Реферат: Карпова Н. В., учитель математики и информатики

Михеев Никита

Пантелеев Сергей

Учащиеся 9 класса


Системы счисления и

их практическое применение


Руководитель:

Карпова Н.В., учитель математики и информатики


Оглавление


Введение……………………………………………………………………………………………….

3

Теоретическая часть…………………………………………………………………………………..

4

Практическая часть…………………………………………………………………………………..

10

Заключение…………………………………………………………………………………………….

13

Список литературы. ………………………………………………………………………………….

14

Приложение 1..……………….……………………………………………………………………….

15



Введение


В средней школе предмет «Информатика» – сравнительно молодой. Как обязательная дисциплина информатика в программу школы была введена в 1985 г. Все недолгие годы своего существования этот предмет оставался, наверное, самым спорным в школьной программе. Менялось название предмета, его место в учебном плане, содержательная концепция, техническое обеспечение. В настоящее время в школе введен предмет «Информатика и информационно-коммуникационные технологии», направленный на обеспечение всеобщей компьютерной грамотности. Многие учащиеся считают, что изучение этого предмета направлено лишь на овладение школьниками пользовательскими навыками (работа в текстовых, графических, числовых редакторах и т. п.).

С целью привлечения внимания к теоретической части курса, в частности, к изучению систем счисления в школе, как неотъемлемой части информационных технологий, создан данный проект. Актуальность расширенного знакомства с теоретическими разделами курса «Информатика и информационно-коммуникационные технологии» и совершенствование навыков решения задач обусловлена введением ЕГЭ по предмету.

Тема проекта: «Системы счисления и их практическое применение».

Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математике она, как правила, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему счисления. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад в фундаментальной математическое школьное образование.

Вид проекта: групповой.

Задачи проекта:

выяснить какие системы счисления существуют, возможен ли переход из одной системы счисления в другую;

выяснить какие системы счисления используются в компьютере;

рассмотреть практические задания по теме.

Форма представления проекта: реферат, мультимедийная презентация.


^ Теоретическая часть


Понятие систем счисления.

Числа не управляют миром,
но показывают, как управляется мир.
И.-В. Гете

Система счисления – это определенный способ записи чисел и соответствующие правила действия над числами.

Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

^ Непозиционные системы счисления. Непозиционной называется такая система счисления, в которой от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. ^ Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. В этих системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков: ^ 1. Для записи больших чисел приходиться вводить новые цифры. 2. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции.

Примеры непозиционных систем счисления:

1. У многих народов использовалась система, алфавит которой состоял из одного символа – палочки. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу: ||||| – число пять.

2. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.

Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку.

Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число ^ 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1 000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.















10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

10 000 000

3. Самой распространенной непозиционной системой счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; M – 1 000

Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе (например, II – два, III – три, XXX – тридцать, CC – двести). Если большая цифра стоит перед меньшей цифрой, то они складываются (VII – семь), если наоборот – вычитаются (IX – девять).

^ Позиционные системы счисления.
Позиционной называется такая система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.
Французский математик ^ Пьер Симон Лаплас (1749— 1827) такими словами оценил "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".
Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку:

- 1 - 10

Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде


, т.е. 59 = 5 · 10 + 9.


Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева, с небольшими пробелами между ними. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Так, например, число 302 будет иметь вид:

, то есть 302 = 5 · 60 + 2. А число 3725:

, то есть 3725 = 1· 60· 60 + 2· 60 + 5
В Древнем Вавилоне система счисления оставалась лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Однако эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место. При отсутствии разряда вставлялся значок , игравший роль нуля.

, то есть 3632 = 1 · 60 · 60 + 0 · 60 + 3·10 + 2


Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3 · 60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3 · 60 · 60), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста. Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60.


^ Запись чисел в позиционных системах счисления осуществляется следующим образом:
Множество цифр, используемых для записи чисел в позиционных системах счисления, образует алфавит. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе – позиция. Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи числа.



Основание (n)

Название

Алфавит

n=2

двоичная

0, 1

n=3

троичная

0, 1, 2

n=5

пятеричная

0, 1, 2, 3, 4

n=8

восьмеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

n=10

десятичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n=16

шестнадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа. Каким же способом переводятся числа из одной позиционной системы в другую? Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.


^ Перевод из произвольной позиционной системы счисления в десятичную систему. Метод развернутой формы записи числа также используется для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную:
Aq= an-1·qn-1+ an-2·qn-2+  ... + a0·q0  + a-1·q-1+ a-2q-2+ ...  +a-m·q-m, где

q – основание системы счисления, n –  число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа, ai– цифра числа, Aq– само число.
^ Алгоритм перевода: Пронумеруем цифры в изначальной записи числа справа налево, начиная с нуля. Умножим каждое число на соответствующую степень основания. Складываем получившиеся произведения. Примеры: 1) 11012 =1·23 + 1·22 + 0·21+ 1·20= 8+4+0+1=1310 3 2 1 0
2) 423,31210 = 4·102 + 2·101+ 3·100+ 3·10-1+1·10-2 +2·10-3

3) 423,3125 = 4·52 + 2·51+ 3·50+ 3·5-1+1·5-2 +2·5-3

4) 423,3128 = 4·82 + 2·81+ 3·80+ 3·8-1+1·8-2 +2·8-3

5) 1204205= 1·55+2·54+0·53+4·52+2·51+0·50= 3125+1250+0+100+10+0=448510

^ Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.
Перевод целых чисел.
Алгоритм перевода:
1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Примеры:


Перевод дробных чисел.
^ Алгоритм перевода:
1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления чисел в новой системе счисления.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Примеры:




Перевод смешанных чисел.
^ Алгоритм перевода:
1. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам.

2. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой.
Пример:
11,187510= 1110 + 0,187510 = 1011,00112

^ «Машинные» системы счисления.
Системы счисления, используемые в компьютерах.

Перед математиками и конструкторами 50-х годов встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечении. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система счисления в компьютерах рассматривается в двух аспектах: двоичная нумерация и двоичная арифметика.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод ее на экран. Для этого принято использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2). А перевод чисел из «16» или «8» в «2» и обратно производится путем формальной перекодировки, что будет рассмотрено ниже.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто. Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Перевод чисел в «машинной группе».
Для записи целого двоичного числа в системе счисления с основанием q=2nиспользуется следующий алгоритм перевода:
Данное двоичное число разбить справа налево на группы по n чисел.

Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.

Для удобства переводов можно использовать таблицы переводов:


Двоично-восьмеричная таблица

8

2

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111




Двоично-шестнадцатеричная таблица

16

2

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111



Пример:
Перевести 1011,100112 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:











Практическая часть


Практические задания по теме «Системы счисления».

1.     Какие числа записаны римскими цифрами:

а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII?


2.      Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.


3.      Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

        VII - V=XI IX-V=VI

        VI - IX=III VIII - III=X


4.      Заполните следующую таблицу:

^ Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

 

десятичная

 

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 

8

0,1,2,3,4,5,6,7

 

2

 


5.      Заполните следующую таблицу:

^ Система счисления

Основание

Разряды (степени)

десятичная

10

10000

1000

100

10

1

восьмеричная

8

 

 

 

 

 

двоичная

2

 

 

 

 

 

 

6.      Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;

г) А10=143,511;

б) А2=100111;

в) А16=143511;

д) А8=0,143511;

е) А16=1A3,5C1.


7.      Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.


8.      Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234;

б) А8=-5678;

в) А16=456,46;

г) А2=22,2;


9.   Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.


10.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116?


11.   Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим;   б) наименьшим.


12.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112?


13.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

 

14.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?


15.   У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?


^ Практические задания по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другую».

1.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

101010

 

 

 

 

127

 

 

 

 

269

 

 

 

 

9B


2.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0,101

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

0,125

 

 

 

 

0,4


3.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

111101,1

 

 

 

 

233,5

 

 

 

 

46,5625

 

 

 

 

59,B
^ Ответы к практическим заданиям. Системы счисления
1.   а) M(1000)CM(1000-100)XC(100-10)IX(10-1)  = 1999; б) 988; в) 1147.

3.   Один из возможных способов решения:

VI + V=XI XI-V=VI

^ VI =IX-III VIII +II=X

4.  

Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

десятичная

10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

восьмеричная

8

0,1,2,3,4,5,6,7

двоичная

2

0,1



5.    

^ Система счисления

Основание

Разряды (степени)

десятичная

10

10000

1000

100

10

1

восьмеричная

8

4096

512

64

8

1

двоичная

2

16

8

4

2

1


12.   Не существует, так как 128+1116=110112 (10+17= 27).


13.   а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,15,16; в) 40,41, ... ,47,48.


14.   27 учеников.


15.   Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

^ Перевод чисел из одной системы счисления в другую
1.    

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

101010

52

42

2А

1010111

127

87

57

100001101

415

269

10D

10011011

233

155

9B

2.    

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0,101

0,5

0.625

0,А

0,11

0,6

0,75

0,С

0,001

0,1

0,125

0,2

0,01

0.2

0,25

0,4

3.  

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

111101,1

75,4

61,5

3D,8

10011011,101

233,5

155, 625

9B,A

101110,1001

56,44

46,5625

2E,9

1011001,1011

131,52

89,65625

59,B



Заключение


Данная работа была написана с целью, привлечь внимание к изучению систем счисления, как неотъемлемой части вычислительной техники.

Идея работы зародилась во время изучения истории возникновения чисел. Позднее была обнаружена связь между нашей темой и вычислительной техникой.

Работая над проектом, мы познакомились с системами счисления, правилами переводов из одной системы в другую, усовершенствовали навыки работы в Power Point, Word и Интернете.

В ходе работы над проектом рассмотрены практические задания по теме «Системы счисления» и «Переход из одной системы счисления к другой».

Данная тема практико-ориентированная и может быть использована на факультативных занятиях и кружке.


^ Список литературы


1.

Информатика. Базовый курс. 7-9 классы/ И.Г. Семакин, Т.Ю. Шеина -М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004 г.

2.

Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Под. ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера.-М.:БИНОМ Лаборатория базовых знаний, 2003 г.

3.

И.Г. Семакин, Г.С. Варагсин Информатика. Структурированный конспект базоваго курса. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 г.

4.

Преподавание курса «Информатика и информационные технологии» в основной и старшей школе. 8 – 11 классы. Методическое пособие для учителей. В комплекте CD диск. / Н. Д. Угринович. – М.: Бином, 2007.



Приложение 1

Троичная машина «Сетунь»

В Вычислительном центре МГУ разработана малая автоматическая цифровая машина "Сетунь". Целью разработки вычислительной машины "Сетунь" было создание недорогой машины для решения научно-технических и хозяйственных задач средней сложности в вузах, конструкторских бюро, на заводах, в научно-исследовательских институтах и лабораториях. Другими словами, имелась в виду малая автоматическая вычислительная машина, рассчитанная на массовое использование. Исходя из этого, к машине были предъявлены следующие требования:

Скорость работы - несколько сот операций в секунду.

Точность вычислений - 6-8 верных десятичных знаков.

Простота и удобство программирования.

Надежность в эксплуатации и непритязательность в техническом обслуживании.

Умеренные габариты, небольшое потребление энергии.

Использование недорогих и недефицитных материалов и деталей.

Рассматривая эти требования в совокупности, можно заметить, что некоторые из них являются трудно совместимыми. Например, создание значительных удобств для программистов влечет за собой усложнение машины и увеличение количества оборудования, что ведет к снижению надежности и повышению стоимости, как самой машины, так и ее эксплуатации.

Наиболее полное удовлетворение предъявленным требованиям было получено путем:

1) создания удобств для программистов с помощью специальных обслуживающих программ;

2) применения двухступенчатой системы памяти;

3) построения схем на магнитных элементах;

4) использования троичной системы счисления.

Удобства для программистов, помимо инженерного пути, связанного с усложнением машины, могут быть реализованы программным путем, то есть разработкой систем стандартных подпрограмм, введением компилирующих и интерпретирующих систем, программирующих программ и т. д. Этот способ создания удобств является значительно более совершенным и гибким, чем инженерный. Наличие нескольких вариантов обслуживающих систем позволяет проще удовлетворить различные потребности программистов, приспособить машину для эффективного решения определенного класса задач, кроме того, в эти системы сравнительно быстро могут быть внесены дополнения и изменения, отражающие новые идеи в программировании. При таком способе создания удобств достаточно, чтобы машина могла выполнять ограниченный набор сравнительно простых операций и ее, поэтому легче сделать надежной, простой в эксплуатации и дешевой. Однако такая машина должна обладать определенным запасом мощности: необходима дополнительная емкость памяти для хранения обслуживающих программ и некоторый запас скорости для компенсации замедления счета, вызываемого работой этих программ.

Создание запаса емкости запоминающего устройства практически не удорожает машину, если ее основная память реализована на магнитном барабане.

Запас скорости можно получить путем добавления запоминающего устройства небольшой емкости на ферритовых сердечниках, которое связано с магнитным барабаном групповой передачей информации и используется в качестве оперативной памяти. Расчеты показывают, что скорость работы "Сетунь", которая снабжена быстродействующей ступенью памяти емкостью в 162 ячейки по 9 троичных разрядов, в 8-9 раз превосходит ту скорость, которой обладала бы эта машина, если бы она была оснащена только магнитным барабаном (не имеется в виду использование оптимального программирования - прим. авт.); с другой стороны, скорость работы "Сетуни" только в 5-6 раз ниже скорости, которой обладала бы машина, если бы барабан в ней был заменен быстродействующим запоминающим устройством той же емкости.

Использование в качестве основного элемента схем машины магнитного усилителя с тактовой частотой 200 кГц вместе с применением троичной системы счисления позволили обеспечить требуемую скорость выполнения операции при помощи простого и экономного арифметического устройства с сумматором последовательного действия. В связи с тем, что при одной и той же точности представления чисел троичное слово в 1,6 раза короче двоичного, операции, подобные сложению, в троичном последовательном арифметическом устройстве выполняются в 1,6 раза быстрее, чем в двоичном.

Троичная система счисления с цифрами 0, 1, -1 обладает, кроме того, и другими преимуществами по сравнению с двоичной системой. Благодаря наличию в этой системе "положительной" и "отрицательной" цифр, в коде числа нет особого разряда знака, что существенно упрощает логику арифметических операций.

Требования относительно надежности, габаритов и потребления энергии были удовлетворены использованием в качестве основного элемента логических схем машины специально разработанного быстродействующего магнитного усилителя. Этот усилитель состоит из миниатюрного трансформатора с ферритовым сердечником и полупроводникового диода, причем в схемах усилители соединяются друг с другом без посредства каких-либо электрических деталей, за исключением соединительных проводов. Общее количество магнитных усилителей в машине - 3500. Количество других элементов сравнительно мало: транзисторов - 330, электронных ламп - 37, электромагнитных реле - 10.

Тот факт, что наилучшее округление числа до k верных троичных знаков получается отбрасыванием младших знаков, начиная с (k+1)-го, избавляет от необходимости устраивать в машине аппарат округления и вводить варианты арифметических операций, различающиеся наличием или отсутствием округления.

Сказанное о знаке и округлении означает также, что операция сдвига в троичной системе счисления совмещает в себе функции таких разновидностей двоичного сдвига, как логический сдвиг, арифметический сдвиг без округления, арифметический сдвиг с округлением. Вообще, равноценный с точки зрения программиста набор выполняемых машиной операций, в троичном варианте машины, получается более компактным, чем в двоичном.




Приложение 1

Практическая часть


Практические задания по теме «Системы счисления».

1.     Какие числа записаны римскими цифрами:

а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII?


2.      Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.


3.      Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

        VII - V=XI IX-V=VI

        VI - IX=III VIII - III=X


4.      Заполните следующую таблицу:

^ Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

 

десятичная

 

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 

8

0,1,2,3,4,5,6,7

 

2

 


5.      Заполните следующую таблицу:

^ Система счисления

Основание

Разряды (степени)

десятичная

10

10000

1000

100

10

1

восьмеричная

8

 

 

 

 

 

двоичная

2

 

 

 

 

 

 

6.      Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;

г) А10=143,511;

б) А2=100111;

в) А16=143511;

д) А8=0,143511;

е) А16=1A3,5C1.


7.      Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.


8.      Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234;

б) А8=-5678;

в) А16=456,46;

г) А2=22,2;


9.   Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.


10.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116?


11.   Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим;   б) наименьшим.


12.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112?


13.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

 

14.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?


15.   У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?


^ Практические задания по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другую».

1.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

101010

 

 

 

 

127

 

 

 

 

269

 

 

 

 

9B


2.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0,101

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

0,125

 

 

 

 

0,4


3.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.


Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

111101,1

 

 

 

 

233,5

 

 

 

 

46,5625

 

 

 

 

59,B
^ Ответы к практическим заданиям. Системы счисления
1.   а) M(1000)CM(1000-100)XC(100-10)IX(10-1)  = 1999; б) 988; в) 1147.

3.   Один из возможных способов решения:

VI + V=XI XI-V=VI

^ VI =IX-III VIII +II=X

4.  

Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

десятичная

10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

восьмеричная

8

0,1,2,3,4,5,6,7

двоичная

2

0,1



5.    

^ Система счисления

Основание

Разряды (степени)

десятичная

10

10000

1000

100

10

1

восьмеричная

8

4096

512

64

8

1

двоичная

2

16

8

4

2

1


12.   Не существует, так как 128+1116=110112 (10+17= 27).


13.   а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,15,16; в) 40,41, ... ,47,48.


14.   27 учеников.


15.   Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

^ Перевод чисел из одной системы счисления в другую
1.    

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

101010

52

42

2А

1010111

127

87

57

100001101

415

269

10D

10011011

233

155

9B

2.    

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0,101

0,5

0.625

0,А

0,11

0,6

0,75

0,С

0,001

0,1

0,125

0,2

0,01

0.2

0,25

0,4

3.  

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

111101,1

75,4

61,5

3D,8

10011011,101

233,5

155, 625

9