Реферат: Def. Пусть векторное пространство над или. Нормой

20. Нормированное векторное пространство
Def. Пусть - векторное пространство над или . Нормой называется функция со свойствами:

1) ;

2) ;

3) (неравенство треугольника).


Обозначается норма как .


Пример:Пусть - координаты на плоскости, тогда норму можно ввести аж несколькими способами:




^ Def. Единичным шаром называется множество векторов, норма которых не превосходит единицу, т.е. .


Пример: Предыдущем примере единичным шаром будет: квадрат, ограниченный прямыми , в случае первой нормы; круг радиуса 1 и с центром в начале координат в случае второй нормы; квадрат, ограниченный прямыми в случае третей нормы.


^ Def. Множество называется выпуклым, если и точка , т.е., если две точки принадлежат множеству, то и весь отрезок, их соединяющий, должен этому множеству принадлежать.


^ Лемма. Единичный шар является выпуклым множеством.

Доказательство.

, принадлежащих единичному шару, имеем , тогда

,

т.е. точка тоже принадлежит единичному шару .

Норма на одномерном вещественном и комплексном пространстве. Пусть и - пространство над . Возьмем произвольный вектор в этом пространстве, тогда найдет такое число , что , возьмем вектор в качестве базиса. Тогда единичный шар – это множество , т.е. отрезок на координатной прямой. Если - пространство над , то единичным шаром будет круг на комплексной плоскости радиуса 1 с центром в начале координат.


^ Def. Множество называется центрально-симметричным, если его пересечение с любым одномерным пространством имеет один из вышеописанных видов (отрезок или круг).


Пример: Очевидно, что единичный шар является центрально-симметричным множеством.


Теорема. Пусть - линейное пространство, центрально-симметрично и выпукло, тогда на пространстве существует такая норма, что для нее множество является единичным шаром.

Доказательство. Пусть - произвольное одномерное подпространство, тогда устроено так же, как и единичные шары в одномерных пространствах, т.е. , т.ч. . Определим норму следующим образом: . Покажем, что так определить норму можно лишь единственным образом. Пусть множество задается каким-нибудь другим вектором , т.е. . Тогда, т.к. , и . Мы получаем, что неравенства и должны бать равносильны (относительно ), следовательно, и . Если , то его норма в обоих случаях равна .

Возьмем произвольный вектор , он задает одномерное пространство , определим норму как показано выше. Проверим, будут ли выполнены необходимые условия нормы, первые два условия очевидны, а третье (неравенство треугольника) надо проверять:

Возьмем произвольные вектора , рассмотрим вектора , т.к. их норма равна 1. Т.к. множество выпукло, то . Возьмем , тогда точка , следовательно . Т.е. , отсюда уже следует неравенство треугольника .#