Лекция: Группа. Моделирование экологических систем

· Зависимость роста численности популяции от рож­даемости и смертности

Постановка задачи

Рассмотрим систему, в которой численность особей популяции за­висит только от естественной рождаемости и смертности. Пищи в та­кой системе хватает всем, экология не нарушена, жизни ничто не уг­рожает. Это некий “шведский социализм” или “образцовый рай”.

Математическая модель

Пусть: КР — коэффициент рождаемости за один год;

КС — коэффициент смертности за один год.

Например, КР=0,03 означает, что в течение некоторого периода времени на каждые 100 особей рождается 3 новых. Или, иначе, при­рост равен 3%. Для человека таким периодом может быть год, для бактерий или мух, к примеру, срок более короткий.

Математические формулы изменения численности можно записать так:

рост численности с учетом рождаемости:

Ч(I+1)=Ч(I)+Ч(I)*КР=Ч(I)*(1+КР);

падение численности с учетом смертности:

Ч(I+1)=Ч(I)-Ч(I)*КС=Ч(I)*(1-КС);

общее изменение численности:

Ч(I+1)=Ч(I)*(1+КР-КС),

где I — номер периода, Ч(I) — число особей через I периодов, Ч(I+1) — число особей спустя (I +1) периодов.

Вычислительный эксперимент

Выполнить моделирование популяции. Построить график «Зависимость роста численности популяции от рождаемости и смертности».

· Рождаемость и смертность с учетом роста числен­ности

Постановка задачи

Как правило, численность популяции зависит не только от рож­даемости и смертности, но и от ограниченности пищевых и других ресурсов. Ранее мы определяли численность популяции по фор­муле:

Ч(I+1)=Ч(I)*(1+КР-КС).

Эту формулу можно записать как:

Ч(I+1)=Ч(I)*К,

где К — обобщенный коэффициент рождаемости и смертности — кон­станта.

На самом деле этот коэффициент должен за­висеть от меняющейся численности, т. е. являться функцией F(Ч). Дей­ствительно, как только численность превышает некоторый предел, воз­никает дефицит жизненного пространства и пищевых ресурсов и, как результат, растет смертность среди особей популяции. Такие явления наблюдаются не только в популяциях животных и насекомых, но и среди людей в тех странах, где рождаемость бесконтрольно растет.

Общий вид функции F(Ч) зависит от особенностей изучаемого биологического вида и окружающей его среды. Мы будем считать, что F(Ч) является линейной функцией, т. е. самой простой зависимостью. В об­щем виде линейную функцию F(Ч) можно задать следующей формулой:

F(Ч)=A*(1-B*Ч),

где А — обобщенный коэффициент устойчивости вида. Его величина отражает соотношение рождаемости и смертности среди особей, обита­ющих в благоприятных условиях. Чем выше А, тем более плодовит вид и выше выживаемость молодых особей. В — коэффициент среды обитания, определяется параметрами среды обитания биологического вида (площадь обитания, количество пищи и др.).

Математическая модель

С учетом линейной зависимости обобщенного коэффициента рож­даемости и смертности от общего числа популяции численность вида изменяется во времени следующим образом:

Ч(I+1)=Ч(I)*F(Ч)=Ч(I)*А*(1-B*Ч(I)),

где I — номер периода, Ч(I) — число особей через I периодов, Ч(I+1) — число особей спустя (I+1) периодов.

Вычислительный эксперимент

Выполнить моделирование популяции. Построить график «Рождаемость и смертность с учетом роста числен­ности».

Коэффициент устойчивости вида А=2,5 Коэффициент среды В=0,001. Выполнить моделирование и при других А и В.