Реферат: Розповсюдження та тиражування без офіційного дозволу хінем заборонено!
Вищий навчальний заклад України
Харківський інститут економіки ринкових
відносин та менеджменту
(ХІНЕМ)
Харків
ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ
Модуль 1. Оптимізаційні методи та моделі
Завдання та методичні вказівки
до виконання контрольної роботи
Для студентів заочного відділення підготовки бакалавра
в галузі знань 0305 «Економіка і підприємництво»,
за напрямами 6.030504 «Економіка підприємства»,
6.030507 «Маркетинг», 6.030509 «Облік і аудит».
Розповсюдження та тиражування без офіційного
дозволу ХІНЕМ заборонено!
ПЕРЕДМОВА
РОЗРОБЛЕНО у відповідності до вимог освітньо-професійній програми вищої освіти та робочої програми навчальної дисципліни «Економіко-математичні методи та моделі» модуля №1 «Оптимізаційні методи та моделі» підготовки бакалавра в галузі знань 0305 «Економіка і підприємництво», за напрямами 6.030504 «Економіка підприємства», 6.030507 «Маркетинг», 6.030509 «Облік і аудит».
ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри гуманітарних та загально-економічних дисциплін. Протокол № від .
Укладачі: Сорокін В.Ф., д.т.н., доцент, зав. каф. маркетингу, Кушнір Т.П., ст. викладач каф. гуманітарних та загально-економічних дисциплін.
Відповідальний за випуск: Лимарь Я.О., к.т.н., доц., зав. кафедри гуманітарних та загально-економічних дисциплін.
– Харків: ХІНЕМ. – 2010. – 27 с.
ЗМІСТ
Вступ……………………………………………………………………….
4
1
Загальні рекомендації з вивчення дисципліни…………………………..
4
2
Зміст навчальної дисципліни………………………………………………
5
3
Загальні методичні вказівки до виконання контрольної роботи………...
6
4
Завдання до контрольної роботи…………………………………………..
8
5
Приклади розв’язку типових завдань.....………………………………….
18
Інформаційно-методичне забезпечення…………………………………...
26
ВСТУП
«Економіко-математичні методи та моделі» є однією з фундаментальних нормативних дисциплін підготовки бакалаврів в галузі знань «Економіка і підприємництво», яка вивчає математичні методи: оптимізації функціонування економічних систем, моделювання прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику, визначення кількісних співвідношень між економічними показниками. Викладається після вивчення студентами курсів «Вища математика» та «Теорія ймовірностей і математична статистика». Включає окремі курсі «Оптимізаційні методи та моделі» та «Економетрика».
Доцільність вивчення матеріалу цього курсу визначається тим, що реформування економіки України створює умови і робить необхідним перехід до нової ідеології управління. Сучасний економіст повинен знати й уміти використати в повсякденній роботі новітні економіко-математичні методи й моделі. Швидкий розвиток і широке застосування засобів обчислювальної техніки визначають вимоги до підготовки сучасного економіста, що повинен за допомогою сучасних програмних засобів уміти аналізувати складні соціально-економічні явища та приймати ефективні науково-обґрунтовані рішення в керуванні бізнес-процесами підприємств та інших сфер соціально-економічної діяльності.
Пропоновані рекомендації мають на меті допомогти студентам заочної форми навчання організувати свою самостійну роботу з вивчення дисципліни.
Студенти денного відділення можуть використовувати цей посібник при організації та проведенні захисту індивідуальних завдань.
^ 1 ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ
Метою дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі» дисципліни є: формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей; освоєння студентами економічних спеціальностей основ математичного апарата, необхідного для рішення економічних завдань; вироблення вмінь і навичок моделювати реальні економічні процеси; освоєння прийомів дослідження та рішення формалізованих економічних завдань.
Завдання дисципліни полягає в вивченні основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови оптимізаційних економіко-математичних моделей, методів їх розв’язування та аналізу з метою використання в економіці.
^ В результаті вивчення даної дисципліни студенти повинні знати:
основи математичного апарата, необхідного для рішення економічних завдань;
основні методи моделювання і аналізу соціально-економічних об’єктів і процесів;
класифікацію задач математичного програмування, фундаментальні теореми;
основи лінійного програмування;
геометричну інтерпретацію та алгоритм симплекс-методу;
двоїстість в лінійному програмуванні та її застосування;
спеціальні задачі лінійного програмування;
елементи нелінійного програмування та деякі методи їх розв’язання.
Повинні вміти:
будувати лінійні оптимізаційні моделі;
перетворювати різні форми запису ЗЛП в еквівалентні;
розв’язувати ЗЛП за допомогою геометричної інтерпретації;
розв’язувати ЗЛП симплексним методом;
будувати пари двоїстих ЗЛП та перевіряти плани задач на оптимальність;
застосовувати двоїстий симплекс-метод;
розв’язувати спеціальні задачі лінійного програмування (транспортні задачі);
розв’язувати цілочисельні задачі лінійного програмування;
застосовувати методи розв’язання класичних задач математичного програмування;
специальные задачи линейного программирования;
^ 2 ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ «ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ»
ЗАЛІКОВИЙ МОДУЛЬ І.
Лінійні оптимізаційні моделі
Тема 1 Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.
Основні характеристики економічної системи як об’єкта моделювання. Поняття моделі. Математична модель та основні етапи процесу моделювання. Класифікація економіко-математичних моделей.
^ Тема 2 Оптимізаційні економіко-математичні моделі.
Постановка задачі оптимізаційного економіко-математичного моделювання та її приклади. Класи оптимізаційних задач: одновимірні та багатовимірні, з обмеженнями або без обмежень. Поняття глобального та локального оптимуму, точного та наближеного розв’язання задачі. Умови оптимальності, засновані на застосуванні диференціального числення; теореми Ферма і Куна-Такера. Класична задача математичного програмування.
^ Тема 3 Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
Економічна та математична постановка задачі лінійного програмування (ЗЛП). Форми запису задач, їх еквівалентні перетворення. Геометрична інтерпретація ЗЛП. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування. Канонічна задача лінійного програмування. Властивості розв’язків задач. Обґрунтування симплекс-методу. Етапи його реалізації. Основні теореми лінійного програмування. Симплекс-таблиця та алгоритм її обробки. Поняття про виродженність у лінійному програмуванні. Запобігання зациклюванню у випадку виродженності. Метод штучного базису. Альтернативні розв’язки. Транспортна задача. Економічна та математична постановка. Пошук оптимального опорного плану перевезень за методом потенціалів.
^ Тема 4 Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
Двоїстість у лінійному програмуванні. Пряма та двоїста задачі, методи їх побудови. Теореми двоїстості. Економічна інтерпретація теорем двоїстості. Критерій оптимальності плану. Двоїстий симплекс-метод та особливості його застосування. Двоїста транспортна задача.
^ Тема 5 Цілочислове програмування.
Приклади економіко-математичних моделей цілочислового (дискретного) програмування. Постановка та вирішення цілочислової задачі лінійного програмування. Метод відсікання. Алгоритм Гоморі. Особливості методу віток та границь.
^ ЗАЛІКОВИЙ МОДУЛЬ ІІ.
Нелінійні та ігрові оптимізаційні моделі
Тема 6 Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
Постановка задачі нелінійного програмування (ЗНП) та її приклади в економіці. Необхідні (умови Куна-Такера) та достатні умови існування розв’язків. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування. Спеціальні завдання нелінійного програмування: квадратичне, сепарабельне, дробово-лінійне. Огляд методів одновимірної оптимізації: половинного поділу, дотичних, січних. Багатовимірна задача оптимізації без обмежень та її основні властивості. Поняття про методи розв'язання багатовимірної задачі оптимізації без обмежень: покоординатного спуска, градієнтний, Ньютона. Властивості багатовимірної задачі оптимізації з обмеженнями. Поняття про методи багатовимірної оптимізації з обмеженнями. Метод множників Лагранжа та їх економічна інтерпретація.
^ Тема 7 Аналіз та управління ризиком в економіці.
Економіко-математичне моделювання в умовах невизначеності та ризику. Основні поняття теорії ігор. Приклади ігрових задач в економіці. Матричні ігри двох осіб. Платіжна матриця. Сідлова точка. Гра у чистих і змішаних стратегіях. Зведення матричної гри двох осіб до задачі лінійного програмування. Поняття гри з природою. Статистичні ігри. Теорія статистичних рішень. Теорія масового обслуговування. Моделі торгів. Страхування від ризику.
^ Тема 8 Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику.
Ризик і його вимір. Міри ризику. Критерії прийняття рішень в умовах невизначеності й ризику: максимаксний, максимінний Вальда, мінімаксний Севиджа, змішаний Гурвица. Аналіз і розв'язання задач за допомогою дерева рішень. Функція корисності Неймана - Моргенштерна. Узагальнені принципи прийняття рішень: принцип Байеса - Лапласа, принцип Гурвица. Експертні оцінки, рангова кореляція та конкордація. Геометрична інтерпретація оптимальних функцій рішень у статистичній грі.
^ 3 ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ
Контрольна робота є ефективною формою контролю самостійної роботи студентів, що навчаються без відриву від виробництва.
Мета написання контрольної роботи полягає в закріпленні та поглибленні теоретичних знань, отриманих у процесі вивчення курсу, знаходженні студентами вміння самостійно працювати з навчальною, спеціальною літературою та статистичними матеріалами.
Контрольна робота складається з теоретичного завдання, що складається із двох питань і чотирьох практичних завдань по двом різним розділам дисципліни.
Для того, щоб розкрити теоретичні питання студенти повинні ознайомитися з рекомендованими джерелами інформації і сконцентрувати увагу на тих темах та питаннях, які є актуальними для даного варіанту контрольної роботи. Крім того, для більш повного розкриття теоретичних питань контрольної роботи студентові доцільно використовувати додаткову літературу.
Кожне практичне завдання необхідно розв'язати методами, визначеними в умовах завдань, розкриваючи економічний зміст отриманих рішень. У тексті відображаються всі питання, передбачені планом завдання (графіки, таблиці, проміжні викладення та ін.).
У роботі необхідно показати вміння самостійно робити висновки на основі обробленого та узагальненого матеріалу, а також показати знання літературних джерел і вміння оформляти список використаної літератури.
Пояснювальна записка контрольної роботи повинна складатися з:
титульної сторінки, на якій вказується курс, номер академічної групи, прізвище та ініціали студента, номер залікової книжки, номер варіанта, прізвище та ініціали викладача;
відповідей на теоретичні питання ;
розв'язання практичних завдань;
висновків;
списку використаної літератури.
Робота повинна бути грамотно й акуратно оформлена в зошиті в клітку або на білих аркушах формату А4. Необхідно залишити поля для зауважень викладача.
Обсяг контрольної роботи - 15-20 сторінок (у тому числі таблиці, графіки).
^ 3.1 Строки виконання та порядок захисту контрольної роботи
Контрольна робота виконується та подається на перевірку в термін, визначений індивідуальним навчальним графіком студента. Якість контрольної роботи оцінюється по тому, наскільки студентом правильно і самостійно вирішені поставлені завдання та розкритий економічний смисл отриманих рішень. Остаточно контрольна робота оцінюється при її захисту під час індивідуальної співбесіди викладача та студента. На захисті контрольної роботи студент повинен уміти:
коротко викласти зміст поставлених завдань і довести їхній розв'язок;
відповісти на запитання, що стосуються економічного змісту отриманих розв'язків;
відповісти на додаткові теоретичні запитання по темі конкретного завдання.
Виконані з помилками або не захищені роботи не зараховуються та повертаються на доробку з визначенням терміну повторного захисту.
Робота не перевіряється у випадку виконання студентом не свого варіанта.
^ 3.2 Порядок визначення варіанта контрольної роботи
Номер варіанта студент визначає по таблиці 3.1.
Таблица 3.1
Дві останні цифри
у номері залікової
книжки студента
№ варіанта
Дві останні цифри
у номері залікової
книжки студента
№ варіанта
01, 21, 41, 61, 81
1
11, 31, 51, 71, 91
11
02, 22, 42, 62, 82
2
12, 32, 52, 72, 92
12
03, 23, 43, 63, 83
3
13, 33, 53, 73, 93
13
04, 24, 44, 64, 84
4
14, 34, 54, 74, 94
14
05, 25, 45, 65, 85
5
15, 35, 55, 75, 95
15
06, 26, 46, 66, 86
6
16, 36, 56, 76, 96
16
07, 27, 47, 67, 87
7
17, 37, 57, 77, 97
17
08, 28, 48, 68, 88
8
18, 38, 58, 78, 98
18
09, 29, 49, 69, 89
9
19, 39, 59, 79, 99
19
10, 30, 50, 70, 90
10
20, 40, 60, 70, 00
20
^ 4 ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 4.1 Теоретичні завдання
Варіант 1
Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання.
Поняття економіко-математичної моделі.
Метод Гоморі: основні ідеї та короткий опис алгоритму.
Варіант 2
Економіко-математична модель і основні етапи процесу моделювання.
Поняття про методи багатомірної оптимізації з обмеженнями. Застосування методу Лагранжа для вирішення завдань умовної оптимізації.
Варіант 3
Класифікація економіко-математичних моделей.
Спеціальні задачі нелінійного програмування: квадратичне, сепарабельне, дрібно-лінійне.
Варіант 4
Постановка задачі оптимізаційного економіко-математичного моделювання та її приклади. Класи оптимізаційних задач: одномірні та багатомірні, з обмеженнями або без обмежень.
Поняття економіко-математичного моделювання в умовах невизначеності та ризику. Ризик і його вимір. Міри ризику. Страхування від ризику.
Варіант 5
Поняття глобального та локального оптимуму, точного та наближеного вирішення задачі.
Основні поняття теорії ігор. Приклади ігрових задач в економіці. Матричні ігри двох людей. Платіжна матриця. Седлова точка.
Варіант 6
Умови оптимальності, засновані на застосуванні диференціального обчислення.
Зведення матричної гри двох людей до задачі лінійного програмування.
Варіант 7
Предмет математичного програмування. Спільне завдання математичного програмування. Основні теореми існування рішення.
Поняття гри із природою. Статистичні ігри. Теорія статистичних рішень.
Варіант 8
Класифікація задач математичного програмування.
Поняття теорії масового обслуговування.
Варіант 9
Поняття задачі лінійного програмування. Загальна, стандартна та канонічна форма запису задачі лінійного програмування
Критерії прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику: максимаксний, максимінний Вальда, мінімаксний Севиджа, змішаний Гурвица.
Варіант 10
Канонічна задача лінійного програмування.
Аналіз і розв'язання задач за допомогою дерева рішень.
Варіант 11
Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування.
Функція корисності Неймана - Моргенштерна.
Варіант 12
Основні теореми лінійного програмування.
Узагальнені принципи прийняття рішень: Байеса - Лапласа, Гурвица.
Варіант 13
Обґрунтування симплекс-методу. Етапи його реалізації.
Експертні оцінки, рангова кореляція та конкордація.
Варіант 14
Поняття про виродженність у лінійному програмуванні. Запобігання зациклюванню у випадку виродженності.
Постановка та вирішення цілочислової задачі лінійного програмування.
Варіант 15
Застосування методу штучного базису в задачах лінійного програмування.
Метод відсікання. Особливості методу віток та границь.
Варіант 16
Критерій оптимальності припустимого базисного плану в симплексі-методі.
Загальна постановка задачі нелінійного програмування і її приклади в економіці. Основні труднощі розв'язання задач нелінійного програмування.
Варіант 17
Транспортна задача. Економічна та математична постановка. Пошук оптимального опорного плану перевезень за методом потенціалів.
Умови Куна-Такера для задач нелінійного програмування.
Варіант 18
Двоїстість у лінійному програмуванні. Пряма та двоїста задачі, методи їх побудови.
Огляд методів одновимірної оптимізації: половинного поділу, дотичних, січних.
Варіант 19
Теореми двоїстості. Економічна інтерпретація теорем двоїстості.
Багатовимірна задача оптимізації без обмежень та її основні властивості..
Варіант 20
Критерій оптимальності для транспортної задачі. Двоїста транспортна задача.
Поняття про методи розв'язання багатовимірної задачі оптимізації без обмежень: покоординатного спуска, градієнтний, Ньютона.
^ 4.2 Практичні завдання
Завдання 1
Підприємство виготовляє 4 (або 3) виду продукції А; В; С; D. (А; В; С), використовуючи для цього три види ресурсів:1, 2, 3. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції кожного виду (в умовних одиницях) приведені в таблиці 4.1.
Таблиця 4.1 – Норми витрат ресурсів на одиницю продукції
Ресурс
Норми витрат ресурсів на од. продукції по видах продукції
Запас ресурсу
A
B
C
D
1
F1
2
F2
3
F3
Відома ціна одиниці продукції кожного виду: для А – ЦА; для В – ЦВ; для С –ЦС; для D – ЦD. (у.о.).
Визначити оптимальний план виробництва продукції в умовах обмеженості ресурсів, який дасть виробництву найбільший прибуток. Завдання розв'язати симплексним методом. Дані для розв'язання цього завдання дано в таблиці 4.2.
Таблиця 4.2 – Вихідні дані
№ варіанту
Ресурс
А
В
С
D
ЦА
ЦВ
ЦС
ЦD
F1
F2
F3
1
1
18
15
12
-
9
10
16
-
360
192
180
2
6
4
8
-
3
5
3
3
-
2
1
4
2
1
-
10
14
12
-
180
210
244
2
3
1
3
-
3
1
2
5
-
3
1
2
1
1
1
4
3
6
7
280
80
250
2
1
-
1
1
3
1
5
1
-
4
1
6
1
2
4
4
2
3
4
300
200
90
2
5
2
2
4
3
2
3
1
1
5
1
3
2
1
2
27
10
15
28
200
500
400
2
3
1
3
4
3
1
1
1
3
6
1
2
1
1
3
8
3
2
1
300
70
340
2
1
-
2
1
3
1
2
1
-
7
1
1
-
2
1
9
6
4
7
180
250
800
2
-
1
3
2
3
4
2
-
4
8
1
1
2
2
1
3
2
5
4
300
600
200
2
3
-
2
2
3
1
4
-
1
9
1
2
1
2
-
2
3
4
-
120
200
120
2
3
1
2
-
3
2
2
1
-
Продовження таблиці 4.2
№ варіанту
Ресурс
А
В
С
D
ЦА
ЦВ
ЦС
ЦD
F1
F2
F3
10
1
3
1
3
4
27
10
15
28
200
500
400
2
3
2
1
2
3
1
1
1
3
11
1
6
4
8
-
9
10
16
-
360
192
180
2
18
15
12
-
3
5
3
3
-
12
1
12
15
18
-
16
10
9
-
180
192
360
2
8
4
6
-
3
3
3
5
-
13
1
1
2
4
-
12
14
10
-
244
210
180
2
3
1
3
-
3
5
2
1
-
14
1
1
1
1
2
7
6
3
4
250
80
280
2
1
1
-
1
3
-
1
5
1
15
1
4
2
1
6
4
3
2
4
90
300
200
2
4
2
2
5
3
1
1
3
2
16
1
2
5
2
4
2
4
3
4
250
280
80
2
1
6
2
4
3
3
2
1
1
17
1
3
1
1
2
1
2
3
8
340
70
300
2
1
2
-
1
3
-
1
2
1
18
1
2
1
2
-
4
3
2
-
120
200
120
2
2
1
3
-
3
1
2
2
-
19
1
6
4
8
-
9
10
16
-
360
192
180
2
5
3
3
-
3
18
15
12
-
20
1
5
2
1
-
12
14
10
-
244
210
180
2
1
2
4
-
3
3
1
3
-
Завдання 2
Побудувати на площині область припустимих рішень системи нерівностей. Геометрично знайти найбільше та найменше значення цільової функції в цій області.
У всіх варіантах х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0.
Варіант 1.
Варіант 2.
Варіант 3.
2х1 + 3х2 ≤ 50
3х1 - х2 ≥ 9
-х1 + 4х2 ≥ 19
z = х1 + 5х2;
2х1 - 3х2 ≤ 6
5х1 + 6х2 ≤ 30
2х1 + х2 ≥ 2
z = 2х1 + х2;
-2х1 + 7х2 ≥ 15
11х1 - 3х2 ≥ 24
9х1 + 4х2 ≤ 110
z = 9х1 + 2х2;
Варіант 4.
Варіант 5.
Варіант 6.
3х1 - х2 ≤ 14
-4х1 + 5х2 ≤ 29
5х1 + 2х2 ≥ 38
z = 3х1 + 2х2;
х1 - х2 ≥ 3
7х1 -3х2 ≥ 71
х1 + 4х2 ≤ 53
z = 9х1 + 2х2;
х1 + 7х2 ≥ 77
-х1 + х2 ≤ 3
5х1 + 3х2 ≤ 97
z = 3х1 + 4х2;
Варіант 7.
Варіант 8.
Варіант 9.
-4х1 + 9х2 ≥ 20
х1 + 3х2 ≤ 37
2х1 - х2 ≥ 4
z = 4х1 + 3х2;
9х1 + 8х2 ≤ 157
4х1 - х2 ≥ 6
-3х1 + 11х2 ≥ 16
z = 8х1 + 5х2;
15х1 + 8х2 ≤ 120
2х1 + 5х2 ≤ 30
7х1 + 10х2 ≤ 70
z = х1 + 4х2;
Варіант 10.
Варіант 11.
Варіант 12.
-х1 + х2 ≤ 1
х1 + х2 ≥ 1
6х1 + 7х2 ≤ 42
3х1 ≤ 15
z = 5х1 + х2;
2х1 - 3х2 ≥ 6
5х1 + 6х2 ≤ 30
2х1 + х2 ≤ 2
-х1 + 4х2 ≤ 19
z = 2х1 + х2;
-4х1 + 2х2 ≤ 4
х1 + 3х2 ≥ 6
х1 ≤ 4
х2 ≤ 3
z = 2х1 + х2;
Варіант 13.
Варіант 14.
Варіант 15.
6х1 - 7х2 ≤ 15
2х1 +3х2 ≤ 53
10х1 -х2 ≥ 57
z = 2х1 + 3х2;
-х1 +х2 ≤ 5
4х1 + 5х2 ≤ 40
2х1 + 3х2 ≥ 6
z = 2х1 + 5х2;
2х1 + 3х2 ≤ 53
10х1 - х2 ≥ 57
6х1 - 7х2 ≤ 15
z = 5х1 + х2;
Варіант 16.
Варіант 17.
Варіант 18.
5х1 + х2≥ 10
х1 + 7х2 ≥ 7
-5х1 + 3х2 ≤ 30
z = 3х1 + 3х2;
-4х1 +9х2 ≥ 20
2х1 - х2 ≥ 4
х1 + 3х2 ≤ 37
z = х1 + 3х2;
3х1 - 7х2 ≤ 21
-8х1 +5х2 ≤ 40
2х1 + 3х2 ≥ 18
х1 ≤ 15
х2 ≤ 10
z = 7х1 + 3х2;
Варіант 19.
Варіант 20.
10х1 - 3х2 ≤ 30
2х1 + 2х2 ≤ 12
х1 + 5х2 ≥ 5
х1 + х2 ≥ 2
z = 3х1 + 2х2;
-4х1 + х2 ≤ 4
х1 + х2 ≥ 4
4х1 - х2 ≤ 4
3х2 ≤ 21
z = х1 + 5х2.
Завдання 3
Розв'язати транспортне завдання: скласти оптимальний план перевезень однорідного вантажу від постачальників до споживачів, при якому сумарні транспортні витрати були б мінімальними. Вартість перевезення одиниці вантажу, потреби та наявність вантажу задана таблицею 4.3.
Таблиця 4.3 – Вартість перевезення одиниці вантажу, потреби та наявність вантажу
Постачальники (Аi)
Споживачі (Bj)
Запаси вантажу
B1
B2
B3
B4
B5
А1
с11=
с12=
с13=
с14=
с15=
а1=
А2
с21=
с22=
с23=
с24=
с25=
а2=
А3
с31=
с32=
с33=
с34=
с35=
а3=
Потреба у вантажі
b1
b2
b3
b4
b5
Числові значення витрат за перевезення одиниці продукції від і- го постачальника до j-го споживачеві, потреб, запасів вантажу знаходяться у таблиці 4.4.
Таблиця 4.4 – Вихідні дані
№ варіанту
i
j
аi
1
2
3
4
5
1
1
1
2
1
3
-
30
2
1
2
2
1
-
50
3
2
2
1
2
-
70
bj
25
25
4
60
-
2
1
3
1
2
1
-
40
2
1
4
1
3
-
55
3
2
2
2
3
-
60
bj
20
65
20
50
-
3
1
2
2
3
1
-
40
2
1
2
1
3
-
50
3
3
2
3
3
-
60
bj
20
20
55
50
-
4
1
1
2
1
3
-
50
2
1
2
2
1
-
30
3
2
2
1
2
-
70
bj
25
40
25
60
-
5
1
8
7
1
2
-
10
2
6
12
3
5
-
60
3
11
4
9
10
-
30
bj
40
20
10
30
-
6
1
10
6
1
2
-
10
2
7
8
3
5
-
60
3
4
9
12
11
-
30
bj
40
20
10
30
-
7
1
12
18
8
16
-
90
2
17
11
9
12
-
115
3
10
15
14
7
-
205
bj
95
150
15
80
-
8
1
9
12
1
2
-
10
2
8
6
3
5
-
60
3
4
10
11
7
-
30
bj
40
20
10
30
-
9
1
3
1
2
1
-
55
2
1
4
1
3
-
40
3
1
2
2
3
-
60
bj
65
20
50
20
-
10
1
3
3
2
2
-
40
2
3
4
2
4
-
50
3
2
4
3
4
-
60
bj
45
40
30
35
-
11
1
27
36
35
31
29
250
2
22
23
26
32
35
250
3
36
42
38
32
39
200
bj
120
130
100
160
140
12
1
19
17
15
5
-
115
2
11
9
10
12
-
90
3
13
18
14
14
-
205
bj
95
150
85
85
-
13
1
4
5
6
4
-
20
2
3
2
3
4
-
40
3
2
2
3
2
-
90
bj
60
50
20
20
-
14
1
11
8
1
2
-
10
2
7
6
3
5
-
60
3
10
4
12
9
-
30
bj
40
20
10
30
-
15
1
3
1
2
4
-
45
2
2
2
3
3
-
35
3
2
1
3
4
-
70
bj
25
35
45
45
-
16
1
4
1
2
5
-
40
2
3
2
3
7
-
60
3
4
4
5
2
-
90
bj
45
35
55
65
-
17
1
9
6
1
2
-
10
2
10
4
3
5
-
60
3
8
7
12
11
-
30
bj
40
20
10
30
-
18
1
4
10
1
2
-
10
2
6
9
3
5
-
60
3
7
8
11
12
-
30
bj
40
20
30
30
-
19
1
1
3
-
-
-
15
2
2
5
-
-
-
15
3
-
-
-
-
-
bj
10
20
-
-
-
20
1
6
10
4
-
-
150
2
12
2
8
-
-
90
3
-
-
-
-
-
bj
60
70
110
-
-
Завдання 4
Дослідити гру на наявність сідлової точки.
Варіант 1.
Варіант 2.
Варіант 3.
4 6 5
-1 8 3
6 0 2
4,5 3,6 1,8
2,9 1,7 0,8
3,7 3,6 2,7
-0,5 0,12 1,8
1,9 0,07 -0,8
0,7 0,13 0,26
Варіант 4.
Варіант 5.
Варіант 6.
11 11 13
10 9 22
11 11 12
3 -3 2
0 -1 -1
4 -2 0
32 44 21
23 35 21
-95 10 -39
Варіант 7.
Варіант 8.
Варіант 9.
2,8 1,6 2,8
3,9 4,7 3,8
1,7 0,6 1,6
4 6 5
3 5 2
9 7 8
-44 5 13
4 -10 -7
11 9 23
Варіант 10.
Варіант 11.
Варіант 12.
-0,3 0,6 -0,8
-0,2 0,1 -0,2
-0,7 0,6 -0,6
0,5 1,6 2,8
2,9 3,7 6,8
8,1 7,6 7,1
-10 1,3 3,7
0,2 -9,7 -4,8
8,7 6,6 5,9
Варіант 13.
Варіант 14.
Варіант 15.
1,5 0,45 1,81
2,9 0,35 0,82
3,7 -4,2 4,63
0,4 0,6 0,1
0,3 0,7 0,2
0,5 0,6 0,5
0,5 0,6 6,8
7,5 9,7 7,5
0,2 7,5 1,7
Варіант 16.
Варіант 17.
Варіант 18.
2 -3 -5
0 -7 10
-1 -2 12
15 4 9
17 22 18
7 14 32
8,5 -9,6 -21
-0,6 7,7 -6,8
7,7 8,6 8,6
Варіант 19.
Варіант 20.
5 6 3
7 4 3
8 6 6
1,5 2,61 1,8
-0,9 3,73 0,8
0,77 -0,6 2,6
^ 5 ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗКУ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
Нижче наведені зразки розв'язання типових контрольних завдань. У задачі 5.1 даний короткий запис математичної моделі ЗЛП, знайдений оптимальний план прямої задачі. Тут же розібраний графічний метод, розв'язання завдання. Уважно розберіться в розв'язанні задачі 5.1. Це допоможе виконати Вам завдання 1 і 2. Розібравши розв'язання задач 5.2, 5.3, Вам простіше буде впоратися із завданнями 3 і 4.
Задача 5.1
Для виготовлення двох видів продукції Р1 і Р2 використовують 4 виду ресурсів: S1, S2, S3, S4. Запаси ресурсів, число одиниць ресурсів, що витрачені на виготовлення одиниці продукції, наведені в таблиці 5.1:
Таблиця 5.1 – Вихідні дані
Вид ресурсу
Запас ресурсу
Число одиниць ресурсу, витрачених на виготовлення одиниці продукції
P1
P2
S1
18
1
3
S2
16
2
1
S3
5
-
1
S4
21
1
-
Прибуток, одержувана від одиниці продукції, грн
2
3
Необхідно скласти такий план виробництва продукції, при якому прибуток від її реалізації була б максимальною. Необхідно.
Записати математичну модель прямої задачі.
Розв'язати задачу симплекс-методом
Розв'язати задачу графічно.
Розв'язок
Математична модель прямої задачі:
x1 і x2 – число одиниць продукції видів Р1 и Р2 відповідно, запланованих до випуску
а) z=2x1+3x2 →max
б) х1+3х2≤18
2х1+х2≤16
x2≤5
3х1≤21
в) x1 ≥0, x2 ≥0
2) Розв'язок прямої задачі симплекс- методом.
Канонічна форма запису системи обмежень:
х1+3х2+х3=18
2х1+х2+х4=16
х2+х5=5
3х1+х6=21
Складемо симплекс- таблицю для розв'язку прямоі задачі.
Базис
Сбаз.
План
2
3
0
0
0
0
Σ
Θ
Хбаз.
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х3
х4
х5
х6
0
0
0
0
18
16
5
21
1
2
0
3
3
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
23
20
7
25
6
16
5
-
x1={18;16;5;21;0;0}
Δj ≥0
-
0
-2
-3
0
0
0
0
-
-
х3
х4
х2
х6
0
0
3
0
3
11
5
21
1
2
0
3
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-3
-1
1
0
0
0
0
1
2
13
7
25
3
5,5
5
7
x2={0;5;3;11;0;21}
Δj ≥0
-
15
-2
0
0
0
3
0
-
-
х1
х4
х2
х6
2
0
3
0
3
5
5
12
1
0
0
0
0
0
1
0
1
-2
0
-3
0
1
0
0
-3
5
1
9
0
0
0
1
2
9
еще рефераты
Еще работы по разное