Реферат: План работы: Введение 2 Когда свернули не на тот путь (приватизация 90-х) 2 Оналогах 5

ПЛАН РАБОТЫ:


Введение ------------------------------------------------------------- 2


Когда свернули не на тот путь (приватизация 90-х) -------- 2


О налогах ------------------------------------------------------------ 5


Точки роста --------------------------------------------------------- 18


Общие выводы – как выйти из кризиса ----------------------- 26


Список литературы ------------------------------------------------ 28


Как России выйти из экономического кризиса


ВВЕДЕНИЕ


Прежде всего заглянем в недалекую историю. Когда стали особенно заметны негативные тенденции в экономике? Некоторые авторы пишут – при Горбачеве. На мой же взгляд (тогда я был начинающим научным сотрудником-физиком) это произошло уже после развала СССР. При Горбачеве большие градообразующие предприятия, заводы (в том числе и военные) еще работали. Как и научно-исследовательские институты. Предвестником грядущих неурядиц был только обострившийся дефицит. Оголившиеся полки магазинов сигнализировали – с нашим «королевством» не все в порядке.

С конца 80-х наступило время «нового НЭПА». Разрешили кооперативы. Их появилось множество (хотя это были еще «цветочки» по сравнению с тем валом частных посреднических фирм, который захлестнул страну, уже Россию, спустя 2-3 года). Но кооперативы тогда, в конце 90-х чаще занимались все-таки производством, а не перепродажей втридорога. Многие из тогдашних бизнес-проектов (в том числе и возникавшие среди простых советских людей в моем окружении) были вполне производственными. Например, в каком-то цехе имелось большое количество отходов в виде опилок. Их предполагалось скупать по дешевке (у знакомого директора), добавлять цементный раствор и штамповать вполне пригодные для строительства гаражей блоки. Чем закончился этот проект, дошло ли до реального производства, я не знаю. Мой знакомый (через которого я узнал про всю эту задумку) вскоре занялся биржевой торговлей, а еще через несколько месяцев, уже после путча 1991 года, уехал в Москву, где при помощи своего родственника занялся торговлей цветными металлами. Здесь уже никаким производством и не пахло – чистая перепродажа.

Тогда в воздухе витало ощущение приближающихся перемен. Казалось, еще чуть-чуть, и станет значительно лучше. Как на Западе. Почему? Хотя бы вот по какой причине. Значительную долю государственных расходов составляли военные расходы. Значительная часть промышленности была военной. Думалось – если эти средства пустить на «мирные цели», наступит процветание. Или хотя бы остановить «проедание» драгоценных ресурсов военными заводами – от этого, казалось, будет только лучше.


^ КОГДА СВЕРНУЛИ НЕ НА ТОТ ПУТЬ

(ПРИВАТИЗАЦИЯ 90-Х)


Приступим теперь к обобщенному взгляду на причины и следствия экономического кризиса в России. Я буду излагать свой взгляд на вещи, иногда прибегая к цитатам.

Как известно, при социализме практически все, что можно (почти вся собственность, я имею ввиду) находилось в руках государства. К 1991 году многие считали, что в частных руках предприятия заработают лучше. Нужно для этого по крайней мере часть собственности каким-либо образом передать в частные руки. Таким образом считали, очевидно, и многие из тех, кто в те годы оказались у власти.

Крупных состояний в стране тогда было мало. Конечно, подпольные миллионеры кое-где встречались, но были редкостью. В 1992 году знакомая моей жены, заработав за границей небольшое относительно количество долларов (три тысячи), смогла купить однокомнатную квартиру в кирпичной «свечке» на улице Белинского у человека, срочно отъезжавшего заграницу. Вот такой тогда был сказочный рынок недвижимости.

По-видимому, перед теми, у кого находилась власть, вставал вопрос - кому и за сколько продавать? За «настоящие» деньги – некому. Больших денег ни у кого нет. А иностранцам, у которых деньги имеются – вроде как непатриотично.

Была конечно возможность просто отдавать собственность бесплатно, но с условием: если объект не заработает как надо, то государство заберет его назад. Процитирую в этой связи Артема Тарасова, статью «Жить надо так, что бы ни было»:

«Что предлагалось нами взамен?

Любое промышленное предприятие в России должно быть отдано в руки любому предпринимателю или компании, которые продемонстрируют или докажут свою способность и желание наладить там производство.

Для начала на бумаге в представленных документах. Если у Вас компания, которая подтвердит свою квалификацию, наличие средств и возможностей наладить выпуск, например, холодильников, приходите на российский завод холодильников и забирайте его целиком бесплатно. Но государство, при этом подпишет с Вами очень простой контракт о том, как Вы собираетесь управлять этим заводом. По нему в течение первого года Вы, например, обязуетесь расплатиться с долгами этого завода и обеспечить регулярную выплату заработной платы рабочим. За второй год Вы выйдете на уровень производства 1968 или 1970 года.

Третий год - уровень 1972 года. За четвертый году Вы совершите рывок и создадите новую модель холодильника, который сразу же сделает продукцию завода экспортной... и т.д. Как только стороны расписались в контракте с графиком работы и достижений на 3 или на 5 лет, можете забирать завод.

А вот дальше простой контроль со стороны государства определит, как Вы справляетесь со своими контрактными обязательствами. И чтобы не было почвы для взяток, а была бы обыкновенная объективность, итоги определяются не персональным мнением членов комиссии, а по критериям и показателям, разработанным для данного производства на основании условий контракта в результате обработки данных на компьютере. Так сказать, автоматически без присутствия бюрократа.

Справились с первым годом обязательств - отлично. Справились со вторым - появились дешевые отечественные холодильники в продаже. Завалили третий год - государство в праве (юридическом) на основании контракта забрать у Вас завод обратно и передать его в руки новой компании, которая свои обязательства выполнит лучше.

Если Вы справлялись со своими обязательствами все пять лет, тогда и завод - по праву Ваша собственность, и холодильники в продаже имеются, что и есть главная цель государственной политики по подъему промышленности. Да еще и налогоплательщик создан общими усилиями, а это уже просто финансовое достижение государственной политики.»

Цитата закончена.

По такому пути также не пошли (то-есть по пути бесплатной, но условной передачи). Собственность стали распродавать за «маленькие» или в лучшем случае за «средние» деньги ( руководящему составу предприятий дали возможность эти «средние» деньги накопить ). Когда читаешь статьи в прессе, обычно как-то туманно и размыто говорится о конкретных эпизодах приватизации. Но здравый смысл, а также крупицы информации из прессы и Интернета подсказывают мне, что большинство схем были до безобразия просты.

Схема 1 – бизнесмен N, обладающий связями, покупает у государства некий объект (за мизерную цену, благодаря своим связям). Но даже этих небольших относительно денег у него на начальном этапе приватизации может еще не быть. Чтобы деньги найти, он, пользуясь своими связями, берет у государства же в долг, причем кредит с весьма большой вероятностью не возвращается.

Схема 2 – образуется инвестиционный фонд «A», собираются ваучеры у населения. Потом ваучеры передаются (фактически дарятся) фирме B, которой владеет сам начальник инвестиционного фонда «A». Фирма «B» покупает заводы, газеты, пароходы. Фонд «A» закрывается, дивидендов никаких не платит. Все.

Схема 3 – директор завода просит своего родственника, или, возможно, подчиненного, которому доверяет (например замдиректора по экономике), создать фирму. Продукцию завода директор продает за полцены этой подставной фирме, подставная фирма продает продукцию уже за полную цену реальным покупателям. Копятся деньги на акции. Потом акции покупаются этой самой подставной фирмой. Рабочим все это время, возможно, задерживается зарплата.

Иногда случалось и так, что владелец подставной фирмы «кидал» директора завода и сам становился хозяином. Пример (про А.А.Мордашова) можно найти на сайте compromat.ru по адресу

http://www.compromat.ru/main/mordashev/portret.htm

Процитирую:

«В начале приватизационного периода Мордашов стал директором по экономике и финансам Череповецкого металлургического комбината, в 93-м преобразованного в ОАО «Северсталь». Изначально экономист-финансист имел отличные отношения с женой тогдашнего директора комбината Юрия Липухина, которая и посоветовала мужу присмотреться к талантливому молодому человеку. Тогда Липухин и предложил 27-летнему Алексею Мордашову занять кресло директора по экономике и финансам, а также доверил ему заниматься приватизацией металлургического гиганта. Что же сделал господин Мордашов? Он создал дочернюю компанию «Северсталь-инвест» (24% акций которой принадлежали «Северстали», а 76% — лично Мордашову) и затем скупил акции «Северстали». А в результате в его личной собственности оказались 16% акций и еще 80% под его полным контролем, как неоднократно заявлял сам Мордашов в интервью. Далее Алексей Мордашов сообщил своему шефу Юрию Липухину, что «Северсталь» — теперь его, мордашовская, собственность, в услугах Липухина не нуждается, и потребовал освободить кресло директора комбината. Липухин вынужден был покинуть главный кабинет предприятия, и таким образом Мордашов стал директором и полновластным хозяином ОАО «Северсталь».»

Конец цитаты.

Для нас во всем этом существенно, что государство распродало то, чем владело, задешево. Теперь деньги от продажи нефти (для примера) идут уже не государству, а владельцу нефтяной компании, того же «Юкоса». У государства конечно остались какие-то деньги от продажи собственности, но они, вероятно, быстро закончились. Но государству деньги нужны по-прежнему – на армию, образование, культуру, детские пособия, здравоохранение и т.д. Возможно, командиры приватизации полагали, что новые хозяева будут исправно платить налоги, но судя по всему с этим прогадали. Итак, где государству взять деньги? Помимо налогов, как преподают на лекциях по макроэкономике, есть еще два пути. Первый – это запустить инфляционные процессы (включить печатный станок ). Второй – брать взаймы. Первый путь использовали вначале, в 1992-1993 годах. Потом инфляцию «обуздали». Далее приоритетным стал второй путь. Одна из форм заимствований государства – так называемые «Государственные краткосрочные обязательства» (ГКО). Закончилось все это дефолтом 98-го года.

Но – кто сказал, что государство не может получать значительную долю необходимых ему денег за счет дивидендов? Например, быть основным акционером в нефтяной и газовой промышленности? Получать свою ренту с нефтегазовых и других месторождений полезных ископаемых? Зачем было отдавать другим (олигархам) курочку, несущую золотые яички, а потом плакать об отсутствии денег?

Первое, что нужно сделать для выхода из затянувшегося кризиса – вернуть крупную промышленность государству. Любым способом. Особенно прибыльные отрасли, в том числе добычу нефти и газа. И водочную промышленность тоже.

Ошибки приватизации нужно исправлять. Помимо всего прочего это приведет к оздоровлению психологической обстановки в обществе. Несправедливо, если под дымовой завесой приватизации все лакомые куски оказались у узкого круга олигархии. Непонятно за какие заслуги. И все – после этого наступил новый застой. Должен снова заработать лифт вертикальной мобильности в обществе. У людей должна быть перспектива. Если ты придумал хорошую операционную систему для компьютеров (аналог - Windows) или понравившийся всем безалкогольный напиток (аналог – кока-кола), тогда у тебя должны быть шансы разбогатеть.


^ О НАЛОГАХ


Перейдем теперь к налоговой системе. Хотелось бы построить какую-либо достаточно общую модель, адекватную системе – обществу (народу некоторого государства) и налогам, собираемым с него. Желательно математическую.

На досуге летом 2005 года я обдумывал, на что похожа деятельность человеческих коллективов, в том числе и с точки зрения экономики (когда в качестве коллектива можно рассматривать фирму или отрасль и, как вариант, вместо численности коллектива рассмотреть капитал, которым он обладает). Мне на глаза попалась книга В.И. Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Там были примеры применения несложных дифференциальных уравнений к экологическим задачам – развитие (а также, возможно, и гибель) популяции каких-то животных. Мне в глаза бросилась явная аналогия. Я заинтересовался этим вопросом, и в результате были написаны три работы, которые я поместил в Интернете на своем сайте (science-nighny.narod.ru , ссылка «Статьи по экономике»). Первую из этих работ я здесь процитирую практически целиком.

В нескольких словах – в чем смысл этой работы. Если конкуренция за источники питания невелика, численность коллектива-популяции растет (экспоненциально). Когда конкуренция обостряется, численность выходит на некоторый постоянный уровень (это называют эффектом насыщения). В модель можно ввести аналог налогообложения. Если наш коллектив есть популяция животных, введем квоту отлова. Если квота отлова (за год) постоянна, эта ситуация напоминает наложение заранее определенной ежегодной дани на некое государство или город (насколько я знаком с историей, такой способ налогообложения был распространен в древности). А если вводится так называемая относительная квота, то это напоминает обложение налогом, пропорциональным численности коллектива. Если основным параметром нашей задачи является не численность коллектива, а размер финансов, принадлежащих этому коллективу, то это напоминает налог с капитала (с имущества).

Итак, прошу извинения за достаточно длинное и насыщенное математикой (правда, несложной) отступление. Начинаю цитировать свою же работу. Вначале введение, описывающее модель, далее будут описаны интересующие нас квоты, моделирующие налогообложение.


^ В микроэкономике используется понятие производственной функции (с одним переменным – именно этот вариант мы будем здесь рассматривать):


Q = F(P)


где Q – это выход продукта (допустим количество произведенных тонн песка на песчаном карьере, автомобилей на автомобильном заводе или шкафов для посуды в столярной мастерской). Выход продукта может естественно измеряться и в денежных единицах, представляя собой стоимость произведенной продукции. P – это затраты какого-либо ресурса (например количество вложенного капитала или количество занятых рабочих). Часто под выходом подразумевается выпуск продукции за единицу времени (за год, за месяц, за день). Тоже самое возможно и для параметра P, например его можно понимать как ежемесячные затраты на зарплату, если P – трудовой ресурс. Но в качестве P может пониматься и «абсолютная величина» ресурса (не в единицу времени), например это может быть количество занятых рабочих или единовременные затраты капитала (т.е. разовые, а не ежемесячные или ежегодные), допустим на строительство цехового здания.

Мы же в нашем исследовании будем считать, что и на выходе и на входе производственной функции (под входом подразумевается уже обсужденный параметр P) имеется один и тот же продукт. То-есть и потребляемый ресурс, и производимый продукт – это одни и те же «предметы», допустим зерно или деньги. Единственная разница – на входе (то-есть в качестве параметра ) – абсолютное значение этого ресурса, а на выходе – изменение этого количества в течение какого-то промежутка времени t (за год, за месяц или за день).


x = F(x) t


где x – это изменение ресурса за промежуток времени t (от t до t+t), а x – это абсолютное значение этого ресурса в некоторый момент t.

^ Фактически, договорившись о том, что на выходе изменение того же самого ресурса, что подан на вход, мы «зациклили» вход и выход производственной функции.

F(P)


Q P




Примеры – что может подразумеваться под x. Если производственная функция описывает общину крестьян, то x – это количество мешков зерна (запас) в какой-то момент времени. А x – это прирост этого зерна за год (после сбора урожая). Для того, чтоб собрать это зерно (x), крестьяне должны питаться, то-есть какой-то запас зерна необходим (на входе производственной функции). Другой пример – промышленная фирма. x – это ежедневный выпуск продукции в рублях (прирост капитала). Для того чтобы этот выпуск производился, то-есть чтобы фирма функционировала, естественно необходимо, чтобы был вложенный в дело капитал (например в виде построенного здания и закупленных станков). Этот капитал (тоже в рублях) – есть x (параметр производственной функции, то-есть ее вход). Возможно также, что x – запас денег у купца, а x – прирост денег за один месяц торговых операций.

^ Каков же вид функции F(x)? Самое простое, что можно придумать – это x прямо пропорционально x. ИлИтак, приступаем:




Итак – решение данного уравнения есть экспоненциальная кривая. Размерность коэффициента k – это величина обратная времени (в вышеприведенных вычислениях мы использовали дни в качестве единицы измерения времени). Кроме вышеописанного этот коэффициент роста имеет и такой смысл – величина, обратная ему, равна промежутку времени, за который решение вырастет в e раз, то-есть в 2,7 раз. В нашем примере k=0,01, а время измеряется в днях. Значит наш капитал вырастет в 2,7 раз за 100 дней.

^ Аналогичное простое уравнение рассматривается в экологии (введено Мальтусом в 1798 году), где описывает неограниченное возрастание численности популяции животных.

Убыль популяции описывается таким же дифференциальным уравнением, только знак коэффициента роста другой.




^ Решением этого уравнения будет убывающая экспонента:





Основанием для вывода такого дифференциального уравнения служит пропорциональность убыли членов популяции за какой-то промежуток времени самому этому промежутку времени и численности популяции (точно так же как и для роста)


x=-Dx t


Здесь в качестве D обозначено приближенное (для конечного, не стремящегося к нулю t) значение для коэффициента роста (убыли в данном случае).

^ Коэффициент роста за счет рождений можно обозначить не k, а kb (от birth). Коэффициент убыли, напомню, мы обозначили kd. Если в популяции имеют место и рождения, и смерти, то уравнение, описывающее ее численность, будет таким:





Его решение может быть и возрастающим, и убывающим, в зависимости от знака разности коэффициентов положительного и отрицательного роста. Если же эти коэффициенты скомпенсируют друг друга, решением будет константа (не зависящая от времени функция).

Капитал отрасли хозяйства или фирмы таким образом рассматривается как популяция живых организмов, увеличивающая свою численность или сокращающая. То-есть рубли или доллары аналогичны в этой модели живым организмам. Только смерть конкретного рубля означает его переход к другому хозяину, а не физическое уничтожение (хотя в качестве редкого частного случая убыли можно рассмотреть и такую возможность). Рождение же рубля – это когда он появился в рассматриваемой отрасли или фирме в результате удачной деловой операции (можно сказать, что заработан).

Но известно, что при численном росте популяции животных возможна ситуация, когда перестанет хватать пищи. Чисто экспоненциальный рост возможен только в ситуации избытка пищи. Если ее перестает хватать, возникает конкуренция. Рост популяции замедляется. Внимание – этим мы полагаем, что коэффициент роста k зависит от численности популяции и уменьшается при увеличении этой численности (x). Какова простейшая функция от x? Линейная. То-есть:


k=k(x)=a-bx


Запишем соответствующее значение для производственной функции (это понятие применимо не только к производству каких-то товаров, но и к производству живых организмов живыми организмами – математическая модель сходная):


F(x)=(a-bx)x=ax-bx2


Дифференциальное уравнение же принимает такой вид:





^ Преобразуем его правую часть:





Здесь a естественно назвать линейным коэффициентом роста (в отличие от просто коэффициента роста k), b – квадратичным коэффициентом торможения. Величину V (выражается через a и b) в экологии называют емкостью популяции. Для популяции высших животных она определяется наличием пищевой базы или убежищ. В применении к экономике эту величину естественно назвать емкостью рынка. То-есть если исследуемая отрасль – это производство пива в городе N, то V – это емкость рынка пива в этом городе. Уточним – под емкостью рынка пива здесь понимается общая сумма капиталов фирм города, производящих пиво, а не максимальная стоимость пива, которое может выпить население за какой-то период времени (как это принято в маркетинге). Емкость рынка в маркетинговом смысле по сути является платежеспособным спросом на пиво, и лучше ее так и называть.

Порассуждаем – что может представлять из себя это дополнительное квадратичное торможение? «Внутреннее устройство» и причины его скрыты за коэффициентом b. В случае экологии это может быть дополнительная смертность животных в столкновениях из-за источников питания, а может быть просто смерть от голода тех, кому не хватило пищи (в условиях обострившегося ее недостатка). Может быть это и реальное снижение рождаемости (голодные животные реже дают потомство). В экономике это по-видимому всевозможные дополнительные расходы, вызванные конкуренцией между фирмами, действующими на одном и том же рынке (в том числе на рекламу), а также недобор дохода из-за той же конкуренции. Возможно это и расходы на усложняющуюся структуру управления при укрупнении фирм.

Как определить величину этого квадратичного торможения (конкретно – коэффициент b)? Сразу на ум приходят два способа. Если нам каким-либо способом стала известна производственная функция, допустим, в графическом виде, то можно определить параметры a и b из этой кривой. Другой вариант – если нам с помощью каких-либо маркетинговых исследований стала известна емкость рынка, а также известен ежедневный прирост капитала при малых объемах капитала, то сперва мы найдем линейный коэффициент роста, исходя из ежедневного прироста капитала (см. начало работы), а потом, зная его (a), найдем b=a/V – квадратичный коэффициент торможения.

^ Данное уравнение называют уравнением Ферхюльста (1848 год). Кроме того его называют логистическим уравнением, а его решение – логистической кривой.

Кстати, похожие уравнения описывают также процессы в химической кинетике. Там член kx называют автокаталитическим членом. Для экономических процессов его можно назвать «мультипликаторным» членом (умножительным), так как он определяет рост (приумножение) капитала.

^ Прежде всего найдем стационарные точки логистического уравнения (где скорость изменения x нулевая). Для этого приравняем правую часть нулю.





Итак, получаются два стационарных (равновесных) состояния. Нижнее (x=0) неустойчиво, верхнее (x=V) – устойчиво. Устойчивость означает, что в случае небольшого отклонения от состояния равновесия система с течением времени стремиться возвратиться к этому состоянию. В случае же неустойчивости система далеко отклоняется от состояния равновесия (уходит из состояния равновесия). Доказывать это я здесь не буду, теорию этого вопроса можно найти в соответствующих главах книг по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Вернемся к производственной функции (правой части дифференциального уравнения). Она представляет собой параболу, направленную вершиной вверх (и смещенную вправо). Точки пересечения с осью OX (то-есть корни уравнения F(x)=0): 0 и a/b (=V). Кстати, это и есть стационарные точки дифференциального уравнения. Абсцисса вершины: a/2b (половина расстояния между этими двумя точками-корнями). Отклонение от первоначальной прямой(F(x)=ax), то-есть закругление и дальнейший загиб графика функции F(x) вниз соответствует известному в микроэкономике закону убывающей отдачи. Понятно, что такому закону могут соответствовать разные виды производящей функции, но квадратичный вид приводит к достаточно просто решаемому дифференциальному уравнению.

^ Теперь приступим к решению. Идея преобразований такая же, как и в предыдущем случае, для уравнения экспоненциального роста.





^ Интеграл берется с помощью следующего преобразования дроби (хотя конечно можно посмотреть результат и в справочнике интегралов):





^ В итоге результат интегрирования обеих частей выражения:





Это есть искомое выражение для x(t). Константа C1 определяет разные решения, различающиеся значениями капитала в некоторый момент времени.

При t стремящемся к бесконечности x, как можно видеть из выражения, стремится к a/b (или к V – емкости рынка).

Теперь рассмотрим интересный вопрос. Что будет, если в модель ввести убыль с постоянной скоростью. В экологии это постоянная квота отлова популяции. В экономике это постоянные издержки плюс фиксированный по величине налог. Итак в каждый отрезок времени мы должны отдать некоторое постоянное количество капитала. То-есть скорость отбора капитала постоянна, обозначим ее как q=x/t (количество изъятых за некоторый промежуток времени денег, деленное на этот промежуток времени).

^ Запишем уравнение:




Найдем стационарные точки этого уравнения:




Мы, естественно, использовали формулу для решения квадратного уравнения. Полученные значения действительны (в том математическом смысле, что представляют собой действительные, а не комплексные числа), если подкоренное выражение больше нуля. Только тогда мы имеем два стационарных состояния. При увеличении q стационарные состояния сливаются, далее их (стационарных состояний) нет вообще. Граничное значение q, при котором сливаются стационарные состояния: q=a2/4b=aV/4. Если q меньше этого граничного значения, то есть два стационарных состояния, а если больше – то стационарных состояний вообще нет.

Разберем сперва вариант, когда стационарные состояния есть. По сравнению с предыдущим случаем логистического уравнения (когда q=0), нижнее неустойчивое состояние равновесия поднялось вверх над нулем, а верхнее устойчивое – опустилось вниз ниже a/b=V. Оба стационарных состояния сдвинуты от точки a/2b=V/2 на одинаковое расстояние. Насчет устойчивости – эти утверждения я здесь не доказываю. Можете обратиться к соответствующим главам книг по дифференциальным уравнениям.

Словесно опишу поведение решений уравнения. Если начальное (при t=0) значение x близко к нижнему стационарному состоянию (неустойчивому), то в дальнейшем оно отклонится от него. Если x меньше этого стационарного состояния, то за конечное время x уменьшится до нуля (то-есть капитал фирмы уменьшится до нуля, а популяция животных будет уничтожена). Вообще говоря, мы должны учитывать, что время от времени на функцию x могут действовать какие-то случайные факторы, которые внезапно повлияют на ее значение непредсказуемым образом (например пожар или ограбление при отсутствии страховки, внезапно уменьшающие капитал фирмы). Если такой фактор отбросит значение x ниже величины меньшего стационарного состояния, то это является очень опасной ситуацией, грозящей капиталу фирмы уменьшением до нуля за конечное время.

Если же x чуть-чуть больше меньшего по величине (нижнего) стационарного состояние, то с течением времени x будет отклоняться от нижнего стационарного состояния в верхнюю сторону, пока не приблизится к верхнему стационарному состоянию. Это является математическим аналогом «раскрутки» фирмы от некоторого стартового значения капитала.

^ Если начальное значение капитала x больше верхнего стационарного состояния, с течением времени оно уменьшится до величины верхнего стационарного состояния.

Если скорость изъятия средств достаточно велика (q>aV/4), стационарных состояний нет вообще, и за конечное время x уменьшится от любого положительного начального значения до нуля (В.И.Арнольд, «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,1984).

Найдем теперь непосредственный вид решения (здесь мы выведем его только для случая q




^ При дальнейшем интегрировании воспользуемся следующим преобразованием знаменателя левой части этого выражения





здесь p и s – два корня квадратного уравнения, получающегося, если приравнять выражение нулю.

Теперь преобразуем числитель, точнее говоря просто единицу так:





Аккуратно произведя интегрирование, мы получим (результат можно получить и используя формулы справочника интегралов, например Г.Б.Двайт «Таблицы интегралов и другие математические формулы» 1973, там же можно найти и формулы, соответствующие случаю большой скорости изъятие капитала q>aV/4, здесь мы результата для этого случая не приводим):





^ При t, стремящемся к бесконечности, x стремится к величине



так как экспоненты и в числителе и в знаменателе намного превышают слагаемые-константы. Эта величина, как мы помним, является верхним стационарным состоянием.


Теперь рассмотрим следующий интересный вариант – пусть издержки пропорциональны уровню благосостояния, то-есть величине капитала x. Имеются ввиду все издержки, не только налоги (пропорциональные x). В.И.Арнольд для случая экологических задач называет этот вариант относительной квотой отлова.


qp=-px


Итак, qp это пропорциональная квота или пропорциональные издержки. Запишем дифференциальное уравнение, где только пропорциональные издержки (постоянных нет):





^ Фактически это то же самое уравнение, что уже было (логистическое), только a заменено на (a-p).

Устойчивое стационарное состояние (к которому решение стремится при стремлении времени в бесконечность):




^ Запишем выражение для скорости отлова популяции (или скорости отъема денег), в устанавливающемся при больших временах стационарном режиме:




Если p=a, то qp=0 (то-есть в стационарном режиме увеличение относительной доли отнимаемой части капитала приводит к нулевой скорости изъятия капитала).

Если p=0, то qp=0 (это неудивительно).

Максимум функции qp(p) достигается при p=a/2. Суммарный коэффициент роста при этом будет равен a-a/2=a/2. Итак оптимальный для пропорционального изъятия случай – когда коэффициент пропорционального изъятия равен половине коэффициента роста.

При этом скорость изъятия такова:





Заметим, что это как раз граничная скорость при постоянном изъятии (см. вариант, рассмотренный выше). Если скорость изъятия не зависит от x, то при превышении скоростью этого значения отрасль или фирма уничтожается за конечное время. Даже приближение снизу к этому рубежу опасно из-за возможных случайных скачков x. В случае же пропорционального изъятия в оптимальном режиме при выходе на стационарный режим достигается как раз такая скорость изъятия.

Заметим сложность контроля за изъятием пропорциональной квоты. Допустим, имеет место такая ситуация – хозяин (владелец поместья) живет в городе, а в его большом поместье в сельской местности живет и размножается стадо согласно вышеописанным законам развития популяции. За стадом следит коллектив пастухов. Допустим, коэффициент рождения в популяции (гипотетический) – 10.5, коэффициент смертности от болезней – 0.5. Суммарный коэффициент роста равен 10.5-0.5=10. Хозяин, знакомый с математической теорией экологии, надеется вести забой скота по правилам пропорциональной квоты с коэффициентом пропорциональности, равным половине от десяти, то-есть 5 (чтоб была максимальная скорость изъятия особей стада при выходе на стационарный режим). Но пастухи могут попытаться обмануть хозяина, заявив, что в стаде имеет место повышенная смертность, равная 4.5 (а не 0.5), и суммарный коэффициент роста не 10, а всего лишь 6. Тогда хозяин должен будет изымать пропорциональную квоту с коэффициентом, равным половине от шести, то-есть всего лишь 3. Мнимую дополнительную смертность с коэффициентом 4 (4.5 – 0.5=4) могут обеспечить сами пастухи, тайно забивая скот и имея с этого выгоду. Так что постоянная квота изъятия менее выгодна в смысле скорости изъятия, но по всей видимости более предпочтительна в смысле простоты контроля.

^ Рассмотрим еще понятие переменных издержек, пропорциональных приросту продукции (на выходе производящей функции). Обозначим их так:




Q – это скорость изъятия, а справа от знака равенства стоит скорость прироста (результат предельного перехода частного от прироста за промежуток времени и самого этого промежутка, предельный переход – при уменьшении промежутка времени до нуля).

^ Уравнение получается таким:




Фактически уравнение осталось таким же, изменились лишь постоянные коэффициенты.

Ясно, что при выходе на стационарный режим скорость изменения x (и прирост x, естественно) стремятся к нулю, поэтому такая квота (или налог) будут давать скорость изъятия, также стремящуюся к нулю.

^ Вернемся к логистическому уравнению




Первый член в правой части – «мультипликаторный», второй – «конкурентное торможение». Можно считать, что скорость изменения x (и сам прирост x) складываются из двух частей:



^ Можно назвать величину dx1 доходом, а dx2 – убылью за счет конкуренции. Заметим еще, что сейчас мы фактически ведем речь о суммарном доходе, который является суммой коэффициентов, отвечающих в случае популяции за рождение и «естественную», неконкурентную убыль особей (смотри выше). Но доход за счет рождения также пропорционален численности популяции, как и суммарный доход (как и неконкурентная убыль).

^ Если попытаться взимать квоту, пропорциональную доходу (или подоходный налог), то получим такое выражение для скорости изъятия:



Но так как dx1/dt=ax, то:



То-есть такая квота аналогична квоте, пропорциональной численности популяции. То же самое будет, если попытаться взимать квоту, пропорциональную не доходу (суммарному доходу), а доходу за счет рождения.

^ Итак квота, пропорциональная доходу (или доходу, отнесенному к промежутку времени, за который он получен, то-есть dx1/dt), это есть то же самое, что и квота, пропорциональная численности. Только коэффициенты пропорциональности в выражениях этих квот (имеются ввиду R и P) будут, естественно, различными. Соотношение между этими коэффициентами: P=Ra.


^ Если ввести квоту, в которой скорость изъятия денег является функцией времени, то это может служить моделью возвращения фирмой банковских кредитов.



^ Углубляться здесь в рассмотрение этого вопроса мы не будем.

На этом длительная цитата закончена.

Итак, в нескольких словах – выводы из этой математической модели. Имеется три вида налогов.

Первый вид – это обложение некоего коллектива заранее определенной данью (вариант, распространенный в древности). Он по-видимому прост в смысле контроля и расчета. В случае чересчур большой величины этой дани хозяйственная деятельность быстро угасает.

Второй вид – это налог, пропорциональный некоторому параметру, описывающему коллектив. Например, пропорциональный численности коллектива. Или размеру капитала, которым обладает коллектив (как вариант – некоторой части капитала). Это будет налог с капитала. Налог, пропорциональный доходу или выручке – это фактически то же самое. Ведь в идеализированном случае оптимального ведения хозяйства доход от продажи будет пропорционален капиталу предприятия (хотя бы приблизительно). Вышеприведенная теория обосновывает, что в случае пропорционального налога имеется некоторая оптимальная его величина, при которой скорость изъятия средств в пользу властей максимальна. Причем эта скорость больше, чем в случае первого вида (заранее определенная дань).

Наличие оптимальной скорости изъятия (оптимального коэффициента пропорциональности) согласуется с известной кривой Лаффера (зависимостью сбора налогов T от налоговой ставки t.




T

t

И, наконец, третий случай. Это пропорциональнос