Лекция: Перевод из 2 с.с в 16 с.с

Число необходимо разбить на тетрады, справа налево, если цифр нехватает добавляем нули.

001010012=2916

0,110101002=0,D416

ДОП

Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной системы в другую. Арифметика.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа с помощью цифр и сложность выполнения арифметических операций. В ряде систем счисления числа записывают как последовательности цифр. Такие системы подразделяются на позиционные и непозиционные (например: римская). Система счисления называется позиционной если одна и та же цифра имеет различные значения, определяющееся ее позицией в последовательности цифр, которое изображает число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Говорят, что задана р-ичная позиционная система исчисления, если фиксируется р специальных символов (цифр) и каждое число в этой системе представляется в виде х=±(bnpn+bn-1pn-1+ ...+b0p0), где любая цифра biÎ{a0, a1, ...,ap-1}. При этом для числа х возможна сокращенная форма х=±bn, bn-1, ..., b0. Примером позиционной системы является десятичная система счисления, для нее основание р=10, база (последовательность целых чисел) ее не отрицательна и состоит из 10 цифр, начиная 0 и кончая 9. Последовательность цифр числа, расположенных слева от запятой — целая часть числа; справа от запятой — дробная часть. Пример: x=386, 042, х=3*102+8*101+6*100+0*10-1+4*10-2+2 *10-3.

Наибольшее распространение в ЭВМ имеет двоичная система счисления. Используются только 0 и 1. Число 2 (основание системы) записывают как 10. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. 110110(2) = 1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+0*20=54(10).

В восьмеричной системе счисления используется 8 цифр: 0..7. Основание системы (8) записывают как 10. Пример: 54,05(8)=5*81+ 4*80+0*8-1+5*8-2=44,4(10).

В 16-тиричной системе используется 16 цифр 0..15. При этом чтобы одну цифру не изображать 2-мя знаками ввели специальные обозначения для цифр больше 9 (A, B, C, D, E, F). Основание системы (16) записывается как 10. Пример: А36(16)= 10*162+3*161+6*160=310(10).

Смешанные с.с.: процесс перевода из одной с.с. в другую дело трудное. Для того чтобы облегчить этот процесс используют смешанные с.с. Для каждой цифры отводится одинаковое количество разрядов (4), дописывая нули.

75,8(10)®0111 0101, 1000(2-10)®

Запись числа в двоичной системе и в 2-10 с.с. не совпадают. Любую последовательность 2-ых цифр можно рассматривать как число в 2-ой с.с., но не любую последовательность м.о. рассматривать как число 2-10 с.с.

Перевод чисел из одной с.с. в другую: наиболее прост перевод чисел из р — ичной системы в q — ичную (или обратно), если имеет соотношение р=qк (к — целое положительное) и обе системы имеют либо не отрицательные или симметричные базы. В этом случае перевод из р — ичной с.с. в q — ичную производят поразрядно, заменяя каждую р — ичную цифру равным ей к — разрядным числом, записанным в q — ичной системе счисления. Перевод из q — ичной системы в р — ичную при этом производят следующим образом. Двигаясь от запятой вправо и влево, разбивают q — ичную запись числа на группы по к цифр. Если при этом самая левая и правая группа окажется неполной, имеющей меньше знаков, чем представление наибольшего числа р — ичной цифры в q — ичной системе счисления, к ним приписывают соответственно слева и справа столько нулей, чтобы каждая из них содержалак цифр. После этого каждую группу q — ичных цифр заменяют одной р — ичной цифрой = числу, обозначенному этой группой q — ичных цифр. Пример: 273,54(8) переводится в 2 — ую с.с. (8=23): 273,54(8)= (010) (111) (011), (101) (100)= 10111011,1011; 11011,0011® в 8 — ую с.с. (8=23): 11011,0011= 11(011),(001)1=(011)(011),(001) (100)= 33,14.

Перевод числа из р — ичной в q — ичную, когда базы обоих систем не отрицательны, и р¹qк , производится отдельно для целой и дробной частей числа.

Комбинируя правила перехода можно произвести переход числа из одной системы счисления в другую п.с.с.

Арифметика:

Сложение, умножение, деление чисел представленных в р-ичной позиционной с.с. выполняется весьма просто с использованием таблиц, подобно тому, как это делают в 10-ой с.с. Умножение числа на основание системы р сводится к переносу запятой на один разряд вправо, а деление на р — на один разряд влево.

р=2 0+0=0 0*0=0 0-0=0

0+1=1 1*0=0 1-0=1

1+0=1 0*1=0 1-1=0

1+1=10 1*1=1 10-1=1

р=3 {0, 1, 2}

0+0=0 0+1=1 0+2=2

1+0=1 1+1=2 1+2=10

2+0=2 2+1=10 2+2=11

0*0=0 0*1=0 0*2=0

1*0=0 1*1=1 1*2=2

2*0=0 2*1=2 2*2=11

Пример: