Реферат: Isbn 978-5-7262-1376 нейроинформатика 2011
ISBN 978-5-7262-1376-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 2
В.А. ШАБАРШИН
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
falemnderit@yandex.ru
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ
АЛЬТЕРНАТИВНОЙ МОДЕЛИ ИМПУЛЬСНОГО
НЕЙРОНА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В статье с помощью метода пошагового интегрирования проведено исследование периодического решения дифференциального уравнения и численно смоделировано диффузионное взаимодействие системы двух импульсных нейронов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием.
^ Ключевые слова: уравнение Хатчинсона, метод пошагового асимптотического интегрирования, диффузионное взаимодействие
Введение
В настоящее время дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом находят большое применение в различных задачах прикладной математики. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом встречались еще в работах Л. Эйлера, однако их теория была развита только в двадцатом веке. В 1948 году появилась модель численности популяции, предложенная Г.Е. Хатчинсоном. Модель основана на уравнении с запаздыванием где – численность особей, – некоторый средний размер популяции (иногда называется емкостью среды), – показатель роста. В данной работе исследуется уравнение типа Хатчинсона.
В работе [1] для феноменологической импульсной модели нейрона: основанной на дифференциальном уравнении с запаздыванием, проведена оценка нулевого приближения для периода решения. В работах [2] и [3] получена поправка к периоду. В [4] предложен новый метод асимптотического исследования дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих динамику импульсного нейрона. Техника вычисления периода используется в данной работе при рассмотрении вопроса о существовании периодического решения уравнения с нелинейностью, удовлетворяющей определенным условиям.
^ Постановка задачи
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1)
где – некоторая константа, Функция – гладкая, относительно быстро и монотонно стремящаяся к нулю. Будем считать, что она удовлетворяет следующим условиям:
при . (2)
Начальная задача отыскания решения уравнения (1) определяется заданием функции на отрезке единичной длины. В работе будем использовать отрезок . Определим множество – класс непрерывных функций: В качестве начальной функции для (1) будем выбирать произвольную функцию из класса
С помощью метода пошагового интегрирования требуется провести исследование периодического решения дифференциального уравнения, получить оценку периода, провести численное исследование системы двух импульсных нейронов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием.
^ Анализ уравнения в нулевом приближении
Мы рассматриваем дифференциальное уравнение (1) с функцией удовлетворяющей условиям (2). Пусть начальная функция Введем оператор . Перепишем уравнение (1) в виде:
1. Рассмотрим промежуток (соответственно )
На этом промежутке функция – решение уравнения – растет очень быстро и достигает максимального значения. В точке происходит как бы переключение: до функция росла, а после этого момента времени начинает падать. При функция Функцию представим в виде: В таком случае оператор принимает вид: , а уравнение (1) Его решение: Находим его значение в граничной точке
2. Далее меняется от 1 до некоторого момента времени такого, что При таких выполняются следующие неравенства: и т.е. обе функции принимают очень большие значения. В этом случае Оператор так как больше единицы. Значения оператора отрицательны, значит производная тоже отрицательная. На этом промежутке времени значения функции убывают до порогового значения Причем переключения не происходит: на этом участке функция – монотонная (строго убывающая). Исходное уравнение принимает вид: Его решение есть функция Вспомним, что Одновременно, Выразим
3. Перейдем к следующему промежутку: , где До момента времени функция по-прежнему убывала. В точке произойдет «переключение»: при решение начинает вновь расти. Так как сейчас то В этом случае Мы попали в ситуацию, аналогичную рассмотренной в пункте 2. Тогда решение уравнения (1) имеет вид: Найдем, чему равна эта функция на конце рассматриваемого промежутка:
4. Пусть , где момент времени таков, что На этом отрезке времени функция растет до порогового значения и мы оказываемся в ситуации первого промежутка. Здесь справедливы следующие неравенства: и Функция раскладывается по формуле Тейлора в такую сумму: . Оператор переписывается таким образом: . Уравнение (1) принимает следующий вид: Его решение таково: В точке решение исходного уравнения: В то же время, Выразим момент времени .
Ниже приведены значения для основных моментов времени:
Для того чтобы продолжить построение асимптотики для моментов времени заметим, что в этом случае функцию на последнем промежутке следует рассматривать как новую начальную функцию уравнения (1). Она входит во множество допустимых начальных функций и, построив для нее асимптотическое решение на промежутке , мы убедимся, что очередная начальная функция удовлетворяет определению класса начальных функций. Таким образом, для произвольной начальной функции построенная асимптотика оказывается периодической функцией с периодом, равным .
^ Уточнение периода решения дифференциального уравнения
с запаздыванием
Вернемся к рассмотрению дифференциального уравнения (1), и проведем рассуждение, аналогично работам [2]–[4], которое позволит нам уточнить значение периода.
1. Рассмотрим промежуток , где Соответственно, . Поэтому мало, и функцию можно разложить по формуле Тейлора в точке по степеням . Аргумент функции равен . Учитывая, что функция принадлежит классу удовлетворяющему формуле (6), и формулу для перепишем как: . Тогда уравнение (1) приобретает следующий вид: Его решение . Подставим значение , получим . В точке значение функции Отсюда Выразим момент времени
2. Далее меняется на промежутке , где и т.е. по-прежнему Повторяя рассуждения предыдущего пункта и учитывая начальное значение запишем решение уравнения на втором промежутке: . Отсюда при .
3. Рассмотрим отрезок времени , где Тогда . Уравнение (1) имеет вид: Запишем его решение: Найдем значение функции при Используя рассуждения в работе [1], получим, что , где .
4. В качестве четвертого промежутка для построения решения выберем интервал , где момент времени определяется из условия Так как то и . При таких значениях аргумент запаздывающей функции Поэтому . Следовательно, уравнение имеет вид: Решением является функция: . Зная, что найдем момент времени
5. На следующем шаге , где соответственно , и по-прежнему велико. Поэтому функция мала, и уравнение сохраняет вид, как в предыдущем пункте. Решением является функция . Определим из условий промежутка:
6. Пусть теперь , где Тогда , т.е., и значения функции все еще велики. Решение исходного уравнения на этом промежутке: . Найдем значение функции при .
7. Сейчас , где Соответственно, .
Решение уравнения (1) имеет вид:
.
Значение решения дифференциального уравнения (1) в момент времени имеет вид (используется подход, описанный в работе [1]) .
8. Рассмотрим промежуток , для которого момент времени определен условием Тогда, . Если учесть, как определялся момент то . Значение функции здесь очень мало, и уравнение (1) принимает в таком случае вид: Его решение: . Значение в момент времени . Найдем
Мы хотим показать существование такого промежутка времени что для Тем самым будет определено наличие периодического решения уравнения (1). Чтобы утверждать, что нужно убедиться в том, что значения функции на промежутке принадлежат множеству Это так, если параметр выбран из промежутка . Значение решения для таких определяется . Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть функция определена для положительных значений аргумента, непрерывно дифференцируема и положительна, монотонно убывает, при ведет себя как . Функция удовлетворяет условиям и Тогда уравнение (1) с начальными условиями из множества имеет периодическое решение и период определяется формулой где .
^ Модель диффузионного взаимодействия
Биологический нейрон – это биологическая клетка, выполняющая функции, связанные с генерированием электрических импульсов, т.е. нелинейная электрическая система. К настоящему моменту времени существует множество самых разнообразных математических моделей нейрона. Следуя работам [1] и [4] мы будем рассматривать дифференциальное уравнение (1) как уравнение, описывающее динамику мембранного потенциала нейрона. Рассмотрение множества одинаковых взаимодействующих нейронов приводит к понятию нейронной сети. Именно моделирование сетей представляет основной интерес. Важная характеристика нейронной сети – механизм взаимодействия ее элементов. Для моделирования взаимодействия в правую часть уравнения нейрона-приемника добавим слагаемое, которое соответствует току проводимости. Значение этого слагаемого определяется разностью мембранных потенциалов взаимодействующих нейронов: , где и – мембранные потенциалы этих нейронов. Параметр имеет смысл коэффициента разностной диффузии. В работе [1] приведены биологические соображения о том, что коэффициент разностной диффузии мал по величине и согласован с параметром , где В этом случае в системах, состоящих из электрически взаимодействующих импульсных нейронов, имеют место разнообразные типы синхронизации колебательных режимов. Нейронная сеть, состоящая из импульсных нейронов с электрическим взаимодействием, будет описываться следующей системой уравнений:
(3)
где и – мембранные потенциалы взаимодействующих нейронов, а – коэффициент проводимости межклеточной жидкости.
^ Результаты компьютерного моделирования основной модели
Было проведено численное решение уравнения (1) и системы (3) с помощью формулы прямоугольников. Поскольку нас интересуют импульсные решения, то параметр выбран так, чтобы было выполнено неравенство На рис. 1 приведен график решения уравнения (1) на интервале при (численное интегрирование проводилось с шагом На рис. 2 изображен график решения системы (3) при и
Рис. 1. Решение уравнения (1) при = 3
Рис. 2. Решение системы (3) при и
Заключение
В работе проведено исследование дифференциального уравнения (1), которое описывает динамику мембранного потенциала нейрона-пейсмейкера. В качестве начального условия была выбрана начальная функция из соответствующего класса, затем уравнение решалось методом шагов. Доказано существование периодического решения у соотношения, и выведена формула для вычисления значения этого периода. Для компьютерного эксперимента была написана программа. Она позволяет решить численно уравнение (1) и систему уравнений (3) и построить эти решения. Работа имеет хорошую перспективу развития, например, для аналитического исследования задачи взаимодействия нейронов.
^ Список литературы
1. Кащенко С.А., Майоров В.В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009, 288 с.
2. Майоров В.В., Мячин М.Л., Парамонов И.В. Поправка к периоду решения уравнения, моделирующего динамику мембранного потенциала нейрона. // Моделирование и анализ вычислительных систем. Т. 15, № 2. / Под ред. В. А. Соколова. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та им. П. Г. Демидова, 2008. С. 61–66.
3. Дунаева О.А., Мячин М.Л. Исправления и дополнения к статье «Поправка к периоду решения уравнения, моделирующего динамику мембранного потенциала нейрона». // Моделирование и анализ вычислительных систем. Т. 16, № 3. / Под ред. В.А. Соколова. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та им. П.Г. Демидова, 2009. С. 58–64.
4. Мячин М.Л. Исследование автоколебательных режимов в сетях импульсных нейронов: дис. … к. ф.-м. наук : 05.13.18 // Мячин М. Л. Ярославль, 2009. 85 с.
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
еще рефераты
Еще работы по разное
Реферат по разное
Мегалиты, тайны древних святилищ
18 Сентября 2013
Реферат по разное
Экспресс-информация
18 Сентября 2013
Реферат по разное
Численность населения Свердловской области с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума
18 Сентября 2013
Реферат по разное
Рекомендации для клиента, желающего воспользоваться системой денежных переводов «western union»
18 Сентября 2013