Реферат: Розклад числа на прості множники

Реферат на тему:

Розклад числа на прості множники

Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n =, де pi – взаємно прості числа, ki ³ 1.

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x 2 – y 2. Після чого дільниками числа n будуть a = x – y та b = x + y: n = a * b = (x – y )(x + y ).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x 2 – y 2 ) можна обрати

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x 2 – y 2 = 122 – 11 = 143 = n .

Теорема. Якщо n = x 2 – y 2, то < x < (n + 1) / 2.

Доведення. З рівності n = x 2 – y 2 випливає, що n < x 2, тобто < x .

Оскільки a = n / b, то. Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x = < .

Отже для пошуку представлення n = x 2 – y 2 слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [, (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x 2 — n повним квадратом.

Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма. = 19.

202 – 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 – 32 .

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард — ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi наступним чином: x 0оберемо довільним із Zn, а xi +1 = f(xi ) mod n, i ³ 0. Оскільки xi можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n ), то існують такі цілі n 1 та n 2 (n 1 < n 2 ), що =. Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: =, тобто починаючи з індекса i = n 1 послідовність {xi mod n } буде періодичною.

Приклад. Нехай n = 21, x 0= 1, xi +1 = + 3 mod 21.

Тоді послідовність xi має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10,….

Таким чином x 3 = x 6, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність xi можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру r, тому метод який застосовується в алгоритмі називається r – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x 2i – xi, n ). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n .

Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином:

x 0= 2, xi +1 = f(xi ) = ( + 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t ³ 1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n .

1. a = 2, b = 2;

2. for i ¬ 1 to t do

2.1. Обчислити a ¬ (a 2 + 1) mod n; b ¬ (b 2 + 1) mod n; b ¬ (b 2 + 1) mod n ;

2.2. Обчислитиd ¬ НСД(a — b, n );

2.3. if 1 < d < n return (d ); // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False); // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x ) = (x 2 + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x ) = (x 2 + 1) mod n можна використовувати f(x ) = (x 2 + c) mod n, для деякого цілого c, c ¹ 0, -2.

Приклад. Нехай n = 19939.

Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217,….

a	b	d
2	2	1
5	26	1
26	19672	1
677	12391	1
19672	15217	1
11473	15217	1
12391	15217	157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15,….

a	b	d
2	2	1
5	26	НСД(21, 143) = 1
26	15	НСД(11, 143) = 11

Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x 2 º y 2 (mod n ) та x ¹ ±y (mod n ). Тоді x 2 – y 2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x – y не ділиться на n. Число d = НСД(x 2 – y 2, n ) є нетривіальним дільником n .

Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x 2 º y 2 (mod n ), при чому x ¹ ± y (mod n ).

Доведення. Нехай n = n 1 * n 2 – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n ) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n 1, n 2 ), що x 2 º y 2 (mod n ). Якщо при цьому припустити, що x º – y (mod n ), то з другого рівняння системи маємо: y º – y (mod n 2 ), або 2 * y = 0 (mod n 2 ). Оскільки було обрано НСД(y, n 2 ) = 1, то з останньої рівності випливає що n 2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n .

Приклад. Виберемо n 1 = 11, n 2 = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

або

Розв’язком системи буде x º 60 (mod 143).

Має місце рівність 602 º 52 (mod 143), при чому 60 ¹ ±5 (mod 143).

Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F = {p 0, p 1, p 2, …, pt } – множникова основа, pi – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p 0= -1. Побудуємо множину порівнянь

º zi ,

таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F :

та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом:

z = = y 2, y Î Z, fi Î {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x = і перевіривши виконання нерівності x ¹ ± y (mod n ), отри маємо x 2 º y 2 (mod n ). Число d = НСД(x 2 – y 2, n ) є нетривіальним дільником n .

Приклад. Знайти дільник числа n = 143.

Обираємо випадково число x Î [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52 .

2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7.

4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7.

Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом:

z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842

Маємо рівність:

z3 * z4 = 292 * 542 º 842 (mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) º 136, маємо:

1362 = 842 (mod 143), при чому 136 ¹ ±84 (mod 143)

Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .

Нехай n – число, яке факторизується, m =. Розглянемо многочлен

q(x ) = (x + m )2 — n

Квадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, ±1, ±2, …), обчислює значення bi = (x + m )2 – n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p 0, p 1, p 2, …, pt }.

Помітимо, що = (x + m )2 – n º (x + m )2 (mod n ) º bi (mod n ).

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n .

1. Обрати множникову основу F = {p 0, p 1, p 2, …, pt }, де p 0= -1, pi – i — те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.

2. Обчислити m = [].

3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi ).

Значення x перебираються у послідовності 0, ±1, ±2, ….

Покласти i ¬ 1. Поки i £ t + 1 робити:

3.1. Обчислити b = q(x ) = (x + m )2 – n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.

3.2. Нехай b =. Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi 1, vi 2, …, vit ), де vij = eij mod 2, 1 £ j £ t .

3.3. i ¬ i + 1.

4. Знайти підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що = 0.

5. Обчислити x = mod n .

6. Для кожного j, 1 £ j £ t, обчислити lj = () / 2.

7. Обчислити y = mod n .

8. Якщо x º ±y (mod n ), знайти іншу підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що = 0 та перейти до кроку 5.

9. Обчислити дільник d = НСД(x – y, n ).

Приклад. Розкласти на множники n = 24961.

1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}

2. m = [] = 157.

3. Побудуємо наступну таблицю:

i	x	q(x )	факторизація q(x )	ai	vi
1	-312	-23 * 3 * 13	157	(1, 1, 1, 0, 1, 0)
2	1	3	3	158	(0, 0, 1, 0, 0, 0)
3	-1	-625	-54	156	(1, 0, 0, 0, 0, 0)
4	2	320	26 * 5	159	(0, 0, 0, 1, 0, 0)
5	-2	-936	-23 * 32 * 13	155	(1, 1, 0, 0, 1, 0)
6	4	960	26 * 3 * 5	161	(0, 0, 1 ,1, 0, 0)
7	-6	-2160	-24 * 33 * 5	151	(1, 0, 1, 1, 0, 0)