Реферат: Робоча програма, методичні вказівки до вивчення дисципліни та контрольні завдання для студентів заочної форми навчання спец

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ

МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА


МАТЕМАТИЧНІ ЗАДАЧІ

ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКИ


Робоча програма, методичні вказівки

до вивчення дисципліни та контрольні завдання


(для студентів заочної форми навчання спец.

7.090603 - "Електротехнічні системи електроспоживання")


Харків   ХНАМГ   2006

Математичні задачі електроенергетики: робоча програма, методичні вказівки до вивчення дисципліни та контрольні завдання (для студентів заочної форми навчання спец. 7.090603). Укл. Ягуп В.Г.   Харків: ХНАМГ, 2006.   27 с.


Укладач: проф., д.т.н В.Г. Ягуп


Рецензент: проф., д.т.н О.Г. Гриб


Рекомендовано кафедрою електропостачання міст,

протокол № 8 від 7.02.2006 р.

^ ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ

Дисципліна "Математичні задачі електроенергетики" вивчає математичні основи методів, що застосовуються при розв'язанні задач аналізу, синтезу і частково керування електроенергетичних систем та їх підсистем, задач кількісної оцінки режимів роботи електроенергетичних систем у процесі їх проектування із застосуванням комп'ютерної техніки.

Дисципліна пов'язана з вищою математикою, теоретичними основами електротехніки, основами програмування та комп'ютерної техніки, з одного боку, та курсами спеціальних дисциплін   з другого. З математики в першу чергу вимагається знання таких розділів, як матрична та векторна алгебра, теорія графів, алгебра комплексних чисел, методи розв'язання диференціальних рівнянь, основи теорії ймовірностей. З теоретичних основ електротехніки потрібні відомості з розділів теорії кіл, аналізу перехідних процесів та теорії нелінійних кіл. Бажаним є застосування методів, алгоритмів та програм для комп'ютерного обчислення режимів електричних систем, розв'язування завдань оптимізації. Такі обчислення можна проводити із використанням відомих математичних пакетів Excel, MathCAD, MATLAB, а також на основі програмування за допомогою відомих алгоритмічних мов С++, Pascal, Basic. Відповідні тексти програм слід додавати до розрахункової роботи та робочих записів, або на магнітному носії.

Для студентів заочної форми навчання передбачено такі форми вивчення дисципліни: лекційні заняття з основних розділів дисципліни в період установчої сесії; самостійна робота з навчальною літературою згідно з програмою та методичними вказівками; відповіді на контрольні запитання; виконання розрахункової роботи; закріплення матеріалу при розв'язанні задач і розгляді прикладів, що надаються в рекомендованій літературі. Математичні викладки, доведення і, особливо, визначення треба вивчити напам'ять. Контроль знань здійснюється на екзаменаційній сесії при захисті розрахункової роботи та складанні іспиту.

^ 2.РОБОЧА ПРОГРАМА ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИВЧЕННЯ ТЕМ ДИСЦИПЛІНИ


2.1. Вступ

Цілі та завдання дисципліни. Роль прикладної математики та обчислювальної техніки при дослідженнях та проектуванні електроенергетичних мереж і систем. Завдання аналізу і синтезу електричних систем. Режими роботи електричних систем та рівняння, що їх відтворюють. Аналітичні й чисельні методи розв'язання систем рівнянь електричних систем. Класифікація моделей. Побудова моделей, їх реалізація та порівняльні характеристики. Апаратне та програмне забезпечення для реалізації комп’ютерних моделей електричних систем. Загальні відомості про схеми заміщення електричних систем та рівняння стану.

Література: [1, с. 3-9; 2, с. 3-12; 3, с.3-29; 9, c. 3-27; 5, с. 3-7; 9, с.8-32].


Методичні вказівки

Розглядаючи загальні відомості про дисципліну, треба усвідомлювати, що електроенергетичні системи представляють собою великі і складні технічні системи. Вони складаються із великої кількості елементів і описуються в загальному виді системами нелінійних диференціальних рівнянь в часткових похідних. Тому проблеми складання та розв'язування цих систем рівнянь невід'ємні від широкого застосування сучасних математичних методів і засобів обчислювальної техніки. Слід чітко розділяти задачі аналізу і синтезу. При розв'язанні задач аналізу для заданих структури і параметрів системи, а також для заданого виду вхідних сигналів треба знайти вид вихідних сигналів, тобто реакцію системи на збурення. Задача синтезу потребує створення структури системи з такими параметрами, щоб на задані збурення система реагувала належними, заданими наперед вихідними сигналами. Слід розуміти складнощі розв'язання завдання синтезу. Необхідно уявляти можливості аналітичних та чисельних методів при дослідженні електричних систем та при побудові їх математичних моделей. Треба мати чіткі уявлення про можливості сучасного апаратного та програмного забезпечення для дослідження електричних систем, знати складові, з яких утворюються електричні системи, та їх основні характеристики і параметри.


Запитання для самоконтролю

У чому полягають цілі та завдання дисципліни?

Чому проектування електричної системи вимагає широкого застосування математичних і програмних засобів?

Сформулюйте зміст задачі аналізу.

Які питання вирішують при синтезі системи?

Які особливості задачі синтезу ускладнюють її вирішення?

Як класифікують режими електричних систем?

У чому різниця між аналітичними й чисельними методами аналізу?

Чому аналітичні методи не завжди є прийнятними?

Визначте поняття "система" і "модель".

Як можна класифікувати моделі? Наведіть приклади.

Назвіть основні властивості моделей, за якими можна проводити оцінку їх якості.

Які програмні засоби дозволяють створювати комп'ютерні моделі електричних систем?

З яких елементів складаються електроенергетичні системи?

За яких умов електроенергетична система може бути віднесена до великих складних систем?


^ 2.2.Елементи теорії множин і теорії графів

Основні поняття. Шлях, контур і прадерево графа. Ребро, ланцюг, цикл, дерево графа. Незалежні цикли та контури, цикломатичне число.

Матриці суміжності, кількість дерев, розкриття детермінанта за допомогою графів. Нормальне дерево та алгоритм його формування. Матриця інциденцій і циломатична матриця, зв'язок між ними. Матриця перетинів, її зв'язок з цикломатичною матрицею, топологічна матриця "контур-вітка".

Формалізовані методи аналізу електричних систем. Структурні елементи та фізичні величини електричного кола. Топологічні рівняння, компонентні рівняння, повна система рівнянь математичної моделі електричної системи.


Література: [1, с. 10-46; 3, с.10-29; 5, с.17-42; 6, с.10-17; 10, с. 39-47].


Методичні вказівки

При вивченні цього розділу треба усвідомлювати, що елементи теорії множин, теорії графів та матричне обчислення дозволяють формалізувати процедури формування математичних рівнянь, що описують електричні системи. Вміння застосовувати на практиці теоретичні положення дають змогу безпомилково записати системи рівнянь для електричних систем, а також розробити загальні алгоритми для комп'ютерної реалізації методів їх формування та розв'язування. Слід ознайомитися з основними поняттями та визначеннями теорії множин, співвідношеннями між множинами та операціями над множинами. Важливо засвоїти поняття графа, шляху, контуру , дерева графа, а також співвідношеннями між кількістю ребер, що їх можна включити до дерева, і порядком включення ребер у дерево електричної системи. Необхідно розібратися з алгоритмами формування топологічних матриць електричної системи та системами рівнянь, які можна сформувати за допомогою топологічних матриць електричних систем. Слід звернути увагу, що топологічні рівняння не дають необхідної кількості рівнянь для створення повної системи рівнянь математичної моделі електричної системи, тому їх треба доповнити так званими компонентними рівняннями елементів. Слід звернути увагу на набуття навичок при складанні рівнянь практичних систем.


Запитання для самоконтролю

Що називають графом?

Чим відрізняється орієнтований граф від неорієнтованого?

Який зміст укладається в сигнальні графи для випадку електричної системи?

Що називають деревом графа?

Як називають ребра графа, що увійшли до складу дерева, і ті, що не ввійшли?

Яки контури називають головними? Як вони утворюються?

Що називають розрізом?

За якими правилами утворюється дерево електричної системи?

Як складають матрицю інциденцій?

Які матричні рівняння можна скласти за допомогою матриці інциденцій електричної системи?

Як детермінант визначають через дерева графа?

Як обчислити загальну кількість дерев графа?

Як складають матрицю перетинів?

Які матричні рівняння можна скласти за допомогою матриці перетинів електричної системи?

Як складається цикломатична матриця?

Які матричні рівняння можна скласти за допомогою цикломатичної матриці електричної системи?

Який існує зв'язок між цикломатичною матрицею і матрицею перетинів?

Які співвідношення характеризують окремі елементи електричної системи?


^ 2.3.Аналіз електричних систем на базі

методу вузлових напруг і контурних струмів

Аналіз електричних систем на базі методу незалежних і вузлових напруг. Недоліки методів контурних струмів та вузлових напруг. Метод визначальних координат. Основні положення топологічних методів аналізу електричних кіл. Перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну.


Література: [1, с. 47-81; 4, с. 122-128; 5, с.42-70; 6, с.17-27; 10, с. 47-55].


Методичні вказівки

При вивченні та засвоюванні матеріалу цього розділу треба розуміти, що методи контурних струмів та вузлових напруг є широко використованими в інженерній практиці розрахунків електричних систем. При вивчанні формалізованих методів аналізу електричних систем слід приділити увагу способам отримання рівнянь за методами вузлових напруг, контурних струмів, а також звернути увагу на матричні співвідношення, які приводять до отримання цих систем рівнянь. Треба також усвідомлювати недоліки методів вузлових напруг і контурних струмів, особливо при розгляді рівнянь динамічних режимів електричних систем. При розгляді топологічних методів аналізу електричних систем слід звернути увагу на метод сигнальних графів і метод неспрямованих графів, які дозволяють отримати значну економію часу при знаходженні схемних функцій електричних систем. Треба засвоїти використання топологічної формули Мейсона для вищеназваних методів, при цьому мати навички практичного використання для випадків конкретних електричних систем. Необхідно мати чіткі уявлення про застосування перетворення систем рівнянь з комплексної площини в дійсну, що дає змогу легко розв'язувати системи рівнянь із комплексними коренями, які описують сталі режими електроенергетичних систем.


^ Запитання для самоконтролю

Як обчислити кількість невідомих змінних в повній системі рівнянь математичної моделі електричної системи?

Доведіть, що система топологічних та компонентних рівнянь електричної системи є достатньою для повного опису цієї системи.

У чому полягає сенс перетворення повної системи рівнянь електричної системи в рівняння за методами вузлових напруг і контурних струмів?

Як можна отримати систему рівнянь за методом вузлових напруг, застосовуючи матричні співвідношення?

Як можна перетворити джерела напруги в джерела струму для електричної системи?

Як можна обчислити напруги та струми на елементах електричної системи після розв'язування системи вузлових рівнянь?

У чому полягає суть методу визначальних координат?

Як обчислюють передачу сигнального графа за формулою Мейсона?

Поясніть еквівалентні перетворення сигнальних графів.

Як можна отримати перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну?

Поясніть методику перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну на прикладі електричної системи.


^ 2.4.Математичні основи методів аналізу

усталених режимів електроенергетичних систем

Аналітичні методи розв'язування систем лінійних рівнянь. Еквівалентні перетворення, алгоритм Крамера. Суть методу Гауса, метод головних елементів. Алгоритм LU- перетворення. Метод оберненої матриці та алгоритми її обчислення. Факторизація матриць. Методи упаковування розріджених матриць і векторів. Власні значення і власні вектори матриць, зумовленість матриці. QU- факторизація. Норми матриці та вектора. Обчислення функцій, похибки. Чисельні методи розв'язування нелінійних рівнянь. Методи дихотомії, простої ітерації, Ньютона Рафсона. Застосування матриці Якобі для розв'язування систем нелінійних рівнянь. Покращення умов збіжності, метод продовження розв'язування за параметром. Ітераційні методи розв'язування систем лінійних рівнянь, застосування ітерацій Зейделя. Інтерполяція функцій поліномами Лагранжа і Ньютона. Апроксимація функцій. Наближене інтегрування функцій. Математичні моделі аналізу усталених режимів електричних систем та методи їх формування.


Література: [1, с. 148-228; 5, с.86-94; 6, с.32-47; 7, 354-415; 8, с. 7-139; 11, с. 51-89].


Методичні вказівки

Для засвоєння матеріалу цього розділу треба чітко з'ясувати, що усталені режими електричних систем можуть бути представлені системами алгебраїчних рівнянь відносно напруг або струмів. Коефіцієнти цих рівнянь залежать від параметрів елементів та способу, у який елементи сполучуються між собою. Збуреннями цих систем є вектор величин джерел живлення. У загальному випадку розв'язання цих систем призводить до комплексних коренів, оскільки коефіцієнти та джерела живлення представлені комплексними величинами. Але методом подвоєння цю систему можна звести до еквівалентної системи з дійсними коефіцієнтами і коренями. Таким чином, розв'язування систем можна здійснювати такими відомими методами, як алгоритм Крамера, метод оберненої матриці, метод Гаусса з модифікацією метода головних елементів, використовуючи LU-перетворення. Слід засвоїти використання цих методів на конкретних прикладах, а також представляти можливості сучасної обчислювальної техніки для реалізації алгоритмів, що реалізують названі методи. Треба усвідомлювати переваги методів упакування розріджених матриць. Слід розібратися з методами обчислення власних значень матриць, а також усвідомлювати їх значення для оцінки зумовленості матриці, а також впливу останньої на точність розв'язання. Треба приділити увагу вивченню так званих норм матриць. Для завдань, пов'язаних із заданими потужностями навантажень, система рівнянь є нелінійною, і в цих випадках необхідними для розв'язання є ітераційні чисельні методи. Треба мати чіткі уявлення про алгоритми методів дихотомії, простої ітерації, Ньютона Рафсона. Слід знати алгоритми обчислення матриці Якобі, а також формули ітераційних чисельних процесів на основі цієї матриці. Для покращення умов збіжності застосовують метод продовження розв'язування за параметром, при вивченні якого необхідно знати можливості введення параметрів для різноманітних варіантів залежно від способів представлення рівнянь. Слід знати можливості методів простої ітерації для розв'язання систем лінійних рівнянь, а також модифікацію Зейделя, яка дозволяє прискорити отримання результатів розрахунків. Слід приділити увагу питанням інтерполяції та апроксимації, які при аналізі електричних систем можуть застосовуватися для представлення складних нелінійних залежностей і обробки експериментальних даних. Необхідно засвоїти методи чисельного знаходження означеного інтегралу такими методами, як методи Ньютона Котеса, трапецій, прямокутників, Сімпсона, а також вміти навести оцінки залишкових членів, які визначають точність обчислення. Для засвоєння матеріалу треба знати можливості застосування вивчених методів для розв'язання конкретних завдань аналізу електричних систем, особливості формування моделей для аналізу усталених режимів електричних систем.


^ Запитання для самоконтролю

У чому полягає суть методу Крамера для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь?

Як здійснюють еквівалентні перетворення систем лінійних рівнянь та їх матриць при застосуванні методу Гаусса?

У чому полягає сенс LU-перетворення, в яких випадках доцільно його застосовувати?

Яка матриця називається оберненою, як її можна використовувати для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь електричної системи?

Роз'ясніть методи упаковування розріджених матриць.

Запишіть матричне рівняння для формування характеристичного поліному.

Які перетворення дозволяють отримати матрицю у вигляді, придатному для прискореного знаходження власних значень матиці?

У чому полягає процес QU-факторизації матриці?

Які норми застосовують для оцінки властивостей матриць?

Охарактеризуйте суть методів дихотомії та простої ітерації.

Проілюструйте використання ітераційних методів прикладами розрахунків простих електричних систем.

Яку обчислювальну формулу застосовують для реалізації методу Ньютона Рафсона?

Як можна отримати матрицю Якобі?

У чому полягає суть методу продовження розв'язування за параметром?

У чому полягає алгоритм розв'язання системи рівнянь методом Зейделя? Які він має переваги перед іншими методами?

Які умови можуть бути прийняті для визначення закінчення ітераційних процесів?

Який вид мають інтерполяційні формули Лагранжа і Ньютона?

У чому полягає різниця між інтерполяцією та екстраполяцією?

Як апроксимують функцію за допомогою сплайнів? Наведіть чисельний приклад.

Наведіть формули чисельного інтегрування за методами прямокутників та трапецій.

Опишіть методику формування математичних моделей аналізу усталених режимів електричних систем за допомогою методів вузлових напруг та контурних струмів.

У чому суть методу балансу потужностей?

^ 2.5.Математичні основи методів аналізу перехідних

процесів електроенергетичних систем

Сенс перетворення повної системи рівнянь моделі електричної системи до форми Коші. Метод змінних стану, його переваги перед методами контурних струмів та вузлових напруг. Перетворення повної системи рівнянь до рівнянь стану за допомогою еквівалентних перетворень. Застосування методу суперпозиції для одержання рівнянь змінних стану. Одержання рівнянь стану за допомогою матриць і графів.

Чисельні методи інтегрування диференційних рівнянь стану електричних систем. Однокрокові й багатокрокові явні методи. Аналіз точності розв'язування. Джерела похибок та методи їх зменшення.

Стійкість методів інтегрування систем диференційних рівнянь. Неявні методи, їх переваги. Системні методи Ракитьського Демірчана, фундаментальна матриця та методи її обчислення.

Організація автоматизованого аналізу перехідних процесів електричних систем та алгоритми реалізації. Метод кусково-аналітичного розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь та його застосування при аналізі електроенергетичних систем із нелінійними елементами.


Література: [1, с. 229-317; 3, 79-210, 237-245; 10, с. 5-39, 55-79; 11, с. 194-228].


Методичні вказівки

При вивченні цього матеріалу слід в першу чергу мати чітке уявлення про те, що будь-які перехідні процеси в електричних системах описуються диференціальними рівняннями, а це, в свою чергу, потребує певних знань з математичного аналізу щодо методів їх розв'язань. Слід розуміти, що формування рівнянь за методом змінних стану представляє раціональну форму цих рівнянь, коли похідні від змінних стану можуть бути обчислені через самі змінні стану й величини джерел електричної енергії. Недоліки методів вузлових напруг та контурних струмів полягають в тому, що вони не дають змоги сформувати рівняння динаміки в нормальній формі задачі Коші. Треба розглянути конкретні приклади формування рівнянь стану слід за допомогою топологічної матриці, методом графів, а також із використанням методу суперпозиції. Для чисельного розв'язання рівнянь стану треба засвоїти наближені методи, з яких в першу чергу слід звернути увагу на методи Ейлера та Рунге Кутта. Треба мати уявлення про джерела похибок і способи підвищення точності методів, при цьому оцінку похибки слід проводити в порівнянні з представленням функції рядом Тейлора. Необхідно знати про причини появи нестійкості чисельних методів та про явище жорсткості систем диференціальних рівнянь динамічних режимів. У зв'язку з необхідністю подолання проблем жорсткості треба звернути увагу на неявні методи розв'язування та застосування системних матричних методів на основі матричної експоненти. Слід звернути увагу на способи обчислення матричної експоненти, матричні дії з нею, включаючи операції диференціювання та інтегрування, а також на загальний вигляд вирішення систем рівнянь динамічних режимів, поданих у вигляді рівнянь стану. При розгляді динамічних режимів нелінійних електроенергетичних систем слід приділити увагу розгляду кусково-лінійної апроксимації та алгоритми автоматичного пошуку рішення з урахуванням послідовності перемикань кусково-лінійних ключових елементів.


^ Запитання для самоконтролю

Як записують в загальному вигляді диференціальне рівняння за формою задачі Коші?

Які переваги має форма задачі Коші для розв'язування диференціального рівняння?

Які електричні величини відіграють роль змінних стану для електричних систем?

Які переваги має метод змінних стану в порівнянні з методами контурних струмів та вузлових напруг?

Охарактеризуйте суть перетворень повної системи рівнянь електричної системи до форми рівнянь змінних стану.

Як повинні бути замінені резистивні струми і напруги для одержання рівнянь за змінними стану?

Поясніть застосування методу суперпозиції для формування рівнянь змінних стану. Наведіть приклад для простої електричної системи.

Які матричні співвідношення дозволяють отримати рівняння для змінних стану?

Як можна за допомогою сигнальних графів отримати рівняння для змінних стану?

Як можна перетворити рівняння змінних стану до рівнянь з постійними або синусоїдними джерелами електричної енергії?

Поясніть геометричну суть однокрокових методів чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.

Як визначають порядок методу чисельного інтегрування диференціальних рівнянь?

Які фактори зумовлюють похибку в процесі чисельного інтегрування диференціальних рівнянь?

Від яких факторів залежить стійкість чисельних методів інтегрування диференціальних рівнянь? Наведіть приклад прояву чисельної нестійкості.

У чому полягає суть неявних методів інтегрування диференціальних рівнянь. Які переваги вони мають перед явними методами?

Як можна виразити для лінійної електричної системи рівняння для змінних стану?

Що являє собою системна матриця, які способи її обчислення можна застосувати?

Поясніть суть системних методів чисельного інтегрування диференціальних рівнянь за методикою Ракитського Демірчана?

Опишіть алгоритм автоматизованого формування систем рівнянь за методом змінних стану.

У чому суть кусково-лінійної апроксимації нелінійних характеристик електричних двополюсників?

Як застосовують метод припасовування для аналізу динаміки нелінійних систем перетворення електричної енергії?

Поясніть алгоритми уточнення моментів перемикання напівпровідникових діодів та тиристорів при аналізі динамічних режимів електричних систем перетворення електроенергії.


^ 2.6.Основи теорії стійкості режимів енергетичних систем

Структурні схеми та характеристики систем. Алгебраїчні критерії стійкості Гурвіца, Рауса, Михайлова і Найквіста. Задача аналізу стійкості електроенергетичної системи.


Література: [1, с. 326-343; 11, с. 111-131].


Методичні вказівки

При вивченні основ теорії стійкості слід звернути увагу на визначення понять статичної та динамічної стійкості, а також математичного тлумачення цих досліджень, що зводяться до оцінки стійкості розв’язань диференціальних рівнянь стану при відповідних збуреннях. На цьому базуються методи Ляпунова, які зводяться до аналізу коренів характеристичного рівняння відповідно до двох теорем. Теоретичні викладки слід проілюструвати прикладами. Розглядаючи основні ланки структурних схем, треба звернути увагу на рівняння їх передавальних функцій, а також на класифікацію зворотнього зв’язку на жорсткий і гнучкий. Із алгебраїчних критеріїв стійкості слід вивчити критерії Гурвіца і Рауса, а також проілюструвати їх застосування прикладами. Із частотних критеріїв стійкості звернути увагу на критерій Михайлова. Крім того, слід знати суть способу D-розбиття. Необхідно уявляти постановку та розв’язання задачі аналізу динамічної стійкості режиму енергетичної системи в загальному вигляді.


Запитання для самоконтролю

Які існують види збурень електричних систем?

Що називають статичною і динамічною стійкістю системи?

У чому полягає суть першого методу Ляпунова?

Сформулюйте теореми першого методу Ляпунова.

Роз'ясніть суть другого методу Ляпунова.

Сформулюйте необхідну і достатню умову асимптотичної стійкості рівноваги.

Запишіть рівняння типових ланок структурних схем (пропорційної, аперіодичної, диференційної, інтегральної, запізнення, коливної, суматора).

Як виражають передавальну функцію розімкненої системи?

Які формули застосовують для перетворень структурних схем? Наведіть приклад.

Як можна знаходити передавальну функцію структурної схеми за допомогою формули Мейсона? Наведіть приклад.

Поясніть суть критеріїв Гурвіца і Рауса.

Що називається частотною характеристикою функції?

У чому полягає спосіб D-розбиття?

Як формулюється задача аналізу динамічної стійкості режиму електроенергетичних систем в загальному вигляді?


^ 2.7.Застосування теорії ймовірностей в задачах електроенергетики

Основні теореми ймовірностей, випадкові величини в електроенергетиці. Математичні основи теорії надійності.


Література: [1, с. 344-391].


Методичні вказівки

Розглядаючи питання теорії ймовірностей, необхідно з’ясувати основні поняття і теореми, а також вміти застосовувати їх для обчислення реальних завдань, пов’язаних з електроенергетикою. Слід знати, що застосування теорії ймовірностей можливо, наприклад, у зв’язку з випадковістю процесів розподілу навантаження електричних мереж, а також при розгляді процесів пошкодження обладнання , які також мають випадковий характер. Слід звернути увагу на теореми Чебишева і Маркова, а також на практичне застосування теореми Бернуллі. Треба уявляти визначення статистичних законів розподілу випадкових величин, побудову гістограм. Слід вивчити основні положення теорії випадкових функцій,елементи теорії інформації, сутність методу Монте-Карло щодо задач електроенергетики. Особливу увагу треба приділити математичним основам теорії надійності,а також вміти розраховувати надійність елементів систем і систем в цілому на основі аналізу способів з’єднання елементів цієї системи.


Запитання для самоконтролю

Чому електроенергетичні системи потребують застосування теорії ймовірностей?

Сформулюйте теорему додавання та множення ймовірностей.

Як виглядає формула повної ймовірності?

Яким законам розподілу ймовірностей підпорядковуються дискретні випадкові величини в електроенергетиці?

Які закони можуть описувати неперервні випадкові величини в електроенергетиці?

Які числові характеристики застосовують для оцінки окремих особливостей випадкових величин?

Опишіть методику оцінки збитків за рахунок відхилення напруги приймачів.

У чому полягає методика визначення оптимального числа резервних агрегатів?

Сформулюйте теореми Чебишева і Маркова про середнє арифметичне спостережених значень.

Як застосовується теорема Бернуллі при розв'язуванні практичних задач?

Що являє собою простий статистичний ряд, статистична функція розподілу? Як будується гістограма?

За якими формулами обчислюють статистичне математичне сподівання, статистичну дисперсію, коефіцієнт кореляції?

Як використовується критерій згоди Колмогорова в задачах електроенергетики? Наведіть приклад.

Що називається довірчим інтервалом та довірчою імовірністю?

Які властивості мають ергодичні випадкові функції?

Що являє собою ентропія і в чому полягає теорема додавання ентропій?

Що розуміють під методом Монте-Карло, в чому його суть?

Визначте поняття надійності.

Як обчислюють інтенсивність відмови?

Як умови сполучення елементів впливають на надійність системи.


^ 2.8.Методи оптимізації у задачах електроенергетики

Основи лінійного математичного програмування, симплексний метод.

Нелінійне програмування, чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування. Деякі задачі нелінійного програмування електроенергетичних систем.

Література: [1, с. 392-454; 11, с. 89-111].


Методичні вказівки

Вивчання методів оптимізації щодо завдань електроенергетики слід здійснювати з огляду на те, що проектування електричних систем потребує вибору найкращих варіантів, які приносять найвищу ефективність енергопостачання. Тому треба опанувати основні терміни і показники завдань отримання оптимальних рішень, а також класифікацію завдань і методів оптимізації. Слід звернути увагу на постановку та методи розв’язування задач лінійного програмування, у тому числі на розв’язування транспортної задачі, задачі оптимізації паливно-енергетичного балансу. Вивчаючи задачі нелінійного програмування, треба приділити увагу чисельним методам розв’язання таких задач, у тому числі таким, як методи перебору, покоординатної оптимізації, метод Ньютона, метод штрафних функцій, метод деформованого багатограника. Слід також мати уявлення про динамічне і стохастичне програмування.


Запитання для самоконтролю

У чому полягає задача оптимізації, що називають цільовою функцією?

Перелічіть відомі вам методи розв'язування задач оптимізації.

У чому полягає метод неозначених множників Лагранжа?

Які множини і функції називають опуклими?

Роз'ясніть геометричний сенс задачі лінійного програмування.

У чому полягає алгоритм розв'язування задачі лінійного програмування за допомогою симплексного методу?

Сформулюйте основну теорему двоїстості для задачі лінійного програмування.

Як формулюється і розв'язується транспортна задача?

Роз'ясніть алгоритм методу узагальнених потенціалів для розв'язування мережної транспортної задачі.

Які задачі електроенергетичних систем можуть бути сформульовані як задачі лінійного програмування?

Як класифікуються задачі нелінійного програмування?

Опишіть алгоритми методів перебору та покоординатної оптимізації.

У чому полягає суть методу випадкового пошуку?

На чому засновані градієнтні методи оптимізації?

Як математично описується алгоритм обчислень за методом Ньютона?

Роз'ясніть суть методу штрафних функцій.

Наведіть приклади задач нелінійного програмування електроенергетичних систем.

У чому полягає суть принципу оптимальності Беллмана?

Опишіть стадії розв'язування задачі динамічного програмування.

3.^ ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ

РОБОТИ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЇЇ ВИКОНАННЯ


У розрахунковій графічній роботі необхідно скласти систему рівнянь за методом змінних стану для заданої електричної системи і привести її до подання у матричній формі.

Електрична система задається орієнтованим графом за топологією, яка надана у табл. 1 і 2. У табл. 1 наведена топологія загального неорієнтованого графа, за допомогою чого з’ясовується спосіб сполучення елементів в узлах. Табл. 2 вказує конкретні елементи для варіанта завдання, що розташовані на місцях ребер неорієнтованого графа.


Таблиця 1

Номер

ребра

1

2

3

4

5

6

7

8

Початковий

вузол

1

1

1

2

3

2

3

4

Кінцевий

вузол

2

3

4

3

4

5

5

5


Послідовність виконання завдання полягає в наступному:


Накреслити схему електричної системи.

Зазначити номери вузлів та прийняті напрями струмів в елементах системи.

Накреслити орієнтований граф електричної системи.

Вибрати дерево орієнтованого графа.

Скласти топологічну матрицю за умови зазначеного вибору дерева.

Скласти топологічні рівняння електричної системи в матричній формі.

Розкрити матричні операції та отримати топологічні рівняння у скалярній формі.

Доповнити топологічні рівняння компонентними.

Отримати з повної системи рівнянь рівняння за методом змінних стану.

Перетворити отримані рівняння у матричну форму.

За допомогою математичного програмного пакету отримати чисельне розв’язання системи рівнянь за методом змінних стану при заданих початкових умовах для змінних стану.

Побудувати часові діаграми для змінних стану на заданому відрізку часу.

Таблиця 2

№ варіанта

^ Позиція елемента

E1

C1

C2

R1

R2

L1

L2

J1

1

1

4

5

3

6

7

2

8

2

7

4

5

2

6

1

3

8

3

3

5

7

8

4

1

2

6

4

6

4

1

2

8

7

5

3

5

3

2

4

1

6

8

7

5

6

6

1

8

3

2

4

7

5

7

5

1

4

3

8

6

7

2

8

4

6

1

8

2

5

7

3

9

1

2

3

4

6

5

8

7

10

2

7

8

5

6

4

1

3

11

1

4

5

6

3

2

7

8

12

3

4

2

6

1

8

7

5

13

3

7

5

4

8

2

1

6

14

5

1

4

8

3

7

6

2

15

7

5

4

2

6

1

3

8

16

2

8

7

6

5

1

4

3

17

6

8

1

2

3

7

4

5

18

5

4

6

2

8

1

3

7

19

5

4

6

2

8

3

1

7

20

4

5

2

6

8

1

3

7

21

4

5

6

2

3

8

7

1

22

2

5

8

4

1

3

6

7

23

4

7

8

3

6

1

2

5

24

2

3

4

1

5

6

7

8

25

8

5

3

2

1

4

6

7

26

4

1

5

3

8

7

6

2

27

5

4

1

3

6

2

7

8

28

8

4

7

3

6

2

1

5

29

1

4

6

7

8

3

5

2

30

8

5

4

1

7

2

3

6

31

7

4

8

3

6

1

2

5

32

5

4

1

3

6