Реферат: Аккорд созвучие, состоящее не менее чем из трёх звуков. Обычно звуки аккорда могут быть расположены по терциям

СЛОВАРЬ МУЗЫКАЛЬНЫХ ТЕРМИНОВ


АККОРД Созвучие, состоящее не менее чем из трёх звуков. Обычно звуки аккорда могут быть расположены по терциям.

АЛЬТЕРАЦИЯ Повышение или понижение основной ступени. Знаки альте­рации – # (повышение на полтона), (понижение на полтона), а также дубль-диез, дубль-бемоль и бекар, отменяющий их дей­ствие. Альтерированные звуки на фортепиано соответствуют чёрным клавишам.


АРИСТОКСЕН Древнегреческий философ, ученик Аристотеля (IV в. до н.э.). Впервые предложил равномерную темперацию, дости­гаемую делением кварты на 60 равных интервалов, при этом двум большим секундам выделено по 24 доли, малой секунде – 12 долей. В древности эта система применения не получила.

БЕМОЛЬ Знак понижения на полтона ().


ВЫСОТА ЗВУКА Частота звуковых колебаний. В музыке используются звуки в пределах частот приблизительно 16-4000 колебаний в секунду (около 20% диапазона звуков, воспринимаемых челове­ческим слухом).


ГАРМОНИЯ Предмет музыкальной теории, рассматривающий высотную организацию музыки как выразительное средство. Это грече­ское слово близко русскому понятию «лад» (ἀρμονιa = связь, скрепа).


ГАРМОНИЯ Объединение звуков в созвучия и последовательности созву­чий на основе консонансов.


^ ДИАТОНИЧЕСКАЯ ГАММА

Последовательность основных ступеней, образующая пять интервалов в целый тон и два интервала в половину тона, причём звуки последних отстоят друг от друга на чистую квинту. Примером диатонической гаммы являются основные ступени до-ре-ми-фа-соль-ля-си, образующие интер­валы ТТп/тТТТп/т.


^ ДИАТОНИЧЕСКИЕ ИНТЕРВАЛЫ

Интервалы, возможные между основ­ными ступенями звукоряда.


ДИЕЗ Знак повышения на полтона (#).


ДИЕСА В др. греческой энармонике интервалы меньшие полутона: боль­шая диеса (648/625) прибл. 62,6 цента и малая диеса (128/125) прибл. 41,1 цента.


ДИССОНАНС Негармоничное (несогласное) звучание звуков при одновре­менном исполнении, «Неспособность двух тонов сме­шаться» (Эвклид). К диссонирующим относятся интервалы в секунду – тон и полутон, и септиму.


^ ЗАМКНУТЫЙ СТРОЙ

Музыкальная система, при которой интервал октавы равен в точности 6 тонам (или другому числу интервала, меньше тона). См.: равномерный темперированный строй. От­носится к искусственным строям. Точный расчёт был дан Мер­сенном (XVII век).


ЗВУК Колебательные движения какого-либо тела – источника звука (струны, воздушного столба в духовом инструменте, пластины и т.д.), создающие звуковые волны (периодические сгущения и разрежения в воздухе).


ЗВУКОРЯД Звуки музыкальной системы, расположенные в восходящем или нисходящем порядке. Иллюстрацией звукоряда может служить клавиатура фортепиано, последовательные белые и чёрные клавиши которой соответствуют 88 звукам различной высоты.


ИНДИЙСКИЙ ЗВУКОРЯД (шрути)

Октава, содержащая 22 интер­вала (с микроинтервалами). Аналогичен древнегреческому и арабскому.


^ ИНСТРУМЕНТЫ НЕФИКСИРОВАННОЙ НАСТРОЙКИ

Инструменты, способные при исполнении плавно менять высоту тона, ис­пользуя микрохроматические интервалы. Широко применя­ются в восточной музыке.


ИНТЕРВАЛ Сочетание двух звуков, взятых одновременно (гармонический интервал) или последовательно (мелодический интервал). Часто используется в значении ступеневόй величины интер­вала.


КВАРТА Музыкальный интервал IV ступени (2,5 т.). Отношение двух музыкальных звуков по частоте равное 4:3, что отвечает треть­ему (после октавы и квинты) консонансу или созвучию. Ин­тервал, образуемый каждой четвёртой по счёту белой клави­шей фортепиано (кроме фа-си, см. тритон).


КВИНТА Музыкальный интервал V ступени (3,5 т.). Отношение двух музыкальных звуков по частоте равное 3:2, что отвечает вто­рому после октавы консонансу или созвучию. Интервал, обра­зуемый каждой пятой по счёту белой клавишей фортепиано (кроме си-фа, см. тритон).


^ КВИНТОВЫЙ КРУГ

Система, в которой все тональности одного лада (т.е. их тоники) располагаются по чистым квинтам. Замыкание круга происходит вследствие энгармонизма.


^ КОНСОНАНС (СОЗВУЧИЕ)

Гармоничное (или согласное) звучание звуков при одновременном их исполнении. Консонирующие интервалы имеют частоты звуков, соотносящиеся как целые числа (2:1 – октава, 3:2 – квинта, 4:3 – кварта, 5:4 – большая терция, 5:6 – малая терция; два последних – в «чистом» строе).


^ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ МУЗЫКИ

Известны в Древнем Египте, Древней Греции, Индии и т.д. Содержат соотношения опреде­лённых звуков, ладов, композиций и т.д. с временными перио­дами или циклами времени. См. рага.


ЛАД Совокупность определённым образом связанных звуков, постро­енная на тонике (опорном звуке). Служит основой мело­дии. Из многих десятков исторически известных ладов в за­падноевропейской музыке применяются главным образом два – так называемые натуральные мажор и минор.


ЛЕЙММА Др.греч. «непроходимость». Интервал в пифагорейский полутон (28/35) между III–IV и VII─VIII основными ступенями музы­кальной гаммы натурального строя.


МИКРОХРОМАТИКА

Звукоряды, содержащие интервалы меньшие полу­тона (обычно четверти тона и ¾ тона), а также звукоряды, имеющие в октаве число ступеней, большее 12. Имеет приме­нение во многих развитых древних и современных музыкаль­ных системах (древнегреческая, индийская, арабская музыка). Считается, что микрохроматика в Европе исчезла в раннее средневековье в связи с введением христианской монодии. Ис­пользовалась рядом композиторов: Вичентино (XVI век), Хаба, Слонимский, Матюшин, Коррильо). Широко применяется со второй половины XX века (А.Шнитке и др.). Микрохроматиче­ские интервалы - (полудиез ), (полубемоль ) и др.


МОДУЛЯЦИЯ Смена тональности на основе наличия общих звуков или аккордов у разных тональностей, причём функциональное по­ложение общего аккорда в них неодинаково.


МОНОДИЯ Одноголосная мелодия, не предполагающая аккордово-гармо­нической основы. Так же род многоголосия (гомофония), в ко­тором голоса подразделяются на главный и сопровождающие.


МОНОХОРД Музыкально-акустический прибор, состоящий из одной (нескольких) натянутых струн с изменяемой длиной звучащей части струны (посредством передвижной планки). Использо­вался для экспериментов в области звука и точного определе­ния высоты интервалов. Описан Эвклидом в III веке до н.э. Изобретение приписывается Пифагору (VI в. до н.э.).


^ МУЗЫКАЛЬНАЯ МЕЛОДИЯ

Выражение из звуков, обладающих опреде­лёнными характеристиками высоты и длительности.


МУЗЫКАЛЬНАЯ СИСТЕМА

Совокупность употребительных в музыке звуков определённой высоты. Существуют различные музы­кальные системы – европейская, арабская и т.д.


^ МУЗЫКАЛЬНЫЕ ЗВУКИ

Определённая система звуков, выработанная в процессе многовекового развития музыкальной культуры и служащая для выражения музыкальных мыслей (музыкальных образов).


НАСТРОЙКА ЛИРЫ ОРФЕЯ (тетрахорд Пифагора)

Основа древнегреческих ладов и античной музыкальной теории: ми1 – си – ля – ми (сверху вниз); тетрахорд образует чистые интервалы октавы (2:1), двух кварт (4/3), двух квинт (3/2) и целого тона (9/8) в пропорции высот 1:4/3:3/2:2 (священной тетрактиды).


^ НАСТРОЙКА ПО ЧИСТЫМ КВИНТАМ

Настройка в пифагорейском натуральном строе, широко применяемая для струнных (скрипка, альт, виолончель), щипковых и других инструментов.


^ НАТУРАЛЬНЫЕ СТРОИ

Музыкальные системы, построенные на обертоно­вом ряде и чистых консонансах. Противопоставля­ются равномерному (темперированному) строю. Вся историче­ская музыка (за исключением европейской классики) основана на натуральных строях.


НАТУРАЛЬНЫЙ ЗВУКОРЯД (обертоновый ряд)

Ряд звуков, порождаемый колебанием одной струны (одного носителя), состоящий из ос­новного тона и частичных тонов, каждый из которых относится к основному по высоте как целое число к единице. Физическая основа музыкальной гармонии (созвучия). Переоткрыт в 1636 г. Мерсенном (физиком и математиком, работавшим также в области теории чисел). См. монохорд.


НОТА Обозначение звука в музыкальной записи на нотоносце.


НОТНЫЙ СТАН (нотоносец)


Пять параллельных гори­зонтальных линий, на которых располагаются ноты – на ли­ниях и в промежутках между ними.


ОБЕРТОНЫ (частичные тоны)

Составные части сложного звука, разли­чающиеся по высоте и громкости.


^ ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕРВАЛА

Обращением интервала называется переме­щение его нижнего звука на октаву вверх или верхнего звука на октаву вниз; обращённый интервал в сумме с перво­начальным составляет октаву. Например, для квинты (3,5 т.) обращением служит кварта (2,5 т.), для большой секунды (1т.) - малая септима (5 т.) и т.д. Обращение же октавы (6 т.) есть прима, или нулевой интервал.


ОКТАВА Музыкальный интервал VIII ступени. Отношение частот зву­ков в интервале октавы равно 2. Образуется каждой восьмой клавишей фортепиано. Основное звуковое сходство по частоте (два звука или две мелодии, различающиеся на октаву, на слух воспринимаются практически идентичными). На основе октав­ного сходства весь звукоряд делится на участки, называемые октавами. В европейской системе музыки различают (по по­рядку снизу вверх) девять октав: субконтроктава, контроктава, большая октава, малая октава, первая октава, вторая октава, третья октава, четвёртая октава, пятая октава. Обозначаются они (по первой ступени «до»): До2, До1, До, до, до1, до2, до3, до4, до5.


^ ОСНОВНЫЕ СТУПЕНИ

Семь ступеней музыкальной системы, имеющие специальные названия – до, ре, ми, фа, соль, ля и си (c, d, e, f, g, a, h), соответствующие, в частности, белым клавишам фор­тепиано. Каждая восьмая по счёту ступень имеет то же самое название и отличается по высоте на октаву.


ПЕНТАТОНИКА Звукоряд из пяти ступеней, которые можно расположить по чистым квинтам (обычно не содержащий полутонов). Ос­нова ладов у многих народов.


ПИФАГОРЕЙСКАЯ КОММА (диатоническая)

Интервал между исходным тоном и 12-й квинтой от него, при сведении в одну октаву. Со­ставляет 23,5 цента (около 1/8,5 тона). Комматические разли­чия высот находят применение в выразительном интонирова­нии на инструментах с нефиксированной или частично фиксированной настройкой и в пении. Коммой также называют все интервалы, меньшие полутона (см. микрохроматика).


^ ПИФАГОРОВ СТРОЙ

Древнейший исторически известный звукоряд (или строй арфы Орфея), созданный на основе квинтовых и октавных ходов, т.е. чистых консонансов с отношениями вы­соты тонов 1:2, 2:3 и 3:4. В настоящее время также применя­ется для настройки ряда музыкальных инструментов.


ПОЛИФОНИЯ (многоголосье)

Музыкальное построение на основе не­скольких независимо звучащих мелодий (голосов). Известно в глубокой древности.


ПОЛУТОН Наименьшее расстояние по высоте, возможное в двенадцатисту­пенном темперированном строе. Между основ­ными ступенями звукоряда имеется два полутона: ми-фа и си-до. Интервал в полутон соответствует двум соседним белым и чёрным клавишам фортепиано.


ПРИМА Музыкальный интервал I ступени‚ или совпадение двух звуков по высоте. Отвечает двум нотам‚ расположенным на одной линейке нотного стана.


РАГА Ладоинтонационное построение индийской музыкальной клас­сики, характеризуется определённой последовательностью звуков лада, соотношением опорных ступеней и мелодиче­скими оборотами. Теоретически индийская музыкальная сис­тема может включать около 3500 раг 82-х ладов. Каждая рага соотносима со временем, включая время года, расположение светил, время суток и т.д.


РЕЗОНАНС Усиление (обратно, ослабление) амплитуды звукового колеба­ния при его взаимодействии с другим колебанием, отличным по частоте. Колебание резонанса имеет частоту разницы ис­ходных частот.


СЕКУНДА Музыкальный интервал II ступени: различают целый тон (1 т.) - большую секунду и полутон (0,5 т.) - малую секунду. Об­ра­зуется между двумя ближайшими нотами на нотном стане или нотой и её альтерацией (#, ). Интервал между двумя соседними клавишами фортепиано.


СИНКОПА (др. греч. sunkope - обрубание, сокращение). Нарушение ритма; в музыке - смещение ритмической опоры с сильной или относительно сильной доли такта на слабую‚ переход звука со слабой доли на последующую сильную или пауза‚ приходящаяся на сильную долю.


^ СОВЕРШЕННАЯ СИСТЕМА

(σύστημα τέλειον : др. греч. «полный состав»). Древнегреческая звуковая система, основанная на соединениях тетрахордов и включающая все лады. Транспозиции соверша­лись перемещением совершенной системы на другую высоту с образованием различных звукорядов (τόνοί). Содержала 16 звуков в 4-х тетрахордах.


СТРОЙ Абсолютная высота звуков музыкальной системы. На практике все звуки музыкального строя должны быть приведены в опре­делённое отношение с одним звуком (стандартом), принятым в качестве ориентира. В европейской музыке таковым служит звук ля первой октавы с установленной частотой 440 колебаний в секунду.


^ СТУПЕНЕВАЯ ВЕЛИЧИНА ИНТЕРВАЛА

Количество охватываемых интервалом основных ступеней. Различают основные интер­валы – прима, секунда, терция, кварта, квинта, секста, сеп­тима и октава (обозначаются цифрами, соответственно, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), а также увеличенные или уменьшенные на по­лутон основные интервалы (кроме примы и октавы).


СТУПЕНЬ Определённый звук музыкальной системы‚ обладающий высо­той.


ТЕМБР Характеристика сложного звука, зависящая от состава представ­ленных в нём музыкальных частот.


^ ТЕМПЕРИРОВАННЫЙ СТРОЙ

(двенадцатизвуковой равно­мерно-темперированный строй) Основа системы европейской музыки. В т.с. интервал октавы разделён на двена­дцать равных частей - полутонов‚ а все чистые квинты уменьшены на 1/12 часть пифагорейской коммы. Полутон в нём является наименьшим возможным интер­валом. Был введён около 1691 года Андреасом Веркмайстером и Иоганном Ней­дгардтом.


ТЕОРИЯ МУЗЫКИ Система организации звуков, имеющих чётко выражен­ную высоту. Другие характеристики звука, учитывае­мые теорией (по степени их значимости) – длительность, ритм, тембр, темп и громкость.


ТЕРЦИЯ Музыкальный интервал III ступени. Различаются большая (2 тона) и малая (1,5 тона) терции. Две или более последова­тельно взятые терции образуют созвучие (см. аккорд). Интер­вал между нотами через одну линейку на нотном стане или че­рез одну клавишу на фортепиано.


ТЕТРАХОРД

Совокупность четырёх звуков, расположенных по секундам в объёме чистой кварты, т.е. из трёх интервалов тетрахорда два составляют целый тон, а один – половину тона (малую се­кунду, которая может находиться вверху, посередине или внизу тетрахорда).

\

^ ТОН (ЦЕЛЫЙ ТОН)

Следующее за полутоном звуковысотное различие, в темперированной музыкальной системе в точности равное двум полутонам. Между основными ступенями звукоряда ин­тервалы до-ре, ре-ми, фа-соль, соль-ля и ля-си являются це­лыми тонами.


ТОНАЛЬНОСТЬ

Высотное положение лада, т.е. его тоники (опорного звука). Перемещение на чистую октаву не изменяет тонально­сти.


ТОНИКА

Опорный или устойчивый звук лада, к которому тяготеют дру­гие звуки (созвучия).


^ ТОНОВАЯ ВЕЛИЧИНА ИНТЕРВАЛА

Количество охватываемых интерва­лом тонов (полутонов), например, 2,5 (кварта), 3,5 (квинта) и т.д.

ТРАНСПОЗИЦИЯ

Перенесение произведения или его части из одной тональности в другую без каких-либо иных изменений.


ТРИТОН

Уменьшенная пятая ступень (квинта) или увеличенная четвёр­тая ступень (кварта) на высоту полутона. Интервал тритона составляет 3 большие секунды, т.е. 3 тона.


^ «ХОРОШО ТЕМПЕРИРОВАННЫЙ КЛАВИР» (ХТК)

Произведения И.-С. Баха (1685-1750), созданные с целью продемонстрировать пре­имущества темперированного строя в области полифонии.


^ ХРОМАТИЧЕСКАЯ ГАММА

Гамма (в темперированном строе)‚ состоя­щая из следующих по порядку полутонов: на фортепиано это все по­следовательные клавиши (белые и чёрные).


ЦЕНТ

Единица логарифмической шкалы музыкальных интервалов, в которой 1/12 часть октавы принимается равной 100 центам.


^ ЧЕТВЕРТИТОНОВАЯ СИСТЕМА

Вид микрохроматики, при котором октава делится на 24 равные части (каждый полутон на 2 четверти­тона).


ЧИСТЫЙ СТРОЙ Музыкальная система, использующая помимо «пифаго­ровых пропорций» «чистые» большие терции ^ 5:4 и ма­лые терции 6:5. Введена в XVI веке в Италии.


ШРУТИ Санскр. «то, что может быть услышано». Минимальный интер­вал звукоряда индийской классической музыки (от ½ до ¼ свары – интервала между основными ступенями). Основные ступени индийской музыки не имеют твёрдо фиксированной высоты тона. Также название индийского звукоряда.


ЭНАРМОНИКА (έναρμόνιον γένος - греч. «стройный род»).

Один из трёх родов древнегреческой музыки; основан на микрохроматике (интервалах менее полутона, греч. διεσα - «диеса»).


^ ЭНГАРМОНИЗМ (ЭНГАРМОНИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО)

Равенство звуков по высоте при различном их значении и написании. Энгармо­низм основан на темперации, поскольку лишь при равенстве полутонов и суммы двух полутонов – целому тону возможно совпадение альтерированной ступени – с основной или двух альтерированных основных – между собой.


^ ЭНГАРМОНИЧЕСКАЯ ЗАМЕНА

Замена написания одного звука (или рав­ного ему по высоте) с использованием знаков альтерации.


Приложение 1

Золотой ряд Фибоначчи

^ Спираль – одухотворение круга
Вл. Набоков 1


Задача разделения отрезка в среднем и крайнем отношении (золотое сечение) с помощью циркуля и линейки занимала геометров со времен глу­бокой древности, поскольку была связана с построением правильного пяти­угольника, и описана в «Началах» Эвклида (III век до н.э.)

Чтобы разделить в среднем и крайнем отношении отрезок АВ, нужно найти на нём такую точку С, чтобы меньшая часть отрезка относилась к большей так же, как большая часть относится к целому:

СВ : АС = АС : АВ

- Фиг. 8.1.


Эту пропорцию легко выразить в виде квадратного уравнения: если принять целый отрезок АВ за 1, а его большую часть за х, то , отсюда 1 - х = х2 или х2 + х - 1 = 0, и положительное решение этого уравнения будет .

Этому отвечает следующее геометрическое построение.

Чтобы на данном единичном отрезке АВ отложить часть, равную , используется теорема Пифагора. Сперва АВ делим циркулем пополам и откладываем ½ AB на перпендикуляре, проходящем через точку В. Пусть в прямоугольном треугольнике ABD катеты AB = 1 и BD = ½, отсюда гипоте­нуза AD = . На неё переносим отрезок BD = ½, тогда . Эту часть откладываем на АВ. В прямоугольном тре­угольнике ABD (AC+BD)2 =AB2+BD2,откуда AC2 + 2AС х BD =AB2, AC2 + AВ х AC = AB2, и AC/AB =(AB─AC)/AC, что и требовалось найти. В дей­ствительности, таким образом, задача может быть сведена к нахождению геометрическим способом значения путём построения прямоугольного треугольника с отношением катетов 1:2 - Фиг. 8.1.

Пока рассмотрим более детально основное выражение, вы­текающее из деления отрезка в среднем и крайнем отношении. Его удобно записать в виде

1/х = х + 1 (1) ,

где х есть значение, обратное которому увеличено на единицу,

а также

1/1/х = 1/х ─ 1,

где величина обратная 1/х уменьшена на единицу. Обратное значение есть

, и оно обозначается буквой φ («фи», золотое сечение), составляя в десятичном выра­жении 1,6180339…

= 1/φ = φ – 1 = 0,6180339…






Величина φ = есть удвоенный косинус угла 360 = π/5, а обратная ей - удвоенный синус угла 180 = π/10‚ и этими двумя отношениями геометрические элементы пя­тиугольников и последовательно вписанных в них пятиконечных звезд (пен­таграмм) связываются беско­нечным рядом золотой про­порции - Фиг. 8.2. Как ею оправдывается это название, мы вскоре увидим.

Из основного вы­ражения (1)‚ в частности, следует, что степени φ и 1/φ при сложении могут образовывать целые числа - то есть служить основой системы счисления - несмотря на то‚ что сами эти слагаемые иррациональные, т.е. являются беско­нечными непериодическими дробями. Так, например,





Этот факт, в частности, иллюстрирует хорошо знакомое математике положение, что понятия конечного и бесконечного относительны - в итоге завися лишь от точки зрения.

Отношение золотой пропорции аддитивно: «золотые» прямоугольники, стороны которых соотносятся как φ, могут прикладываться друг к другу своими сторонами (меньший своей большей стороной - изнутри к меньшей стороне большего) с образованием их бесконечного ряда, запол­няющего всю плоскость. Связующим элементом при этом выступают квад­раты - Фиг. 8.3. Таким обра­зом, кирпичи или блоки, изготовленные с «золотым отношением», задают «модуль», благодаря которому все элементы конструкции могут быть свя­заны один с другим в единое гармоничное целое.



Это замечательное свойство наряду с прочими объ­ясняет тот повышенный инте­рес, который проявляли к золо­той пропорции архитекторы, скульпторы и художники со времён глубокой древности. Вполне вероятно, что отно­шения 1/φ, φ, φ2, φ3 и т.д. входили в канон «объективной эсте­тики», что восхищает наш глаз в пропорциях античных сооружений, скульптур и колонн:

«Настроение‚ создаваемое зодчеством‚ сродни воздействию музыки» 2.

«Золотая середина» - она и есть золотое сечение‚ поскольку обладает динамической потенцией развёртывания. В природе широко распространена изящная кривая – логарифмическая спираль (в раковинах моллюсков, побегах растений и прочих формах), тесно связанная с золо­той пропорцией - Фиг. 8.4. Универсальность отношения φ прослеживается, как мы покажем далее, и в ряде натуральных чисел Фибоначчи. Из анализа пифагорейского музыкального строя мы уже

увидели, что эстетические воззре­ния древних имели в своей основе мистическую онтологию и выполняли, по сути, магическую задачу связи человека со сверхчувственным миром архетипов.

Археологи нашли «пропорциональные циркули», которыми пользова­лись старинные зодчие‚ - оказывается, калькулятор для вычисления про­порций был вовсе не нужен: устройство циркулей таково, что их ножки фиксировались как раз на величину отрезков 1:, 1: и т.д. К аналогич­ным результатам приводило и использование «живых мер» длины - локтей, саженей и прочих, когда метром служили части реального челове­ческого тела3.


Отношение‚ близкое к квадратному корню из φ‚ обнаруживается в тан­генсе угла наклона боковых граней пирамиды Хеопса (tg 51051′ = 1,273…)‚ и это число близко к 4/π (4 : 3,1416 = 1,273…) и корню из ϕ (1,272…)‚ а также указывает на окружность, разделённую на 7 частей (3600 : 7 =51026′ - различие в 0.1%)4. Если же учесть, что измерение с точностью до четвёртого знака такого крупного объекта‚ как Великая пирамида‚ находится на пределе возможностей наших изме­рений, то это означает, что её пропорция вполне может включать од­новременно и первое, и второе и третье отношения.


В Европе поиски «канона красоты» - и, вследствие этого, всплеск глубо­кого интереса к геометрии, правильным многогранникам и золотой пропор­ции - были приурочены к эпохе «высокого» Возрождения (XV век). Стремлением художников и мыслителей ранга Леонардо да Винчи и Александра Дюрера было не только вновь обрести утраченные лёгкость и свободу стиля древних греков, но и заново открыть в себе веру в тот абсолютный идеал красоты, что вдохновлял когда-то строителей Афин или Дельф. Хотя этому и не суждено было сбыться, «титанами Возрождения» был дан толчок тому неис­товому «фаустовому» стремлению, что вот уже более полутысячелетия гонит западную цивилизацию вскачь к её неведомой цели.


Йоганну Кеплеру (XVI в.) - уже упомянутому нами в связи с платоновыми телами‚ движением планет и формою снежинок - принадлежит следующее высказывание:

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, второе – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе – с драгоценным камнем».


Кеплером впервые было записано и рекуррентное выражение (3) для ряда Фибоначчи – последовательности целых чисел, происхождение которой связывают с именем купца по профессии, Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи («сын доброй природы»). Говорят, что Леонардо Пи­занский пришёл к этому ряду, решая задачу о разведении кроликов. В начале трина­дцатого века знание математики было редкостью, и Фибоначчи опубликовал свои открытия в трактате Liber de abacci («Книга об абаке», 1202 г.).

Его задача формулировалась так: сколько пар кроликов мы получим че­рез определённое число месяцев, если в начале имеем 1 пару новорождён­ных кроликов, размножаться кролики начинают с возраста двух месяцев‚ и приносят в среднем 1 пару приплода в месяц. Решение таково: в первый месяц 1 пара, во второй - всё ещё одна пара, в третий 1+1=2 пары, в четвёр­тый (1+1)+1=3 пары, в пятый - (1+1)+(1+1)+1 = 5 пар и т.д. В результате получается ряд, где каждое последующее число есть сумма двух пре­дыдущих:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… an, (2)


это и есть знаменитый натуральный Золотой ряд Фибоначчи.

Если два предыдущих члена последовательности обозначены an-1 и an, то следующий её член

an+1 = an-1 + an(3).


Трудно сказать, правда ли‚ что кролики размножаются подобным образом: мы думаем, задачу про разведение кроликов Леонардо Пизан­ский изобрёл нарочно с той целью, чтобы продемонстрировать нам этот замечатель­ный ряд чисел5. Пришлось ждать до конца шестнадцатого века‚ пока Иоганн Кеплер не привёл строгое доказательство, что отношение соседних членов этой про­грессии при её возрастании сходится к значению золотого сечения φ. Схо­дится ряд довольно быстро:

если 1:1=1, 2:1=2, 3:2=1.5, то уже 13:8=1.625,

а восемнадцатый член имеет уже шесть десятичных знаков, совпадающих со значением :

2584:1597=1.6180338.


Доказательство может быть построено на главном свойстве золотого сече­ния, которое называется аддитивным: умножение φ на φ эквивалентно при­бавлению единицы, возведение в куб – прибавлению единицы уже к двум φ, и т.д. Это вытекает из основного выражения 1 + 1/ φ = φ:

φ 2 = φ + 1,

φ 3 = φ (φ + 1) = φ2 + φ = 2φ + 1,

φ 4 = φ (2φ + 1) = 2φ2 + φ = 3φ + 2,

φ 5 = φ (3φ + 2) = 3φ2 + 2φ = 5φ + 3 и т.д.,

т.е. φn = anφ + an-1 , где an– число ряда Фибоначчи (4).


Таким образом, все образующиеся коэффициенты при φ в свою очередь возни­кают как члены ряда Фибоначчи (an). Сумма двух соседних членов геометрической прогрессии 1, φ, φ 2, φ 3 … φn на основании этого представляется в виде

φ n + φ n-1 = φ (an + an-1) +(an-1 + an-2) = φ n+1,


т.е. удовлетворяет рекур­рентному выражению (3) для ряда Фибоначчи.

Размножающиеся кролики вновь всплыли в ХХ веке, через семь столетий после доброго Леонардо. Американскому математику Натану Альтшулеру в 1917 г. удалось получить выражение для φ, где оно возникает как предел бесконечного квадратного корня:




По-видимому, это может следовать из того обстоятельства, что оно же выражается самоподобной непрерывной дробью

,

о чём знал ещё К.Гаусс.


Если мы изобразим на клетчатой бумаге изобразить единичный квадрат как соответст­вующий первому члену a1=1 ряда чисел Фибоначчи, на его нижней стороне другой такой же квадрат a2 =1, на их общей левой стороне 1+1 квадрат 2х2, отвечающей третьему члену ряда а3, затем на стороне прямоугольника 2+1=3 квадрат 33, отвечающий четвёртому члену а4 и т.д. (Фиг. 8.4.), то получим геометрический аналог последовательности Фибо­наччи на плоскости из квадратов и прямоугольников, пропорции которых быстро становятся «золотыми»:





Если ставить ножку циркуля всякий раз в ближайшую к центральной точке вершину очередного квадрата, вычерчивая четверть окружности с ра­диусом, равным его стороне, мы проведём красивую спиральную кривую, «имитирующую» логарифмическую (равноуголь­ную) спираль (Фиг. 8.4), с коэффициентом возрастания ϕ при повороте на каждые четверть окружности и углом наклона касательной относительно перпендикуляра к радиус-вектору порядка 17º2´.

Равноугольной она называется потому, что является геометрическим ме­стом точек, касательная к которым образует постоянный угол с радиус-вектором, проведённым из неподвиж­ного полюса.

Огибающей логарифмической спирали будет точно такая же спираль, и вообще в ней усматривается свойство инвариантности: если увели­чить или уменьшить эту кривую в несколько раз то, поворачивая, её всегда можно уложить всеми своими точками «саму в себя». «Мельчайшая окрестность» пространства эквивалентна «всему пространству», если задавать его характеристикой логарифмической спирали - что позволяет говорить об «атомарном зародыше пространства». В буддизме таким символом является спирально закрученная раковина, обо­значающая первозвук (шабда) - или элемент бесконечного пространства (акаша).


Поскольку каждый последующий «золотой» квадрат со стороной an+1 строится на стороне прямоугольника как сумме сторон двух предшествующих по порядку квадратов an-1 и an - и осуществляя при этом поворот на четверть ок­ружности (π/2) - то ими отмечены четыре (а также восемь) направлений на плоскости. При том заметим, что каждый квадрат (кроме первых четырёх) соприкасается с шестью другими (3+1+1+1), сам являясь седьмым6. Это даёт нам параллель шести основным интервалам диа­тонической гаммы и шести её ступеням с седьмой (единичной) ступенью, а также паттерну тетрактиды (1:2:3:4), образующему фрактальное множе­ство пифагорейских гармонических чисел на промежутке октавы.


«В раннем буддизме [хинаяны] опыт пространства признавался как важный фактор медитации, при котором состояния сознания… проецировались одно за другим в шести направлениях пространства, а именно - четыре стороны света, зенит и надир. Эти направления должны быть чётко представлены, для того чтобы провести сознатель­ный опыт ощущения пространства и постижения его человеческим ра­зумом»7.


От «золотых прямо­угольников» можно откладывать последовательные квадраты «вовнутрь», и тогда этот процесс может быть продолжен до бесконечности, спирально сворачи­ваясь к некоему недостижимому полюсу, далее неразложимому (греч. ατομοs, «атом»). Эта «центростремительность» пространства может быть открыта, на основе Фибоначчиевых квадратов, в каждой его точке‚ и она эквивалентна функции «парадоксального переходя­щего элемента»8 - центра отсчёта, без которого нам не обойтись в модели счёта и времени.

В.С. Дылыкова-Парфионович говорит далее:


«Согласно буддизму Ваджраяны, пространство создаётся одним движением, одновременно порождающим и его кривизну. Это дви­жение является криволинейным, концентрическим, образующим бесконечную спираль»9.

Модель такого пространства содержит индийская и тибетская мандала с че­тырьмя обозначенными пространственными «входами» или «мировыми об­ластями», устроенная часто в форме ступенчатой ступы, центральная точка которой - «ось мира» (или гора Меру) - окружена концентрическими ок­ружностями «мировых вод» или кругами «лепестков лотоса» (числами‚ соответствующими эманациям творения) - Рис. 3.

Эта же модель строения заложена в архитектуре храмов, центральный кубический камень которых представлен алтарём10. Идея сакрального пространства или про­странственного архетипа обнаруживает тесную связь с концепциями са­крального времени и «вечного повторения», а также Вечности.

Свойством равноугольной спирали проявлено действие динамического паттерна, разворачивающего двумерную плоскость как фрактальное числовое множе­ство. Ана­логичная модель существует, возможно‚ и для пространства трёх измерений‚ если привлечь дополнительную ось комплексных чисел.



Полюс золотой спирали находится в точке пересечения прямых, проведённых через крайние вершины противолежащих друг другу квадратов (Фиг. 8.4а), что вытекает из условий подобия. Действительно, если стороны вписанных прямоугольников соотносятся как ϕ, то эти прямые являются взаимноперпендикулярными диагоналями золотых прямоугольников n и n+1-го порядков, отсекая всякий раз подобные треугольники с углом tg = ϕ. Центры кривизны располагаются на вершинах квадратов, в которые мы ставили ножку циркуля, и образуют эволюту (геометрическое место центров кривизны) золотой спирали. Проведённые через эти вершины лучи дают другую пару перпендикулярных диагоналей в системе золотых прямоугольников (построенных на диагоналях квадратов) с тем же полюсом, и рисуют восьмиконечную «розу ветров» золотой спирали (Фиг. 8.4а). Эволюта представляет собой такую же золотую спираль, смещённую относительно исходной на угол, приближенный к 72º или 2p/5, - и это означает, что здесь фрактально запрятана пентаграмма Фиг. 8.2. Плоскость вмещает всего пять таких спиралей, являющихся эволютами друг друга, а также тибетским символом пяти элементов - Фиг. 8.4 б.




В книге «Геометрия и искусство» Д. Пидоу пишет так11:


«Существует равноугольная спираль, служащая довольно точным приближением к этой спирали, но истинная спираль вместо того, чтобы касаться сторон последовательных квадратов, пересекает их под очень малыми углами. Разумеется, какую спираль считать истинной и какую искусственной - дело вкуса», -


заключает он, но пускай тот, кто лучше нас разбирается в математике, разъяснит, что же имел в виду уважаемый автор: ведь «истинная кривая» проходит через точки вершин квадратов, лежащие на диагоналях, вовсе не пересекая сторон!


Говорят, что первые исследования логарифмической спирали принадле­жат Декарту, основателю философии Нового времени (1638 г.), а в конце XVII столетия многие замечательные её свойства были описаны Якобом Бер­нулли. Этот выдающийся математик был настолько очарован равноугольной спиралью, что на своём надгробии завещал высечь алхимический девиз:


«Eadem mutata resurgo»

(«Изменённая, я воскресаю вновь»).

При наклоне равном нулю равноугольная спираль переходит в тривиальную окружность, что объясняет эпиграф, приведенный нами в начале раздела, а при 900 - в (не имеющую начала!) прямую. Логариф­мическая спираль обладает и другими качествами, кото­рые мы не станем рассматривать здесь. Приведем высказывание Пидоу:


«Можно не сомневаться в том, что кривые навсегда останутся одним из наиболее интересных творений математики».

.

Не менее любопытные свойства обнаруживаются в нату­ральном ряде чисел Фибоначчи.

Если возводить φ в последовательные степени n, можно заметить, что результаты довольно скоро сходятся к целым значениям: так‚ если j3 = 4.236...‚ j4 = 6.854...‚ то уже j9 = 75.9988...‚ и т.д. Округленные до целых степени φ отвечают так называемым числам ряда Люка αn, получаемым при суммировании членов Фибоначчи через один:





α0= 1, α6= 18, α12 = 322,

α1= 2, α7= 29, α13 = 521,

α2= 3, α8= 47, и т.д.

α3= 4, α9= 76,

α4= 7, α10= 123,

α5=11‚ α11=199,


Производные от ряда Фибоначчи числа натурального ряда Люка также удовлетворяют рекуррентному соотношению an+1 = an-1 + an‚ и их отношение αn+1/αn точно также стремится к φ. Члены ряда Люка можно использовать как коэффициенты в представлении чисел Фибоначчи.

Например, от α1= 2 можно строить ряд чисел Фибоначчи, начиная с четвертого члена а4 = 3 по формуле аn+2 =2an + an-1 (n ≥2):


а4 =2x1 + 1 = 3,

а5 =2x2 + 1 = 5,

а6 =2x3 + 2 = 8 и т.д.

Вообще, поскольку, согласно (4)

φn = an φ + an-1,

αn x an = a2n есть член ряда Фибоначчи с вдвое большим по­рядковым номером, чем индекс при α. Так, двадцать шестой член ряда Фибоначчи 121393 равен тринадцатому числу Люка α13 = 521, умноженному на трина­дцатый член Фибоначчи: 121393 = 521 х 233. Далее от этого значения можно откладывать все последующие числа аn>26 по формуле

аn>26 = 521 x an-13 + an-26 :


а27 = 521 х а14 + а1 = 521 х 377 + 1 = 196418‚ и т.д.


В общем виде

аn>2m = αm x an-m ± an-2m,

знак (+)‚ если φm превышает целое значение αm, и (-), когда φm меньше целого значения αm.

Это лишь один из возможных способов представления чисел Фибо­наччи на основании членов этого же ряда.

Любопытно, что двенадцатое (α11 =199) и чет