Реферат: Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1. Некоторая фирмавыпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычныйнабор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а вулучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно,что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кгфосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., аулучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобыобеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построитьэкономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ееэлементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решатьзадачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

стоимость 3 4 Состав удобрения Количество удобрений Необходимый минимум обычное улучшенное Азотное 3 2 10 Фосфорное 4 6 20 Калийное 1 3 7

1 составим математическуюмодель:

Обозначим через xj<sub/>количество кг удобрения

x1 — количество кг обычного удобрения;

x2 — количество кг улучшенного удобрения.

Цель – наименьшаястоимость удобрения,

F= 3x1+4x2 →min

/>Ограничения:

По азотным удобрениям           3х1+2х2≥10

По фосфорным удобрениям      4х1+6х2≥20

По калийным удобрениям         1х1+3х2≥7

По смыслу х1≥0х2≥0

Решим графическимспособом.

Первое ограничение (поазоту) имеет вид 3х1+2х2≥10 найдем пересечение сосями координат, т. е. 3х1+2х2=10 – l1

Х1 10/3 Х2 5

0<10, верно, выбираемполуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х1+6х2=20– l2

Х1 5 Х2 10/3

0<20, верно, выбираем полуплоскостьпо направлению к (.) О

Третье ограничение х1+3х2=7-l3

Х1 7 Х2 7/3

0<7 верно, выбираемполуплоскость по направлению к (.) О

Для определениянаправления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1; с2),координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с(3;4).

Построим линию уровня l0, приравняем целевую функцию к 0

3х1+4х2=0

Х1 -4 Х2

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлениювектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точкуцелевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравненийпрямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l1∩l3

/>3х1+2х2=10, *3 «-»

/>4х1+6х2=20

5х1=10

х1=2

Подставим в первоеуравнение 3*2+2х2=10,

2х2=10-6,

2х2=4,

х2=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

/>

Ответ: чтобы обеспечитьэффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного.Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так какцелевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовлениячетырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы егорасхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 2 1 3 2 200 2 1 2 4 8 160 3 2 4 1  170 цена изделия 5 7 3 

Требуется:

1. Сформулировать прямуюоптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции,получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулироватьдвойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теориидвойственности.

3. Пояснить нулевыезначения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойствдвойственных оценок и теорем двойственности:

—  Проанализироватьиспользования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

—  Определить, какизменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличениизапасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5единиц запасов сырья 3 вида;

—  Оценитьцелесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовлениекоторой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико –математическую модель задачи.

Переменные:

х1 — количествоединиц продукции А,

х2 — количествоединиц продукции Б,

х3 — количествоединиц продукции В,

х4 — количествоединиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х1+7х2+3х3+6х4→max,

Цель максимизироватьвыручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

/>По 1 типу ресурса:     2х1+х2+3х3+2х4≤200,

По 2 типу ресурса:     х1+2х2+4х3+8х4≤160,

По 3 типу ресурса:    2х1+4х2+х3+х4≤170,

По смыслу х1; х2; х3; х4≥0.

Решение задачи выполним спомощью надстройки Excel ПоискРешения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решениеозначает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 едпродукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будутиспользоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 едсырья.

Сформулируемэкономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценкаресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценкаресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценкаресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функциядвойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общаястоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min

G=200у1+160у2+170у3→min

Ограничения:

Вы исходной задачи четырепеременных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

/>a11*y1+a12*y2+…≥c1

a12*y1+a22*y2+…≥c2

/>по виду продукции А:    2у1+у2+2у3≥5,

по виду продукции Б:     у1+2у2+4у3≥7,

по виду продукции В:     3у1+4у2+у3≥3,

по виду продукции Г:     2у1+8у2+у3≥6

по смыслу у1;у2; у3≥0

Найдем оптимальный пландвойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0 и xj(∑aij*yi-cj)=0,

у1*(2х1+х2+3х3+2х4-200)=0→ у1(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у1=0

у2*(х1+2х2+4х3+8х4-160)=0→ у2(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у3*(2х1+4х2+х3+х4-170)=0→ у3*(2*80+4*0+0+10-170)=0.

В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертоеограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

/>2у1+у2+2у3=5,

2у1+8у2+у3=6,

у1=0,

/>у2+2у3=5,

8у2+у3=6,

Выразим через у2=5-2у3,

 

8*(5-2у3)+у3=6,

40-16у3+у3=6

-15у3=-34,

у3=34/15,

у2=5-2*34/15=7/15,

у1=0; у2=7/15;у3=34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460

Проверим выполняемостьпервой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в планвыпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничениядвойственной задачи оптимальные значения у:

2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10≥7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.

Так как запас ресурсов 1,2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшениюF.

F=∆bi*yi

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667,следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи дляизготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*1=2,

Сырье 2 типа а*2=2,

Сырье 3 типа а*3=2

Ожидаемая прибыль отданного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценкицелесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

е=с*-∑а*i*yi

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533

следовательно,целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.

3. Промышленная группапредприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трехпредприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второепредприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьеговида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет навнутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями,является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании полученыэкономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологическойматрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементовуi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверитьпродуктивность технологической матрицы А=(аij) (матрицы коэффициентов прямыхматериальных затрат).

2. Построить баланс(заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятийхолдинга.

предприятия коэффициенты прямых затрат конечный продукт 1 2 3 1 0,2 0,1 0,2 150 2 0,1 0,2 180 3 0,1 0,1 100

Решение:

Найдем продуктивность А спомощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5<1

Следовательно матрица Апродуктивна

Подготовим таблицуматричного баланса

предприятия конечный валов. пр 1 2 3 1 50,22293 23,08917 27,80255 150 251,1146 2 23,08917 27,80255 180 230,8917 3 25,11146 13,90127 100 139,0127 усл. ч. пр. 175,7803 184,7134 69,50637 430=430 вал. вып 251,1146 230,8917 139,0127 621,0191=621,0191

Используем соотношениеХ=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валовоговыпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичнаяматрица),

/>1

/>0

 

Е = 0 1

 

1

 

/>

 

1

/>0

/>0,2

0,1

/>0,2

/>

0,8 -0,1

/>-0,2

Е-А= 1 - 0,1 0,2 = 0,9 -0,2 1 0,1 0,1 -0,1 0,9

Найдем обратную матрицу(Е-А)’ используя функцию в Excel(fx/математическая/МоБР),

/>1,289809

0,143312

/>0,318471

(Е-А)’= 0,031847 1,11465 0,254777 0,143312 0,015924 1,146497

Найдем величины валовойпродукции, используя в Excel(fx/математическая/МУМНОЖ)

/>

1,289809 0,143312

/>0,318471

/>/>150

/>/>251,1146

(E-A)’*Y= 0,031847 1,11465 0,254777 * 180 = 230,8917 0,143312 0,015924 1,146497 100 139,0127

Рассчитаем величиныпроизводственных затрат по формуле

Xij=aij*xj

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Х11=0,2*251,1146=50,22293 Х12=0,1*230,8917=23,08917 Х13=0,2*139,0127=27,80255 Х21=0*251,1146=0 Х22=0,1*230,8917=23,08917 Х23=0,2*139,0127=27,80255 Х31=0,1*251,1146=25,11146 Х32=0*230,8917=0 Х33=0,1*139,0127=13,90127

Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:

Z=xj-∑xij

xij – по столбцу

Z1=251.1146-(50.22293+0+25.11146)=175.7803

Z2=230.8917-(23.08917+23.08917+0)=184.7134

Z3=139.0127-(27.80255+27.80255+13.90127)=69.50637

Проверим баланс конечнойи условно чистой продукции

∑YI=∑ZJ<sub/>, ∑Xi=∑Xj,

Z=175.7803+184.7134+69.50637=430 =Y=150+180+100=430

Xi=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191=Xj=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191

Заполняем таблицу,подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девятипоследовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23

Требуется:

1. Проверить наличиеаномальных наблюдений.

2. Построить линейнуюмодель Y(t)=a0+a1tпараметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированныезначения временного ряда).

3. Оценить адекватностьпостроенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты,случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точностьмоделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенныммоделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительныйинтервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)

6. Фактические значенияпоказателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23

Построим график:

/>

Проверим на анормальность- 9 неделю, у9=23

Оставшиеся наблюдения

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25

Для оставшихсярассчитаем: уср — среднее значение; Sy – средне квадратичное отклонение,используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента– tнаб=| y*-yср|/Sy

уср= 13,625 (fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,836254457 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

tкр= 2,36462256 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

tнаб= |23-13,625|/6,84=1,371364986

tнаб=1,37<tкр=2,36

Следовательно,наблюдаемое у9 не является аномальной и не требует замены.

С помощью программыРЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ)рассчитаем и получим:

Регрессионная статистика Множественный R 0,983716989 R-квадрат 0,967699115 Нормированный R-квадрат 0,963084703 Стандартная ошибка 1,444200224 Наблюдения 9 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 437,4 437,4 209,7123 1,78531E-06 Остаток 7 14,6 2,085714286 Итого 8 452 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 1,166667 1,049187 1,111971949 0,302876 -1,31426491 3,648 -1,3143 3,6475982 Переменная X 1 2,7 0,186445 14,48144774 1,79E-06 2,259126889 3,141 2,25913 3,1408731 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное Y Остатки 1 3,866667 -0,866666667 2 6,566667 0,433333333 3 9,266667 0,733333333 4 11,96667 -0,966666667 5 14,66667 0,333333333 6 17,36667 -0,366666667 7 20,06667 0,933333333 8 22,76667 2,233333333 9 25,46667 -2,466666667

Модель построена, ееуравнение уt=a+b*t, t-момент времени, уt — теоретическое моделированиезначения У, а,b- коэффициенты модели

a=1.166666667, b=2.7, следовательно уt=1,166666667+2,7t

коэффициент регрессии b=2,7, т. е. с каждым годом спрос накредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,7 млн. руб.

Рассмотрим столбецОстатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

/>

1 подсчитаем количествоповоротных точек р для рядов остатков – р=5

2 критическое количествоопределим формулой — ркр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных

ркр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р сркр

р=5 > ркр=2 следовательно,свойство случайности выполняется.

Для проверкинезависимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина –Уотсона)

2 вычислить первыйкоэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e2(t) =14,6 — используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))2 = 32,32<sup/>–используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кромепоследнего.

d=∑(e(t)-e(t-1))2 / ∑e2(t) =32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсонаопределим, что d1= 1,08 и d2= 1,36

Т.е. наше d=2,213699 € (1.08;1,36),следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301,т.е d’ € (1,36;2)

 

/>/>/>/>не выпол-ся      доп. Прове-ка            выпол-ся                   d’=4-d

/> 

0                   d1                  d2                   2                      4                 d

следовательно, свойствонезависимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормальногораспределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=emax-emin/ Se

еmax — максимальный уровень ряда остатков,

еmin — минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

еmax=2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

еmin=-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 — (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал(2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 € (2,7;3,7), свойствонормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверкиможно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точностимодели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениямопределить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти

28,88888889 6,19047619 7,333333333 8,787878788 2,222222222 2,156862745 4,444444444 8,933333333 10,72463768

Eотн ср =8,853564 – хороший уровень точностимодели

Для вычисления точечногопрогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у10=1,166666667+2,7*10=28,16666667

у11=1,166666667+2,7*11=30,86666667,

Ожидаемый спрос накредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7,равен

tкр(30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

Se=1,444200224 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)<sub/>-средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительногоинтервала вычислим по формуле:

U1=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5)2/60=1,997788

U2=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5)2/60=2,11426

Далее вычислим верхнюю инижнюю границы прогноза uниж=y10-u1; uверх=у10+u1;<sub/>uниж=y11-u1;<sub/>uверх=у10+u1

uниж=28,16666667-1,997788=26,16888

uверх=28,16666667+1,997788=30,16445

uниж=30,86666667-2,11426=28,75241

uниж=30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитныересурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график:

/>