Лекция: Метод итераций.

Пусть требуется решить уравнения вида f(x)=0 (1), где f(x) — непрерывная функция.

Чтобы методом итераций найти решение уравнения (1) его необходимо преобразовать к виду x=j(x) (2). Зададим начальное приближение x0и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим значение х1. Подставив значение х1 в правую часть уравнения (2) получим х2. Продолжая этот процесс неограниченно получим последовательность приближений к корню xk+1=j (xk), k ³ 0 (3)

Условие сходимости метода.

Теорема. Пусть в некоторой d-окрестности корня x функция j дифференцируема и удовлетворяет неравенству

|j'(x)|£ g, где 0 < g < 1 — константа.

Тогда независимо от выбора начального приближения x(0) из указанной d-окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности и справедлива следующая оценка погрешности: ||xi+1-xi||£e. Неравенство (5) означает, что метод простой итерации обладает линейной скоростью сходимости.

Геометрическая интерпретация метода.

На рис.1 (а) видно, что корень уравнения (1) является абсциссой точки пересечения графиков двух функций y=x и y=j(x). В случаях (а) и (б) метод простой итерации сходится при произвольном начальном приближении. В случаях (в) и (г) метод расходится при любом начальном приближении. Замечено, что в случаях (а) и (б) |j'(x)|<1, а в случаях (в) и (г) |j'(x)|>1.

еще рефераты
Еще работы по информатике