Реферат: Логические выражения и таблица истинности

Логические выражения и таблица истинности


Логическое следование (импликация) от латинского implico - тесно связываю.

В наших рассуждениях, особенно в математических доказательствах, мы часто пользуемся сложными высказываниями, образованными с помощью слов "если..., то...". Здесь высказывание, расположенное после слова "если", называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слова "то", называется следствием или заключением.

Рассмотрим пример: из арифметики. Вам должно быть известно, что утверждение "если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3" истинно, т. е. из высказывания "каждое слагаемое делится на 3" следует высказывание "сумма делится на 3". Посмотрим, какие наборы значений истинности посылки и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и посылка, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение истинным. Для чисел 4 и 7 и посылка и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т.е. чтобы посылка была истинной, а заключение ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл. Высказывание "Если А, то В" с логической точки зрения имеет тот же смысл, что и высказывание "неверно, что А истинно и В ложно". Это означает, что функцию импликации можно заменить комбинацией двух функций (отрицания и конъюнкции). Обычно, когда мы хотим установить ложность высказывания "Если А, то В", мы стараемся показать, что возможен случай, когда А истинно, а В ложно (доказательство "от противного"). Обозначим импликацию символом => и запись "А => В" будем читать: "Из А следует В".

Таким образом, импликацией А => В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.

Запишем это определение в виде таблицы истинности:

A

B

А=>В

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

^ Логическое тождество (эквивалентность).

Интуитивно можно догадаться, что высказывания эквивалентны (равносильными), когда их значения истинности одинаковы. Например, эквивалентны высказывания: "железо тяжелое" и "пух легкий", так же как и высказывания: "железо легкое" и "пух тяжелый". Обозначим эквивалентность символом <=> и запись "А <=> В" будем читать "А эквивалентно В", или "А равносильно В", или "А, если и только если В".

Таким образом, эквивалентностью двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Отметим, что высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А" (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ <=>). Следовательно, функцию эквивалентности можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции.


Запишем таблицу истинности для эквивалентности:

A

B

А<=>В

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

Приведем примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

"Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (В. Шекспир) А V ¬ A <=> В

"Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

Предлагается следующий алгоритм построения таблицы истинности.

1. Определить количество наборов входных переменных - всевозможных сочетаний значений переменных, входящих в выражения, по формуле:

Q=2 , где n - количество входных переменных. Оно определяет количество строк таблицы.

2. Внести в таблицу все наборы входных переменных.

3. Определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

4. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности.

Чтобы не повторить или не пропустить ни одного возможного сочетания значений входных переменных, следует пользоваться одним из предлагаемых ниже способов заполнения таблицы.

Например, построим таблицу истинности для логической функции:

^ F = (АVB) & (¬AV¬B)

Количество входных переменных в заданном выражении равно двум (A, B). Значит, количество входных наборов Q=2 =4.

Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A, B, отрицание A, B, (¬AV¬B), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения:

A

B

AVB

¬A

¬B

¬AV¬B

F

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0