Реферат: Балансовый метод планирования

УниверситетСовременных Знаний

Контрольнаяработа

по дисциплине«Моделирование экономических процессов»

студентки гр.РП3 – 9-05 Б1Ф (4,6 з)

специальностифинансы

Руденко ИриныВладимировны

Луганск — 2009


Содержание

Введение

1. Балансовый метод планирования

2. Модели Леонтьева

2.1 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

2.2 Продуктивные модели Леонтьева

3. Вектор полных затрат

4. Модель равновесных цен

Вывод

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Список литературы


Введение

Моделирование внаучных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепеннозахватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование,строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец,общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отрасляхсовременной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методологиямоделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками.Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенностала осознаваться роль моделирования как универсального метода научногопознания.Термин«модель» широко используется в различных сферах человеческойдеятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие«модели», которые являются инструментами получения знаний.Модель – это такойматериальный или мысленно представляемый объект, который в процессеисследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучениедает новые знания об объекте-оригинале.

Моделирование – этоосновной специфический метод науки, который используется для анализа и синтезасистем управления. Это особенный познавальный способ, когда субъектисследования вместо непосредственного исследуемого объекта познания выбираетили создает подобный ему вспомогательный объект – образ или модель, исследуетего, а полученные новые знания переносит на объект-оригинал. Благодаря активнойроли субъекта сам процесс моделирования имеет творческий, активный характер.

Под моделированиемпонимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связанос такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процессмоделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения поаналогии, и конструирование научных гипотез.Главная особенностьмоделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощьюобъектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания,который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которогоизучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделированияопределяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез,других категорий и методов познания.

Для анализа и синтезасистем управления в экономике используют различные экономико-математическиеметоды и модели. Важными является условие и особенности их применения взависимости от цели исследования, принятой системы гипотез и т.д.

Необходимостьиспользования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (илипроблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсеневозможно, или же это исследование требует много времени и средств.Процессмоделирования включает три элемента: субъект(исследователь), объектисследования, модель,опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Предметом моделированияэкономических процессов являются математические модели реальных экономическихобъектов. Объектом изучения моделирования экономики является экономика и еёподразделения.


1. Балансовый методпланирования

В методологиипланирования пропорций, темпов и объемных показателей ведущее место принадлежитбалансовому методу, который позволяет сравнивать народнохозяйственныепотребности с возможностями их удовлетворения, т.е. с имеющимися и и будущимиресурсами.

Разработка планасопровождается сопоставлением материальных балансов нескольких тысяч видовпродукции. Кроме того, разрабатываются балансы основных фондов ипроизводственных мощностей, балансы труда и рабочей силы, система финансовыхбалансов, транспортные, топливные и другие виды балансов. Они отражаютконкретные пропорции между общественными потребностями и ресурсами.

Баланс народногохозяйства является наиболее общей взаимосвязанной системой экономическихпоказателей, характеризующих процесс расширенного воспроизводства. Основнаязадача баланса заключается в определении на плановый период необходимого объемаи темпов роста совокупного общественного продукта, а также пропорций в егопроизводстве, распределении и конечном использовании. Схема баланса народногохозяйства включает четыре основных раздела.

Основным разделомявляется баланс совокупного общественного продукта. Он характеризуетпроизводство общественного продукта в отраслевом и социально-экономическом (поформам собственности) разрезах, его использование на производственное инепроизводственное потребление и накопление. Кроме того, в балансе содержитсяхарактеристика совокупного продукта по двум подразделениям общественногопроизводства. В баланс совокупного общественного продукта входят материальныебалансы, а также межотраслевой баланс.

Составной частью балансанародного хозяйства является баланс производства, распределения,перераспределения и конечного использования национального дохода. Он включает всебя балансы денежных доходов и расходов населения, балансы доходов и расходовпредприятий, бюджет государства и областей.

Сводный баланс трудовыхресурсов как составная часть баланса народного хозяйства характеризует трудовыересурсы государства и их использование.

Баланс основных фондов показываетдвижение основных фондов, их состав и структуру. Его составной частью являетсябаланс производственных мощностей.

Указанная системабалансов не позволяет получить общей характеристики межотраслевых связей. Онане дает развернутой характеристики распределения конкретных видов продукции встоимостном и натуральном выражении по отдельным отраслям. Поэтому важноезначение приобретает построение межотраслевого баланса производства ираспределения продукции, охватывающего движение совокупного общественногопродукта с выделением отраслей.

Синтезируя в единойтаблице частные материальные балансы, межотраслевой баланс представляет собойсистему показателей, дающих подробную характеристику воспроизводствасовокупного общественного продукта по стоимости (производство продукции –столбцы таблицы) и по натурально-вещественному составу (распределение продукта– строки таблицы) как в целом по народному хозяйству, так и по отдельнымотраслям.

По экономическомусодержанию и характеру информации выделяют две основные разновидностимежотраслевых балансов: отчетные и плановые. В свою очередь, все межотраслевыебалансы модно классифицировать в соответствии с единицами измерения продукциина стоимостные, натурально-продуктовые и трудовые. Межотраслевые балансыделятся также на статические и динамические. Статические отражают экономическиесвязи, складывающиеся в пределах определенного периода времени (обычно года).Динамические описывают динамические связи, складывающиеся в народном хозяйствеи обусловленные характером и способом распределения совокупного продукта нафонды воспроизводства.

Наряду с межотраслевымиразрабатываются региональные балансы.

Итак, рассмотримнекоторые виды моделей.


2. Модели Леонтьева

 

2.1 Модель Леонтьевамногоотраслевой экономики

Эффективное ведениенародного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями.Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производительнекоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемыхдругими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслямипользуются определенного вида таблицами – так называемыми таблицамимежотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работахсоветских экономистов, а первая таблица опубликована в ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкиевозможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах экономиста В. Леонтьева. В данной работе я представлю её основное математическое содержание.

Итак, будем предполагать,что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число nотраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разныеотрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отраслиявляется в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике даже наотдельном предприятии производится значительное разнообразие выпускаемойпродукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как«чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализсложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучитьфункционирование народного хозяйства «в первом приближении».

Итак, предполагаем, чтоимеется n различных отраслей O1, …, Оn, каждая из которыхпроизводит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасльнуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будемвести речь о некотором определенном промежутке времени [Т0,<sub/>Т1](обычнотаким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

хi – общийобъем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовойвыпуск отрасли i;

хij – объемпродукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

yi – объемпродукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере,- объем конечного потребления.

Этот объем составляетобычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые вхозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественныхпотребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры ит.д.), поставки на экспорт.

Указание величины можносвести в табл. 1.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что прилюбом i = 1, …, n должно выполнять соотношение

хi = хi1+ хi2 + … + хin + уi, (1.1)

означающее, что валовойвыпуск хi расходуется на производственное потребление, равное хi1+ хi2 + …+ хin, и непроизводственное, равное уi.Будем называть (1.1) соотношениями баланса./>

Таблица 1.1/>/>

Производственное потребление Конечное потребление Валовой выпуск

х11 х12 … х1n

х21 х22 … х 2n

……………………

х n1 хn2 … хnn

у1

у2

уn

х1

х2

хn


Единицы измерения всехуказанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.),или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостныймежотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (еслине оговорено противное) стоимостный баланс.

В. Леонтьев рассматриваяразвитие американской экономики в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важноеобстоятельство. А именно величины />ij= /> остаются постоянными втечение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемойтехнологии.

В соответствии сосказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема хjпродукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аijхj, где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря,материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Этодопущение постулирует, как говорится, линейность существующей технологии.Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, наоплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезелинейности имеем

хij = аijхi (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты аij называют коэффициентами прямыхзатрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения(1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравненийотносительно переменных х1, х2,…, хn:

х1 = а11х1 + а12 х2 + … а1n хn +у1,

х2 = а21х1 + а22 х2 + … а2n хn +у2,

…………………………………..

хn = аn1х1 + аn2 х2 + … аnn хn +уn,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а11 а12… а1n х 1 у1

А = а21 а22… а2n, х = х 2, у = у2 .

……………. … …

аn1 аn2 …аnn/> хn уn

Вектор х называетсявектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрицаА – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейногомежотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторовх и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

2.2 Продуктивныемодели Леонтьева

Определение. Матрица А ≥0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существуетрешение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модельЛеонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другимисловами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечитьпри подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4)можно записать следующим образом:

(Е – А)х = у, (2.5)

где Е – единичнаяматрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно,что если обратная матрица (Е – А)-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)-1у. (2.6)

Теорема 1 (первыйкритерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует инеотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е – А)-1существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивностьматрицы А.

Обратно, пусть матрица Апродуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А)х = е1,(Е – А)х = е2, …, (Е – А)х = еn ,

Где е1, е2,…, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силупродуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такиевекторы (столбцы) с1 ≥ 0, с2 ≥ 0, …, сn≥ 0, что

(Е – А)с1 = е1,(Е – А)с2 = е2, …, (Е – А)сn = еn (2.7)

Обозначим через Сматрицу, составленную из столбцов с1 с2, …, сn.Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е – А)С = Е.

Следовательно, матрицаЕ-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второйкритерий продуктивности).

Неотрицательнаяквадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её числоФробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательнаяматрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существуетрешение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0.Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса рТА иучитывая, что

рТАА= λАрТА, (2.8)

получим

λ А (рТАх) + рТА у = рТА х,

или

(1 – λА)(рТАх) = рТА у.

Так как рТА≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то рТАу > 0, рТАх> 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λА <1.

Обратно, пусть неотрицательнаяматрица А имеет число Фробениуса λА < 1. Покажем, что онапродуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4)существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующуюнеотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

а11 а12… а1n у1

а21 а22… а2n у2

А = …………….

аn1 аn2 …аnn уn

0 0 … 0 1

Где аij –элементы матрицы А и у1, …, уn – координаты вектора у. Вболее компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слевана вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

рТА = рТ.

Следовательно, одним изсобственных значений матрицы А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х1, …, хn, хn+1 ) = (х, хn+1) являетсясобственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы Аэторавносильно тому, что

А у х = λ х

0 1 хn+1 хn+1

или

Ах + у хn+1 = λх,

хn+1 = λхn+1. (2.9)

Если λ ≠ 1, тоиз второго соотношения системы (2.9) следует, что хn+1 = 0, в силучего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ –собственное значение матрицы А и, по нашему предположению ‌‌‌|λ|< 1. Таким образом, λА = 1 является положительным имаксимальным по модулю собственным значением, следовательно является числомФробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существуетнеотрицательный собственный вектор хА = ( хА, хn+1),соответствующий λА =1. Очевидно, что хn+1 ≠ 0,так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А этопротиворечит тому, что число Фробениуса λА < 1. Поэтому мыможем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство(2.9) принимает вид

АхА + у = хА.

Поскольку хА =(хА, хn+1) ≥ 0, то хА ≥ 0.

Следовательно, матрица Апродуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательнойматрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеетнеотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, изсуществования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λА< 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третийкритерий продуктивности).

Неотрицательная матрица Апродуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Е + А + А² + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд(2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)-1. При этом суммауказанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряданеотрицательны. Итак, матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна.Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение(если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.


3. Вектор полныхзатрат

Пусть А ≥ 0.Равенство

(Е – А)-1 = Е+ А + А2 + … (3.11)

справедливо, как мы ужезнаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А2у+ … (3.12)

В чем смысл распадениявектора х на слагаемые у, Ау, А2у и т.д.? Для получения валовоговыпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвестинабор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения унужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую векторомАу. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительныезатраты, описываемые вектором А(Ау) = А2у, и т.д. В итоге приходим кзаключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А2уи т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждениемсумму у + Ау + А2у + … называют вектором полных затрат, а сделанноевыше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с векторомполных затрат.

Чтобы сделать заключениеболее конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трехпромышленных отраслей:

1)   металлургия;

2)   электроэнергетика;

3)   угледобыча.

Для получения конечноговыпуска у = (у1, у2, у3)Т необходимопрежде всего произвести:

у1 т металла;у2 кВт.ч электроэнергии; у3 т угля.

Но для производства у1т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести)какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и вотношении производства у2 кВт.ч. электроэнергии и у3 тугля

В свою очередь, дляпроизводства у11 т металла необходимо затратить какие-то количестваметалла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляетсобой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-гопорядка (А2у) и т.д.


4. Модель равновесныхцен

Рассмотрим теперьбалансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модельравновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х1, х2, …, хn)Т – вектор валового выпуска.Обозначим через р = (р1, р2, …, рn)Т векторцен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда,например, первая отрасль получит доход, равный р1 х1.Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у другихотраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первойотрасли в объеме а11, второй отрасли в объеме а21, ит.д., n-й отрасли в объеме аn1. На покупку этой продукции ею будетзатрачена сумма, равная а11 р1 + а21 р2+ … + аn1 рn. Следовательно, для выпуска продукции вобъеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукциидругих отраслей сумму, равную х1(а11р1+а21р2+…+аn1рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленнойстоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплатузарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеетместо следующее равенство:

х1р1= х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn)+ V1.

Разделив это равенство нах1 получаем:

р1 = а11р1 + а21 р2 + … + аn1 рn+ v1,

где v1 = V1/х1– норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицувыпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р2 = а12р1 + а22 р2 + … + аn2 рn+ v2,

рn = а1nр1 + а2n р2 + … + аnn рn+ vn.

Найденные равенства могутбыть записаны в матричной форме следующим образом:

р = АТр + v,

где v = (v1, v2,…, vn)Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мывидим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с тойлишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АТ.


Вывод

Модель равновесных ценпозволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены напродукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен иинфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод – этометод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) ипотребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболеераспространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направленияиспользования ресурсов. Как правило, при применении балансового методапроизводятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланспредставляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, чтопозволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественногопроизводства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеетважное значение на предварительной стадии составления плана для осуществлениявариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а такжена последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированностиотраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработкамежотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологииоптимального планирования.

Данные полученные помодели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развитиятехнического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами,капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен наоснове сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости идр.

Межотраслевой баланс,разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построениярациональной системы цен.

Итак,балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимногосопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей вних.


Задача 1

Компания производитпродукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного иотделочного. Сведения о производстве:

Цех Продукция Вместе необходимо рабочих часов А В Сборочный 3 5 15 Отделочный 5 2 10 Валовая прибыль на единицу 5 32

Компания заинтересована внаибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надопроизводить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х1 –количество продукции вида А;

х2 –количество продукции вида В.

Строим математическуюмодель:

Fмах = 5х1+ 32х2 при условиях:

3х1 + 5х2≤ 15;

5х1 + 2х2≤ 10.

х1 ≥ 0,х2 ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решитьграфическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическимметодом запишем граничные прямые:

1) 3х1 + 5х2= 15;

2) 5х1 + 2х2= 10.

Строим граничные прямыена плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:

1)   х2 = 0; х1 = 5;х1 = 0; х2 = 3;

2)   х2 = 0; х1 = 2;х1 = 0; х2 = 5.

ОДЗ – многоугольникОАВСD.

Для определения ОДЗ(области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точкуО(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенствоудовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложенииполуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевойфункции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия).Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самаядальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней хопт.

Подставим координаты(0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

Fmах = 5*0 +3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибылиравной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.


Задача 2

Фирма дополнительноосвоила выпуск продукции четырех видов В1, В2, В3,В4. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А1,А2, А3, А4, которое фирма может ежемесячнопокупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, котороенеобходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а такжеежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.

Виды сырья Ежемесячное поступление сырья Затраты сырья на единицу каждого изделия В1 В2 В3 В4 А1 1290 2 4 6 8 А2 990 2 2 6 А3 620 1 1 2 А4 300 1 1 Прибыль от реализации единицы изделия 8 10 12 18

Построить математическуюмодель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должнапроизводить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х1 –количество продукции типа В1;

х2 –количество продукции типа В2;

х3 – количествопродукции типа В3;

х4 –количество продукции типа В4.

Строим математическуюмодель задачи:

Fmах = 8х1+ 10х2 + 12х3 + 18х4

при условиях:


2х1 + 4х2+6х3 + 8х4 ≤ 2110;

2х1 + 2х2+ 0*х3 + 6х4 ≤ 1810;

0*х1 + х2+ х3 + 2х4 ≤ 1440;

х1 + 0*х2+ х3 + 0*х4 ≤ 1120.

хj ≥ 0;j = 1,4.

Приводим системуограничений к каноническому виду:

2х1 + 4х2+6х3 + 8х4 + х5 = 2110;

2х1 + 2х2+ 6х4 + х6 = 1810;

х2 + х3 +2х4 + х7 = 1440;

х1 + х3+ х8 = 1120.

хj ≥ 0;j = 1,8.

Приводим системуограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичногобазиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямымсимплекс-методом.

№ оп.пл. Базис С bi 8 10 12 18 х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х5 2110 2 4 6 <8> 1 х6 1810 2 2 6 1 х7 1440 1 1 2 1 х8 1120 1 1 1 Fj — Сj -8 -10 -12 -18 х4 18 263,75 0,25 0,5 0,75 1 0,125 х6 227,5 <0,5> -1 -4,5 -0,75 1 х7 912,5 -0,5 -0,5 -0,25 1 х8 1120 1 1 1 Fj — Сj 4747,5 -3,5 -1 1,5 2,25 х4 18 150 1 <3> 1 0,5 -0,5 х1 8 455 1 -2 -9 -1,5 2 х7 1140 -1 -5 -1 1 1 х8 665 2 10 1,5 -2 1 Fj — Сj 6340 -8 -30 0,1667 7 /> х3 12 50 0,3333 1 0,3333 0,1667 0,1667 х1 8 905 1 1 3 0,5 0,5 х7 1390 0,6667 1,6667 0,1667 0,1667 1 х8 165 -1,333 -3,333 -0,333 -0,333 1 Fj — Сj 7840 2 10 2 2

Ответ: Fmах =7840 ед. стоимости; хопт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

Для получения прибылиравной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого итретьего вида в количествах:

В1 = 905 ед.;

В3 = 50 ед.,

При этом осталисьнедоиспользованные ресурсы в количествах:

А3 = 1390 ед.

А4 = 165 ед.


Задача 3

Для откорма группы животныхна ферме необходимо наличие в ежедневном рационе не менее как В1,единиц питательных веществ В2 и т.д. – не менее как Вm.Указанные питательные вещества содержатся в n разных кормовых продуктах,которые можно закупить.

Составить такойежедневный кормовой рацион, при котором будет удовлетворена потребность впитательных и затраты на откорм будут минимальны.

Питательные вещества Кормовые продукты

Суточная необходимость

Вi = В0 + n1

В1 В2 В3 В4 А1 1 2 2 1 64 + 9 А2 3 1 1 39 + 9 А3 2 1 3 35 + 9 Стоимость 1 кг кормов 2 1 3 4

Составить математическуюмодель и решить ЗЛП.

Решение

Введем переменные:

х1 –количество кормового продукта В1

х2 –количество кормового продукта В2

х3 –количество кормового продукта В3

х4 –количество кормового продукта В4

Строим математическуюмодель:

Fmах = 2х1+ х2 + 3х3 + 4х4

при условиях:


х1 + 2х2+ 2х3 + х4 ≥ 155;

3х2 + х3 +х4 ≥ 130;

2х1 + х2+ 3х4 ≥ 126;

хj ≥ 0;j = 1,4.

Приведем системуограничений к каноническому виду:

х1 + 2х2+ 2х3 + х4 – х5 = 155;

3х2 + х3 +х4 – х6 = 130;

2х1 + х2+ 3х4 – х7 = 126;

хj ≥ 0;j = 1,7.

Приведем системуограничений к виду удобному для решения:

х1 + 2х2+ 2х3 + х4 – х5 + х8 = 155;

 3х2 + х3+ х4 – х6 + х9 = 130;

2х1 + х2+ 3х4 – х7 + х10 = 126;

хj ≥ 0;j = 1,10.

Переменные х8,х9, х10 являются искусственными и они введены на знак«=», поэтому для корректировки задачи эти переменные вводят в целевую функцию скоэффициентом +М.

Fmin = 2х1+ х2 + 3х3 + 4х4 + Мх8 + Мх9+ Мх10.

Задача решаетсямодифицированным симплекс-методом (метод искусственного базиса).


о/п

Ба-

зис

С bi С1=2 С2=1 С3=3 С4=4 С5=0 С6=0 С7=0 С8=М С9=М С10=М Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 х8 М 155 1 2 2 1 -1 1 х9 М 130 <3> 1 1 -1 1 х10 М 126 2 1 3 -1 1 Fj — Сj -2 -1 -3 -4 М 411 3 6 3 5 -1 -1 -1 х8 М

/>

1 4/3 1/3 -1 2/3 1 х2 1

/>

1 1/3 1/3 -1/3 х10

/>

<2> -1/3 8/3 1/3 -1 1 Fj — Сj

/>

-2 -8/3

-/>

-1/3 М 151 3 1 3 -1 1 -1 х8 М 27

</>>

-1 -1 1/2 1/2 1 х2 1

/>

1 1/3 1/3 -1/3 х1 2

/>

1 -1/6 4/3 1/6 -1/2 Fj — Сj 126 -3 -1 -1 М 27 3/2 -1 -1 1/2 1/2 х3 3 18 1 -2/3 -2/3

1/3/>

<1/3> х2 1

/>

1 5/9 2/9 -4/9 -1/9 х1 2

/>

1 11/9 -1/9 2/9 -4/9 Fj — Сj 180 -3 -2 1 х6 54 3 -2 -2 1 1 х2 1

/>

1 4/3 -1/3 -2/3 1/3 х1 2

/>

1 -2/3 5/3 1/3 -2/3 Fj — Сj 126 -3 -1 -1

Каждый опорный планпроверяем на оптимальность.

В 5-м опорном плане виндексной строке все разности Fj — Сj ≤ 0,следовательно этот план является оптимальным (F→min).

Можно записать ответ:

Fmin = 126ед.стоимости,

Хопт = (97/3 =32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).

Для получения минимальнойсебестоимости на изготовление кормовой продукции равной 126 ед. ст. необходимовключить в план кормовые продукты 1-го В1 = 32,33 ед. и второго видаВ2 = 61,33 ед. и остались недоиспользованы ресурсы по А3в количестве 54 ед.


Задача 4

С четырех карьеров к тремкерамическим заводам перевозят глину.

Карьеры Керамические заводы

Мощность карьера

Вj = Воj + n

В1 В2 В3 А1 15 6 12 45 + 9 А2 4 6 8 38 + 9 А3 24 21 5 23 + 9 А4 12 9 12 84 Вj + Воj + n 70 + 9 65 + 9 55 + 9 190 + 3*9

Сделать математическуюпостановку задачи и спланировать перевозку глины на керамические заводы так,чтобы транспортные затраты были минимальны.

Решение

Данная задача относится ктипу транспортных задач линейного программирования и её математическая модель всокращенной форме записи будет выглядеть так:

m n

Smin = />ΣΣ Cij<sub/>Хij,

i=1 j=1

при условиях по ресурсам:

n

Σ хij = Аi,, i = 1,m

j=1

m

Σ хij = Вj, j = 1,n

i=1

хij ≥ 0; i = 1,m; j = 1,n.


Существует два видамоделей:

m n

закрытая Σ Аi<sub/>= ΣВj;

i=1 j=1

m n

открытая Σ Аi<sub/>≠ ΣВj.

i=1 j=1

Если в условии задачидана открытая модель, то её нужно привести к закрытой, путем введенияфиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозок, но нольсчитается как максимально большое число. Закрытую модель можно решить методом потенциалов.

Проверяем в данной задачетип модели:

Σ Аi =217; Σ Вj = 217.

Строим первый опорныйплан по правилу минимального элемента:

Поставщики Потребители U В1 = 79 В2 = 74 В3 = 64 А1 = 54

 15

32- ρ

 6

22 + ρ

12 U1 = 0 А2 = 47

 4

47

6 8 U2 = -11 А3 = 32 24 21

 5

32

U3 = -4 А4 = 84

 12

 9

52-ρ

 12

32

U4 = 3 V V1 = 15 V2 = 6 V3 = 9 Smin = 1812

Далее делается проверкасистемы ограничений:

n m =

Σ хij = Аi,, Σ хij = Вj,

j=1 i=1

убеждаемся, что всересурсы распределены и потребители удовлетворены максимальным образом.

Проверяем план навырожденность: количество заполненных клеток должно быть равно: m + n – 1 = 4 +3 – 1 = 6.

Считаем стоимостьперевозок:

Smin = 15*32 +6*22 + 4*47 + 5*92 + 9*52 + 12*32 = 1812.

Так как неизвестно, являетсяли этот план оптимальным, т.е. стоимость перевозок = 1812 ед.ст. или её можноуменьшить, то проверим каждую свободную клетку на оптимальность, а для этогонеобходимо найти потенциалы U и V, они находятся для заполненных клеток поформуле:

Сij = Ui+ Vj, хij > 0.

После чего проверяемсвободные клетки на оптимальность по формуле:

Sij = Сij– (Ui + Vj) ≥ 0.

Оказалось, что однаклетка не оптимальна S41 = -6.

Ставим в эту клетку +ρ– это величина для перераспределения ресурсов. От этой клетки строим циклпересчета – это многоугольник любой конфигурации с прямыми циклами,расположенными в заполненных клетках. По углам этого цикла (прямоугольника)ставим +ρ и –ρ, чтобы был баланс по строкам и столбцам.

Определяем величинуперераспределения груза (ресурсов):

ρ = min {32;52} =32.

Строим новый опорныйплан:


Поставщики

Потребители U В1 = 79 В2 = 74 В3 = 64 А1 = 54 15

 6

54

12 U1 = 0 А2 = 47

 4

47

6 8 U2 = -5 А3 = 32 24 21

 5

32

U3 = -4 А4 = 84

 12

32

 9

20

 12

32

U4 = 3 V V1 = 9 V2 = 6 V3 = 9 Smin = 1620

и весь алгоритмповторяется снова:

Smin 2 = 6*54 + 4*47 + 5*32 + 12*32 + 9*20 + 12*32 = 324 + 188 + 160+ 384 +180+ + 384 = 1620.

Все Sij ≥0, следовательно 2-й опорный план является оптимальным.

Ответ: минимальнаястоимость перевозок равна 1620 ед. стоимости.

Поставки глины: х12= 54 т; х21 = 47 т; х33 = 32 т; х41 = 32 т; х42= 20 т; х43 = 32 т.


Список литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование впримерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

2. Архангельский Ю.С., Коваленко И.И.Межотраслевой баланс. – К.: Выща шк. Головное изд-во, 1988.

3. Ашманов С.А. Введение в математическуюэкономику. – М.: Наука, 1984.

4. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи,принципы, методология. – М.: Наука, 1980

5. Вивальнюк Л.М. Елементи лінійногопрограмування. – К.: Вища школа, 1975.

6. Гейл Д. Теория линейных экономическихмоделей. – М.: ИЛ, 1963.

7. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейноепрограммирование (теория, методы и приложения). – М.: Наука, 1969.

8. Данциг Дж. Линейное программирование,его обобщения и приложения. – М.: Прогресс, 1966.

9. Деордица Ю.С., Нефедов Ю.М.Исследование операцій в планировании и управлении. – К.: Вища школа, 1991.

10. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. –М.: Наука, 1972.

11. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.:Вища школа, 1979.

12. Исследование операций. / Под ред. Н.С.Кремера. – М.: Бизнес и банки, ЮНИТИ, 1997.

13. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическоепрограммирование. – М.: Высшая школа, 1980.

14. Карпелевич Ф.М., Садовский Л.Е. Математическоепрограммми-рование. – И.: Наука, 1967.

15. Лотов А.В. Введение вэкономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984.

16. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч.Ч.1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – 2-е изд., перераб.и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006.

17. Математические методы и модели в планированиии управлении. Сборник задач. К.: Вища школа, 1985.

18. Терехов Л.Л., Куценко В.А.Ж, Сиднев С.П.Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. – К.:Вища школа, 1984.

еще рефераты
Еще работы по экономико-математическому моделированию