Реферат: Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии

Федеральноеагентство по образованию

Всероссийскийзаочный финансово-экономический институт

Кафедраэкономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА

подисциплине «Эконометрика»

Вариант № 3

Исполнитель: Глушакова Т.И.

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 3

Группа: 6

№ зачетной книжки: 07ффд41853

Руководитель:Денисов В.П.

 

г. Омск 2009г.

Задачи

По предприятиям легкойпромышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объемавыпуска продукции (Y, млн. руб.) отобъема капиталовложений (X,млн. руб.). Требуется:

1. Найти параметрыуравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициентарегрессии.

/> - уравнение линейной регрессии,где />-параметры уравнения.

/>, где />,/> — средние значения признаков.

/>, где n – число наблюдений.

Представим вычисления втаблице 1:

Таблица 1. Промежуточныерасчеты.

t xi yi yi * xi xi*xi 1 38 69 2622 1444 2 28 52 1456 784 3 27 46 1242 729 4 37 63 2331 1369 5 46 73 3358 2116 6 27 48 1296 729 7 41 67 2747 1681 8 39 62 2418 1521 9 28 47 1316 784 10 44 67 2948 1936 средн. знач. 35,5 59,4

/>

2108,7

/>

1260,25

/>

21734

/>

13093 n 10

/>

1,319

/>

12,573

Таким образом, уравнениелинейной регрессии имеет вид:

/>

Коэффициент регрессииравен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпускомпродукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличениюобъема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует обэффективности работы предприятий.

2. Вычислить остатки;найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков />; построить графикостатков.

Вычислим прогнозноезначение Y по формуле:

/>

Остатки вычисляются поформуле:

/>.

Представим промежуточныевычисления в таблице 2.

Таблица 2. Вычислениеостатков.

/>

/>

/>

/>

69 62,695 6,305 39,75303 52 49,505 2,495 6,225025 46 48,186 -2,186 4,778596 63 61,376 1,624 2,637376 73 73,247 -0,247 0,061009 48 48,186 -0,186 0,034596 67 66,652 0,348 0,121104 62 64,014 -2,014 4,056196 47 49,505 -2,505 6,275025 67 70,609 -3,609 13,02488

Дисперсия остатковвычисляется по формуле:

/>

/>/>

/>.

Построим график остатковс помощью MS Excel.

/>

Рис. 1. График остатков.

3. Проверить выполнениепредпосылок МНК

Проверим независимостьостатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициентДарбина-Уотсона по формуле:

/>.

Данные для расчетавозьмем из таблицы 2.

dw = 0,803

Сравним полученноезначение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ /> и /> для уровнязначимости 0,05 при k=1 и n=10. />=0,88, />=1,32, dw < d/>, значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличиеавтокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной моделирегрессии.

Проверим наличиегетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

— упорядочим значения n наблюдений по мере возрастанияпеременной x и разделим на две группы с малыми ибольшими значениями фактора xсоответственно.

— рассчитаем остаточнуюсумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим втаблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточныевычисления для 1-го уравнения регрессии.

t xi yi yi * xi xi*xi

/>

/>

/>

1 27 46 1242 729 47 -1 1 2 27 48 1296 729 47 1 1 3 28 47 1316 784 49,5 -2,5 6,25 4 28 52 1456 784 49,5 2,5 6,25 средн. знач. 27,5 48,25

/>

1326,875

/>

756,25

/>

5310,00

/>

3026,00 n 4

/>

2,5

/>

— 20,5

/>

14,5

Таблица 4. Промежуточныевычисления для 2-го уравнения регрессии.

t xi yi yi * xi xi*xi

/>

/>

/>

1 37 63 2331 1369 63,789 -0,789 0,623 2 38 69 2622 1444 64,582 4,418 19,519 3 39 62 2418 1521 65,375 -3,375 11,391 4 41 67 2747 1681 66,961 0,039 0,002 5 44 67 2948 1936 69,340 -2,340 5,476 6 46 73 3358 2116 70,926 2,074 4,301 средн. знач. 40,833 66,833

/>

2729,028

/>

1667,361

/>

16424

/>

10067 n 6

/>

0,793

/>

34,448

/>

41,310

/> = />=/>2,849

где /> - остаточная суммаквадратов 1-ой регрессии, /> - остаточная сумма квадратов 2-ойрегрессии.

Полученное значениесравним с табличным значением Fраспределения для уровня значимости />, со степенями свободы /> и /> (/> — числонаблюдений в первой группе, m –число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

/>, />, m=1.

Если /> > />, то имеет местогетероскедастичность.

/>= 5,41

/>< />,

значит,гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточныхвеличин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверкузначимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента />.

Расчетные значения t-критерия можно вычислить поформулам:

/>, />

/>, />

/>,

/>

/>

/>

/>=35,5

Промежуточные расчетыпредставим в таблице:

Таблица 5. Промежуточныевычисления для расчета t- критерия

xi

/>

38 6,25 28 56,25 27 72,25 37 2,25 46 110,25 27 72,25 41 30,25 39 12,25 28 56,25 44 72,25

/>=490,50

/>

/>

/>

/>

/> для уровня значимости 0,05 ичисла степеней свободы n-2=8

Так как /> и /> можно сделать вывод,что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициентдетерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера />, найти среднююотносительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминацииопределяется по формуле:

/>

Из расчетов нам известно,что

/>; />.

Рассчитаем />:

Таблица 6. Промежуточныевычисления для расчета коэффициента детерминации.

/>

/>

/>

69 9,6 92,16 52 -7,4 54,76 46 -13,4 179,56 63 3,6 12,96 73 13,6 184,96 48 -11,4 129,96 67 7,6 57,76 62 2,6 6,76 47 -12,4 153,76 67 7,6 57,76

/>/>=930,4

/>=0,917.

Т.к. значениекоэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверимзначимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера /> по формуле:

/>

/>

/>

Уравнение регрессии свероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. />>/>.

Средняя относительнаяошибка аппроксимации находится по формуле:

/>

Таблица 7. Промежуточныевычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

yi

/>

/>

69 6,305 0,091377 52 2,495 0,047981 46 -2,186 0,047522 63 1,624 0,025778 73 -0,247 0,003384 48 -0,186 0,003875 67 0,348 0,005194 62 -2,014 0,032484 47 -2,505 0,053298 67 -3,609 0,053866

/> />,

значит модель имеетхорошее качество.

Рассчитаем коэффициентэластичности по формуле:

/>

/>

6. осуществитьпрогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости />, если прогнозное значение фактораX составит 80% от его максимальногозначения.

/>

Рассчитаем стандартнуюошибку прогноза

/>,

где/>

/>=930,4; />

/>

/>

/>, />для уровня значимости 0,1 и числастепеней свободы n-2=8

/>

Доверительный интервалпрогноза:

/>

/>

Таким образом, />=61,112, будетнаходиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.

7. Представить графически фактические имодельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными изтаблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.

/>

Рис. 2. Фактические имодельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнениянелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привестиграфики построенных уравнений регрессии.

Построение степенноймодели.

Уравнение степенноймодели имеет вид:

/>

Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:

/>

Обозначим />.

Тогда уравнение приметвид /> –линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данныетаблицы 1:

Таблица 8. Расчетпараметров уравнения степенной модели регрессии.

t xi X

/>/>

Y YX X*X

/>

/>

/>

/>

1 38 1,5798 69 1,839 2,905 2,496 62,347 6,653 9,642 44,26 2 28 1,447 52 1,716 2,483 2,094 50,478 1,522 2,926 2,315 3 27 1,431 46 1,663 2,379 2,048 49,225 -3,225 7,010 10,399 4 37 1,568 63 1,799 2,821 2,459 61,208 1,792 2,845 3,212 5 46 1,663 73 1,863 3,098 2,765 71,153 1,847 2,530 3,411 6 27 1,431 48 1,681 2,406 2,049 49,225 -1,225 2,552 1,5 7 41 1,613 67 1,826 2,945 2,601 65,771 1,289 1,924 1,66 8 39 1,591 62 1,793 2,853 2,531 63,477 -1,477 2,382 2,182 9 28 1,447 47 1,672 2,419 2,094 50,478 -3,478 7,4 12,099 10 44 1,644 67 1,826 3,001 2,701 68,999 -1,999 2,984 3,997

/>

/>

/>

Уравнение регрессии будетиметь вид:

/>

Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

/>

/>

Вычислим коэффициентдетерминации />:

/>=930,4; />

/>(1)

Вычислим среднюю ошибкуаппроксимации А:

/>%

/>(2)

Коэффициент эластичностирассчитывается по формуле:

/> (3)

/>

/>

Рис. 3. График степенногоуравнения регрессии.

Построениепоказательной функции.

Уравнение показательнойкривой:/>

Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществимлогарифмирование обеих частей уравнения:

/>

Обозначим />

Получим линейноеуравнение регрессии:

/>

Рассчитаем его параметры,используя данные таблиц 1 и 8.

/>

Промежуточные расчетыпредставим в таблице 9.

Таблица 9. Промежуточныерасчеты для показательной функции.

t xi Y

/>

y/>

/>

/>

/>

/>

1 38 1,839 69,882 69 62,632 6,368 10,167 40,552 2 28 1,716 48,048 52 49,893 2,107 4,223 4,44 3 27 1,663 44,901 46 48,771 -2,771 5,682 7,68 4 37 1,799 66,563 63 61,224 1,776 2,901 3,155 5 46 1,863 85,698 73 75,128 -2,128 2,832 4,528 6 27 1,681 45,387 48 48,771 -0,771 1,581 0,595 7 41 1,826 74,866 67 67,054 -0,054 0,08 0,003 8 39 1,793 69,927 62 64,072 -2,072 3,235 4,295 9 28 1,672 46,816 47 49,893 -2,893 5,798 8,369 10 44 1,826 80,344 67 71,788 -4,788 6,669 22,921

/>=63,2432

/>

Уравнение будет иметьвид:

/>

Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

/>

Рассчитаем коэффициентдетерминации по формуле (1).

/>=930,4; />

/>

Вычислим среднюю ошибкуаппроксимации А по формуле (2):

/>

А=0,1*43,170=4,317%

Коэффициент эластичностирассчитаем по формуле (3):

/>%

Построим график функции спомощью MS Excel.

/>

Рис. 4. Графикпоказательного уравнения регрессии.

Построениегиперболической функции.

Уравнение гиперболическойфункции />

Произведем линеаризациюмодели путем замены Х=1/х.

В результате получимлинейное уравнение: />

Рассчитаем параметрыуравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.

Таблица 10. Расчетпараметров для гиперболической модели.

t xi yi X=1/xi y*X

/>

/>

/>

/>

/>

1 38 69 0,02632 1,81579 0,00069 63,5648 5,4352 7,877 29,5409 2 28 52 0,03571 1,85714 0,00128 50,578 1,422 2,7346 2,0221 3 27 46 0,03704 1,7037 0,00137 48,7502 -2,7502 5,9787 7,5637 4 37 63 0,02703 1,7027 0,00073 62,5821 0,4179 0,6634 0,1747 5 46 73 0,02174 1,58696 0,00047 69,8889 3,1111 4,2618 9,6791 6 27 48 0,03704 1,77778 0,00137 48,7502 -0,7502 1,563 0,5628 7 41 67 0,02439 1,63415 0,00059 66,2256 0,7744 1,1559 0,5998 8 39 62 0,02564 1,58974 0,00066 64,4972 -2,4972 4,0278 6,2362 9 28 47 0,03571 1,67857 0,00128 50,578 -3,578 7,6128 12,8021 10 44 67 0,02273 1,52273 0,00052 68,5235 -1,5235 2,2738 2,3209

/>

/>

/>

/>

/>

Уравнение гиперболическоймодели:

/>

Рассчитаем коэффициентдетерминации по формуле (1).

/>=930,4; />

/>

Вычислим среднюю ошибкуаппроксимации А по формуле (2):

/>

А=0,1*38,1488=3,81488%

Коэффициент эластичностирассчитаем по формуле (3):

/>/>%

Построим график функции спомощью MS Excel.

/>

Рис. 5 Графикгиперболического уравнения регрессии.

9. Для указанных моделейнайти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средниеотносительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам исделать выводы.

Коэффициенты былирассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:

Таблица11. Своднаятаблица характеристик моделей.

параметры

модель

Коэффициент детерминации, R/>

Коэффициент эластичности,/>(%)

Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%) Линейная 0,917 0,788 3,648 Степенная 0,909 0,692 4,22 Показательная 0,896 0,817 4,317 Гиперболическая 0,923 0,638 3,815

Для всех моделей средняяотносительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всехмоделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболическоймодели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построенияпрогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным ирезультативным признаком самая низкая, т.к. />имеет наименьшее значение, а дляпоказательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.