Лекция: Множители Лагранжа.
Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных, что и целевая функция .
Пусть решается задача определения условного экстремума функции при ограничениях, .
Составим функцию:, (47.1) которая называется функцией Лагранжа. Где — постоянные множители Лагранжа.
Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если — доход, соответствующий плану, а функция — издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то, — цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка – равновесная, действительная цена).
функция n + m переменных .
Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений: (47.2)
Легко заметить, что, т.е. в (47.1) входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции сводится к нахождению локального экстремума функции .
Таким образом, определение экстремальных точек методом Лагранжа включает следующие этапы:
1. Составляют функцию Лагранжа.
2. Находят частные производные от функции Лагранжа и приравнивают их нулю.
3. Решая систему уравнений (47.2), находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значение функции в этих точках.
Задача о потребительском выборе.
В теории потребления предполагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и ограничением для него является величина дохода, которую он может потратить на приобретение набора товаров.
В общем, задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) записывается следующим образом: найти такой потребительский набор, который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.
Задачу потребительского выбора(для n-мерного набора) можно записать в виде:
, (48.1)
Задача потребительского выбора (для случая набора из двух товаров): найти такой набор, для которого
, (48.2)
.
Решение:
Рис. 48.1
Поиск оптимального набора графически можно изобразить как последовательный переход на кривые безразличия более высокого уровня полезности (см. рис. 48.1) вправо и вверх до тех пор, пока эти кривые имеют общие точки с бюджетным множеством. Из рисунка следует, что искомая точка лежит на границе G, т.е. на прямой .
Таким образом, задача потребительского выбора сводится к задаче на условный экстремум функций двух переменных: найти точку, для которой: .
Второе уравнение выражения называется уравнением связи.
Для решения задачи используем метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
, (48.3)
где l — множитель Лагранжа.
Из (48.3) следует экономический смысл множителя Лагранжа: если цены и доход меняются в одно и то же число раз l, то функция полезности и решение задачи потребительского выбора не изменятся. Для нахождения максимума функции приравняем к нулю все три частные производные этой функции, получим систему уравнений:
(48.4)
Исключив из этих уравнений l, получим систему двух уравнений с неизвестными,: (48.5)
Из системы находится точка — решение задачи потребительского выбора.
Вернемся к n-мерному набору. Итак, точка лежит на границе G и удовлетворяет условию. Поэтому задача потребительского выбора формулируется аналогично в виде задачи на условный экстремум: при заданных функции, векторе и величине найти такую точку, что:
(48.6)
Составим функцию Лагранжа: (48.7)
Для нахождения максимума функции приравняем к нулю все частные производные этой функции, получим систему уравнений:
(48.8)
Исключив из уравнений множитель l, получим систему:
(48.9)
Решение системы — точка условного экстремума. Это решение общей задачи потребительского выбора. Точка называется точкой локального рыночного равновесия. Первое выражение системы (48.9) показывает, что отношение предельных полезностей продуктов в точке локального рыночного равновесия, или предельная норма замены i-го продукта j-м продуктом, равно отношению рыночных цен на эти продукты.