Реферат: Назаров а. А. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

НАЗАРОВ А.А.


Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

или

О невозможности разложения какой-либо степени,

большей чем два, на две степени с таким же показателем


2010


УДК 51


БК


Назаров Александр Александрович

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма или о невозможности разложения какой-либо степени, большей чем два, на две степени с таким же показателем. – Издательство, 2010. – 10 с.


ISBN


Дается популярное изложение элементарного доказательства Великой теоремы Ферма об отсутствии положительных целочисленных решений уравнения xn+ yn= zn при n > 2, которое основано на более общем утверждении и достигается комбинаторными методами.

Рассчитано на учащихся старших классов средней школы, учителей математики, студентов и преподавателей педагогических институтов. Может представлять интерес для специалистов в области теории групп в комбинаторной топологии линейных пространств в базисах специального типа.

Автор, Назаров А.А., родился в 1948 году в Ленинграде.

Учился в физико-математической школе при ЛГУ. Закончил Военную Академию им. А.Ф. Можайского в 1971 году. Одновременно прошел четырехгодичную подготовку на математико-механическом факультете ЛГУ. До 1990 года служил в Вооруженных Силах СССР. В 1980 году защитил диссертацию на специальную тему. Кандидат технических наук. Автор более 100 учебных, учебно-методических и научных работ, в том числе нескольких монографий. Среди последних «Проблема преобразований наблюдателя в естествознании» и «Информация и периодическая система элементарных частиц».


ISBN


© А.А. Назаров, 2007, 2010

© ОАО НПО «Новатор» (г. Мирный), хранение рукописи, 2007, 2010

© Издательство, публикация, оформление: http://www.enoppekkollamirny.narod.ru/, 2010



^ Комбинаторные основания доказательства


1. Треугольник Паскаля


Треугольником Паскаля или арифметическим треугольником называется числовая таблица, строки которой начинаются и оканчиваются числом 1, а каждое иное число в строке, начиная с третьей строки, равняется сумме двух чисел, расположенных над ним.

Вид и содержание треугольника Паскаля всем хорошо известны со школьных лет.


№ строки



















0







1










1







1 1










2




1

2

1







3




1

3 3

1







4




1 4

6

4 1







…

…

…

… …

…

…





Также хорошо известно, что числа, стоящие в n–й строке треугольника Паскаля, являются биноминальными коэффициентами разложения бинома n–й степени (a + b)n.

Биноминальный коэффициент i–го члена биноминального разложения определяется числом сочетаний Сni = n!/ i!(n – i)!, где i изменяется от 0 до n.

Треугольник Паскаля сыграл заметную роль в становлении и развитии математического направления и метода исследований, называемых комбинаторикой.


2. Биноминальный базис


Треугольник Паскаля обладает многими замечательными свойствами.

Вот одно из таких свойств.

Если рядом с числами треугольника проставить, например, следующие множители с чередующимися по диагоналям знаками + и –














1(7 – 1)4






















1(7 – 1)4




–1(7 – 2)4
















1(7 – 1)4




–2(7 – 2)4




1(7 – 3)4










1(7 – 1)4




–3(7 – 2)4




3(7 – 3)4




–1(7 – 4)4




1(7 – 1)4




–4(7 – 2)4




6(7 – 3)4




–4(7 – 4)4




1(7 – 5)4,


то сумма всех выражений, стоящих во всех строках по 4–ю включительно, равна 74.

В общем случае имеем














1(x – 1)n






















1(x – 1)n




–1(x – 2)n
















1(x – 1)n




–2(x – 2)n




1(x – 3)n










1(x – 1)n




–3(x – 2)n




3(x – 3)n




–1(x – 4)n




1(x – 1)n




–4(x – 2)n




6(x – 3)n




–4(x – 4)n




1(x – 5)n




…




…




…




…

,


и сумма всех выражений, стоящих во всех строках с 0–й по n–ю включительно, равна xn.

Обозначив суммы по строкам (x – 1)n = a0, (x – 1)n– (x – 2)n= a1, и так далее до an, можем записать xn= Σai, где суммирование по i осуществляется от 0 до n.

Общее выражение для ai имеет вид Σ(-1)jCij(x – j – 1)n при суммировании по j от 0 до i.

Назовем элементы a0, a1, …, an, такие, что Σai= xn и ai= Σ(-1)jCij(x – j – 1)n, элементами биноминального разложения числа xn, а само выражение Σai – биноминальным базисом для числа xn.

Обратим внимание на то, что n–й элемент базиса Σai, то есть an, всегда равен n!.

Впрочем, для понимания решения задачи достаточно того, что n–й элемент определяется только числом n и не зависит от числа x.


3. Прямоугольник Паскаля


Повернем треугольник Паскаля против часовой стрелки так, чтобы диагональные числа заняли строки и столбцы, а числа, занимающие строки треугольника, приняли диагональное расположение.

Назовем полученную числовую таблицу прямоугольником Паскаля.

В общем случае прямоугольник Паскаля может продолжаться вправо и вниз по строкам и столбцам неограниченно, как и треугольник Паскаля может неограниченно продолжаться вниз по строкам.

Теперь рядом с числами прямоугольника Паскаля проставим множителями элементы Σai биноминального базиса для числа xn так, чтобы одинаковые элементы занимали один столбец и располагались в строках по возрастанию индексов.



1 a0

1 a1

1 a2

…

1 a i

…

1 an

=

x n

1 a0

2 a1

3 a2

…

C1+ii a i

…

С1+nn an

=

(x + 1)n

1 a0

3 a1

6 a2

…

C2+ii a i

…

С2+nn an

=

(x + 2)n

1 a0

4 a1

10 a2

…

C3+ii a i

…

С3+nn an

=

(x + 3)n

1 a0

5 a1

15 a2

…

C4+ii a i

…

С4+nn an

=

(x + 4)n

…

…

…

…

…

…

…




…


И здесь проявляется еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля, который преобразован для удобства в прямоугольник. Суммы по строкам изменяются как n–е степени числа x, увеличиваемого на 1 от строки к строке.

То есть, имеем (x + r)n= ΣCr+iiai.

Напомним, что суммирование осуществляется по i от 0 до n.

Например, проставив для упрощения записи элементы биноминального базиса для числа 56 отдельной строкой, получим следующее представление 6–х степеней в базисе Σai= 56


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

=

x6

4096

3367

2702

2100

1560

1080

720

=

56 =15625

1

1

1

1

1

1

1

=

56=15625

1

2

3

4

5

6

7

=

66 =46656

1

3

6

10

15

21

28

=

76 =117649

1

4

10

20

35

56

84

=

86 =262144

1

5

15

35

70

126

210

=

96 =531441

…

…

…

…

…

…

…




… ,


где каждая строка прямоугольника Паскаля задает коэффициенты разложения 6–й степени некоторого числа, отстоящего от числа x = 5 на целое число единиц, в биноминальном базисе числа 56 = 15625.


4. Комбинаторное представление преобразований


Теперь перенесемся мысленно в средние века. Например, в 1637 год, когда Пьер Ферма записал на полях сочинения Диофанта «Арифметика» сакраментальную фразу:

«… невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на степени с таким же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого, но поля книги слишком узки, чтобы вместить его».

Многие задачи с целыми числами в те времена решались опытным путем. Можно сказать – комбинаторными методами. Числа представлялись предметами, например, камешками или шарами, которые группировались в интересующем порядке, в зависимости от цели решаемой задачи. Затем по ходу поиска решения предметы перегруппировывались столько раз, сколько требовалось, и таким образом, который давал искомое решение.

Поступим аналогичным образом, небезосновательно полагая, что П. Ферма знал свойства арифметического треугольника (прямоугольника) и владел его преобразованиями.

Для определенности дальнейшего комбинаторного анализа примем n = 6, и рассмотрим прямоугольник Паскаля в конкретном «средневековом» представлении.


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6




























~

x6

1

2

3

4

5

6

7

~

(x + 1)6

1

3

6

10

15

21

28

~

(x + 2)6

1

4

10

20

35

56

84

~

(x + 3)6

1

5

15

35

70

126

210

~

(x + 4)6

…

…

…

…

…

…

…




…


По ячейкам второй строки (или по ящичкам второго уровня) разложено по одному шару разных цветов, а в первой строке указаны названия цветов соответствующих шаров.

Действует такое правило: в ячейках каждого столбца могут находиться только и только шары соответствующего цвета.

Для упрощения, чтобы не загромождать картинку обилием шаров, в третьей строке и так далее по ячейкам проставлены числа, указывающие на количество шаров в ячейках.

Совокупность шаров второй строки соответствует числу x6. Примем x> 0.

Совокупность шаров третьей строки соответствует числу (x + 1)6.

И так далее.

Зная принцип построения прямоугольника (повернутого треугольника) Паскаля и зная, что ячейки первой строки и первого столбца содержат ровно по одному шару, всегда можно установить совокупность шаров, соответствующую любому (x + r)6, где r – целое. При этом шары одного цвета оказываются строго в одной ячейке и не могут перекатываться из ячейки в ячейку вдоль строки.

То есть, зная базисную совокупность шаров для любого xn, мы всегда можем разложить шары по ячейкам для любого (x + r)n= ΣCr+iiai.

Назовем такой переход от xn= ΣCiiai= Σai к (x + r)n= ΣCr+iiai сдвигом по основанию, или, строже, преобразованием сдвига по основанию.

Для преобразования сдвига xn в (x + r)n по основанию достаточно добавить в каждую i–ю ячейку первой строки ровно по Cr+ii– 1 шаров соответствующего ai–го цвета.

Следующее преобразование – это сдвиг по степени, или, строже, преобразование сдвига по показателю степени.


a0

a1

a2

a3

a4

a5































~

x5

1

2

3

4

5

6




~

(x + 1)5

1

3

6

10

15

21




~

(x + 2)5

1

4

10

20

35

56




~

(x + 3)5

1

5

15

35

70

126




~

(x + 4)5

…

…

…

…

…

…







…

Так, в нашем примере сдвиг по степени от 6 к 5 означает удаление 6–го столбца.

Опираясь на знание устройства прямоугольника Паскаля, мы утверждаем, что количество и распределение по ячейкам шаров цветов с a0 по a5 для x5 вписано однозначно и позиционно (по ячейкам) в количество и распределение шаров цветов с a0 по a6 для x6.

Это означает, что удалив или исключив из рассмотрения одновременно все полосатые (цвета a6)шары, мы перешли к рассмотрению соотношений 5–х степеней в биноминальном базисе того же самого x.

Ясно, что базис x5 = Σai может отличаться от базиса x6 = Σai не только по числу, но и по величине элементов. Можно было, например, к элементам базиса x5 = Σai добавить индексы, которые бы отличали их от одноименных индексов базиса x6 = Σai. Однако мы решаем комбинаторную задачу. И здесь важно, что мы имеем основания утверждать, что шары 7–ми различных цветов, размещенные по 7 ячейкам одной строки с помощью прямоугольника Паскаля, однозначно соответствует степени 6 некоторого числа вида (x + r). А эти же шары, но 6–ти различных цветов без удаленных шаров цвета a6, оставшиеся на своих же местах в своих же 6–ти ячейках, однозначно соответствуют степени 5 того же самого числа вида (x + r).

Или то же самое, но короче.

Распределение шаров в ячейках прямоугольника Паскаля для (x + r)n в биноминальном базисе числа xn однозначно определяет распределение шаров для (x + r)n-1 в базисе xn-1.

Собственно всё.

Теперь мы готовы рассмотреть «поистине удивительное доказательство» Пьера Ферма.


^ О невозможности разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем


Прежде всего, необходимо сказать несколько слов об авторе «поистине удивительного доказательства». Хотя о Великом математике известно многое, нам хотелось бы подчеркнуть именно те бесспорные обстоятельства и факты творчества Ферма, которые снимут сомнения в справедливости нашей реконструкции основной идеи доказательства, послужившей поводом к восклицанию: удивительное доказательство!

Ферма Пьер (1601 – 1665) – французский математик.

Известен своими трудами, послужившими, совместно с трудами Паскаля, основаниями появления комбинаторного анализа, как самостоятельного раздела математики.

Это первое обстоятельство.

Пьер Ферма прекрасно владел приемами исследования числовых последовательностей. Их описание в приращениях составило основу разработки метода исчисления бесконечно малых и правил дифференцирования степенных функций.

Это второе обстоятельство.

Поэтому нет сомнений, что изложенные в предыдущем разделе положения в той или иной мере являлись предметом творческой деятельности Ферма, были ему хорошо известны и послужили достаточным основанием для открытия того, что он назвал «удивительным доказательством».

А «удивительность», не известная ранее особенность математических решений задач, состояла в том, что Ферма, пожалуй, одним из первых увидел, что можно работать не с отдельными числами или классами чисел, но можно оперировать с системами, полями и пространствами в целом, независимо от математического содержания элементов, их составляющих. Внутренние свойства элементов проявлялись в общих свойствах системы, единичное – через всеобщее.

Ферма приоткрыл завесу будущего и увидел, как работают группы, как преобразуются пространства, как трансформируются математические тела и т.п. Было чему удивиться.

Теперь продолжим обсуждение задачи.

Вернемся к примеру предыдущего параграфа.

Допустим, что для некоторого x справедливо


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6




























~

x6

1

2

3

4

5

6

7

~

(x + 1)6

1

3

6

10

15

21

28

~

(x + 2)6

1

4

10

20

35

56

84

~

(x + 3)6

1

5

15

35

70

126

210

~

(x + 4)6 = y6

1

6

21

56

126

252

462

~

(x + 5)6 = z6


и справедливо x6+ y6 = z6.

Тогда справедливо и


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6




























~

x6

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

5

15

35

70

126

210

~

(x + 4)6 = y6

1 + 1

5 + 1 = 6

15 + 1 =

= 16

35 + 1 =

= 36

70 + 1=

= 71

126 + 1=

= 127

210 + 1=

= 211

~

x6+ y6 = z6


и имеем


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6




























~

x6

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

6

21

56

126

252

462

~

z6

1 + 1

6

16

36

71

127

211

~

z6


Это означает, что любой из двух одинаковых шаров цвета a0в первой ячейке последней строки можно заменить набором шаров других цветов с a1 по a6 следующим образом


a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6




























~

x6

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

6

21

56

126

252

462

~

z6

1

6

0

16

5

36

20

71

55

127

125

211

251

~

z6


как показано выделенным шрифтом в нижней строке.

Теперь выполним преобразование сдвига по показателю степени, удалив шары цвета a6,


a0

a1

a2

a3

a4

a5































~

x6-1 = x5

…

…

…

…

…

…




…

…

1

5

15

35

70

126




~

y6-1 = y5

1

6

21

56

126

252




~

z6-1 = z5

1

6

0

16

5

36

20

71

55

127

125




~

z6-1 = z5


В результате сдвига по степени соответствие распределения шаров по ячейкам первой строки числу x6 преобразовано в соответствие числу x5 в последующих, интересующих нас строках. Соответствие распределения числу y6 преобразовано в соответствие числу y5. Также и соответствие числу z6 преобразовано в соответствие числу z5.

При этом в третьей снизу строке, соответствующей z5, преобразованием сдвига удалено в точности 462 полосатых шара цвета a6. И в двух нижних строках, также соответствующих z5, так же удалено в точности 462 = 211 + 251 полосатых шара цвета a6.

При этом преобразовании шар из первой ячейки цвета a0, разложенный на шары цветов с a1 по a6 по ячейкам нижней строки, похудел ровно на 251 шар цвета a6. Ровно на столько же шаров цвета a6похудел и одинаковый с ним шар цвета a0, оставшийся в первой ячейке. Ясно, что похудели шары и всех других цветов, но для нас, как отмечалось выше, важно то, что при преобразовании сдвига по показателю степени сохраняется взаимно однозначное соответствие распределений шаров по ячейкам строк для x5, y5 и z5.

Теперь заменим все шары нижней строки одним шаром, одинаковым с шаром цвета a0, который находится в первой ячейке, и вернем этот шар в первую ячейку. Получим


a0

a1

a2

a3

a4

a5































~

x5

…

…

…

…

…

…




…

…

1 + 1

6

16

36

71

127




~

z5



или


a0

a1

a2

a3

a4

a5































~

x5

…

…

…

…

…

…




…

…

1 + 1

5 + 1

15 + 1

35 + 1

70 + 1

126 + 1




~

z5


откуда следует


a0

a1

a2

a3

a4

a5































~

x5

…

…

…

…

…

…




…

…

1

5

15

35

70

126




~

y5

1 + 1

6

16

36

71

127




~

z5


или z5 = x5+ y5.

Следовательно, утверждение справедливости x6+ y6 = z6 привело к x5+ y5 = z5, что, как известно, противоречит единственности решения для тройки чисел x, y и z относительно n.

В общем виде прямоугольника Паскаля можно записать, что


a0

a1

…

a i

…

an-1

an













…




…







~

xn

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

k + 1

…

Ck+ii

…

Ck+n-1n-1

Ck+nn

~

yn = (x + k)n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

1

m + 1

…

Cm+ii

…

Cm+n-1n-1

Cm+nn

~

zn = (x + m)n

1 + 1

k + 2

…

Ck+ii + 1

…

Ck+n-1n-1 + 1

Ck+nn + 1

~

zn = yn + xn

0

m – k –1

…

Cm+ii–

– Ck+ii – 1

…

Cm+n-1n-1 –

– Ck+n-1n-1 – 1

Cm+nn–

– Ck+nn – 1

~

1a0


влечет


a0

a1

…

a i

…

an-1
















…




…







~

xn-1

…

…

…

…

…

…




…

…

1

k + 1

…

Ck+ii

…

Ck+n-1n-1




~

yn-1= (x + k)n-1

…

…

…

…

…

…




…

…

1

m + 1

…

Cm+ii

…

Cm+n-1n-1




~

zn-1= (x + m)n-1

1 + 1

k + 2

…

Ck+ii + 1

…

Ck+n-1n-1 + 1




~

zn-1= yn-1+ xn-1

0

m – k –1

…

Cm+ii–

– Ck+ii – 1

…

Cm+n-1n-1 –

– Ck+n-1n-1 – 1




~

1a0


или xn+ yn= znвлечет xn-1+ yn-1 = zn-1, что является противоречием.

Обратное не верно.

Известное существование решения x2+ y2 = z2 в целых положительных ограничивает применение рассмотренного доказательства по степени n > 2. Хотя этому имеются и иные, комбинаторные, основания.

Кроме того, можно предположить, если Ферма рассуждал, как мы рассмотрели, что лишь работа с целыми предметами (камешками или шарами) могла помешать автору Великой теоремы снять ограничение целостности x.

Естественно, Ферма не раскладывал камешки или шары по ящичкам или ячейкам. Это всего лишь образ. Он и его современники более увлекались играми в кости и в карты. Опыт этих игр со временем позволил Ферма и Паскалю сформулировать основы комбинаторики и теории вероятностей – новых направлений в математике.

Но что бесспорно, так это то, что Ферма в совершенстве владел приемами исчисления приращений и методом спуска. На нашем примере это могло выглядеть так


(x – 5) = 8

(x – 4) = 9

(x – 3) = 10

(x – 2) = 11

(x – 1) = 12

x = 13

(x – 5)4 = 4096

(x – 4)4 = 6561

(x – 3)4 = 10000

(x – 2)4 = 14641

(x – 1)4 = 20736

x4 = 28561




2465

3439

4641

6095

7825







974

1202

1454

1730










228

252

276













24

24













0

0


для степени n = 4,

где в первой строке проставлен ряд натуральных чисел,

во второй – значения 4–х степей этих чисел,

в третьей – первые приращения, например, 2465 = 6561 – 4096,

в четвертой – вторые приращения, например, 974 = 3439 – 2465, и так далее.

Достаточно было установить, что ряд (спуск) приращений всегда обрывается на n–м шаге, и что на этом последнем шаге для всех чисел появляется всегда одинаковое число (n!). Сразу же становится ясно, что n–я степень x всегда равна сумме приращений для n–й степени числа x – 1, включая самою эту степень (x – 1)n.

Так, в примере, x4 = 28561 = 24 + 252 + 1454 + 6095 + 20736, где 20736 = (x – 1)n.

Всё это Ферма проделывал великое множество раз, доведя, в конце концов, исчисление приращений степенных последовательностей до исчисления бесконечно малых и методов дифференцирования степенных функций.

Делая обобщения в исчислении приращений степенных последовательностей, вполне вероятно, Ферма пришел к пониманию того, что во втором параграфе названо биноминальным базисом для числа xn.

Для нашего примера это обобщение выглядит следующим образом


x – 5

x – 4

x – 3

x – 2

x – 1

x



















(x – 5)4

(x – 4)4

(x – 3)4

(x – 2)4

(x – 1)4

x4






















(x – 4)4– (x – 5)4

(x – 3)4– (x – 4)4

(x – 2)4– (x – 3)4

(x – 1)4– (x – 2)4

x4– (x – 1)4







(x – 3)4– (x – 4)4

– ((x – 4)4– (x – 5)4)

(x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)

(x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

x4– (x – 1)4

– ((x – 1)4– (x – 2)4)










(x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)

– ((x – 3)4– (x – 4)4

– ((x – 4)4– (x – 5)4))

(x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4))

x4– (x – 1)4

– ((x – 1)4– (x – 2)4)

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4))













(x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4))

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)

– ((x – 3)4– (x – 4)4

– ((x – 4)4– (x – 5)4)))

= 24

x4– (x – 1)4

– ((x – 1)4– (x – 2)4)

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4))

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)))

= 24
















x4– (x – 1)4

– ((x – 1)4– (x – 2)4)

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4))

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)))

– ((x – 1)4– (x – 2)4

– ((x – 2)4– (x – 3)4)

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4))

– ((x – 2)4– (x – 3)4

– ((x – 3)4– (x – 4)4)

– ((x – 3)4– (x – 4)4

– ((x – 4)4– (x – 5)4))))

= 0


и можно непосредственно убедиться в общем виде приращений для x4 по уровням, начиная с 0–го, то есть с (x – 1)4,

0. (x – 1)4

1. (x – 1)4– (x – 2)4

2. (x – 1)4– 2(x – 2)4 + (x – 3)4

3. (x – 1)4– 3(x – 2)4 + 3(x – 3)4 – (x – 4)4

4. (x – 1)4– 4(x – 2)4 + 6(x – 3)4 – 4(x – 4)4 + (x – 5)4.

Очевидно, что коэффициенты слагаемых в этих выражениях составляют арифметический треугольник или треугольник Б. Паскаля. С последним Ферма состоял в переписке. Вид этого треугольника приведен ранее в первом параграфе.

Далее доказательство утверждения Ферма формировалось, вероятно, так, как изложено в настоящем обсуждении. Доказательство или, по крайней мере, основное в идее доказательства вполне могло состояться в 1637 году.

Однако, спустя некоторое время, из-под пера Ферма появляется частное доказательство утверждения при n = 4. И … ни слова о существовании «удивительного доказательства». Что и послужило впоследствии поводом для мнения, что «удивительного доказательства» не было.

Полагаю, что для такого изменения позиции у Ферма имелись некоторые причины.

Многие математики того времени, делая свои открытия, сначала нарабатывали фактуру: достаточное, на взгляд математика, количество решенных задач на интересующую тему. А затем интуитивно находилось обобщение, которое еще не раз проверялось на примерах. В случае положительного исхода всех доступных расчетов объявлялся результат. Этот результат содержал, как правило, формулы, позволяющие вычислить те или иные величины, которые бы удовлетворяли объявленному результату – утверждению. Как нам представляется, в случае «удивительного доказательства», Ферма вдруг обнаружил, что расчетные формулы решения, позволяющие подтвердить его результат для целых положительных чисел, в равной мере дают решение и для некоторых нецелых чисел x, y и z. Но такие решения очевидны и тривиальны по форме. Видимо, Ферма, обнаружив такие числа, не стал анализировать причины их появления, а просто постарался «забыть» о своем доказательстве, как ошибочном.

Судить историкам.

Но ошибкой оказалось как раз признание «удивительного доказательства» ошибочным, о чем свидетельствует утверждение, доказываемое в следующем разделе.


^ Обобщенное утверждение


Уравнение xn+ yn= znне разрешимо при n > 2, 0 < x < y< z и n, (y – x) и (z – x) – целых.


Известно, что для любого x > 0 и целых r > 0 и n > 0 справедливо (x + r)n= ΣCr+iiai при суммировании по i от 0 до n, где элементы {ai} имеют вид ai= Σ(–1)jCij(x – j – 1)n при суммировании по j от 0 до i. Примем за определение.

По определению при y= x + k и z= x + m имеем линейную систему относительно {ai}:

ΣCiiai= xn

ΣCk+iiai= yn

ΣCm+iiai= zn

и, допуская справедливость xn+ yn= zn,

Σ(Ck+ii+ 1)ai= yn+ xn= xn+ yn= zn.

Откуда

Σ(Ck+ii+ 1)ai= ΣCm +iiai или 2a0+ Σ(Ck+ii+ 1)ai= a0+ ΣCm+iiai,

где в последнем соотношении суммирование по i ведется от 1 до n.

Таким образом, a0 = (x – 1)n приводится к виду Σ(Cm+ii– Ck+ii– 1)ai при суммировании по i от 1 до n такому, что Σ(Ck+ii+ 1)ai приводится к виду ΣCm+iiai при суммировании по i от 0 до n. Определим это преобразование: перегруппировка.

zn= ΣCm+iiai влечет zn-1 = ΣCm+iiai при понижении предела суммирования и показателей степени слагаемых от n до n – 1 по определению.

Соответственно, Σ(Cm+ii– Ck+ii– 1)ai= (x – 1)n влечет Σ(Cm+ii– Ck+ii– 1)ai= (x – 1)n-1, как следствие допущения и по определению.

Тогда, выполняя обратную перегруппировку слагаемых zn-1 = ΣCm +iiai, последовательно получаем

zn-1 = ΣCm +iiai = a0+ ΣCm +iiai = a0+ (a0+ ΣCm +iiai – Σ(Cm +ii– Ck+ii– 1)ai) =

= 2a0+ Σ(Ck+ii+ 1)ai = Σ(Ck+ii+ 1)ai = ΣCk+iiai + Σai = yn-1 + xn-1 = xn-1 + yn-1,

где суммирование по i ведется до n – 1, по j от 0 до i и ai= Σ(–1)jCij(x – j – 1)n-1,

при этом в первом выражении суммирование по i ведется от 0,

во втором, третьем и четвертом – от 1,

в пятом и шестом – от 0.

Обратная перегруппировка для zn-1 всегда выполнима, если выполнима прямая для zn, в силу позиционного (базисного) построения сумм, выражающих zn-1 и zn, по определению.

Таким образом, xn+ yn= zn влечет xn-1+ yn-1 = zn-1, что противоречит единственности решения, и, следовательно, допущение о справедливости xn+ yn= zn при n > 2, 0 < x < y< z, где n, y – x и z – x – целые, не верно.

Что и требовалось.

Известное утверждение Ферма – следствие доказанного утверждения.

Обратное утверждение о том, что xn-1+ yn-1 = zn-1 влечет xn+ yn= zn, не верно.

Рассмотренное доказательство не может быть расширено до n > 1, поскольку при n = 1 всегда a1 = 1! и при n = 2 всегда a2 = 2!, что ограничивает перегруппировки для нецелых x и приводит к нарушениям четности и известных условий Эйлера при перегруппировках целых и попарно взаимно простых x, y и z.

Что касается исходного факта, принятого за определение, а также утверждения о том, что n–й элемент базиса не зависит от x, то в этом несложно убедиться, применив индукцию по n.

Утверждение допускает расширение до вещественных x при некоторых ограничениях на соотношения модулей x, y и z.


Заключение


Приведенное выше доказательство является элементарным представлением одного из соотношений в области теории групп в комбинаторной топологии линейных пространств с базисами специальных типов, например, с биноминальным базисом.

В заключение полагаю своим долгом и позволительным шагом сделать следующее.

1. Называть обобщенное утверждение теоремой Майзелиса.

Майзелис Арон Рувимович (1921 – 2005) – выдающийся педагог, замечательный человек и известный школьный учитель математики, долгие годы преподававший в классах физико-математического профиля в 38-й школе Василеостровского района города Ленинграда, позднее Санкт-Петербурга. Мне посчастливилось учиться в классе Арона Рувимовича с 1963 по 1966 год и еще много лет сохранять с Ароном Рувимовичем доверительные творческие отношения.

2. Называть пространство LA пространством Александрова.

Александров Александр Данилович (1912 – 1999) – известный математик, физик, академик АН СССР. В 1986-1987 годах в ЛОМИ АН мне довелось иметь ряд обсуждений по вопросу моделирования специальных процессов с Александровым А.Д.. В одной из бесед Александр Данилович заметил: линеаризация нелинейностей этих процессов даст инструментарий для покорения Диофантовых гор и, может быть, пика Ферма.

Он был очень близок к истине …

Для линейного пространства LA с биноминальным базисом Σai, ai= Σ(–1)jCij(x – j – 1)n, в общем случае пределы суммирования определены от 0 до ∞, где a1 всегда нечетное и все ai до anвсегда четные для целых x, а an равно n! для любых x, и все последующие элементы базиса обращаются в 0. Помимо линейных операторов преобразований сдвигов и перегруппировки, в пространстве LA действуют операторы вращений с изгибом, что позволяет линеаризовать некоторые задачи, относимые к диофантовым.

Доказанное утверждение явилось одним из результатов приложения LA со специальным базисом для исследования пространства–времени с аксиомами:

а) закона сохранения

1 = kτkR ,

где kτи kR – мгновенные, сопряженные в точке пространства кривизны тактового (или циклического в точке) времени и пространства, соответственно;

б) существования Наблюдателя (нашего типа)

t = exp(inπ), n целое на (– ∞, + ∞),

устанавливающей, что Наблюдатель (нашего типа) пространственно (или овеществлено) существует, наблюдая проявления (или события) пространства–времени, в однонаправленном времени t в моменты nπ тактового (или циклического в точке) времени τ;

в) тактовой логики с правилом вывода

(ךА ⇄ А)(ךА ⇆ А) → (ךА2 ≈ А2),

где ךАи А – мгновенные внутренняя в точке и внешняя относительно этой же точки логические конструкции логической системы пространства–времени, соответственно,

которой устанавливается парная эквивалентность ( ≈ ) логических структур логически расширяющегося и логически сжимающегося пространства за такт тактового времени.

Логическая структура пространства–времени относительно Наблюдателя (нашего типа) существенно подобна (гомеоморфна) линейному пространству LA с базисом специального типа.

Говоря о базисе специального типа пространства Александрова LA, мы подразумеваем, что элементами этого базиса Σai могут являться структуры (морфологии) любой природы, достаточно их описать, например, формально математически или содержательно на русском языке. Именно это и было предметом обсуждений с А.Д. Александровым.

Так, первоначально, в пространстве LA исследовались закономерности развития объектов военной техники. То есть базис формировался структурой технического решения какого-либо типового образца, например, автомата, пушки, танка и т.п..

Затем, оказалось, что такой метод применим для исследования научных, экономических, социальных и иных систем.

Познакомившись с идеей метода («Теория морфологического прогнозирования», 1986), Александров предложил приме