Реферат: Лінейна балансова модель і її використання в економічних розрахунках

ДонбаськийДержавний Технічний Університет

Кафедра фізики іприкладної математики

Контрольна роботаз математики

«Лінійнабалансова модель і її використання в економічних розрахунках»

Балансовамодель

Вивченнябалансових моделей, що є один з найважливіших напрямів і економіко-математичнихдосліджень, повинне служити об'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета –проілюструвати на прикладі балансових розрахунків застосування основних понятьлінійної алгебри.

Лінійнабалансова модель

Хайрозглядається економічна система, що складається з n взаємозв'язанихгалузей виробництва. Продукція кожної галузі частково йде на зовнішнєспоживання (кінцевий продукт), а частково використовується як сировина,напівфабрикати або інші засоби виробництва в інших галузях, у тому числі і в даній.Цю частину продукції називають виробничим споживанням. Тому кожна зданих галузей виступає і як виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) і якїї споживач (перший рядок таблиці 1).

Позначимочерез xiваловий випускпродукції i-й галузі за планованийперіод і через yi– кінцевий продукт, що йде на зовнішнє для даної системиспоживання (засоби виробництва інших економічних систем, споживання населення,утворення запасів і так далі).

Такимчином, різниця xi– yiскладає частину продукції i-йгалузі,призначену для внутрішньовиробничого споживання. Надалі вважатимемо, що балансскладається не в натуральному, а у вартісному розрізі.

Позначимочерез xikчастину продукціїi-йгалузі, якаспоживається к-йгалуззю, для забезпечення випуску її продукції у розмірі хk.

Однеіз завдань балансових досліджень полягає в тому, щоб на базі даних об виконаннябалансу за попередній період визначити початкові дані на планований період.

Забезпечуватимемоштрихом (х’ik, y’i і так далі) дані, щовідносяться до минулого періоду, а тими ж буквами, але без штриха – аналогічнідані, пов'язані з планованим періодом. Балансова рівність (1) повиннавиконуватися як в минулому, так і в планованому періоді.

Називатимемосукупність значень y1, y2., yn, що характеризують випусккінцевого продукту, асортиментним вектором:

_

у = (у1, у2., yn), (2)

асукупність значень x1, x2., xn, определяющих валовий випуск всіхгалузей – вектор-планом:

_

x = (x1, x2., xn). (3)

Залежністьміж двома цими векторами визначається балансовою рівністю (1). Проте вони недають можливості визначити по заданому, наприклад, вектор у необхіднийдля його забезпечення вектор-план х, оскільки окрім шуканих невідомих хk, містять n2невідомих xik, які у своючергу залежать від xk.

Томуперетворимо цю рівність. Розрахуємо величини aikіз співвідношень:

xik

aik = – (i, до = 1,2., n).

xk

Величиниaikназиваються коефіцієнтамипрямих витрат або технологічними коефіцієнтами. Вони визначаютьвитрати продукций i-йгалузі,використовувані к-йгалуззю на виготовлення її продукції, і залежать головнимчином від технології виробництва в цій к-йгалузі. З деяким наближенням можна вважати, щокоефіцієнти aikпостійні в деякому проміжку часу, що охоплює як минулий, такі планований період, тобто, що

x’ik xik

– = –= aik = const (4)

x’k xk

Виходячиз цього пропозиції маємо

xik = aikxk (5)

тобтовитрати i-йгалузі в к-югалузьпропорційні її валовому випуску, або, іншими словами, залежать лінійно відвалового випуску xk. Тому рівність (5) називають умовою лінійності прямихвитрат.

Розрахувавшикоефіцієнти прямих витрат aikпо формулі (4), використовуючи дані про виконання балансу запопередній період або визначивши їх іншим чином, отримаємо матрицю

a11 a12. a1k. a1n

a21 a22. a2k. a2n

A=…….

ai1 ai2. aik. ain

an1 an2. ank. ann

якуназивають матрицею витрат. Відмітимо, що всі елементи aikцієї матриціненегативні. Це записують скорочено у вигляді матричної нерівності А>0 іназивають таку матрицю ненегативної.

Завданнямматриці А визначаються всі внутрішні взаємозв'язки між виробництвом іспоживанням, табл. 1, що характеризуються

Підставляючизначення xik<sub/>= aik<sub/>= xkу всі рівняннясистеми (1), отримаємо лінійну балансову модель:

x1 – (a11x1 + a12x2 +. + a1nxn) = y1

x2 – (a21x1 + a22x2 +. + a2nxn) = y2 (6)

………….

xn – (an1x1 + an2x2 +. + annxn) = yn

щохарактеризує баланс витрат – випуску продукції, представлений в табл. 1

Системарівнянь (6) може бути записана компактнее, якщо використовувати матричну форму записурівнянь:

_ _ _

Ех · – Ах = ·У, або остаточно

_ _

(Е – А)·х = У (6')·'

де Е– одинична матриця n-гопорядку і

1-a11– a12. – a1n

E – A= – a211-a22. – a2n

…….

– an1– an2. 1-ann

Рівняння(6) містять 2nзмінних(xi і yi). Тому,задавшись значеннями n змінних, можна з системи (6) знайти решту n –змінних.

Виходитимемоіз заданого асортиментного вектора У = (y1, y2., yn) і визначати необхідний для його виробництвавектор-план Х = (х1, х2. хn).

Проілюструємовищевикладене на прикладі гранично спрощеної системи, що складається з двохвиробничих галузей.

Розраховуємоза даними цієї таблиці коефіцієнти прямих витрат:

100 160 275 40

а11 = – = 0.2; а12 = – = 0.4; а21 = – = 0.55; а22 = – = 0.1

500 400 500 400

Цікоефіцієнти записані в табл. 2 в кутах відповідних кліток.

Теперможе бути записана балансова модель (6), відповідна даним табл. 2

х1 – 0.2х1 – 0.4х2= у1

х2 – 0.55х1 –0.1х2 = у2

Цясистема двох рівнянь може бути використана для визначення х1і х2при заданихзначеннях у1і у2, длявикористання впливу на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевогопродукту і так далі

Так,наприклад, задавшись у1=240 і у2=85, отримаємо х1=500 і х2=400, задавшись у1=480 і у2=170, отримаємо х1=1000 і х2=800 і так далі

Вирішеннябалансових рівняньза допомогою зворотної матриці.Коефіцієнтиповних витрат

Повернемосязнову до розгляду балансового рівняння (6).

Першепитання, яке виникає при його дослідження, це питання об існування при заданомувекторі У>0 ненегативного вирішення х>0, тобто про існування вектор-плану, що забезпечуєданий асортимент кінцевого продукту У. Будем називати таке вирішеннярівняння (6') допустимим рішенням.

Відмітимо,що при будь-якій ненегативній матриці А затверджувати існуванняненегативного рішення не можна.

Так,наприклад, якщо

0.9 0.80.1 -0.8 і рівняння (6')'

А=,то Е – А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишетьсяу вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або врозгорненій формі

-0.6 0.1х2 у2

0.1х1– 0.8х2 = у1 (a)a

-0.6х1+ 0.1х2 = у2

Склавшиці два рівняння почленно, отримаємо рівняння

-0.5х1– 0.7х2 = у1 + у2

якене може задовольнятися ненегативним значенням х1і х2, якщо тільки у1>0 і у2>0 (окрім х1=х2=0 при у1=у2=0).

Нарештірівняння взагалі може не мати рішень (система (6) – несумісна) або матинезліченну безліч рішень (система (6) – невизначена).

Наступнатеорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь на поставлене питання.

Теорема. Якщо існує хочодин ненегативний вектор х>0, що задовольняє нерівності (Е – А)·х>0, тобто якщорівняння (6') має ненегативне вирішення x>0, хоч би для одного У>0, то вономає для будь-якого У>0 єдине ненегативне рішення.

Прицьому виявляється, що зворотна матриця (Е – А) буде обов'язково ненегативною.

Ізспособу утворення матриці витрат виходить, що для попереднього періодувиконується рівність (Е – А)·х' = У', де вектор-план х 'і асортиментнийвектор У 'визначаються по виконаному балансу за минулий період, прицьому У>0'. Таким чином, рівняння (6') має одне ненегативневирішення x>0. На підставітеореми укладаємо, що рівняння (6') завжди має допустимий план і матриця (Е – А)має зворотну матрицю.

Позначившизворотну матрицю (Е – А)-1 через S = || sik+||, запишемовирішення рівняння (6'') у вигляді

_ _

х = SУ (·7)

Якщобуде заданий вектор – кінцевий продукт У і обчислена матриця S = (E – A)-1,то по цій формулі може бути визначений вектор-план х.

Рішення(7) можна представити в розгорненій формі:

x1 = S11y1 + S12y2 +. + S1nyn

x2 = S21y1 + S22y2 +. + S2nyn (8)

…………

xn = Sn1y1 + Sn2y2 +. + Snnyn

Повнівнутрішньовиробничівитрати

З'ясуємоекономічний сенс елементів Sikматриці S.

Хайпроводиться тільки одиниця кінцевого продукту 1-ої галузі, тобто

1

_ 0

У1 =

Підставляючицей вектор в рівність (7), отримаємо

1 S11

_ 0 S21 _

х = S­: =: = S1

0 Sn1<sub/>0

_ 1

задавшисьасортиментним вектором У2 = 0, отримаємо

:

0 S12

_ 1 S22 _

х = S­: =: = S2

0 Sn2

Аналогічно,валовий випуск х, необхідний для виробництва одиниці кінцевого продукту к-йгалузі, складе

0 S1k

_: S2k _

х = S­ 1 =: = Sk (9)­

: Snk

тобток-йстовпець матриці S.

Зрівності (9) витікає наступне:

Щобвипустити тільки одиницю кінцевого продукту к-й галузі, необхідно в 1-ійгалузі випустити х1=S1k, в 2-ій х2=S2k і так далі, в i-й галузі випустити xi=Sik і, нарешті, в n-й галузі випуститиxn=Snk одиниць продукції.

Такпри цьому виді кінцевого продукту виробництва тільки одиниця к-го продукту,то величини S1k, S2k., Sik., Snk, є коефіцієнти повнихвитрат продукції 1-й, 2-й і так далі, n-й галузей вказаної одиницік-го продукту, що йде на виготовлення. Ми вже ввели раннє коефіцієнтипрямих витрат a1k, a2k., aik., ank на одиницю продукції к-йгалузі, які враховували лише ту частину продукції кожної галузі, якаспоживається безпосередньо к-й галуззю. Але, очевидно, необхіднозабезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-й галузі поступалаб тільки в к-ю галузь в кількості aik, те виробництво к-й галузі всеодно не було б забезпечено, бо було потрібно ще продукти 1-ої галузі (a1k), 2-ій галузі (a2k) і так далі Авони у свою чергу не зможуть працювати, якщо не отримуватимуть продукцію тієї жi-й галузі (ai1, ai2. і так далі).Проілюструємо сказане на прикладі табл. 2

Хай насне цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2-ої галузі (k=2) і ми хочемо визначитивитрати продукції 1-ої галузі на одиницю цієї продукції. З табл. 2 знаходимо, щона кожну одиницю продукції 2-ої галузі (х2=1) витрачається: продукції 1-ої галузі a12=0.4 і2-ій галузі a22=0.1.

Такібудуть прямі витрати. Хай потрібно виготовити у2=100. Чи можна для цьогопланувати випуск 1-ої галузі х1=0.4100=40? ­Звичайно, неможна, оскільки необхідно враховувати, що 1-а галузь частина своєї продукціїспоживає сама (а11=0.2), і тому сумарний її випуск слід скоректувати:х1=40+0.240=48. ­Проте і ця цифра невірна, оскільки тепер уже слідвиходити з нового об'єму продукції 1-ої галузі – х1=48 'і так далі Але справа не тільки в цьому. Згідно табл.2 продукція 2-ої галузі також необхідна для виробництва і 1-ої і 2-ої галузей ітому потрібно буде випускати більше, ніж у2=100. Але тоді зростуть потреби впродукції 1-ої галузі. Тоді досить звернутися до складеної систем рівнянь, поклавшиу1=0 і у2=1 (см п. 2):

0.8х1– 0.4х2 = 0

-0.55х1+ 0.9х2 = 1

Вирішившицю систему, отримаємо х1=0.8 і х2=1.5. Отже, для того, щоб виготовити одиницюкінцевого продукту 2-ої галузі, необхідно в 1-ій галузі випустити продукціїх1=0.8. Цю величину називають коефіцієнтом повних витрат і позначають їїчерез S12. Таким чином,якщо а12=0.4 характеризує витрати продукції 1-ої галузі на виробництво одиниціпродукції 2-ої галузі, використовувані безпосередньо в 2-ій галузі (чому вони ібули названі прямі витрати), то S12 враховують сукупні витрати продукції 1-оїгалузі як прямі (а12), так і непрямі витрати, що реалізовуються черезінші (в даному випадку через 1-у ж) галузі, але кінець кінцем необхідні длязабезпечення випуску одиниці кінцевого продукту 2-ої галузі. Ці непрямі витратискладають S12-a12=0.8–0.4=0.4

Якщокоефіцієнт прямих витрат обчислюється на одиницю валового випуску,наприклад а12=0.4 при х2=1, то коефіцієнт повних витрат розраховується на одиницюкінцевого продукту.

Отже,величина Sikхарактеризує повнівитрати продукції i-й галузі для виробництва одиниці кінцевого продуктук-й галузі, що включають як прямі (aik), так і непрямі (Sik – aik) витрати.

Очевидно,що завжди Sik > aik.

Якщонеобхідно випустити уkодиниць к-гокінцевого продукту, то відповідний валовий випуск кожноїгалузі складе на підставі системи (8):

x1 = S1kyk·, x2 = S2kyk., xn = Snkyk

щоможна записати коротше у вигляді:

x = Skyk· (10)

Нарешті,якщо потрібно випустити набір кінцевого продукту, заданий ассортиментным вектором У =:,то валовий випуск к-й галузі xk, необхідний для його забезпечення,визначиться на підставі рівності (10) як скалярний твір стовпця Skна вектор У,тобто

xk = Sk1y1 + Sk2y2 +. + Sknyn = Sky (·11)·

авесь вектор-план х знайдеться з формули (7) як твір матриці S навектор У.

Такимчином, підрахувавши матрицю повних витрат S, можна по формулах (7) – (11)розрахувати валовий випуск кожної галузі і сукупний валовий випуск всіх галузейпри будь-якому заданому асортиментному векторі У.

Можнатакож визначити, яка зміна у вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2., Dхn) викличе заданузміну асортиментного продукту У = (у1, у2., уn) по формулі:

Dх = SУ (·D12)

Приведемоприклад розрахунку коефіцієнтів повних витрат для балансової табл. 2. Мимаємо матрицю коефіцієнтів прямих витрат:

0.20.4

А =

0.55 0.1

Отже

1 -0.2 -0.4 0.8-0.4

Е – А= =

-0.55 1 -0.1 -0.550.9

Визначникцієї матриці

0.8 -0.4

D [E –A] = = 0.5

-0.55 0.9

Побудуємоприєднану матрицю (Е – А)*. Маємо:

0.9 0.4

(Е – А)*=,

0.55 0.8

звідкизворотна матриця, що є таблицею коефіцієнтів повних витрат, буденаступною:

1 0.9 0.4 1.80.8

S = (Е– А)-1 = – =

0.5 0.55 0.8 1.11.6

Зцієї матриці укладаємо, що повні витрати продукції 1-ої і 2-ої галузі, одиницікінцевого продукту 1-ої галузі, що йдуть на виробництво, складає S11=0.8 іS21=1.5. Порівнюючи з прямими витратами а11=0.2 і а21=0.55, встановлюємо,непрямі витрати в цьому випадку складуть 1.8–0.2=1.6 і 1.1–0.55=0.55.

Аналогічно,повні витрати 1-ої і 2-ої галузі на виробництво одиниці кінцевого продукту 2-оїгалузі рівні S12=0.8 і S22=1.5, звідки непрямі витрати складуть 0.8–0.4=0.4 і1.6–0.1=1.5.

Хайпотрібно виготовити 480 одиниць продукції 1-ою і 170 одиниць 2-ої галузей.

Тодінеобхідний валовий випуск х = х1 знайдеться з рівності (7):

_ _ 1.80.8 480 1000

х = SУ = · =

1.11.6 170 800.

Повнівитрати праці капіталовкладень

Розширимотабл. 1, включивши в неї, окрім продуктивних витрат xik, витрати праці,капіталовкладень і так далі по кожній галузі. Ці нові джерела витрат впишутьсяв таблицю як нові n+1-я, n+2-я і так далі додаткові рядки.

Позначимовитрати праці в к-югалузь через xn+1, k, і витрати капіталовкладень – через xn+2, k (де до =1, 2., n). Подібно до того як вводилися прямі витрати aik

xn+1, k

введемов розгляд коефіцієнти прямих витрат праці an+1, k = –, і

xk

xn+2, k

капіталовкладеньan+2, k = –, що є витратою відповідного

xk

ресурсуна одиницю продукції, що випускається к-йгалуззю. Включивши ці коефіцієнти в структурнуматрицю (тобто дописавши їх у вигляді додаткових рядків), отримаємо прямокутнуматрицю коефіцієнтів прямих витрат.

Привирішення балансових рівнянь як і раніше використовується лише основна частинаматриці (структурна матриця А). Проте при розрахунку на планованийперіод витрат праці або капіталовкладень, необхідних для випуску даногокінцевого продукту, беруть участь додаткові рядки.

Так,хай, наприклад, проводиться одиниця продукту 1-ої галузі, тобто

_ 1

У = 0

:

0.

Дляцього потрібний валовий випуск продукції

S11

_ _ S21

x = S1 =:

Sn1

Підрахуємонеобхідні при цьому витрати праці Sn+1,1. Очевидно, виходячи з сенсу коефіцієнтів an+1, k прямих витрат праці яквитрат на одиницю продукції к-й галузі і величин S11, S12., S1n, що характеризуютьскільки одиниць продукції необхідно випустити в кожній галузі, отримаємовитрати праці безпосередньо в 1-у галузь як an+1,1S11, в 2-у – an+1,2S21 і так далі, нарешті в n-ю галузь an+1, nSn1. Сумарні витрати праці,пов'язані з виробництвом одиниці кінцевого продукту 1-ої галузі, складуть:

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 +. + an+1, nSn1 = an+1S1

тобторівні скалярному твору (n+1) – го рядка розширеної матриці А, 'яку позначимо an+1, на 1-й стовпець матриціS.

Сумарнівитрати праці, необхідні для виробництва кінцевого продукту к-йгалузі, складуть:

_ _

Sn+1, k = an+1Sk (13)

Назвемоці величини коефіцієнтами повних витрат праці. Повторивши всі приведеніміркування при розрахунку необхідних капіталовкладень, прийдемо аналогічнопопередньому до коефіцієнтів повних витрат капіталовкладень:

Sn+2, k = an+2Sk (14)

Теперможна доповнити матриць S рядками, що складаються з елементів Sn+1, k і Sn+2, k, утворити розширенуматрицю коефіцієнтів повних витрат.

Користуючисьцією матрицею можна розрахувати при будь-якому заданому асортиментному векторі Уне тільки необхідний валовий випуск продукції х (для чоговикористовується матриця S), але і необхідні сумарні витрати праці xn+1, капіталовкладень xn+2 і так далі, щозабезпечують випуск даної кінцевої продукції У.

Очевидно

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 +. + Sn+1, nyn (16)

xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 +. + Sn+2, nyn

тобтосумарна кількість праці і капіталовкладень, необхідних для забезпеченняасортиментного вектора кінцевої продукції У, рівні скалярним творам відповіднихдодаткових рядків матриці S 'вектор У.

Нарешті,об'єднуючи формулу (7) з формулами (16), приходимо до наступної компактноїформи:

x1

x2

_: _

x = xn = SУ ('17)'

xn+1

xn+2

Хайдодатково до даним, поміщеним в табл. 2, відомі за підсумками виконання балансуфактичні витрати праці xn+1, k (у тис. людино-годин) і капіталовкладень xn+2, k (у тис.крб.), які записані в табл. 3

Переходячидо коефіцієнтів прямих витрат aik, отримаємо розширену матрицю:

0.2 0.4

А' = 0.55 0.1

0.5 0.2

1.5 2.0

Зворотнаматриця S = (E – A)-1 була вже підрахована в попередньому пункті.

Напідставі (13) розрахуємо коефіцієнти повних витрат праці (Sn+1, k=S3, k):

S31 = a3S1· = 0.5 · 1.8 + 0.2 1.1 =1.12;

S32 = a3S2· = 0.5 · 0.8 + 0.2 1.6 =0.72

ікапіталовкладень Sn+2, k = S4, k:

S41 = a4S1· = 1.5 · 1.8 + 2.0 1.1 =4.9;

S42 = a4S2· = 1.5 · 0.8 + 2.0 1.6 =4.4.

Такимчином, розширена матриця S 'коефіцієнтів повнихвитрат прийме вигляд:

1.8 0.8

S' = 1.1 1.6

1.12 0.72

4.9 4.4

Якщо задатисяна планований період колишнім асортиментним вектором

У = 240,то розрахувавши по формулах (16) сумарні витрати праці xn+1 і 85 капіталовкладень xn+2, отримали б xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 +61.2 = 330 тис. чіл.-ч. і xn+2 = xn = 4.9 240 + 4.4 85 = 1176 + 374 = 1550 тис. руб., що співпадає зпочатковими даними табл. 3.

Протена відміну від табл. 3, де ці сумарні витрати групуються по галузях

(250і 80 або 750 і 800), тут вони розподілені по видах кінцевої продукції: напродукцію 1-ої галузі 268.8 і на продукцію 2-ої галузі 61.2; відповідно витратикапіталовкладень складають 1176 і 374.

Прибудь-якому новому значенні асортиментного вектора У всі показники плану,такі, як валова продукція кожної галузі і сумарні витрати трудових ресурсів ікапіталовкладень знайдемо з формули (17).

Так,хай заданий асортиментний вектор У = 480. Тоді

_ х1 1.8 0.8 1000

х = х2 = 1.1 1.6 480= 800

х3 1.12 0.72 170600

х4 4.9 4.4 3100

Звідсиукладаємо, що запланований випуск кінцевого продукту У може бутидосягнутий при валовому випуску 1-ої і 2-ої галузей: х1=1000 і х2=800, при сумарнихвитратах праці х3=660 тис. чіл.-ч. і при витратах капіталовкладень х4=3100 тыс. руб.

Розглянутітеоретичні питання і приклади розрахунку, звичайно, далеко не вичерпуютьважливу для практики область балансових досліджень. Тут проілюстрований тількиодне напрям додатку лінійної алгебри в економічних дослідженнях.

Завдання

Утаблиці вказані витратні норми двох видів сировини і палива на одиницюпродукції відповідного цеху, трудомісткість продукції в людино-годинах наодиницю продукції, вартість одиниці відповідного матеріалу і оплата за 1чіл.-ч.

Визначити:

а)сумарна витрата сировини, палива і трудових ресурсів на виконання виробничоїпрограми;

б)коефіцієнти прямих витрат сировини, палива і праці на одиницю кінцевоїпродукції кожного цеху;

в)витрата сировини, палива і трудових ресурсів по цехах;

г)виробничі витрати по цехах (у крб.) і на всю виробничу програму заводу;

д)виробничі витрати на одиницю кінцевої продукції.

Рішення:

а)Сумарна витрата сировини I можна отримати, помноживши відповідний 1-й рядокдругої таблиці на вектор х, тобто

а4х = (1.4; 2.4; 0.8)186 = 1088

Аналогічноможна отримати витрату сировини II і так далі

Всеце зручно записати у вигляді твору:

1.4 2.40.8 235 1088 Сировина I

0 0.61.6 186 = 746 Сировина II

2.0 1.82.2 397 1678 Паливо

0.1 0.20.2 1409 Людино-годин.

б)Витрата сировини I на одиницю кінцевої продукції 1-го цеху (у1=1) знайдемо з виразу1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Отже, відповідні коефіцієнти повних витрат сировини,палива і праці на кожну одиницю кінцевого продукту отримаємо з твору матриці:

I II III

1.4 2.40.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сировина I

0 0.61.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сировина II

2.0 1.82.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Паливо

10 2020 15.2 24.8 28.0 Праця

Такимчином, наприклад, для виготовлення у1=1 необхідно витратити 1.97 одиниць сировини I,0.17 одиниць сировини II, 2.53 одиниць палива і 15.2 чіл.-ч.

в)Витрата сировини, палива і так далі по кожному з цехів отримаємо з множення їхвитратних норм на відповідні валові випуски по цехах. В результаті отримаємоматрицю повних витрат:

I II III

СировинаI 330 440 318

СировинаII 0 111 635

Паливо470 335 873

Праця2350 3720 7940

г)Виробничі витрати по цехах можемо отримати шляхом множення зліва рядкавартостей (5; 12; 2; 1.2) на останню матрицю:

330 440 318

0 111635 I II III

(5; 12; 2;1.2) 470 335 873 = (5410; 8666; 20484)

2350 3720 7940

д)Нарешті, виробничі витрати на одиницю кінцевої продукції, необхідні длявизначення собівартості продукції, можемо знайти шляхом множення зліва матриціповних витрат, знайденої в п.б., на рядок цін:

1.97 2.92 1.36

0.17 0.842.09 I II III

(5; 12; 2;1.2) 2.53 2.60 5.23 = (35.3; 59.6; 75.7)

15.2 24.8 28.0

Такимчином, внутрішньовиробничі витрати на одиницю товарної продукції I, II і IIIцехів відповідно складають: 35.3 крб., 59.6 крб., 75.7 крб.