Реферат: Задание для 9 класса а ознакомиться с материалом

Задание для 9 класса А

Ознакомиться с материалом

http://dvo.sut.ru/libr/ite/i280levc/3.htm

и выполните задания 4.1- 6


Задание для 9 классов (б-з)


Теория на повторение


Этапы развития логики


Логика очень древняя наука.

1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменит простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.


^ Формы мышления


Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение.

^ Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других.

Например: компьютер, трапеция, портфель, ураганный ветер.

^ Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным).

Например:

1. Истинное и простое высказывание: Буква “т” - согласная.
2. Ложное и сложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели.

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.

Например:

1. Уходя, гасите свет!
2. Кто хочет быть счастливым?

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4.


Упражнение 1 Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными?

Город Москва – столица России.
2. Число 12 – простое.
3. 7*3=1.
4. 12<15.
5. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
6. Клавиатура – устройство ввода информации.

Ответ: Истинно- _______, Ложно ________


Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Например: Дано высказывание “Все углы равнобедренного треугольника равны”. Путем умозаключений получить высказывание “Этот треугольник равносторонний”.



^ 3. Алгебра высказываний.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание.


Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

^ Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

Например:

А= “Листва на деревьях опадает осенью”.
В= “Земля прямоугольная”.

Высказывания, как говорилось уже ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 .

Например:

А=1
В=0


^ В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истинна” (1) и “ложь” (0).

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания.


Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

^ Логическая операция

Название

Соответствует союзу

Обозначение знаками

Таблица истинности

Логическая операция

Инверсия

(от лат. inversion – переворачиваю)

отрицание

не А



А



0

1

1

0




Опр. 8 Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Конъюнкция

(от лат. conjunction – связываю)

Логическое умножение

А и В



А

В



0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1




Опр.9Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.

Дизъюнкция

(от лат. disjunction – различаю)

Логическое сложение

А или В



А

В



0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1




Опр. 10 Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Импликация

(от лат. implication – тесно связывать)

Логическое следование

Если А,

то В;

Когда А, тогда В

 

А–условие

В-следствие

А

В



0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1




Опр. 11 Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие.

Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность)

Логическое равенство

А тогда и только тогда, когда В



А

В



0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1




Опр. 12 Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны



При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

инверсия,

конъюнкция,

дизъюнкция,

импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.


Например: дана формула

^ Порядок вычисления:

- инверсия
- конъюнкция
- дизъюнкция
- импликация
- эквивалентность.

Упражнение 2.

Дана формула . Определите порядок вычисления.


Упражнение 3.

Найдите значения логических выражений:






















^ Тема: Таблицы истинности
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.

Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении.

2. Определить число строк в таблице, которое равно m = 2n.

3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций = количество столбцов.

4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений.

6. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями (ложь), а нижнюю единицами (истина);
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;
в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

^ Пример: для формулы построить таблицу истинности.

Решение

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23=8.

Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3+5=8.




Упражнение 4.

Самостоятельно построить таблицы истинности выражений:
a) Z = (A + B · C) + (¬A · C)
b) C + A&B
c) ¬(A & ¬B)&(¬A + (A + B))
d ) Доказать, что ¬A · ¬B · (¬C + C) = ¬A · ¬B