Лекция: Движение к экстремуму методом крутого восхождения.

Движение к экстремуму осуществляется по направлению градиента (антиградиента) функции отклика у.

Вектор градиента определяет направление наискорейшего возрастания функции и для

равен:

где

— единичные векторы в направлении осей координат;

— проекции вектора градиента на оси координат

Для m = 2 движение методом крутого восхождения можно представить:

— центры планов эксперимента первого порядка (ПФЭ)

— центр плана эксперимента второго порядка (ОЦКП)

Последовательные координаты поиска экстремума в факторном пространстве определяются по формуле:

, где

h — задаваемый фактор шага по направлению вектора-градиента;

s — номер точки экспериментирования;

— движение к максимуму (+) или к минимуму (-);

Величина y здесь определяется из уравнения регрессии, которое является линейным относительно факторов и коэффициентов:

Это уравнение используется для локального описания поверхности отклика в областях, далёких от её экстремального значения.

Ограниченная область факторного пространства, где справедливо это уравнение регрессии, задаётся центром области – центром плана эксперимента:

и интервалом (точнее, полуинтервалом) варьирования факторов:

Для локальной области факторного пространства уравнение регрессии записывается с кодированными факторами:

где

В результате минимальному значению фактора соответствует zj = -1, максимальному — zj = 1, а центру плана эксперимента – точка с координатами zj = 0, j = 1, …m

Коэффициенты уравнения регрессии с кодированными факторами отличаются от коэффициентов уравнения регрессии с натуральными значениями факторов xj и определяются из полного факторного эксперимента (ПФЭ), проведённого в рассматриваемой ограниченной области.

Одним из таких свойств является свойство ротатабельности, которое характеризует равную предсказательную способность уравнения регрессии с кодированными факторами на одинаковом расстоянии от центра плана.

Для характеристики предсказательной способности уравнения регрессии используется оценка дисперсии выходной переменной , которая из-за статистической независимости коэффициентов и их одинаковой дисперсии в случае ПФЭ определяется по формуле:

где

— одинаковая для всех коэффициентов оценка дисперсии ,

где

n — число опытов ПФЭ

— дисперсия воспроизводимости выходной переменной у, определяемая по параллельным опытам

ρ2 — квадрат расстояния из центра плана до рассматриваемой точки факторного пространства:

Величина, обратная , принимается за меру точности уравнения регрессии.

Точность уравнения для убывает пропорционально квадрату радиуса сферы ρ2 и одинакова для всех эквидистантных точек.

Поэтому в факторном пространстве нельзя выделить ни одно предпочтительное направление, и вектор градиента ( )не хуже, в смысле предсказания величины выходной переменной у, чем любое другое направление.

Однако вектор-градиент ( ) характеризует направление наискорейшего возрастания функции у и в этом смысле движение по нему является наиболее предпочтительным.

Для определения координат вектора-градиента ( ) используется адекватное уравнение регрессии, полученное по результатам ПФЭ:

Задаётся фактор шага h, и из центра плана ПФЭ ( — начальное приближение) выполняется шаг по градиенту в сторону экстремального значения функции отклика, определяются координаты нового центра плана в факторном пространстве — .

Здесь снова проводится ПФЭ, обрабатываются его результаты, вычисляется новое направление вектора-градиента:

по которому выполняется шаг

в сторону экстремума. Процедура последовательного экспериментирования продолжается до тех пор, пока не будет достигнута область, близкая к экстремальному значению функции отклика.

Близость почти стационарной области может быть установлена с помощью t – критерия Стьюдента путём оценки значимости различия между экспериментальными и расчётными величинами в центре плана.

Условие близости экстремума функции отклика имеет вид:

где

fe = k – 1 — число степеней свободы

k — число параллельных опытов

β — заданная доверительная вероятность (обычно 0,95)

Оглавление