ фильтра-прототипа с линейной фазочастотной характеристикой, тогда приближенная реконструкция сигнала КМБФ может быть сформулирована в элементах следующим образом [3]: , , (5), (6) Проектирование фильтра-прототипа, как правило, приводит к сложным задачам оптимизации с нелинейными условиями. Импульсная характеристика фильтра-прототипа, получаемая методом оконного взвешивания, определяется в виде следующего выражения , (7), где (8) импульсная характеристика идеального ФНЧ с частотой среда , а w(n) – оконная функция. Требуется найти фильтр-прототип , заданный как , тогда на основании условия (6) аппроксимирует фильтр Найквиста (2M). Следовательно, выполняется аппроксимация , где - дельта-функция. Это позволит выбрать простую целевую функцию [3] (9). Таким образом, регулируя параметр , находится оптимальный фильтр-прототип , при котором наименьшая. Эксперименты показали, что есть выпуклая функция . На рисунке 1 приведена импульсная характеристика и АЧХ фильтра-прототипа, полученного на основании данной оптимизации (M=6, в качестве весовой функции использовалось окно Хемминга). а) б) ^ Рис. 1 – а) Импульсная характеристика фильтра прототипа (N=60), б) АЧХ фильтра Для банка анализа и синтеза могут использовать различные фильтры прототипы, однако как было показано в [1] для того, чтобы передаточная функция БФ имела линейную фазовую характеристику необходимо выполнение условия , . (10), где p(n) и q(n) – это коэффициенты фильтра прототипа для банка анализа и синтеза соответственно. На рис. 3 приведены АЧХ неравнополосного КМБФ с фазовыми звеньями (задача анализа) и АЧХ амплитудных искажений ^ КМБФ: M=6, N=60, =0.3. а) б) ^ Рис. 3 – а) АЧХ неравнополосного КМБФ, б) АЧХ амплитудных искажений 4. Фильтр компенсации фазовых искажений Амплитудные искажения в неравнополосном КМБФ можно снизить за счет правильного проектирования фильтра-прототипа, но при этом не решаются проблемы нелинейности фазовой характеристики, которая появляется в результате прохождения сигнала через цепь фазовых звеньев. Один из подходов решения этой проблемы - пост-фильтрация сигнала БФ синтеза с использованием КИХ-фильтра со следующей передаточной функцией [4]: (11) который может компенсировать фазовые искажения звеньев 1-го порядка , d – порядок КИХ-фильтра, . (12). ^ На рис. 4 приведена ФЧХ банка фильтров без применения пост-фильтра и ФЧХ КМБФ с пост-фильтром 10-го порядка (d=10). Из (12) видно, что чем больше порядок d, тем меньше уровень фазовых искажений. Недостаток этого подхода заключается в увеличении времени групповой задержки, а также возрастании вычислительной сложности. ^ 5. Выбор коэффициентов децимации Ширина частотной полосы к-го канала КМБФ определяется как , где fUk и fLk – соответственно максимальная и минимальная частоты данной полосы. Правильный подбор коэффициентов децимации позволит существенно сократить частоту дискретизации полосных сигналов. Как показано в [5], это можно сделать исходя из следующих условий: , , - частота дискретизации. (13) а) б) ^ Рис. 4 – а) ФЧХ БФ, б) ФЧХ БФ с пост-фильтром 6. MATLAB-реализация В качестве практической реализации была разработана MATLAB программа, позволяющая проводить исследование, моделирование и синтез неравнополосных КМБФ с фазовыми звеньями. Программа имеет графический интерфейс, представленный на рис. 5. ^ Рис. 5 – MATLAB реализация: графический интерфейс Расчет фильтра- прототипа по описанному методу на ПК с процессором AMD Sempron занимает несколько секунд. В качестве взвешивающих функций, для проектирования фильтра прототипа могут использоваться окна Хемминга, Ханна, Кайзера, Блэкмана-Хэрриса и Чебышева. Ширина полос банка фильтров регулируется при помощи параметра . Кроме того, существует возможность расчета и добавления фильтра фазовой коррекции для получения линейной ФЧХ. Предусмотрена возможность выбора оптимальных коэффициентов децимации в каждом канале БФ для достижения минимальных амплитудных искажений и вычислительной сложности при обработке сигналов в соответствующих субполосах. Литература D. Koilpillai, P.P. Vaidynathan, “Cosine-Modulated FIR Filter Banks Satisfying Perfect Reconstruction”, IEEE Trans. on signal processing, vol. 40 ,No 4, pp 770-783. M. Parfieniuk, A.A. Petrovsky, ”Tunable Non-Uniform Filter Bank Mixing-Cosine Modulation with Perceptual Frequency Warping by Allpass Transformation”, Автоматика и вычислительная техника, №4, с.44-52, 2004. Yuan-Pei Lin, P.P. Vaidynathan, “A Kaiser Window Approach for the Design of prototype Filters of Cosine Modulated Filterbanks”, IEEE signal processing letters, vol. 5, No 6, pp 132-134, 1998. M. Parfieniuk, A.A. Petrovsky “Reduced Complexity Synthesis Part of Non-Uniform Near-Perfect-Reconstuction DFT Filter Bank Based on All-Pass Transformation”, Proc. of the European conf. on Circuit theory and Design (ECCTD’03), vol. III, Cracow, Poland, 2003, pp.5-8. M. Parfieniuk, A.A. Petrovsky, “Simple Rule of Selection of Subsampling Ratios for Warped Filter Banks”, Известия Белоруской Инженерной Академии, №1, 2003, с. 130-134. ^
PRACTICAL ASPECTS OF COMPUTING NON-UNIFORM COSINE-MODULATED FILTER BANK: MATLAB IMPLEMENTATION
Abstract. This paper is dedicated to practical aspects of computing non-uniform cosine-modulated filter bank. Design of a prototype filter, phase distortion compensation and a subsampling are considered. As a practical result, the MATLAB Toolbox was implemented.



Адаптивный решетчатый фильтр для подавления дискретных коррелированных помех

Бартенев В.Г.

^ ОАО ВНИИРТ

Предложено построение цифрового решетчатого фильтра, работающего в условиях воздействия дискретных коррелированных помех. Рассмотрен пример использования предложенного устройства.

Применение решетчатых фильтров для подавления мешающих отражений известно давно[1,2]. Адаптивный решетчатый фильтр включает в себя формирование коэффициентов отражения и использование их в качестве весовых коэффициентов для обеления коррелированной помехи, минимизируя ошибки предсказания вперед и назад. Многозвенный решетчатый фильтр позволяет осуществлять эффективную фильтрацию многокомпонентных помех с многомодовыми спектрами. Хотя известный способ решетчатой фильтрации характеризуется высокой эффективностью и возможностью режекции помех с многомодовыми спектрами, однако использование его прменительно к дискретным помехам наталкивается на большие трудности. Если коррелированная помеха дискретная и занимает один дискрет дальности, то при наличии полезного сигнала в этом же дискрете дальности сформированные коэффициенты отражения будут учитывать параметры и полезного сигнала и при фильтрации он будет режектироваться так же, как и помеха. Таким образом, классический режекторный фильтр может работать только по классифицированной выборке наблюдений. Главный вопрос не в том, как формировать коэффициенты отражения и каким для этого алгоритмом следует воспользоваться, а в том как исключить влияние полезного сигнала на формируемые коэффициенты отражения. Для протяженной помехи, занимающей много элементов разрешения по дальности, когда оценки коэффициентов отражения формируются с усреднением по элементам дальности протяженность коррелированной помехи значительно превышает протяженность полезного сигнала, что дает основание рассматривать входную выборку наблюдений классифицированной и влиянием полезного сигнала на коэффициенты отражения можно пренебречь. Совсем другое дело, когда помеха дискретна и когда для оценки коэффициентов отражения производится усреднение только по обрабатываемой пачке импульсов а формируемые коэффициенты отражения учитывают в том числе и полезный сигнал.

С целью исключения подавления полезного сигнала при фильтрации неклассифицированной выборки наблюдений предлагается способ, который включает в себя формирование коэффициентов отражения решетчатого фильтра по двум выборкам наблюдения, отличающихся частотой повторения или несущей частотой, при этом коэффициенты отражения сформированные по одной выборке наблюдений используют в качестве весовых коэффициентов для фильтрации другой выборки наблюдений и наоборот, а результаты фильтрации одной и другой выборок наблюдения объединяют на выходе. Предлагаемый способ отличается тем, что разнос частот повторения или несущих частот двух выборок наблюдения выбирают так, чтобы разность соответствующих им доплеровских смещений частоты была бы значительно меньшей доплеровских смещений частоты для каждой из выборок наблюдений. Предлагается использовать существенные различия в доплеровской скорости наблюдаемых объектов: медленно движущихся дискретных помех, и быстро движущихся полезных целей. Разницу в несущих частотах или частоте повторения предлагается выбирать так, чтобы коэффициенты отражения для медленно движущейся помехи практически совпадали, а вот для полезного сигнала существенно различались. Поэтому, если для фильтрации сигналов одной выборки наблюдений использовать коэффициенты отражения другой выборки наблюдений, помеха будет компенсироваться, а полезный сигнал нет. Блок схема предлагаемого решетчатого фильтра с перекрестным вводом коэффициентов отражения приведена на рис.1 (где ЛЗ цифровая линия задержки на период повторения, К-блок вычисления коэффициентов отражения, Х-умножители, ∑- сумматоры,D-детекторы).



Рис.1 Адаптивный решетчатый фильтр, работающий по неклассифицированной выборке наблюдений.

Проиллюстрируем работу предлагаемого способа на конкретном примере, прибегнув к моделированию устройства с помощью системы MATLAB [3].

Осуществим фильтрацию двух выборок наблюдений на разных несущих частотах 500 МГц и 550МГц с постоянным периодом повторения 0,001 сек.

Зададим параметры полезного сигнала и двух компонентной помехи для каждой выборки наблюдений:

as=1;%амплитуда полезного сигнала

fs1=400;%доплер полезного сигнала, Гц для первой выборки наблюдений

am=1;%амплитуда 1 компоненты помехи

fm1=10;%доплер 1 компоненты помехи, Гц для первой выборки наблюдений

l1=300/500;%длина волны для первой выборки наблюдений с несущей 500МГц

l2=300/550;%длина волны для второй выборки наблюдений с несущей 550МГц

fc1=20;%доплер 2 компоненты помехи, Гц для первой выборки наблюдений

ac=2;%амплитуда 2 компоненты помехи

vm=fm1*l1/2; fm2=2*vm/l2; %доплер 1 компоненты помехи, Гц для второй выборки %наблюдений

vc=fc1*l1/2; fc2=2*vc/l2; %доплер 2 компоненты помехи, Гц для второй выборки %наблюдений

vs=fs1*l1/2;% fs2=2*vs/l2;% доплер полезного сигнала, Гц для второй выборки %наблюдений

^ %ФОРМИРОВАНИЕ ВЫБОРОК НАБЛЮДЕНИЙ

t = 0:0.001:0.256;%Время наблюдения 256 мсекунд с тактом 1мсек

% входной сигнал для первой выборки наблюдений

z1 =ac*exp(2*fc1*pi*t*sqrt(-1))+am*exp(2*fm1*pi*t*sqrt(-1))+as*exp(2*fs1*pi*t*sqrt(-1))+.1*randn(1,length(t));

% входной сигнал для второй выборки наблюдений

z2 =2*exp(2*fc2*pi*t*sqrt(-1))+am*exp(2*fm2*pi*t*sqrt(-1))+as*exp(2*fs2*pi*t*sqrt(-1))+.1*randn(1,length(t));

%Спектральное представление входных сигналов первого и второго частотных %каналов

Z1 = fft(z1,256);% для 1канала

f = 256*(0:127)/256;

plot(f,10*log10(abs(Z1(1:128))),'K')

hold on

Z2 = fft(z2,256);% для 2 канала

f = 256*(0:127)/256;

plot(f,10*log10(abs(Z2(1:128))),'K')

^ %ФОРМИРОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ

for i = 2:p+1,%р-порядок авторегрессии

ep2 = ef2(i:N);% ef2-ошибка предсказания вперед второго канала

em2 = eb2(i-1:N-1);

% К2 – коэффициент отражения во втором частотном канале

K2(i-1) = 2 * ep2' * em2 / (ep2'*ep2 + em2'*em2);

a2 = [a2;0] - K2(i-1) * [0;flipud(a2)];

for j = N:-1:i,

ef2_old = ef2(j);

ef2(j) = ef2(j) - K2(i-1) * eb2(j-1);

eb2(j) = eb2(j-1) - K2(i-1) * ef2_old;



Рис.2 Спектральное представление входных сигналов первого и второго частотных каналов



Рис.3 Спектральное представление сигналов на выходе решетчатого фильтра без перекрестных связей



Рис.4 Спектральное представление сигналов на выходе решетчатого фильтра с перекрестными связями

end

E2(i) = (1 - K2(i-1)'*K2(i-1)) * E2(i-1);

end

figure(3) % Спектральное представление сигналов на выходе решетчатого фильтра без перекрестных связей

%plot(real(ef2(1:128)),'R')

EZ2 = fft(ef2',256);% для 2 канала

fe = 256*(0:127)/256;



Цифровая обработка сигналов и ее применение

Digital signal processing and its applications