Лекция: Линейная свертка
Если ЛПР может не только ранжировать критерии, но и дать сравнительную количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется обобщенный показатель вида
, (10.17)
где Сi — положительные числа, отражающие веса критериев в структуре предпочтений ЛПР. При групповом ЛПР Ci находятся по индивидуальным весам одним из методов обработки экспертных оценок. Обычно значения Сi нормируются так, чтобы =1. Как следует из теоремы 5, точка максимума функции (10.17) при положительных Сi является эффективной.
Данный способ решения многокритериальной задачи имеет существенные недостатки. Во-первых, большие затруднения возникают при определении весов. Одно дело – расположить критерии по важности, и совсем другое — оценить на сколько или во сколько один критерий важнее другого. Во-вторых, неизвестна связь между значениями весов и значениями критериев в точке максимума F(Х). Очень часто эта зависимость оказывается существенно нелинейной (даже в линейных задачах), включая зоны нечувствительности значений fi к изменению Ci. Поэтому для получения решения, удовлетворяющего ЛПР, приходится максимизировать F(X) для нескольких наборов Сi. Наконец, заметим, что в свертке (10.17) целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения. С этой целью лучше представлять критерии в относительных единицах, беря за базовое максимальное или желаемое значение. Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная многокритериальная проблема.
Пример 10.1. Рассмотрим задачу линейного программирования с тремя критериями: максимизировать
f1(X)=-3x1+ 2x2,
f2(X)= 4x1+3x2,
f3(X)=2x1-5х2
при условиях
2x1+3x218,
2x1+x2 10,
x1,x2 0.
Допустимая область и линии равного уровня критериев показаны на
рис.10.9. Максимальное значение функции f1(X) равно 12 и достигается в точке А(0,6), при этом =18, =-30; max f2(X)=24 в точке В(3,4), где =-1 и =-14; mах f3(Х)=10 в точке С(5,0), в которой =-15 и =20. Если взять свертку с равными весами, то есть
то результат максимизации F(Х), как легко убедиться, совпадает с максимизацией одной функции f3(Х).Таким образом, при равных весах решение по линейной свертке дает наилучшее значение f3 и наихудшее для f1. Используя параметрическое программирование, можно определить диапазон значений Ci (зону нечувствительности), в котором оптимальное решение по F(Х) будет оставаться в точке С.