Лекция: МИНИМУМА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Из курса математического анализа известны следующие условия минимума функции n переменных.

1. Если в точке х0ÎEnфункция f(x) дифференцируема и достига­ет локальногоминимума, то

f ¢(х0) = 0 или, j = 1,…, n (3.12)

(необходимое условие минимумa). Точки, в которых выполнено усло­вие (3.12), называются стaционaрными точкaми дифференцируемой функции f(x).

2. Если в стационарной точке х0ÎEn, функция f(x) дважды дифференцируема и матрица ее вторых производныхf ¢¢(х0) положительно определена, то х0есть точка локального минимума f(x) (достаточное условие минимумa).

Условия 1 и 2 лежат в основе классического метода минимизации функций, дифференцируемых во всем пространстве En. Приведем алгоритм этого метода.

Шаг 1. Решив систему уравнений (3.12), найти все стационарные точки функции f(x).

Шаг 2. Используя достаточные условия минимума, среди стаци­онарных точек функцииf(x) найти точки локального минимума и, срав­нивая значения функции в них, определить точки глобального мини­мума.

Пример 3.1. Классический метод минимизации.

Решить задачу f(x) = x21 + x22 + x23 +x1 — x3 – x2x3 ® min.

Шаг 1. Запишем систему (3.12):;;. Решив ее, получим стационарную точку

Шаг 2.Находим гессиан f "(х0) =.Так как, согласно критерию Сильвестра, эта матрица положительно определена, заключаем что х0является точкой минимума функцииf(x).

Минимальное значение f *» f(х0)= -19/12.

Замечание. Классический метод минимизации функций многих переменных имеет ограниченное практическое применение в основном из-за трудностей в аналитическом решении системы уравнений (3.12). Кроме того, на практике часто аналитическое за­дание функции неизвестно, а ее значения получают в результате измерений.