Реферат: Задачи Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5? Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число окажется делителем 20?

Классический способ подсчета вероятностей

Задачи

Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова
вероятность того, что это число кратно 5?

Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова
вероятность того, что это число окажется делителем 20?

Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что

это число окажется: а) простым; б) составным; в) кратным 5; г) взаимно простым с 100?

Наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова
вероятность того, что сумма очков на выбранной кости равна 5?

На одинаковых карточках написаны в троичной системе счисления
все целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова
вероятность того, что выбранное число в своей записи содержит: а) не менее 2 единиц; б) хотя бы одну двойку; в) один нуль?

В урне а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что
наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

В урне а белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар
и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны
берут еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?

Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном
числе цифры одинаковы?

Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова
вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?

Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что
выбранное число имеет простой делитель, больший 10?

Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число
простое и сумма его цифр равна 5?

Из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} наудачу выбрано число q,
после чего составлено уравнение х + 4х + q = 0. Какова вероятность того, что корни этого уравнения окажутся: а) действительными числами; б) целыми рациональными числами; в) действительными иррациональными числами?

Даны отрезки длиной 2, 5, 6, 10. Какова вероятность того, что из
наудачу взятых 3 отрезков можно построить треугольник?

Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 20. Какова
вероятность того, что оно имеет вид: а) 4х + 1; б) 4х + 3; в) 6х + 5?

Найдите вероятность того, что случайно выбранное число из множества {1, 2, 3,..., п} делится на фиксированное натуральное число к. Найдите предел этой вероятности при n —> .

Из множества {1,2, ..., п} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность Рn того, что число а — 1 делится на 10. Найдите предел Рn при n —> .

Из множества {1,2, ..., п} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность того, что а при делении на фиксированное натуральное число q дает остаток г. Найдите предел этой вероятности при n —> .

Из множества {1,2, ..., п} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность того, что число 2а+1 делится на 5. Найдите предел этой

вероятности при n —> .

Из множества {1, 2, ..., n} случайно выбрано число а. Найдите
вероятность того, что это число окажется точным квадратом. Найдите предел этой вероятности при n —> .

Наугад выбирают по одной букве из слов «дама» и «мама». Какова
вероятность того, что эти буквы : а) одинаковы; б) различны?

Игральная кость бросается дважды и записывается двузначное число
, где первая цифра а - число очков, выпавшее при первом бросании, а
вторая цифра b - число очков, выпавшее при втором бросании. Найдите
вероятность того, что у полученного двузначного числа: а) цифры
различные; б) цифры нечетные; в) а < b; г) 2а = b; д) а2 = b; е) а + b = 5; ж) 9 < а + b < 12;з)а- b =1.

Игральная кость бросается трижды. Пусть х - сумма очков,
полученных при всех бросаниях. Что более вероятно: х = 12 или х = 11?

В качестве знаменателя обыкновенной дроби наудачу выбирается

натуральное число от 30 до 39 включительно. Найдите вероятность того, что

обращается: а) в конечную десятичную дробь; б) в чистую периодическую; в) в смешанную периодическую.

На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены два
разноцветных слона. Какова вероятность того, что слоны не бьют друг друга?

На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены два
разноцветных ферзя. Найдите вероятность того, что ферзи не бьют друг
друга.

Комбинаторика и бином Ньютона

Задачи

Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой
стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для
посылки письма?

Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского,
французского, немецкого, итальянского - на любой другой из этих 5 языков?

У одного студента 5 книг, у другого - 9. Все книги различные.
Сколькими способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на
книгу? 2 книги на 2 книги?

На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист
может подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с
дополнительным условием: подъем и спуск должны происходить по разным
тропинкам.

Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2
клетки? б) 2 клетки одного цвета? в) 2 клетки разного цвета?

Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6
различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку
писем, если: а) никакие 2 письма не посылать по одному адресу; б) по
одному можно адресу посылать более одного письма.

В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно
рассадить в поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в
различных вагонах?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из
которых состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно
составить, если: а) повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается
повторение цифр?

Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать
каким-то 3 из 15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного
подарка; б) подарок А должно получить определенное лицо?

В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп
при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Сколько существует различных автомобильных номеров, которые
состоят из пяти цифр, если первая цифра не равна нулю.

Проверьте то, что число трехбуквенных «слов», которые можно
образовать из букв слова «гипотенуза», равно числу всех возможных
перестановок букв слова «призма».

Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют
города В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С
через В и вернуться в А также через В?

Сколькими способами можно расставить на полке семь различных
книг, если: а) две определенные книги должны стоять рядом; б) эти две
книги не должны стоять рядом?

На окружности выбрано 10 точек, а) Сколько можно провести хорд
с концами в этих точках? б) Сколько существует треугольников с
вершинами в этих точках?

Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в
первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12.
Сколькими способами это можно сделать?

Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти.
Сколькими способами он может сформировать команду, если два
определенных мальчика должны войти в команду?

Докажите равенство Сп +Сп = Сп+1.

Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из трех четных и трех
нечетных цифр, причем никакая цифра не входит в число более одного раза?

В течение четырех недель студенты сдают четыре экзамена, в том
числе два экзамена по математике. Сколькими способами можно
распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не
следовали один за другим?

Восемь человек должны сесть в два автомобиля, причем в каждом
должно быть по крайней мере три человека. Сколькими способами они могут
это сделать?

Сколько различных слов можно получить из всех букв слова
«перестановка»? .

Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры
числа 2 233 344 455?

Сколькими способами можно в строчку написать шесть плюсов и
четыре минуса?

Найдите число всевозможных «слов» из букв слова «зоология».
Сколько таких слов, в которых три буквы «о» стоят рядом?

Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно
распределить по трем магазинам, если известно, что в первый магазин
должно быть доставлено восемь наименований, во второй - семь
наименований и в третий - пять наименований товаров?

^ Применение комбинаторики к подсчету вероятности

Задачи

Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при
этом все выпавшие грани различны?

На 6 одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «М»,
«о», «с». Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того,
что получится слово «Москва»?

В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5
шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

В урне а белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекают
2 шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?

Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном
числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?

В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6
уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание 3 урока
одного учителя и 2 урока другого. Какова вероятность того, что эти учителя
не будут одновременно заняты?

10 человек случайным образом рассаживаются на десятиместную
скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся
рядом?

В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу
извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу
разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по
5 отличников?

На 10 карточках написаны буквы «а», «а», «а», «м», «м», «т», «т»,
«е», «и», «к». После тщательного перемешивания карточки раскладываются в
ряд. Какова вероятность того, что получится слово «математика»?

Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на всех
костях выпадает четное число?

Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на карточках и тщательно
перемешены. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова
вероятность того, что получим четное число?

В урне 5 белых и 5 черных шаров. Из этой урны последовательно
извлечены все шары по одному и разложены в ряд. Какова вероятность того,
что цвета шаров чередуются?

На пятиместную скамейку случайным образом садится 5 человек.
Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите
вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет
составляет 2 очка, дама - 3, король - 4, туз - 11, а остальные карты -
соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49)
зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано:

а) все 6 номеров в очередном тираже;

б) 5 или 6 номеров;

в) по крайней мере 3 номера?

Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20
остановок. Предполагая, что всевозможные способы распределения
пассажиров по остановкам равновозможны, найдите вероятность того, что
никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу несколько карт.
Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с вероятностью, большей чем
0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что в
одной из лунок (безразлично в какой) будет k1шариков, а в другой - к2 шариков и т.д., в m-й - кm шариков ( числа k1 ,k2,...,km предполагаются различными).

10 рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3
папки). Найдите вероятность того, что в случайно выброшенных 6 папках не
содержится целиком ни одной рукописи.

.Вы задались целью найти человека, день рождение которого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?

По Государственному займу ежегодно разыгрывается 6 основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном - 230 серий. Найдите вероятность выигрыша одной облигации за первые 10 лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.

^ Правила сложения и умножения вероятностей

Задачи,

2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что
вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна ОД а для
другого - 0,7. Найдите вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

в) оба стрелка попадут в мишень;

г) ни один из стрелков не попадет в мишень;

д) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого
стрелка равна р, а для второго - 0,7. Известно, что вероятность ровно одного
попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.

Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической
величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна
0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что
не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную
точность.

В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик
наудачу достает 4 детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали
окрашенные.

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна -. Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету?

Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения
брака на первой операции равна 0,02; на второй - 0,03; на третьей - 0,02.
Найдите вероятность получения детали без брака после 3 операций,
предполагая, что получения брака на отдельных операциях являются
независимыми событиями.

Из цифр 1, 2, 3, 4,5 выбирается одна, а из оставшихся - вторая.
Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз;
б) второй раз; в) оба раза.

Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых
выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном
выстреле.

Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций
надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с
вероятностью, большей 0,95?

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому
набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не
более чем 2 неудачные попытки.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2.
Произведено 10 выстрелов. Найдите вероятность поражения цели, если для
этого достаточно хотя бы одно попадание.

Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков 2 партий
подряд (ничья исключается). Вероятность выигрыша партии каждым из
игроков равна 0,5 и не зависит от исходов предыдущих партий. Найдите
вероятность того, что игра окончится до 6 партии.

Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова
вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не
менее 2?

Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова
вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей не найдется ни
одной бракованной?

Ящик содержит 90 годных и 10 дефективных деталей. Сборщик
последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найдите
вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы
одна дефектная.

Брошены 2 игральные кости, помеченные номерами 1 и 2. Какова
вероятность того, что на первой кости очков будет больше, чем на второй?

Какое событие более вероятно: событие А «при одновременном
бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна единица» или событие В
-«при 24 бросаниях 2 костей появятся хотя бы один раз 2 единицы»?

Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность
попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела
уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3
раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.

Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что
студент ответит на первый и второй вопросы билета равны 0,9; на третий -
0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого
необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на 2 вопроса.

Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с
вероятностью, не меньшей 0,5, можно было надеяться, что хотя бы одни раз
появится 12 очков?

В 2 урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в
первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй
соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару.
Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

В урне имеется п одинаковых шаров с номерами от 1 до п. Шары

извлекаются по одному без возвращения. Найдите вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадает с номером опыта.

Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого
попадания. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка (он
начинает стрельбу) равна р, а для второго -q(Oвероятности следующих событий: а) первый стрелок сделает больше
выстрелов, чем второй; б) стрельба закончится на третьем выстреле второго
стрелка; в) первый стрелок закончит стрельбу не позже, чем при третьем его
выстреле. Вычислите указанные выше в пунктах а), б) и в) вероятности при р
= 0,2 и q = 0,3.

Двое поочередно бросают монету, причем выигрывает тот, у
которого раньше появится герб. Определите вероятности выигрыша для
каждого игрока.

В урне а белых и b черных шаров. 2 игрока последовательно
достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра
продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар.
Найдите вероятность того, что: а) первым достанет белый шар игрок,
начинающий игру; б) первым достанет белый шар второй игрок.

В урне 2 белых и 4 черных шара. 2 игрока достают из этой урны
поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар.
Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того,
что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.

Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого
раньше выпадет герб. Определите вероятности выигрыша для каждого из
игроков.

В жюри из 3 человек 2 члена независимо друг от друга принимают
правильное решение с вероятностью р, а третий для принятия решения
бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов).
С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с
вероятностью р. Кто с большей вероятностью принимает правильное
решение: жюри или судья?

В урне п белых и п черных шаров. Все шары из урны извлекаются
парами, причем вынутые шары обратно не возвращаются. Какова
вероятность того, что все пары будут состоять из разноцветных шаров?

^ Формула полной вероятности и формула Байеса.

Задачи.

В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна

второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город, а) Какова вероятность того, что выбран юноша? б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне
20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному
шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность
того, что взят белый шар.

60% учащихся в школе - девочки. 80% девочек и 75% мальчиков
имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет.
Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке? Мальчику?

Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается
герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае - из урны П. Урна I
содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых
шара, а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова
вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он оказался красным?

На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции,
а машина В - 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции,
произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В - брак 2
единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным
образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того,
что она произведена на машине В?

В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6
посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего - 0,7, для
посредственного - 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный
стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны
наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй
урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите
вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется
белым.

С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго -
30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% деталей. Среди деталей,
выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым - 1%, третьим -
0,5% и четвертым -0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на
сборку деталь небракованная.

В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой - 2 белых и 3
черных шара, во второй - 2 белых и 2 черных шара, в третьей - 3 белых и
один черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого
шар из второй урны переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар

переложен в первую урну, а) Какой состав шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? б) Определите вероятность того, что во всех урнах состав шаров останется без изменения.

Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 - с
вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный
стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее:
принадлежит он к первым двум или к трем последним?

Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает
стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную
продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05.
Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный
контроль, отвечает стандарту.

Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%,
причем среди забракованной по признаку А продукции 6% имеют дефект В, а
в продукции, свободной от дефекта А, дефект В составляет 2%. Найдите
вероятность наличия дефекта у наудачу взятой единицы продукции завода.

Имеются 2 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй - 2
белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2
шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какой состав
переложенных шаров наиболее вероятен, если шар, извлеченный из второй
урны, окажется белым?

4 стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены 3 пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.

Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6
-хорошо, 4 - посредственно и 2 - плохо. В экзаменационных билетах
имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все вопросы,
хорошо - 35, посредственно - 25 и плохо - 10 вопросов. Некоторый студент
ответил на все 3 вопроса билета. Найдите вероятность того, что он
подготовлен: а) хорошо; б) плохо.

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с
вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу
выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего
принадлежит этот стрелок?

Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30
вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8-25 вопросов, 5 -
20 вопросов и 2 - 15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный
вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все
вопросы; б) подготовил только половину вопросов.

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором
стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по

шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна ОД; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

В специализированную больницу поступают в среднем 50%
больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М.
Вероятность полного извлечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М
эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в
больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот
больной страдал заболеванием К.

В первой урне находится один белый и 9 черных шаров, а во второй один черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили случайным
образом по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью (свободную)
урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны,
окажется белым.

Из 2 близнецов первым родился мальчик. Какова вероятность, что
вторым родится тоже мальчик, если среди близнецов вероятность рождения 2
мальчиков и 2 девочек соответственно равна р и q, а для разнополых
близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова?

На 3 дочерей - Алису, Марину и Елену - в семье возложены
обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится
выполнять 40% всей работы. Остальные 60% работы Марина и Елена делят
поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить по крайней
мере одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна
соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но
они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду
мыла Алиса? Марина? Елена?

Два филателиста А и В, имеющие соответственно а и b марок,
играют в некоторую игру, состоящую из отдельных партий. Каждая партия с
вероятностью р = 0,5 заканчивается выигрышем одного из игроков. После
каждой партии проигравший отдает одну марку выигравшему. Игра
продолжается до тех пор, пока один из филателистов не лишится всех марок.
Найдите вероятность того, что А лишится своих марок.

Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по 3
классам: класс H1 (мало рискует), класс Н2 (рискует средне), класс Н3
(рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей,
застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу Н1 ,50% - к классу
Н2 и 20 % - к классу Н3. Вероятность того, что в течение года водитель класса
H1 попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителей класса Н2 эта
вероятность равна 0,02, а для водителя класса Нз - 0,08. Водитель А страхует
свою машину и в течение года попадет в аварию. Какова вероятность того,
что он относится к классу H1? К классу Н2? К классу Н3?

События H1, Н2, ..., Нn - попарно несовместные и равновозможные
гипотезы, сумма которых равна достоверному событию. Условные
вероятности некоторого события А при условии Hi равны: p(A/Hi)=i/n , i=1,2, ….,n

Если в 2 независимых испытаниях оба раза реализовалось событие А, то найдите p(Hi / A1 A2), где A1 обозначает наступление события А в первом испытании, а А2 - наступление события А во втором испытании.