Реферат: Исследование статистических характеристик случайной последовательности

МинистерствоОбразования Республики Таджикистан

ТаджикскийТехнический Университет

имени М.С.Осими

Кафедра«АСОИиУ»

Лабораторнаяработа №1

На тему: Исследованиестатистических характеристик

случайнойпоследовательности.

Душанбе-2010

Лабораторнаяработа №1. Исследование статистических характеристик случайнойпоследовательности

 

Цель работы:

1.Освоение методов оценкизакона распределения и вероятностных характеристик случайнойпоследовательности: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклоненияи автокорреляционной функции.

2.Освоение методапроверки гипотезы о законе распределения по критерию согласия хи- квадратПирсона.

3.Исследование свойствбазовой псевдослучайной последовательности.

Теоретическиесведения.

Оценка вероятностныххарактеристик.

Числоваяпоследовательность Х1, Х2,… Хn,статистические характеристики которой требуется определить считаетсяреализацией стационарной эргодической случайной последовательности Х1, Х2,… хn. Вероятностные характеристикислучайной последовательности неизвестны и подлежат оценке с помощьюсоответствующих статистических характеристик числовой последовательности. Привероятностном моделировании последовательности Х1, Х2,… хn представляет собой совокупностьрезультатов отдельных опытов. В данной лабораторной работе в качестве такойпоследовательности Х1, Х2,… хnрассматриваются псевдослучайные числа вырабатываемые генератором, построеннымна М – последовательности (датчиком случайных чисел) в котором

M= g ⁿ -1 (1)

Где М – общее количествочисел, вырабатываемых генератором

g-основание системы исчисления

n- Количество разрядов в генераторе.

Генератор строится набазе регистра Хi(i=1,n), состоящего из ячеек, в которые записываются целые числа от1 до g. Случайные числа М-последовательности снимаются с последнего элемента Хn. Числа записанные в ячейки Xm и Xnскладываются по модулю g

R= Xm + Xn (2)

И приводится сдвиг чиселв регистре:

Xn-i= Xn-j-I (i=0,..n-2) (3)

В первую ячейкузаписывается содержимое сумматора Xi=R

Такая процедураповторяется М – раз, в процессе которой получается исследуемая базоваяпсевдослучайная последовательность Х1, Х2,… хn, где M=N. Для данной последовательности рассчитываютсяее вероятностные характеристики.

Математическоеожидание M(Xi)=mоценивается по формуле:

 

m* =1/N ∑ Xi (5)

Дисперсия Dxоценивается по формуле:

 

Dx= 1/n-1∑(xi-mx)² (6)

Среднеквадратическоеотклонение оценивается по формуле:

n

(м*=1/n∑xi) δ*= √D* (7)

i=1

Aавтокорреляционная функция(нормированная) представляет собой последовательность коэффициентов корреляции,зависящих от величины сдвига, как от аргумента.

K(r)=1/D ·M[(xi — m)(xi + r-m)]

Ее оценка вычисляется:

K*(r)=1/D*(N-r-1)n-2∑i=1[(xi-m*)(xi+r-m*)]=1/D*(1/N-r-1)n-2∑i=1xixi+r-(N-r)/(N-r-1)m* (8)

 

Оценка законараспределения.

Одномерный законраспределения при большом объеме последовательности оценивается статистическимрядом, графическое изображение которого называется гистограммой. При маломобъеме последовательности, когда N непревосходит несколько десятков, используется статистическая функцияраспределения, называемая также выборочной и эмпирической.

Для построениягистограммы диапазон возможных значений элементов последовательности разбиваетсяна е участков точками U1,U2,Ue

/>

/>Крайние точки Uo и Ue могут быть бесполезными. Длины участков ΔU могут быть необязательноодинаковыми. Если они различны, то чаще всего называются так, чтобы вероятностипопадания на все участки были одинаково близки друг к другу. В связи с тем, чтомоделируемый генератор вырабатывает целые случайные числа от 1 до g, то участки выделяются точками U1=1;U2=2;Ue=g.

Статистический ряд- этосовокупность чисел V1,V2,Ve, где Vj0-количество элементов последовательности, удовлетворяющее неравенствуUj-1 < Xi < Uj т.е попавших в j–участок. Графическое представление статистического ряда, т. Е гистограмму,удобно строить в относительных величинах. Поэтому производится нормировка:

 

e

∑ Vj / N=1 (9)

i=1

Статистическая (выборочная, эмпирическая) функция распределения F*(X) является оценкой для интегральнойфункции распределения и вычисляется по формуле :

/>0, если X<X1

F*(X)= k/n, если Хk<Х<Хk+1

1, если X>Xn (k=1,2,..N-1) (10)

Где Xk-тый элемент вариационного ряда, т.е.последовательности, в которой элементы расположены в порядке возрастаниячисловых значений. Графическое представление функции распределения показанопоказано на рис.

/>

Проверка гипотезы озаконе распределения.

Гипотеза о законераспределения элементов последовательности задается названием закона ичисленным значением параметров. Она может быть задана плотностью вероятности ввиде формулы или графика.

Иногда может быть заданаинтегральная функция распределения. Тогда знак F(x)можно всегданайти плотность вероятности как f(x)=p(x).

Для проверки гипотезы озаконе распределения при большом объеме последовательности (n>100)пользуются критерием X² Пирсона. По построенномустатистическому ряду (гистограмме) вычисляется статис. х² (Δ)

 

e

Δ= X² = ∑(Vj-NPj)² /(NPj) (11)

i=1

Где Pj- вероятность попадания элементапоследовательности в j-ыйучасток

Vj- j-ый член стат.ряда, т.е. количество элементовпоследовательности попавших в j-ыйучасток

N – общее количество элементовпоследовательности.

Распределение Х²зависит от параметра r,называемого числом «степени свободы». Число степеней свободы r равно числу участков е минус числонезависимых условий, наложенных на частоты Pj =Vj / n (j=1,e).Примером такого условия может быть условие вида (9), которое накладывается прилюбом случае. Поэтому

R=e-1 (12)

Если для теоретическогораспределения задаются математическое ожидание, дисперсия и другие параметры,то число степеней свободы уменьшается на число таких параметров.

Для распределения Х²имеются специальные таблицы, по которым можно для каждого значения Х² ичисла степеней свободы rнайти вероятность P того, чтовеличина, распределенная по закону Х² превзойдет его значение. ВероятностьP, определенная по таблице, естьвероятность того, что за счет числа случайных причин мера расхождения теоретическогои статистического распределения (11)будет не меньше, чем фактически наблюденноев данном серии опытов значения Х². если эта вероятность P весьма мала, то результат опыта следуетсчитать противоречивым гипотезе о том, что закон распределения величины Х есть F(x). Поэтому эту гипотезу следует отбросить какнеправдоподобную. Напротив, если вероятность P сравнительно велика, то можно признать расхождения междутеоретическим и статистическим распределением вещественным. При этом гипотеза отом, что величина X распределена позакону F(x) можно считать правдоподобной или не противоречащей опытнымданным.

На практике, если P оказывается меньше, чем 0,1, торекомендуется проверить и по возможности повторить эксперимент. В случае, еслиопять появятся замеченные расхождения, то следует подобрать более подходящийдля описания стат. Данных закона распределения.

Содержаниеисследования

В состав исследования,проводимого в данной лабораторной работе входит:

1. программная реализациябазой псевдослучайной последовательности, вырабатываемой генератором случайныхчисел при заданных преподавателем параметрах: g,n,m.

2.Определение оценокматематич. ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и g коэффициентов корреляции (для r=1,g).

3. Построение гистограммыраспределения.

4.Вычисление статист. покритерию Х² Пирсона.

5.Проверка гипотезы оравномерном распределении чисел от 0,1,2,..g, полученных генератором случайных чисел.

Таблица1

Критические точкираспределения

Число степеней свободы r Уровень значимости ά 0.01 0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 1 6.6 5.0 3.8 0.0039 0.00089 0.00016 2 9.2 7,4 6,0 0,103 0.051 0.20 3 11.3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115 4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297 5 15,1 12,8 11,1 0,115 0,831 0,554 6 16,8 14,4 12,6 0,164 1,24 0,872 7 18,5 16,0 14,1 0,217 1,69 1,24 8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65 9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09 10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,21 2,56 11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05 12 26,2 23,3 20,0 5,23 4,40 3,57 13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11 14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66 15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81 17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01 19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90 22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54 23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2 27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,02 14,3 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

Таблица 2

Варианты заданий клабораторной работе

q m n x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 3 3 5 1 2 1 1 - - 2 2 3 7 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 1 1 1 1 4 3 2 5 1 1 1 1 1 - - 5 2 4 7 1 1 1 1 1 6 3 3 5 1 1 - - 7 3 3 6 1 2 1 2 - 8 3 4 6 1 1 1 2 2 2 - 9 3 5 6 1 1 1 2 - 10 2 3 7 1 1 1 1 11 2 6 7 1 1 1 1 12 2 2 7 1 1 2 13 3 3 5 1 1 1 1 14 2 2 6 1 1 1 1 1 1 1 15 3 4 5 1 2 1 1 2 2

Интерфейс программы

/>

/>

Введённые значения: q-2, M-4, N-7

X1-1, X2-1, X3-1, X4-1, X5-0, X6-0, X7-1

Листингпрограммы

Public m, n,q, r, xe As Integer

Private SubCommand2_Click()

End

End Sub

Private Subok_Click()

list.Clear

If tm.Text ="" Or tn.Text = "" Or tq.Text = "" Or tx(0).Text= "" Or tx(1).Text = "" Or tx(2).Text = "" Ortx(3).Text = "" Or tx(4).Text = "" Then

MsgBox («Сначалавведите все значения»)

Exit Sub

Else

Call fun

End If

End Sub

Private Subfun()

Dim reg, regtAs String

Dim xi(6),yi(100000), p(2), p0, p1, p2 As Integer

Dim xe AsDouble

n =CInt(tn.Text)

m =CInt(tm.Text)

q =CInt(tq.Text)

For i = 0 To (n- 1)

reg = reg& CStr(tx(i).Text)

Next

mg = q ^ n — 1

list.AddItem(«M=q^n-1 = » & mg)

list.AddItem("")

For i = 1 Tomg

yi(i) =Right(reg, 1)

r =CInt(Mid(reg, m, 1)) + CInt(Right(reg, 1))

If r >= qThen

r = r — q

Else

End If

If r = 0 Thenp0 = p0 + 1

If r = 1 Thenp1 = p1 + 1

If r = 2 Thenp2 = p2 + 1

regt = reg

reg = CStr(r)& Mid(regt, 1, (n — 1))

list.AddItem(«Генератор=» & reg)

list.AddItem(«Число=» & yi(i))

list.AddItem(«R=» & r)

Next

list.AddItem("")

p(0) = p0 / mg

p(1) = p1 / mg

p(2) = p2 / mg

For w = 0 To q- 1

list.AddItem(«p» & w & "=" & p(w))

Next w

For j = 0 To q- 1

xe = xe + ((1/ q) — p(j)) ^ 2

Next

xe = (1 / q) *xe

list.AddItem("")

list.AddItem(«Критерий Пирсона=» & Round(xe, 12))

Dim mx, dx,kr, k As Double

mx = 0

For j = 1 Tomg

mx = mx +CInt(yi(j))

Next

mx = mx / mg

list.AddItem("")

list.AddItem(«Математическое ожидание=» & mx)

For j = 1 Tomg

dx =(CInt(yi(i)) — mx) ^ 2

Next

dx = dx / (n — 1)

list.AddItem("")

list.AddItem(«Дисперсия=» & dx)

list.AddItem("")

list.AddItem(«Среднеквадратичное отклонение=» & Sqr(dx))

list.AddItem("")

For i = 1 To q

For j = 1 To(mg — i)

k = k +((CInt(yi(j)) — mx) * (CInt(yi(j + i)) — mx))

Next

kr = k / (mg — i — 1)

list.AddItem(«Автокорреляционная ф-ия (» & i &")= " & Round(kr, 12))

Next

End Sub

Списокиспользуемой литературы

 

1.   Ли И. Т.,Лабораторный практикум. Имитационное моделирование экономических процессов,Душанбе 2008 год