Реферат: Основы полярной логики

Основы полярной логики1


 В.И.Моисеев, 2011 г.


§ 1. Аксиомы и первичные определения полярной логики


Рассмотрим формальную аксиоматическую теорию ПЛ (полярная логика).

Язык этой теории строится следующим образом.


Алфавит:


Пропозициональные константы 0,1, Кji, pi, Pi, где i=1,…,n, ji=1,…,mi,

Символы логических связок: ,,.


Множество правильно построенных выражений (ППВ):


Базис: константы есть атомарные ППВ,

(2) Индуктивное предположение: если х, у – ППВ, то х, ху, ху – ППВ.

Замыкание: иных ППВ нет.


Примем в этой теории метавыражения вида


|-у х, где х и у – ППВ языка ПЛ.


Такое выражение будет означать, что выражение х обоснована на меру выражения у. Частным случаем таких выражений будет запись


|-1 х.


Это означает, что х обоснована на меру полной истинности, что соответствует классической теоремности в логике высказываний.


Примем в ПЛ следующие схемы аксиомы2:


Аксиомы булевой алгебры:


В1. |- 1 х  у  у  х

В2. |- 1 х  у  у  х

В3. |- 1 (х  у)  z  x  (у  z)

В4. |- 1 (х  у)  z  x  (у  z)

В5. |- 1 х  (х  у)  х

В6. |- 1 х  (х  у)  х

В7. |- 1 х  (у  z)  (ху)  (хz)

В8. |- 1 х  (у  z)  (ху)  (хz)

В9. |- 1 x х  1

В10. |- 1 xх  0


Кроме того, примем дополнительные схемы аксиом:


В11. |- 1 1

В12. |- 1 (ху)х

В13. |- 1 (ху)у

В14. |- 1 х(ху)

В15. |- 1 хх

B16. |- 1 (xy)z(x)  z(y), где z(x) – выражение z, подвыражением которой является х

В17. |- 1 х  у  (ху)

Здесь, как обычно,

(DE) ху означает (ху)(ух),

где

(DI) ху – это ху.

Для констант р1,…,рn, Р1,…,Рn и Кji (если последние есть) примем следующие аксиомы полярности:

(posi) |-pi pi,

(Posi) |-Рi Рi,

(PosKji) |-Kji Kji (если есть константы Кji),

(PP1i) |-1 (р­iPi),

(PP2ij) |-1 Рi  Рj  0, если i≠j,

(PP3) |-1 P1  …  Pn  1,

(PP4i) |-1 (pi0)  (Pipi),

(РР4Кji) |-1 (piКji)(КjiРi)(Кjipi)(PiKji) (если есть константы Кji).

В качестве одного из правил вывода будем использовать обобщенное правило отделения:

(GMP) Еcли |-1(х0) и |-1(ху), то |-у у.

Частным случаем этого правила будет обычный modus ponens:

(MP) Еcли |-1х и |-1(ху), то |-1 у.

Также примем правила:

(ЕC) Если |-1х и |-1у, то |-1ху,

(EЕ) |-а х е.т.е. |-1 ха,

(ЕD) Если |-а х и |-b у, то |-аb ху,

(ЕN) Если |-а х, то |-а х,


Под выводимостью |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух в ПЛ будем понимать список выражений вида |-ba, где последнее выражение в этом списке есть |-ух, и каждое выражение есть либо одно из выражений |-у1х1,…,|-ynхn, либо аксиома ПЛ (в форме выражения |-ba), либо получена по одному из правил вывода из предшествующих выражений списка (предполагается, что все выражения а и b из |-ba есть ППВ из ПЛ). Выражения |-у1х1,…,|-ynхn будем в этом случае называть посылками, выражение |-ух заключением выводимости |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух.

Под доказательством выражения |-ух будем иметь в виду выводимость |-ух из пустого множества посылок. Выражение |-ух будем называть теоремой ПЛ е.т.е. существует доказательство для |-ух.

Тот факт, что |-ух есть теорема ПЛ, будем обозначать в виде |ух.

Это значит, что может быть выражение |-ух, которое могло бы не являться |ух. Например, это некоторая гипотеза вида |-ух, относительно которой можно было бы посмотреть, что из нее можно вывести. Но в этом случае мы заранее можем не знать, является ли |-ух теоремой ПЛ или нет. Выражение |-ух лишь означает утверждение, что ППВ х обоснована на меру ППВ у (что равносильно утверждению |-1ху, согласно (ЕЕ)). Но верно это или нет, и насколько верно, этого мы не знаем без доказательства в ПЛ. Поэтому в выводах ПЛ фигурируют выражения |-ух, а не |ух. Выводы – это лишь трансформаторы одних выражений в другие. В доказательства они превращаются, когда действуют на теоремы, и сами дают в качестве своего результата теоремы.

Выражение |-ух будем называть позитивным выражением (Р-выражением) е.т.е. х и у есть ППВ и |1(y0).

Выражение |-ух является позитивной аксиомой (Р-аксиомой) в ПЛ е.т.е. |-ух есть Р-выражение, и в списке аксиом ПЛ есть аксиома |-у х.

Выражение |-ух является позитивной теоремой (Р-теоремой) в ПЛ е.т.е. |-ух есть Р-выражение, и для |-ух существует доказательство в ПЛ.

Правило вывода будем называть позитивным выводом (Р-выводом) е.т.е. это правило переводит Р-выражения в Р-выражения.

Выводимость |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух будем называть регулярной Р-выводимостью и обозначать в виде |-у1х1,…, |-ynхn Р |-ух е.т.е. все выражения в выводимости |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух есть Р-выражения (отсюда следует, что в выводимости |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух могут использоваться только Р- выводы).

^ Регулярным позитивным доказательством (регулярным Р-доказательством) назовем регулярную Р-выводимость из нулевого множества посылок.

Аналогичные определения могут быть введены для 1-выражений.

Выражение |-ух будем называть 1-выражением е.т.е. х есть ППВ и |1(y1).

Выражение |-ух является 1-аксиомой в ПЛ е.т.е. |-ух есть 1-выражение, и в списке аксиом ПЛ есть аксиома |-1 х.

Выражение |-ух является 1-теоремой в ПЛ е.т.е. |-ух есть 1-выражение, и для |-ух существует доказательство в ПЛ.

Правило вывода будем называть 1-выводом е.т.е. это правило переводит 1-выражения в 1-выражения.

Выводимость |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух будем называть регулярной 1-выводимостью и обозначать в виде |-у1х1,…, |-ynхn 1 |-ух е.т.е. все выражения в выводимости |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух есть 1-выражения (отсюда следует, что в выводимости |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух могут использоваться только 1- выводы).

^ Регулярным 1-доказательством назовем регулярную 1-выводимость из нулевого множества посылок.

Выводимость |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух будем называть финальной у-выводимостью и обозначать |-у1х1,…,|-ynхn у |-ух.

Финальную у-выводимость |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух будем называть финальной позитивной выводимостью (финальной Р-выводимостью) е.т.е. |-ух есть Р-выражение.

Финальную у-выводимость |-у1х1,…,|-ynхn  |-ух будем называть финальной 1-выводимостью е.т.е. |-ух есть 1-выражение.

Доказательство выражения |-ух будем называть финальным у-доказательством.

Доказательство Р-выражения |-ух будем называть финальным Р-доказательством.

Доказательство 1-выражения |-ух будем называть финальным 1-доказательством.

В качестве семантики теории ПЛ определим отображение | . | из множества ППВ языка ПЛ в множество элементов такой булевой решетки B с операциями умножения *, сложения + и дополнения C, что будут выполнены следующие соотношения:

(С1) Для каждой константы Pi, pi, Kji сопоставлены элементы |Pi|, |pi| и |Kji| соотв. из В,

(С2) |0| = 0 – ноль решетки В,

(С3) |1| = 1 – единица В,

(С4) |xу| = |х|+|у|,

(С5) |ху| = |х|*|у|,

(С6) |x| = C|x|,

(С7) Если |у х, то |x| = |y|.

Элементы решетки В можно понимать как полярные семантические значения, которые могут быть как истинностными значениями, так и более общими состояниями смысла, имеющего полярную структуру.


§ 2. Полярная логика и исчисление высказываний

Покажем, что полярная логика непротиворечива относительно исчисления высказываний (ИВ), если в ПЛ принять только аксиомы В1-В15, (pos1) и (Рos1), (PP1i) и (PP3), только 1-выводы (в 1-выводы можно перевести все выводы, кроме (EN)), отказаться от констант Kji и принять n=1. Причем, аксиома (pos1) принимается в этом случае в виде |-1 p1. Как вариант (PP3), имеем |1 (Р11). Такую версию полярной логики я буду обозначать ПЛ1.

Кроме того, для ПЛ1 можем доказать следующую теорему.


Лемма Р1. |1 (р1Р1)

Док-во.

|-1 p1 (pos1)

|-1 p1  1 (ЕЕ), (1)

|-1 Р1  1 (PP3)

|-1 (р1Р1) Леммы 12, 12* (см. ниже)



Это значит, что константы р1, Р1 и 1 в ПЛ1 представляют собой одну константу 1. Покажем далее, что ПЛ1 непротиворечива относительно исчисления высказываний ИВ.


^ Теорема ПЛ1-непротиворечивости. ПЛ1 непротиворечива относительно ИВ.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы нам нужно дать интерпретацию I ПЛ1 относительно ИВ, чтобы 1) все ППВ ПЛ1 перешли в ППВ ИВ, 2) все аксиомы ПЛ1 перешли в теоремы ИВ, 3) все выводы ПЛ1 перешли в выводимости ИВ.

Используя индуктивное определение, мы можем дать следующее определение интерпретации I для ППВ ПЛ1:

(1) Базис: I(0) = AA, I(1) = I(p1) = I(P1) = AA, где А – некоторая пропозициональная переменная из языка ИВ.

(2)^ Индуктивное предположениt1,t2,t1,t2,0, где 1 = T1+T2, T1*T2=0, 0i<tiTi, i=1,2, где X1 = m2 = 1. Имеем следующие семантические соотношения:

(С1) |Pi| = Ti, |pi| = ti, |Kji| = ti,

(С2) |0| = 0,

(С3) |1| = 1,

(С4) |xу| = |х|+|у|,

(С5) |ху| = |х|*|у|,

(С6) |x| = C|x|.

В этом случае семантика |х| понимается как истинностное значение из решетки ВТ.

В случае понимания элементов ВТ как истинностных значений, будем называть истинностные значения, лежащие между 0 и 1, относительными истинами. Значение 1 будем называть абсолютной истиной (в системе ПЛ), значение 0 – ложью. Для двух истинностных значений а и b всегда определено истинностное значение a+b, которые в рамках ПЛ можно понимать как синтез истинностных значений а и b. Полярная логика при такой трактовке – это логика не только абсолютной, но и относительных истин, логики их отношений между собой и с абсолютной истиной.

ПЛ, в которой есть n констант pi и Pi, будем называть n-мерной полярной логикой и обозначать ПЛ(n). ПЛ1 есть частный случай ПЛ(n), и потому ПЛ1 может называться также одномерной полярной логикой. Но, кроме ПЛ1, возможны другие версии одномерной полярной логики ПЛ(1), когда, например, есть константы р1 и Р1, которые отличны от 0 и 1. Поэтому точнее ПЛ1 называть одномерной бивалентной полярной логикой (имеющей только два истинностных значения 0 и 1).

Выделим i-полярные элементы, используя следующее определение:

(Pi) х есть i-полярный элемент е.т.е. |1(pix) и |1(xPi).

Множество всех i-полярных элементов назовем i-измерением.

(PP) х есть ненулевая полярность е.т.е. |1 х  х1…хn и |1(х  0) и i((|1(pixi) и |1(xiPi)) или |1 (хi  0)).

(NP) х есть нулевая полярность е.т.е. |1 (х  0).

Нулевые и ненулевые полярности будем называть полярностями. Здесь имеем:


(Р) х есть полярность е.т.е. |1 х  х1…хn и i((|1(pixi) и |1(xiPi)) или |1 (хi  0)).


Таким образом, полярности – это все ППВ из ПЛ, которые разложимы по i-полярным элементам (разложимы по i-измерениям).


^ Первая теорема полярного базиса. Любая полярность х представима в форме

|1 х  х1…хn, где |1 хixj  0, если i≠j, и |1 xi  xPi.

Док-во. Согласно (РР), имеем: |1 х  х1…хn и для любого i xi есть i-полярный элемент или 0. Это, в частности, значит, что |1(xiPi). Поскольку, согласно (PP2ij), |1 Рi  Рj  0, если i≠j, то отсюда имеем |1 хi  хj  0, если i≠j. Далее имеем: |1 хPi  (х1…хn)Pi, откуда получим: |1 хPi  xiPi, т.е. |1 хPi  xi.


Пусть Х – векторное пространство со скалярным произведением (евклидово линейное пространство). Для ПЛ построим далее отображение v:ПХ из множества П полярностей ПЛ в пространство Х, исходя из следующих правил:


V1. Если |1(х  у), то v(х) ≠ v(у).

V2. Если |1 ху0, то (v(х),v(у))=0.

V3. Если |1 ху0, то v(ху) = v(х)+v(у).

V4. Если |1 ху, то (v(х),v(х)) ≤ (v(у),v(у)).

V5. Если |1(pix) и |1(xPi) и |1(piy) и |1(yPi), то >0(v(x) = v(y)).


n-Мерная полярная логика ПЛ(n) может быть представлена, как минимум, в n-мерном векторном пространстве Х, поскольку векторы констант v(Pi), согласно V2, должны быть все ортогональны между собой, т.е. выступать как линейно независимые векторы.

Пространство Х можно называть полярным векторным пространством, а векторы полярностей – полярными векторами.


Лемма 23. Если х есть нулевая полярность, то v(x)=0.

Док-во. Если х есть нулевая полярность, то, согласно (NP), |1 (х  0). Тогда |1 (хy  y) для любой ППВ у. Пусть у – полярность, тогда имеем: v(xy) = v(x)+v(y) = v(y), откуда следует, что v(x)=0.


^ Вторая теорема полярного базиса. Пусть e1,…,en – орты векторов v(P1),..,v(Pn) соотв. в ПЛ(n). Тогда любой вектор v(x), где х – полярность из ПЛ(n), представим в виде суперпозиции v(x) = a1e1+…+anen, где a1,…,an – некоторые неотрицательные вещественные числа.

Док-во. Пусть х есть нулевая полярность. Тогда, согласно Лемме 23, v(x) = 0 = a1e1+…+anen, где a1=…=an=0. Пусть х есть ненулевая полярность. Согласно (РР), имеем: |1 х  х1…хn, и найдется i такой, что xi есть i-полярный элемент, т.е. |1(pixi) и |1(xiPi). Рассмотрим любой такой xi. Согласно V5, если |1(pixi) и |1(xiPi) и |1(piPi) и |1(PiPi), то i>0(v(xi) = iv(Pi)). Кроме того, найдется такое число i>0, что v(Pi) = iei. Отсюда имеем: v(xi) = iiei, т.е. ai = ii > 0 – неотрицательное число.


Средствами полярной логики мы можем выразить идеи

- содержательной логики, т.е. логики содержания, а не только формы знания,

- диалектической логики, т.е. логики, в которой важную роль играют противоречия,

- генетической логики, т.е. логики развития, генезиса.

Ниже я покажу основные примеры подобных выразительных воможностей ПЛ.


§ 4. Полярная логика как содержательная логика

Во-первых, ПЛ может быть представлена как содержательная логика в случае ППЛ. Содержательность в этом случае связана с идеей полярности.

Содержание может быть представлено как некоторое многоединое – организация той или иной определенности в виде единого и множества его аспектов. Таким образом, категория «многоединое» выражает идею некоторой дифференцированной целостности, в которой есть 1) целое (синтез) и 2) различные аспекты этого синтеза, которые более или менее дифференцированы и выделены в составе целого. В общем случае мы можем выразить структуру многоединого с точки зрения его основных полярностей. Например, в каждом многоедином есть основные полярности «единого» и «многого», пропорцией которых образовано данное многоединое. Если мы посмотрим на картину, то ее можно представить как сложное сочетание разных полярностей – света и тьмы, разных цветов, форм, образов, характеров и т.д. Музыка представляет собой динамическое движение различных полярностей, например, мажорных и минорных тональностей, разных темпов, высоты звучаний, напряжений и разрешений и т.д. Любое произведение искусства, смыслы, формы, действия, события, в конечном итоге всё имеет свою полярную структуру и может быть представлено как некоторая композиция определенных полярностей и динамика этих композиций. Анализ полярной структуры различных определенностей можно называть полярным анализом. Например, в немецкой классической философии (особенно у Фихте, Шеллинга и Гегеля) многие задачи были связаны с построением «полярных портретов» разных определенностей и сведении их к некоторым базовым полярностям «тезиса – антитезиса - синтеза».

Содержательный подход может выражаться в этом случае как методология построения «полярных портретов» различных определенностей. В простейшем случае полярность может быть определена как n-ка (х1,х2,…,хn), где каждое хi выражает некоторую базовую полярность (i-полярность). Например, любой цвет может быть выражен как тройка базовых цветов красного, желтого и синего, каждое звучание – как созвучие звуков гаммы и т.д. В ППЛ полярности могут выражаться такими ППВ, которые, согласно определению (Р), являются полярностями (отсюда и их название). Полярности истины 1 и лжи 0 в ПЛ1 оказываются в этом случае самым бедным вариантом полярной структуры определенности, который и лежит в основании феномена формы. В этом случае содержание оказывается выражением более богатой полярной структуры определенности, скрывающейся за формой. Так могут быть усмотрены основания организации ПЛ как содержательной логики. Они лежат в возможности организации семантики этой логики как все более богатой (многомерной) полярной структуры определенности. Можно также заметить, что, коль скоро семантические значения ППЛ оказываются полярностями, то они уже не обязательно связаны с истинностной семантикой суждений, но в общем случае оказываются выражением семантики полярностей, в том числе полярностей понятий, смыслов и вообще любых полярных определений любых состояний бытия. С этой поправкой следует понимать концепт «истины» (как относительной, так и абсолютной) и «лжи» в ПЛ.


§ 5. Полярная логика как диалектическая логика

Во-вторых, ПЛ может рассматриваться как более формальное выражение идей так называемой диалектической логики. Наиболее знаковая идея диалектика – идея так называемого диалектического противоречия или антиномии, когда так или иначе оправдывается состояние «А и неА», которое в ИВ выступает как ложное.

По сути, когда в диалектике говорят «А и неА», то предполагают А и неА как относительные истины, взаимно ограничивающие друг друга, и утверждают не столько конъюнкцию в обычном смысле, сколько идею той объемлющей истины, в рамках которой найдут свое примирение относительные истины А и неА. Следовательно, здесь союз «и» передает скорее идею дизъюнкции в полярной логике, т.е. истину А+неА. В то же время здесь есть связь с конъюнкцией, поскольку после достижения более полной истины А+неА частные истины А и неА теряют ту степень несовместимости, которая в них была ранее. Это значит, что есть еще какая-то конъюнкция, которая дает ноль, когда А и неА несовместимы, и перестает давать ноль, когда А и неА даются в составе А+неА. Ее можно было бы выразить следующим образом.

Введем представление о логическом субъекте, состояние которого выражается в множестве ППВ х1,…,хр, где |1(хixj) при i≠j. Эти выражения xi будем называть фонами логического субъекта. Они означают, что субъект достигает максимальной интеграции своего логического сознания в рамках своих фонов.

Для каждого выражения у в качестве ее фона ф(у) для данного субъекта будем рассматривать некоторое выражение xi. Под выражением уф будем понимать конъюнкцию уф(у):


(ф1) уф  уф(у),


полагая, что


(ф2) ф(уф)  ф(у).


В этом случае имеем: |1(yфф(у)).

Пусть для выражений х и х фиксированы фоны ф(х) и ф(х). В этом случае можно ввести так называемую фоновую конъюнкцию


(фс) х ф х  ф(х)  ф(х)  ф(хф)  ф(хф),


которая есть конъюнкция фонов своих аргументов.

Введем новую операцию


(DSI) x < y  xy  (yx),


где


(DSI*) x > y  y < x.


Рассмотрим случай, когда х и х есть относительные истины, т.е.


(М) |1 х>0 и |1х>0.


Это возможно в случае ПЛ(n), где n>1, например, в случае ПЛ(2), когда есть Р1 и Р2, Р1  Р2, и х есть Р1.

Пусть вначале ф(х)  х  хф и ф(х)  х  хф. Тогда получим:


х ф х  х  х  0.


Если же фоны х и х изменятся, например, так, что ф(х)  ф(х)  хх (здесь по-прежнему хф  х и хф  х), то фоновая конъюнкция даст другой результат:


х ф х  (хх)  (хх)  хх  1.


Если х и х – это относительные истины, то вначале, когда фоны совпадают с аргументами, субъект не может интегрировать эти истины в абсолютную истину, и их конъюнкция несовместима. Когда же фоны аргументов оказываются равны абсолютной истине, то последняя для субъекта интегрирует относительные истины, и фоновая конъюнкция переходит в дизъюнкцию, которая выражает синтез относительных истин.

Так мы можем выразить идею диалектического противоречия и дать критерий логической демаркации, отличив формально логические противоречия от диалектических.

Вот формулировка диалектического противоречия (антиномии):


(DC) |1 х ф х, где |1 ф(х)  ф(х)  х  х, и выполнено (М).


Если же мы хотим подчеркнуть момент динамизма, то можно выразить изменения для фонов х и х:


х ф(t) х  ф(х,t)  ф(х,t),


где ф(х*,t) = х* при t=0, ф(х*,t) = х*х* при t=1, и выполнено (М).

Здесь х* - это х или х.

Тем самым мы вводим в полярную логику и зависимость от времени (генезис – подробнее см. ниже).

Для формальной логики характерно выполнение следующего свойства:


(Е) х  х  х или х  х  х.


Формально логическое противоречие может быть представлено как фоновая конъюнкция


(fc) х ф х, где ф(х)х, ф(х)х, и выполнено (Е).


Свойство (Е) означает, что ПЛ дана как ПЛ1, т.е. как одномерная бивалентная полярная логика. При векторном представлении такая логика будет выражена в одномерном пространстве с выделенными точками v(0)=0 и v(1). В этой логике нет относительных истин, и не может быть выражен синтез относительных истин. Единственная процедура синтеза здесь – это синтез 01  1, т.е. синтез лжи и абсолютной истины, который совпадает с абсолютной истиной. Поэтому синтез в данном случае не может вывести за границы одномерности.

Если ПЛ дана как ПЛ(n), где n>1, т.е. как многомерная полярная логика, то для нее выполнено (М), и такая логика требует более чем одномерного пространства для своего векторного представления. В такой логике появляются относительные истины и их синтезы, причем, синтез выводит за границы измерений относительных истин в более многомерное пространство. В самом деле, если х и х – относительные истины, то х соответствует вектор v(x), x - вектор v(x), и синтезу истин xx сопоставляется вектор v(xx) = v(x)+v(x), который лежит в плоскости (более многомерном пространстве), включающей в себя векторы v(x) и v(x).

Идею фоновой конъюнкции можно распространить и на другие операции, рассматривая в общем случае фоновые операции вида


х оф у  ф(хф) о ф(уф).


Критерий логической демаркации теперь можно сформулировать как критерий демаркаций условий (М) и (Е). Это не то же самое, что демаркация много- и одномерности, поскольку может быть версия ПЛ(1), в которой выполнено (М). Поэтому точнее говорить о демаркации полипозитивности (М) и монопозитивности (Е) для альтернатив х и х. Логики, в которых выполнено (М), можно называть полипозитивными логиками – в них отрицание одной истины может быть другой истиной, а не ложью.

В общем случае, если дан некоторый фон ф логического субъекта, то для него может быть воспроизведена подлогика ПЛ(ф) переходом от ППВ х к ППВ хф, т.е. к хф. На таких выражениях могут быть определены операции:


хф ф уф  (ху)ф,


фхф  (х)ф.


Отсюда получим:


хф ф уф  хф  уф,


хф ф уф  ф(фхф  фуф)  (х  у)ф  хф  уф,


хффуф  хфуф  (ху)ф.


В итоге для ф может быть воспроизведена некоторая версия ПЛ с выражениями хф. Эту логику и можно обозначить как ПЛ(ф). Для нее будут выполнены аксиомы В1-В17, (PP1i), (PP2ij), (PP3) и все правила вывода. Но конечно все будет записано для выражений вида хф. Например, аксиома (PP3) примет вид


(PP3ф) |-ф P1ф  …  Pnф  1ф.


И в общем случае аксиомы будут даны с мерами обоснованности ф, т.е. будут иметь вид |-ф хф. Правила вывода также будут даны с учетом этого ограничения. Например, (МР) примет вид:


(MPф) Еcли |-фхф и |-ф(хфуф), то |-ф уф.


ПЛ(ф) является подлогикой ПЛ, суженной в своей семантике до ее истинностного значения |ф| как максимума булевой решетки истинностных значений ПЛ. Отсюда следует, что ПЛ(ф) не может быть многомернее, чем ПЛ, т.е., если ПЛ – это ПЛ(n), то ПЛ(ф) окажется ПЛ(k), где kn. Но это же означает, что для ПЛ(n) может быть найдена версия более многомерной логики ПЛ(n*), где n*>n, и в рамках ПЛ(n*) может быть построена подлогика ПЛ(ф), которая окажется изоморфной ПЛ(n).


§ 6. Полярная логика как генетическая логика

Следующий аспект ПЛ – это ее понимание как генетической логики, логики генезиса. Этот аспект тесно связан с содержательными определениями ПЛ, поскольку в случае генезиса речь идет в первую очередь о генезисе содержания. В общем случае генезис – это развитие полярностей. Ниже я в некоторой мере остановлюсь на этом аспекте полярной логики.



^ Мера полярной инвариантности

Главная моя гипотеза состоит в том, что развитие – это рост обобщенной инвариантности, и нам нужно уделить некоторое внимание этой теме – теме обобщенной инвариантности.

В современной науке активно используется понятие инвариантности5. Нечто называется инвариантным (неизменным), если оно сохраняется в некотором классе преобразований. Это означает как бы устойчивость такого начала к изменениям, и его еще часто называют инвариантом. Инвариант И в этом случае рассматривается как синтез. Он может образовывать свои представления п в разных условиях С, так что здесь применимы основные формулы синтеза и анализа:


п = ИС – представление п есть аспект инварианта И в ограничивающих условиях С,


И = пЕ = инвариант И есть синтез своего представления п в расширяющих условиях Е.


Ограничивающие условия С в этом случае играют роль обобщенных систем отсчета (ОСО), которые выступают аналогом систем отсчета в физике.

Если, например, есть две ОСО С1 и С2, то в каждой из них инвариант И дает свои представления п1 и п2, и теория инвариантности решает задачу определения инварианта И по тому закону преобразования L, который связывает между собой представления п1 и п2 в С1 и С2 соотв.

Может быть поставлена задача не только определения инвариант в тех или иных классах преобразований, но и определения меры инвариантности инварианта И. В математике существует такой раздел, который носит название теория меры. Здесь мера определяется как некоторая функция на множествах, которая по определенным правилам ставит каждому множеству некоторое неотрицательное число. Нечто подобное мы должны предположить для инварианта И, и возникает вопрос, на каких множествах можно было бы ввести меру, чтобы это была именно мера инвариантности. Вполне логично предположить, что такая мера должна вводиться на множестве тех систем отсчета, на которых инвариант воспроизводит себя (представления в которых связаны между собой законом преобразования L). Множество таких систем отсчета можно называть позитивом инварианта Рos(И). Кроме того, с идеей меры тесно связано понятие интеграла. Если вводится мера, то может быть введена сумма по этой мере. Например, мы разбиваем площадь на отдельные участки и каждому участку сопоставляем некоторое число. Сумма произведений чисел на площади своих участков в пределе даст интеграл по данной площади. Аналогично мы можем оценивать меру инвариантности инварианта не только как меру его позитива, но и как интеграл (сумму) по этой мере. Например, мы можем брать не просто число систем отсчета, где воспроизводит себя инвариант, но еще и для каждой системы отсчета учитывать, насколько инвариант воспроизводит себя в этой системе отсчета.

Более конкретно это означает, что если дан инвариант И и множество его представлений п в каждой системе отсчета С из позитива, т.е. дано соотношение


п = ИС,


то для каждой С можно рассматривать величину представления п, обозначим ее |п|=|ИС|, и в простейшем дискретном случае можно определить меру инвариантности как сумму


m(И) = CPos(И)|ИС| = CPos(И)|ИС|m{C}


- сумму величин представлений инварианта по всем системам отсчета из позитива инварианта (здесь я предполагаю, что каждому единичному множеству {C} с системой отсчета С сопоставляется мера m{C}=1).

Эта идея получает свое более конкретное выражение для полярностей и их представлений в рамках векторного пространства.

Пусть у нас есть полярности многоединого, состоящие из композиций полярностей многого и единого. Предположим, что каждая полярность может иметь не только разные комбинации, но и разные величины. Например, полярность многоединого может быть неразвитой и развитой. Развитые полярности будем обозначать большими буквами, неразвитые – малыми. Тогда получим такие полярности: ме, е, м, Е, М, МЕ. Каждой из этих полярностей сопоставим вектор в векторном пространстве. Векторы е и Е будем откладывать по оси х, векторы м и М – по оси у. Какие векторы сопоставить полярностям ме и МЕ? Если предполагать, что это равновесные полярности, которые получены одинаковыми вкладами дуальных полярностей единого и многого, то им нужно сопоставить векторы, которые лежат в точности посередине между осями х и у. В векторной форме равные вклады можно выразить следующим образом:


v(ме) = v(е) + v(м),


v(МЕ) = v(Е) + v(М).


Положим, что величины векторов v(е) и v(м) равны между собой, и величины векторов v(Е) и v(М) также равны между собой, т.е. |v(е)|=|v(м)|=а, и |v(Е)|=|v(М)|=А, и a

v(е) = (а,0),

v(м) = (0,а),

v(ме) = v(е) + v(м) = (а,0) + (0,а) = (а,а),

v(Е) = (А,0),

v(М) = (0,А),

v(МЕ) = v(Е) + v(М) = (А,0) + (0,А) = (А,А).


Можем ли мы теперь ввести некоторым образом идею инвариантности и меру инвариантности для такой и подобных полярных систем?

Опираясь на интуицию, можно утверждать, что полярность тем более инвариантна, чем более она развита и равновесна. Чем более в ней развита каждая отдельная полярность, и чем более эти полярности находятся в равновесии, тем более развита вся полярность в целом, тем более она инвариантна. Такова интуиция, которую можно закрепить отдельным постулатом:


(^ Постулат полярной инвариантности) Чем более развита и равновесна полярность, тем более она инвариантна.


Мерность полярностей нам помогает выразить векторное пространство, так что нам нужно пытаться некоторым образом выразить этот постулат средствами векторных структур.

Дополнительная трудность состоит в том, что при векторном представлении полярностей мы по сути фиксируем систему отсчета, в которой выражаются в качестве измерений базовые полярности (например, полярности единого и многого выражаются на фиксированных осях х и у). Поэтому нам нужно поискать вид векторной инвариантности, который мог бы воспроизводиться при фиксированной системе координат.

Я предлагаю рассмотреть здесь вид межполярной инвариантности, когда одна полярность может проявлять себя в системе другой полярности, как бы проецируя себя в нее. Чем более развита и равновесна полярность, тем большие представления в системах других полярностей она будет давать – так должно возникнуть согласование с постулатом полярной инвариантности.

Если даны полярности п и п*, то можно образовать аспекты одной полярности на другой:


пп* = пп*.


В этом случае сама полярность выступит как инвариант, а ее аспекты в системах других полярностей – как представления инварианта.

Тогда мера инвариантности может быть выражена в виде:


m(п) = п*Pos(п)|пп*|


- как сумма величин представлений данной полярности на всех других полярностях в данной системе полярностей.

Переходя к векторным структурам, получим:


m(п) = п*Pos(п)|v(п)v(п*)|


- как сумма величин представлений вектора данной полярности на векторах всех других полярностей в данной системе полярностей.

Остается лишь вопрос, что такое представление v(п)v(п*) одного вектора на другом?

Здесь я вновь обращусь к средствам векторного пространства со скалярным произведением. Вспомним, что благодаря последнему, у нас есть возможность получать проекции одних векторов на других. Такие проекции я и приму в качестве величин представления одного вектора в другом |v(п)v(п*)|. Таким образом, получим:


(^ Постулат векторного представления) |v(п)v(п*)| = prv(п*)v(п) – представление одного полярного вектора на другом есть проекция первого вектора на направление второго.


В итоге получаем следующую (меж)векторную меру инвариантности для полярностей:


m(п) = п*Pos(п) prv(п*)v(п) = YV(п)(v(п),eY)


- мера инвариантности полярности п есть сумма всех проекций вектора этой полярности v(п) на векторы всех остальных полярностей в данной системе полярностей (eY – орт вектора Y, V(п) = {v(п*): п* Pos(п)} - множество всех векторов полярностей из позитива п).



^ Полярная мера

Кроме меры инвариантности я буду использовать еще одно понятие – понятие полярной меры.

Мера полярности может быть определена не только в результате соответствующего вида инвариантности, но и из самой структуры полярности. В самом деле, как уже отмечалось, мера полярности предполагается тем больше, чем более развита полярность и чем более она равновесна. Но развитость и равновесность – это характеристики самой полярности, для определения которых не надо обращаться ко всем другим полярностям. Но как может быть определена полярная мера?

Идея полярной меры вытекает из структуры полярного векторного пространства, где мы интерпретируем полярности. Из постулата дуальности вытекает, что для векторного представления дуальных полярностей нам не нужно обращаться к отрицательным областям осей координат. Поэтому все полярности можно выразить в так называемом первом квадранте полярного векторного пространства – в той части ее системы координат, где все координаты неотрицательны (больше или равны нулю). Но именно в этом квадранте есть направление, которое в максимальной степени выражает идею максимальной развитости и равновесности полярностей. Это центральное направление – направление, лежащее ровно в центре между всеми осями координат (орт этого направления имеет вид (n-0.5,…, n-0.5) в n-мерном полярном векторном пространстве). Если полярности растут, то в конечном итоге они будут стремиться в максимальной степени приблизиться к этому центральному направлению и достичь на нем максимальной величины – такова формулировка основного принципа экстремальности для полярной динамики. С этой точки зрения центральное направление – это финальное направление для данной фиксированной системы полярностей. Максимальный вектор (для данной системы полярностей П) этого направления я буду обозначать через Ф.

В этом случае полярную меру М(п) полярности п можно выразить очень просто – как проекцию вектора v(п) на финальный вектор Ф:


М(п) = prФv(п).


Такая проекция реагирует и на близость вектора v(п) к Ф (чем выражается параметр равновесности полярности п), и на величину v(п), чем выражен параметр степени развитости полярности п. Поскольку орт вектора Ф есть единичный центральный вектор (n-0.5,…,n-0.5), и проекция на Ф есть скалярное произведение вектора с ортом Ф, то полярная мера М(п) в этом случае будет просто пропорциональна сумме координат вектора v(п) (с коэффициентом пропорциональности n-0.5).



^ Связь меры полярной инвариантности и полярной меры

Теперь на постулат полярной инвариантности мы можем посмотреть как на идею связи двух мер – меры полярной инвариантности и полярной меры. Первая мера требует обращения ко всей системе полярностей, частью которой является данная полярность. Полярная мера требует обращения только к финальной полярности, относительно которой мера данной полярности оценивается как степень финальности данной полярности.

Для меры полярной инвариантности


m(п) = YV(п)(v(п),eY)


все орты еY сгруппируем в два вектора – еФ и ЕФ2, где


ЕФ2 = Y(V(п)\Ф)Y/|Y| = Y(V(п)\Ф)eY = |ЕФ2|еФ2,


|ЕФ2| = |Y(V(п)\Ф)Y/|Y|| = |Y(V(п)\Ф)eY|.


Тогда получим:


m(п) = YV(п)(v(п),eY) = (v(п),еФ) + Y(V(п)\Ф)(v(п),eY) = (v(п),еФ) + (v(п),Y(V(п)\Ф)eY) =


= (v(п),еФ) + (v(п),ЕФ2) = (v(п),еФ) + |ЕФ2|(v(п),еФ2).


Для фиксированной системы векторов V(п) величина |ЕФ2| есть константа.

Итак, окончательно имеем:


m(п) = (v(п),еФ) + |ЕФ2|(v(п),еФ2),


т.е.


m(п) = М(п) + |ЕФ2|(v(п),еФ2),


откуда получим:


М(п) = m(п) - |ЕФ2|(v(п),еФ2).


- мы получили аналитическое выражение полярной меры М(п) через меру инвариантности m(п).

Теперь несколько осмыслим, что именно означает эта формула.

По сути она выражает ту идею, что в системе полярных векторов V(п) есть два главных направления – это направление орта еФ и орта еФ2. Эти направления я буду называть также полярными осями. Ось еФ можно называть первой полярной осью, обозначая Ф также как Ф1, а ось еФ2 – второй полярной осью.

Систему полярных векторов, где первая и вторая полярные оси различаются, можно называть полицентрической полярной системой, где эти оси совпадают – моноцентрической полярной системой.

Чем вызвана полицентричность? Она вызвана тем, что направления всех других векторов из V(п), кроме Ф, также выступают – при определении меры инвариантности - как равноправные с Ф направления, на которые идет проецирование полярного вектора v(п). По сути в Ф содержится вся информация о полярном определении вектора v(п) (это идея полярной меры), и когда к