Практическая работа: Шпоры по эконометрике

--PAGE_BREAK--№8. ПРИМЕНЕНИЕ МНК К МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени y=a+a1x+a2x2+εзаменяя переменные x=x1,x2=x2, получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+ε

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется харак­тер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравнива­ем к нулю первую производную параболы второй степени: <img width=«76» height=«17» src=«ref-1_658673052-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_658673217-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"><img width=«150» height=«56» src=«ref-1_658673290-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> Решение ее возможно методом определителей:

<img width=«40» height=«31» src=«ref-1_658673920-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> <img width=«42» height=«34» src=«ref-1_658674067-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> <img width=«40» height=«34» src=«ref-1_658674227-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">
В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо­ванным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нели­нейных по переменным, при оценке параметров исходят из кри­терия <img width=«75» height=«22» src=«ref-1_658674375-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным дан­ным результативного признака, а к их преобразованным величи­нам, т. е.lny, 1/y. Так, в степенной функции <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_658674559-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> МНК применяется к преобразованному уравнению lny= lnα+ β lnxlnε. Это значит, что оценка параметров основывается на миними­зации суммы квадратов отклонений в логарифмах.<img width=«94» height=«17» src=«ref-1_658674701-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> Соответственно если в линейных моделях <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_658674900-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, <img width=«76» height=«20» src=«ref-1_658675093-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">.Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.



№9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

1.   Линейнаяy = a + bx + <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_658675288-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, y′ = b, Э= <img width=«34» height=«30» src=«ref-1_658675373-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">.

2.   Парабола 2 порядка y= a+bx+ c<img width=«14» height=«16» src=«ref-1_658675522-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> +<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_658675288-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">, y′ = b+ 2cx, Э = <img width=«60» height=«30» src=«ref-1_658675696-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">.

3.   Гиперболаy = a+b/x +<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_658675288-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, y′=-b/<img width=«19» height=«21» src=«ref-1_658676010-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, Э= <img width=«39» height=«34» src=«ref-1_658676109-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">.

4.   Показательная y=a<img width=«19» height=«14» src=«ref-1_658676266-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, y′ = ln<img width=«29» height=«18» src=«ref-1_658676362-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, Э = xlnb.

5.   Степенная y= a<img width=«19» height=«21» src=«ref-1_658676475-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"><img width=«13» height=«15» src=«ref-1_658675288-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, y′ = <img width=«28» height=«14» src=«ref-1_658676656-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, Э = b.

6.   Полулогарифмическая y= a+ blnx+ε, y′ = b/x, Э = <img width=«40» height=«26» src=«ref-1_658676761-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">.

7.   Логистическая <img width=«73» height=«33» src=«ref-1_658676909-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">, y′= <img width=«62» height=«37» src=«ref-1_658677097-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, Э = <img width=«48» height=«27» src=«ref-1_658677315-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.

8.   Обратная y = <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_658677480-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, y′ = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_658677629-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, Э = <img width=«33» height=«29» src=«ref-1_658677792-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">.



№ 10  ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ


1.         индекс корреляции (R
):<img width=«76» height=«30» src=«ref-1_658677935-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

Величина данного показателя находится в границах: 0 ≤ R
≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых призна­ков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

2.         индекс детерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейной регрессии по F— критерию Фишера:

<img width=«97» height=«32» src=«ref-1_658678202-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, где R2— индекс детерминации, n— число наблюдений, m– число параметров при переменной х.


№11. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИИ МОДЕЛИ.

Регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь.Поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии: y
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
+…+
bpxp
+
e
;Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj
— частныепроизводные потребления у по соответствующим факторам xi
:<img width=«166» height=«20» src=«ref-1_658678448-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, в предположении, что все остальные хiпостоянны.В 30-е гг. XXв. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неод­нократно обращались к проблеме ее совершенствования. Совре­менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C
=
j
(
y
,
P
,
M
,
Z
), где   С — потребление; у  — доход; Р —  цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z
— ликвидные активы. При этом <img width=«74» height=«17» src=«ref-1_658678725-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">.. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо­димо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко­личественного измерения, то ему нужно придать количествен­ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов)2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда Ryx1<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_658678900-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">Rx1x2.Для зависимостиy
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
+…+
bpxp
+
e
может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываютсяне интерпретированными.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показа­тель детерминации R
2
, который фиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре­грессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели фак­торов оценивается как 1 — R
2
с соответствующей остаточной дис­персией S2
.При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:<img width=«83» height=«14» src=«ref-1_658678988-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.Насыщение модели лишними факторами не только не снижа­ет величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качест­венного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подби­раются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии. Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если <img width=«46» height=«18» src=«ref-1_658679158-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">. Ес­ли факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочте­ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множест­венной регрессии как метода исследования комплексного воз­действия факторов в условиях их независимости друг от друга.Наибольшие труд­ности в использовании аппарата множественной регрессии воз­никают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимос­тью. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна­чать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полно­стью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто­ра в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежела­тельно в силу следующих последствий:1.затрудняется интерпретация параметров множественной  ре­грессии как характеристик действия факторов в «чистом» ви­де, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;2оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стан­дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний.Для оценки мультиколлинеарности факторов может исполь­зоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреля­ции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Для включающего три объ­ясняющих переменных уравнения:y
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
+
b
3
x
3
+
e
.Матрица коэф-в корреляции м/у факторами имела бы определитель равный 1. Det<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_658679290-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">=1, т.к. rx1x1=rx2x2=1 и rx1x2=rx1x3=rx2x3=0. Если м/у факторами сущ-ет полная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такой матрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной кор­реляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
№12. ЧТО ОЗНОЧАЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФАКТОРОВ И КАК ОНО МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО ГРАФИЧЕСКИ?

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т. е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если y=f(x1,x2,x3), то возможно пост­роение следующего совмещенного уравнения: y
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
x
2
+
b
3
x
3
+
b
12
x
1
x
2
+
b
13
x
1
x
3
+
b
23
x
2
x
3
+
e
.Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие перво­го порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включе­ние в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по F-критерию Фи­шера. Если анализ совмещенного уравнения показал значи­мость только взаимодействия факторов х1 и х3, то уравнение бу­дет иметь вид: y
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
x
2
+
b
3
x
3
+
b
13
x
1
x
3
+
e
.Взаимодействие факторов х1 и х3 означает, что на разных уровнях фактора х3 влияние фактора х1 на у будет неодинаково, т. е. оно зависит от значений фактора х3. На рис. взаимодейст­вие факторов представляется непараллельными линиями связи с результатом у. И, наоборот, параллельные линии влияния факто­ра x1на у при разных уровнях фактора х3 означают отсутствие вза­имодействия факторов х1 и х3. Графики:

 а— х1 влияет на у, причем это влияние одинаково как при х3=В1, так и при х3=В2(одинаковый наклон линий регрессии), что означает отсутствие взаи­модействия факторов х1 и х3;
б
— с ростом х1 результативный признак yвозрастает при х3 = В1; с ростом х1 результативный признак у снижается при х3 = В2… Между х1 и х3 существу­ет взаимодей-вие. Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений.Решению проблемы устранения мультиколлинеарности фак­торов может помочь и переход к уравнениям приведенной фор­мы. С этой целью в уравнение регрессии производится подста­новка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.
    продолжение
--PAGE_BREAK--№13. ИНТЕРПРИТАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ. СМЫСЛ СУММЫ
bi
В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ
bi
>1
. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ СРАВНИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ ВОЗДЕЙСТВИЯ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТ.

Функция потребления: С=К*у+L, где С-потребление, у-доход, К и L-параметры функции.(у=С+I, I-размер инвистиций). Предположим, что функция потребления составила :С= 1,9 + 0,65 *у .Коэффициент регрессии характеризует склонность к потреблению. Он показывает, что изкаждой тысячи дохода на потреб­ление расходуется в среднем 650 руб., а 350 руб. инвестируются. В производственных функциях: <img width=«129» height=«14» src=«ref-1_658679395-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

где Р — количество продукта, изготавливаемого с помощью т производст­венных факторов (F1, F
2
,...,
Fm
);
b
-параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты b
каждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичностей: В=
b
1
+
b
2
+...+ Ьт. Эта величина фиксирует обобщенную харак­теристику эластичности производства.

При практических расчетах не всегда <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_658679577-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.Она может бытькак больше, так и меньше единицы. В  этом случае величина В фиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с рос­том каждого фактора производства на 1 % в условиях увеличива­ющейся (В > 1) или уменьшающейся (В < 1) отдачи на масштаб. Так, если Р = 2,4* F<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_658679719-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> *F20,7* F30,2, то с ростом значений каж­дого фактора производства на 1 % выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на 1,2 %.
№14. НАЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ.  Ранжирование факторов, участву­ющих во множественной линейной регрессии, может быть прове­дено через стандартизованные коэффициенты регрессии,с помо­щью частных коэффициентов корреляции — для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включе­ния того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характери­зуют тесноту связи между результатом и соответствующим фак­тором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отно­шение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнитель­ного включения в анализ нового фактора к остаточной диспер­сии, имевшей место до введения его в модель.

Частные коэффициенты корреляции измеряющие влияние на у фактора хi  при неизменном уровне др. факторов можно определить по формуле:

<img width=«194» height=«29» src=«ref-1_658679811-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> ;  <img width=«230» height=«35» src=«ref-1_658680136-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">

При  двух факторах и i=1 данная формула примет вид:

<img width=«146» height=«31» src=«ref-1_658680614-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.
№15. ЧАСТНЫЙ
F
-КРИТЕРИЙ,  ЕГО ОТЛИЧИЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
F
-КРИТЕРИЯ, СВЯЗЬ МЕЖДУ СОБОЙ
t
— КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗНАЧИМОСТИ
bi

И ЧАСТНЫМ
F
-КРИТЕРИЕМ
.

Ввиду корреляции м/у факторами значимость одного и того же фактора м/б различной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частый F-критерий, т.е. Fxi. В общем виде для фактора xiчастый F-критерий определяется как :

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_658673217-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"><img width=«194» height=«35» src=«ref-1_658680993-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

Если рас­сматривается уравнение y
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
+
b
3
x
3
+
e, то определяются последовательно F-критерий для уравнения с од­ним фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включе­ния в модель фактора х2, т. е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3, т. е. дается оценка значимости фактора х3 после включения в модель факто­ров x1их2. В этом случае F-критерий для дополнительного вклю­чения фактора х2 после х1 является последовательнымв отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частнымF-критерием, ибо оценивает значи­мость фактора в предположении, что он включен в модель по­следним. С t-критерием Стьюдента связан именно частный F-критерий. Последовательный F-критерий может интересовать исследователя на стадии формирования модели. Для уравненияy
=
a
+
b
1
x
1
+
b
2
+
b
3
x
3
+
eоценка значимости коэффициентов регрессии Ь1, Ь2,,b
3
предпола­гает расчет трех межфакторных коэффициентов детерминации, а именно: <img width=«34» height=«22» src=«ref-1_658681360-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">,<img width=«34» height=«21» src=«ref-1_658681494-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">,<img width=«35» height=«22» src=«ref-1_658681626-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> и можно убедиться, что существует связьмежду собой t— критерия Стьюдента для оценки значимости biи частным F-критерием:

 <img width=«72» height=«33» src=«ref-1_658681759-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> На основе соотношения biи <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_658681961-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> получим:

<img width=«158» height=«67» src=«ref-1_658682061-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"><img width=«181» height=«34» src=«ref-1_658682633-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">
№16 ПРЕДПОСЫЛКИ МНК.

При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_658683026-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, которая представляет собой ненаблюдаемую величину.

Исследования остатков <img width=«12» height=«18» src=«ref-1_658683108-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">— предполагают проверку наличия сле­дующих пяти предпосылок МНК:1.случайный характер остатков; 2.нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;

3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения <img width=«14» height=«23» src=«ref-1_658683193-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">, одинакова для всех значений х; 4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков <img width=«14» height=«22» src=«ref-1_658683283-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, распределены независимо друг от друга; 5.остатки подчиняются нормальному распределению.

1. Проверяется случайный характер остатков <img width=«12» height=«18» src=«ref-1_658683108-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">, с этой целью строится график зависимости остатков <img width=«15» height=«22» src=«ref-1_658683456-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> от теоретических значений результативного признака.  Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки<img width=«12» height=«18» src=«ref-1_658683108-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, представляют собой случайные величины и МНК оправдан, те­оретические значения уххорошо аппроксимируют фактические значения y. В других случаях необходимо либо применять дру­гую функцию, либо вводить дополнительную информацию и за­ново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки<img width=«16» height=«24» src=«ref-1_658683629-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, не будут случайными величинами.

2.Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней ве­личины остатков означает, что <img width=«22» height=«13» src=«ref-1_658683721-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">(у — ух) = 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно вклю­чаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_658683807-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> от теоретических значений ре­зультативного признака ухстроится график зависимости случай­ных остатков<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_658683902-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">  от факторов, включенных в регрессию хi. Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_658683988-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">
 и хjто модель неадек­ватна. Причины неадекватности могут быть разные.

3.В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, что­бы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора xj
остатки<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_658684078-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остат­ков<img width=«16» height=«22» src=«ref-1_658684163-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">  — одинакова для каждого значения х.

4.Отсутствие автокор­реляции остатков, т. е. значения остатков <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_658684251-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> распределены неза­висимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии.
№17. СУЩНОСТЬ АНАЛИЗА ОСТАТКОВ ПРИ НАЛИЧИИ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ. КАК МОЖНО ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ ГОМО- ИЛИ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ ОСТАТКОВ. ОЦЕНКА ОТСУТСТВИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ОСТАТКОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ  МОДЕЛИ.

 С этой целью строиться график зависимости остатков ei
 от теоретических значений результативного признака:

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки eiпредставляют собой случайные величины и МНК оправдан, те­оретические значения уххорошо аппроксимируют фактические значения у.

Возможны следующие случаи:если eiзависит от  уx
, то:   1.остаткиeiне случайны.2. остатки ei, не имеют постоянной дисперсии. 3.Остатки  eiносят систематический характер  в дан­ном случае отрицательные значения ei, соответствуют низким значениям ух, а положительные — высоким значениям. В этих случаях необходимо либо применять дру­гую функцию, либо вводить дополнительную информацию.

Как можно проверить наличие гомо- или гетероскедастичноси остатков? Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков ei
одинакова для каждого значения х.Если  это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет по мере увеличения х;б — дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается при минимальных и максимальных значениях х; в — максимальная дисперсия остатков при

малых значениях х  и дисперсия остатков однороднапо мере увеличения значений х. Графики  гомо- и гетеро-ти.

Оценка отсутствия автокорреляции остатков(т.е. значения остатков
ei
 распределены независимо друг от друга).Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между ei
 и ej
 , где ei
 — остатки текущих наблюдений,
ej
   — остатки предыдущих наблю­дений, может быть определен  по обычной формуле линейного коэффициента корреляции <img width=«90» height=«28» src=«ref-1_658684340-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">. Если этот коэффициент окажется существенно отличным от ну­ля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероят­ности F(e) зависит j-й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения. Для регрессионных моделей по статической информации ав­токорреляция остатков может быть подсчитана, если наблюдения упорядочены по фактору х. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динами­ки, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динами­ческого ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уров­ней.
№18 СМЫСЛ ОБОБЩЕННОГО МНК
.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреля­ции ошибок рекомендуется традиционный МНКзаменять обобщенным методом. Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Обобщенный МНК для корректировки гетерос-ти. В общем виде для уравнения  yi=a+bxi+eiпри <img width=«59» height=«16» src=«ref-1_658684563-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> где Ki– коэф-т пропор-ти. Модель примет вид: yi=<img width=«18» height=«14» src=«ref-1_658684705-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">+<img width=«16» height=«18» src=«ref-1_658684790-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">xi+<img width=«26» height=«15» src=«ref-1_658684884-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">ei.В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафик­сированные в ходе i-го наблюдения на <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_658684994-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">. Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной.От регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: y
/<img width=«28» height=«16» src=«ref-1_658685097-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> и х/<img width=«28» height=«15» src=«ref-1_658685209-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">. Уравнение регрессии примет вид: <img width=«172» height=«13» src=«ref-1_658685320-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">. По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешен­ную регрессию, в которой переменные у их взяты с весами <img width=«34» height=«18» src=«ref-1_658685544-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">. Коэф-т регрессии bможно определить как <img width=«64» height=«31» src=«ref-1_658685669-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b
представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Модель примет вид: <img width=«160» height=«13» src=«ref-1_658685894-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">. Модель с преобразованными переменными составит

<img width=«232» height=«12» src=«ref-1_658686096-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Это уравнение не содер-т свобод-го члена, применяя обычный МНК получим: <img width=«244» height=«14» src=«ref-1_658686325-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то­му, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменны­ми.



№19. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ.

<img width=«14» height=«28» src=«ref-1_658686588-111.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных  уравнений. Различают несколько видов систем уравнений: 1. Система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

 y
1
=
a
11
*
x
1
+
a
12
*
x
2
+…+
a
1
m
*
xm
+
e
1              Для решения этой системы и нахождения ее параметров

yn=an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en            используетсяМНК.

2.Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

<img width=«14» height=«33» src=«ref-1_658686699-117.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1

y2=b21*y1+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2

y3=b31*y1+b32*y2+a31*x1+a32*x2+…+a3m*xm+e3

yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется МНК.

3 Система взаимосвязанных уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую.

<img width=«14» height=«26» src=«ref-1_658686816-112.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">y1=b12*y2+b13*y3+…+b1n*yn+a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1

y2=b21*y1+b23*y3+…+b2n*yn+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2

yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные – взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у. Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты aи bпри переменных – структурные коэффициенты модели. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы  — приведенная форма модели.

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_658686928-130.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029"><img width=«184» height=«14» src=«ref-1_658687058-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">  где <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_658687270-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> — коэффициенты приведенной формы модели.

<img width=«184» height=«12» src=«ref-1_658687359-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

D+1=H–уравнение идентифицируемо;

D+1<H– уравнение неидентифицируемо;

D+1>H– уравнение сверхидентифицируемо.

Где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D– число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

 Достаточное условие идентификации- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом  уравнении на равен нулю и ранг этой матрицы не менее эндогенных переменных без единицы. Для решения идентифицируемого уравнения применяется  КМНК, для решения сверхидентифицируемых — двухшаговый МНК.

    продолжение
--PAGE_BREAK--№20 КМНК. Применяется в случае точно идентифицируемой модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов: 1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения обычным МНК. 2. путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

№21 ДВУХШАГОВЫЙ  МНК. (ДМНК)

Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифи­цируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок   теоретических   значений   эндогенной   переменной <img width=«108» height=«14» src=«ref-1_658687552-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при опре­делении структурных коэффициентов модели по данным теоре­тических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

•           все уравнения системы сверхидентифицируемы;

•           система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно
идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполь­зуется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой

модели:  

<img width=«84» height=«26» src=«ref-1_658687737-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> 

Данная модель может быть получена из предыдущей иденти­фицируемой модели:  

<img width=«84» height=«26» src=«ref-1_658687985-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

 если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12 =a11

В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н=1 (у1),

D
=1(х2)  и D+1 > Н.  Второе уравнение не изме­нилось и является точно идентифицируемым: Н = 2 и D
=1

На первом шаге найдем приведенную форму модели, а

именно:

<img width=«84» height=«26» src=«ref-1_658688222-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

ДМНК является наиболее общим и широко распространен­ным методом решения системы одновременных уравнений.   

Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.
№22 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА.  


Временной ряд — это совокупность значений какого-либо по­казателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

•          факторы, формирующие тенденцию ряда;

•          факторы, формирующие циклические колебания ряда;

•          случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство времен­ных рядов экономических показателей имеют тенденцию, харак­теризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправ­ленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в сово­купности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.  Рис1

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от­раслей экономики зависит от времени года рис2 Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цикли­ческой компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.  Рис3

 В большинстве случаев фактический уровень временного ря­да можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в ко­торой временной ряд представлен как произведение перечислен­ных компонент, называется мультипликативной моделью времен­ного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количествен­ного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

№23. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА


 Корреляционную зависимость между последова­тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного ко­эффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид: <img width=«112» height=«32» src=«ref-1_658688464-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

можно определить коэффициенты автокорреля­ции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент авто­корреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уt
и yt-1
 и определяется по формуле:

<img width=«88» height=«44» src=«ref-1_658688821-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции, уменьшается. 

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. 

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров­нях ряда. 

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага на­зывается коррелограммой.
№24. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА (АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАВНИВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА)

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

•           линейный тренд: <img width=«40» height=«13» src=«ref-1_658689164-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> 

•           гипербола:<img width=«42» height=«12» src=«ref-1_658689289-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">                                                                                 ,

•           экспоненциальный тренд: <img width=«37» height=«15» src=«ref-1_658689406-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> 

•           тренд в форме степенной функции: <img width=«29» height=«13» src=«ref-1_658689526-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

•           парабола второго и более высоких порядков: <img width=«103» height=«13» src=«ref-1_658689631-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой перемен- 1 ной — фактические уровни временного ряда yt.Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэф­фициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни уt
и уt
-1
   тес­но коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, напри­мер, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции пер­вого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет вы­ше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уров­ням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изуча­емом временно м ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит не­линейную тенденцию, можно осуществить путем перебора ос­новных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректи­рованного коэффициента детерминации R
2
и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффи­циента детерминации. 

№;25.  ММЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ТЕНДЕНЦИЙ. МЕТОД ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ТРЕНДА.


Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исклю­чения тенденции можно разделить на две группы:

•          методы, основанные на преобразовании уровней исходного
ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полу­ченные переменные используются далее для анализа взаимо­связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в
данной группе — это метод последовательных разностей и
метод отклонений от трендов;

•          методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных
уровней временных рядов при элиминировании воздействия
фактора времени на зависимую и независимые переменные
модели. В первую очередь это метод включения в модель рег­рессии по временным рядам фактора времени.
Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из перечисленных выше методов.  Метод отклонений от тренда

Пусть имеются два временных ряда  xtи ytкаждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту е. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни  <img width=«25» height=«12» src=«ref-1_658689805-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты  Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи ря­дов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда <img width=«27» height=«13» src=«ref-1_658689905-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> и <img width=«25» height=«12» src=«ref-1_658690009-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> при условии, что последние не содержат тенденции.

№26. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ
.

Вряде случаев вместо аналитического выравнивания времен­ного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод — метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную  тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней рядацепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Пусть (1)<img width=«41» height=«13» src=«ref-1_658690107-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> ; <img width=«43» height=«14» src=«ref-1_658690227-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

Тогда <img width=«163» height=«28» src=«ref-1_658690355-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">                                                                                                     
(6.3)Тогда

Коэффициент b
— константа, которая не зависит от времени.  

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (1), однако <img width=«75» height=«16» src=«ref-1_658690706-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

Тогда <img width=«125» height=«40» src=«ref-1_658690874-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

Как показывает это соотношение, первые разности ∆t, непо­средственно зависят от фактора времени t
и, следовательно, со­держат тенденцию.

Определим вторые разности:

<img width=«144» height=«39» src=«ref-1_658691290-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

Очевидно, что вторые разности ∆t2, не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме пара­болы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспо­ненциальный или степенной тренд, метод последовательных раз­ностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их ло­гарифмам.

№27. ВКЛЮЧЕНИЕ В МОДЕЛЬ РЕГРЕССИИ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ.


В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздей­ствие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздейст­вие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широкоиспользуется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида <img width=«85» height=«13» src=«ref-1_658691770-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">относится к группе моделей, включающих фактор времени. Оче­видно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только те­кущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной. Преимущество данной модели по сравнению с методами от­клонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исход­ных данных, поскольку значения ytи хt
есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокуп­ности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b
модели с включением фактора вре­мени определяются обычным МНК.  

Система нормальных уравнений имеет вид: <img width=«216» height=«36» src=«ref-1_658691933-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

№28.АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ. КРИТЕРИЙ ДАРБИНА-УОТСОНА.


Существуют два наиболее распространенных метода опреде­ления автокорреляции остатков. Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение
наличия или отсутствия
автокорреляции.Второй метод — использо­вание критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины

<img width=«60» height=«44» src=«ref-1_658692430-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">  (1)

Таким образом, dесть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадра­тов по модели регрессии. Можно предположить  что: <img width=«45» height=«14» src=«ref-1_658692650-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> , предположим также <img width=«46» height=«24» src=«ref-1_658692770-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

Коэффициент автокорреляции остатков оп­ределяется как

<img width=«48» height=«46» src=«ref-1_658692928-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">С учетом (3) имеем: <img width=«69» height=«48» src=«ref-1_658693125-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

Таким образом, если в остатках существует полная положи­тельная автокорреляция и <img width=«42» height=«12» src=«ref-1_658693417-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> , то d
= 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то <img width=«52» height=«12» src=«ref-1_658693517-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> и, следовательно, d
= 4.Если автокорреляция остатков отсутствует, то <img width=«37» height=«12» src=«ref-1_658693622-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> и d
= 2. Следовательно, 0≤d≤4

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина — Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Ноб отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги­потезы Н1 Н1*  состоят, соответственно, в наличии положитель­ной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по спе­циальным таблицам определяются критичес­кие значения критерия Дарбина — Уотсона dl
и du
длязаданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели к и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Если фактическое значение критерия Дарбина — Уотсона по­падает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.
    продолжение
--PAGE_BREAK--