Лекция: Глобальный и условный экстремумы

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция имеет в точке заданной области глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или, соответственно, выполняется для любой точки .

Теорема (Вейерштрасса): если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области, где она непрерывна, можно руководствоваться следующим:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области .

Замечание. Если граница области определения функции состоит из нескольких частей, например, треугольник или прямоугольник, то находят наибольшее и наименьшее значения функции на каждой части, а затем сравнивают.

Граница области аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Условный экстремум.Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют, уравнениям

, (46.1)

Предполагается, что функции и имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (46.1) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство ( ) имеет место для всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.

Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.

Условными экстремумами именуются условные максимум и минимум.

В случае функции двух переменных задача о нахождении точек условного экстремума решается двумя способами.

Если представляется возможным, то из уравнения связи в результате функция преобразуется в функцию одной переменной, что даёт возможность решения задачи известными методами.