Реферат: Фізика напівпровідників

--PAGE_BREAK--    продолжение
--PAGE_BREAK--§ 4.8. Явище електромагнітної індукції. Закон Фарадея, правило Ленца. Явище самоіндукції, індуктивність контура (соленоїда). Взаємоіндукція.
Явищем електромагнітної індукції називається виникнення електричного струму в замкненому контурі при зміні магнітного потоку через цей контур. Це явище було відкрите Фарадеєм у 1831 році. Він установив закон, згідно якому е.р.с. індукції, що виникає в контурі, дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню, обмежену цим контуром:
<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image156.wmz» o:><img width=«93» height=«48» src=«dopb207883.zip» v:shapes="_x0000_i1120">; (4.33)
це – миттєве значення е.р.с. індукції. Середнє значення е.р.с. індукції
<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image158.wmz» o:><img width=«115» height=«48» src=«dopb207884.zip» v:shapes="_x0000_i1121"> . (4.34)
Знак “–” у законі Фарадея відповідає правилу Ленца: індукційний струм має такий напрямок, щоб своїм магнітним потоком протидіяти зміні того магнітного потоку, який викликає появу даного індукційного струму.
Якщо по провідному контуру тече струм силою І, то поверхню, обмежену цим контуром, перетинає власний магнітний потік Ф (мал.4.15), що пропорційний силі струму, <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image160.wmz» o:><img width=«44» height=«19» src=«dopb207885.zip» v:shapes="_x0000_i1122">, або
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image162.wmz» o:><img width=«55» height=«19» src=«dopb207886.zip» v:shapes="_x0000_i1123">, (4.35)
де коефіцієнт пропорційності L залежить від розмірів і форми контура, а також – від магнітної проникності навколишнього середовища. Він називається індуктивністю контура Якщо сила струму в контурі змінюється, то в ньому виникає, згідно із законом Фарадея, е.р.с. індукції, яка в даному випадку називається е.р.с. самоіндукції. Отже, самоіндукцією називається явище виникнення е.р.с. та індукційного струму в тому самому контурі, по якому тече змінний електричний струм. Застосовуючи формули (4.33) та (4.35), для е.р.с. самоіндукції запишемо
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image164.wmz» o:><img width=«89» height=«48» src=«dopb207887.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> (4.36)
Знак “–” в (4.36), у відповідності з правилом Ленца, означає, що струм самоіндукції завжди протидіє зміні струму, який викликав його появу.
В системі СІ одиницею індуктивності є Генрі. З (4.36) отримаємо:
<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image166.wmz» o:><img width=«124» height=«51» src=«dopb207888.zip» v:shapes="_x0000_i1125">=Гн.
Знайдемо тепер вираз для індуктивності довгого соленоїда. Магнітний потік соленоїда дорівнює сумі магнітних потоків через усі N витків соленоїда. Враховуючи, що всередині соленоїда магнітне поле однорідне й напрямлене паралельно до осі соленоїда, запишемо <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image168.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb207889.zip» v:shapes="_x0000_i1126">, де <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image170.wmz» o:><img width=«68» height=«25» src=«dopb207890.zip» v:shapes="_x0000_i1127">–магнітний потік через один виток, S – площа витка. Враховуючи (4.17), отримаємо <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image172.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb207891.zip» v:shapes="_x0000_i1128">, де <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image174.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb207892.zip» v:shapes="_x0000_i1129">– число витків на одиниці довжини
Соленоїда; N<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image176.wmz» o:><img width=«33» height=«19» src=«dopb207893.zip» v:shapes="_x0000_i1130">, тому
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image178.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb207894.zip» v:shapes="_x0000_i1131"> (4.37)
Підставивши (4.37) у (4.35), знайдемо
<shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image180.wmz» o:><img width=«97» height=«29» src=«dopb207895.zip» v:shapes="_x0000_i1132"> – (4.38)
індуктивність довгого соленоїда.
Розглянемо тепер два близько розміщених провідних контури. Нехай по одному з цих контурів тече електричний струм силою <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image182.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb207856.zip» v:shapes="_x0000_i1133"> (мал.4.16).
<shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image183.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb207896.zip» v:shapes="_x0000_i1134">– власний магнітний потік першого контура Частину цього магнітного потоку, який перетинає другий контур, позначимо <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image185.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb207897.zip» v:shapes="_x0000_i1135">. Очевидно, що <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image187.wmz» o:><img width=«73» height=«25» src=«dopb207898.zip» v:shapes="_x0000_i1136">, тобто <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image189.wmz» o:><img width=«120» height=«25» src=«dopb207899.zip» v:shapes="_x0000_i1137">, де <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image191.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb207900.zip» v:shapes="_x0000_i1138">– коефіцієнт взаємної індукції контурів 2 і 1. Якщо <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image182.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb207856.zip» v:shapes="_x0000_i1139"> змінюється, то змінюється і <shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image193.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb207897.zip» v:shapes="_x0000_i1140">, і в контурі 2 виникає е.р.с. взаємоіндукції
<shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image194.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb207901.zip» v:shapes="_x0000_i1141"><shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image196.wmz» o:><img width=«173» height=«48» src=«dopb207902.zip» v:shapes="_x0000_i1142">. (4.39)
Якщо, навпаки, змінний струм тече в контурі 2, а е.р.с. індукується в контурі 1, то отримаємо аналогічний результат: <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image198.wmz» o:><img width=«111» height=«25» src=«dopb207903.zip» v:shapes="_x0000_i1143">;
<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image200.wmz» o:><img width=«193» height=«48» src=«dopb207904.zip» v:shapes="_x0000_i1144">, (4.40)
де <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image202.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb207905.zip» v:shapes="_x0000_i1145">– коефіцієнт взаємної індукції контурів 1 і 2. Можна довести, що <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image204.wmz» o:><img width=«92» height=«25» src=«dopb207906.zip» v:shapes="_x0000_i1146">, тобто можна говорити про коефіцієнт взаємної індукції двох контурів. Цей коефіцієнт залежить від розмірів та форми контурів, магнітної проникності навколиш-нього середовища та від їх взаємного розміщення. Так, для двох котушок, що мають спільне тороїдальне осердя, (мал.4.17)
 <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image206.wmz» o:><img width=«203» height=«47» src=«dopb207907.zip» v:shapes="_x0000_i1147">, (4.41)
де l – довжина середньої лінії осердя, <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image208.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb207908.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> та <shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image210.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb207909.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> – кількості витків першої та другої котушок.
§ 4.9. Енергія магнітного поля. Густина енергії магнітного поля
Провідник зі струмом завжди оточений магнітним полем, причому магнітне поле з’являється і зникає разом із виникненням та зникненням електричного струму. Оскільки магнітне поле, як і електричне, володіє енергією, то очевидно, що енергія магнітного поля дорівнює роботі, виконаній джерелом при створенні цього струму.
Розглянемо контур індуктивністю L, по якому тече струм силою І. Власний магнітний потік <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image212.wmz» o:><img width=«56» height=«19» src=«dopb207910.zip» v:shapes="_x0000_i1150">. При зміні сили струму на dI магнітний потік змінюється на dФ<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image214.wmz» o:><img width=«45» height=«20» src=«dopb207911.zip» v:shapes="_x0000_i1151">. При цьому, згідно (4.32), джерело струму виконує роботу <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image216.wmz» o:><img width=«127» height=«20» src=«dopb207912.zip» v:shapes="_x0000_i1152">.
Проінтегрувавши останній вираз, отримаємо <shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image218.wmz» o:><img width=«141» height=«57» src=«dopb207913.zip» v:shapes="_x0000_i1153">.
Отже, енергія магнітного поля контура
<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image220.wmz» o:><img width=«81» height=«51» src=«dopb207914.zip» v:shapes="_x0000_i1154">. (4.42)
Знайдемо тепер енергію магнітного поля всередині довгого соленоїда. Підставивши (4.38) у (4.42), отримаємо
<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image222.wmz» o:><img width=«133» height=«51» src=«dopb207915.zip» v:shapes="_x0000_i1155">.
Враховуючи, що об’єм магнітного поля практично співпадає з об’ємом соленоїда <shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image224.wmz» o:><img width=«52» height=«20» src=«dopb207916.zip» v:shapes="_x0000_i1156">, а напруженість магнітного поля в соленоїді <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image226.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb207917.zip» v:shapes="_x0000_i1157">, останній вираз запишемо у вигляді
<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image228.wmz» o:><img width=«115» height=«52» src=«dopb207918.zip» v:shapes="_x0000_i1158">. (4.43)
Введемо тепер поняття густини енергії магнітного поля як енергії одиниці об’єму поля
<shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image230.wmz» o:><img width=«83» height=«48» src=«dopb207919.zip» v:shapes="_x0000_i1159">. (4.44)
Підставивши (4.43) у (4.44), для густини енергії магнітного поля одержимо
<shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image232.wmz» o:><img width=«227» height=«57» src=«dopb207920.zip» v:shapes="_x0000_i1160">. (4.45)
Формула (4.45), виведена для однорідного поля всередині соленоїда, лишається справедливою для будь-якого магнітного поля.
§ 4.10. Магнітне поле в речовині
У всіх тілах, що знаходяться в магнітному полі, виникає результуючий магнітний момент. Це явище називають намагнічуванням, а відповідне тіло – магнетиком.
Магнітне поле в магнетику складається з двох частин: поля макрострумів, що течуть по провідниках, з індукцією <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image234.wmz» o:><img width=«77» height=«28» src=«dopb207921.zip» v:shapes="_x0000_i1161"> і власного поля <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image236.wmz» o:><img width=«21» height=«23» src=«dopb207922.zip» v:shapes="_x0000_i1162">, створеного мікрострумами середовища. Індукція результуючого магнітного поля в магнетику <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image238.wmz» o:><img width=«92» height=«28» src=«dopb207923.zip» v:shapes="_x0000_i1163">.
В молекулах речовини циркулюють замкнені струми; кожен такий струм має магнітний момент; у відсутності зовнішнього магнітного поля молекулярні струми, внаслідок теплового руху молекул, орієнтовані хаотично і створене ними середнє поле дорівнює нулю. У зовнішньому полі магнітні моменти молекул орієнтуються переважно вздовж напрямку <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image240.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb207924.zip» v:shapes="_x0000_i1164">( в деяких речовинах, так званих діамагнетиках,– проти зовнішнього поля), внаслідок чого речовина намагнічується. Кількісною характеристикою намагнічування речовини є вектор намагнічування (<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image242.wmz» o:><img width=«13» height=«24» src=«dopb207925.zip» v:shapes="_x0000_i1165">), рівний векторній сумі магнітних моментів <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image244.wmz» o:><img width=«31» height=«28» src=«dopb207926.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> усіх молекул в одиниці об’єму речовини:
<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image246.wmz» o:><img width=«84» height=«77» src=«dopb207927.zip» v:shapes="_x0000_i1167">. (4.46)
Вектор намагнічування пропорційний напруженості магнітного поля:
<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image248.wmz» o:><img width=«56» height=«27» src=«dopb207928.zip» v:shapes="_x0000_i1168">. (4.47)
Коефіцієнт пропорційності <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image250.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207929.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> називається магнітною сприйнятливістю; це безрозмірна величина, що залежить від природи магнетика.
Величини <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image009.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207815.zip» v:shapes="_x0000_i1170">, <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image064.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb207811.zip» v:shapes="_x0000_i1171">, <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image252.wmz» o:><img width=«13» height=«24» src=«dopb207925.zip» v:shapes="_x0000_i1172">, а також <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image026.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207823.zip» v:shapes="_x0000_i1173"> і <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image250.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207929.zip» v:shapes="_x0000_i1174"> зв’язані між собою:
<shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image253.wmz» o:><img width=«67» height=«28» src=«dopb207930.zip» v:shapes="_x0000_i1175">; <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image255.wmz» o:><img width=«116» height=«28» src=«dopb207931.zip» v:shapes="_x0000_i1176">; <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image257.wmz» o:><img width=«68» height=«23» src=«dopb207932.zip» v:shapes="_x0000_i1177">; <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image259.wmz» o:><img width=«79» height=«28» src=«dopb207933.zip» v:shapes="_x0000_i1178">.
Крива залежності В (Н) називається кривою намагнічування.
Речовини, для яких <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image250.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207929.zip» v:shapes="_x0000_i1179"><shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image261.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb207934.zip» v:shapes="_x0000_i1180">, <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«23» src=«dopb207935.zip» v:shapes="_x0000_i1181">, називаються парамагнетиками (<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image265.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb207936.zip» v:shapes="_x0000_i1182">; <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image267.wmz» o:><img width=«32» height=«20» src=«dopb207937.zip» v:shapes="_x0000_i1183">; <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image269.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb207938.zip» v:shapes="_x0000_i1184">; Fe Cl<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image271.wmz» o:><img width=«12» height=«25» src=«dopb207939.zip» v:shapes="_x0000_i1185">).
Речовини, для яких <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image273.wmz» o:><img width=«41» height=«23» src=«dopb207940.zip» v:shapes="_x0000_i1186">, <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image275.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb207941.zip» v:shapes="_x0000_i1187">, називаються діамагнетиками (<shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image277.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb207942.zip» v:shapes="_x0000_i1188">; <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image279.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb207909.zip» v:shapes="_x0000_i1189">; Zn; <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image280.wmz» o:><img width=«27» height=«20» src=«dopb207943.zip» v:shapes="_x0000_i1190">; <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image282.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb207944.zip» v:shapes="_x0000_i1191">; He; Аr; Сr; Ne).
Речовини, для яких <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image284.wmz» o:><img width=«49» height=«23» src=«dopb207945.zip» v:shapes="_x0000_i1192">, називаються феромагнетиками (Fe; Со; Ni).
Феромагнетики відрізняються від парамагнетиків і діамагнетиків рядом властивостей:
а) крива намагнічування феромагнетика має складний характер (мал. 4.18), тоді як для парамагнетиків вона являє собою пряму з додатнім кутовим коефіцієнтом, а для діамагнетиків – пряму з від’ємним кутовим коефіцієнтом;
б)магнітна проникність <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image026.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207823.zip» v:shapes="_x0000_i1193"> феромагнетиків залежить від напруженості поля; у діа- і парамагнетиків – не залежить;
в) розмагнічений феромагнетик намагнічується зовнішнім магнітним полем; залежність В(Н) виражається кривою 01 (мал.4.18). При зменшенні Н до нуля В(Н) змінюється по кривій 1-2; має місце відставання зміни індукції від зміни напруженості. Це явище називається магнітним гістерезисом. Магнітна індукція, що зберігається в феромагнетику після зникнення зовнішнього поля (коли Н=0), називається залишковою магнітною індукцією (Вr). Щоб розмагнітити феромагнетик, треба зняти залишкову індукцію; для цього потрібно створити поле протилежного напрямку. Напруженість поля Нс (відрізок 03 на мал.4.18), при якій магнітна індукція дорівнює нулю, називається коерцитивною силою.
Така залежність В (Н) називається петлею гістерезису.
Властивості феромагнетиків пояснюються наявністю в них областей спонтанної намагніченості – доменів. Розташування магнітних моментів доменів у відсутності зовнішнього поля – хаотичне, тому і сумарна намагніченість дорівнює нулю. В зовнішньому полі магнітні моменти доменів повертаються вздовж поля і феромагнетик намагнічується.

§ 4.11. Вільні електромагнітні коливання
Вільні електромагнітні коливання виникають в ідеальному коливному контурі, що складається з конденсатора ємністю С та котушки індуктивністю L (мал.4.19). Конденсатор заряджається від джерела постійної напруги (ключ К в положенні 1) і в момент часу t=0 під’єднується до котушки (ключ К в положенні 2). Процес розрядки конденсатора супроводжується збільшенням сили струму в котушці; отже, з’являється е.р.с. самоіндукції. Згідно з правилом Лєнца, струм самоіндукції тече проти струму розрядки. Через чверть періода конденсатор повністю розряджений, а сила струму в котушці досягає максимуму. Далі сила струму в котушці зменшується, а струм самоіндукції, згідно з правилом Лєнца, тече в тому ж самому напрямку, що і струм розрядки, перезаряджаючи конденсатор. Далі такі процеси повторюються у зворотньому напрямку, і в момент часу t=T система повертається у вихідний стан.
Періодичні зміни заряду на пластинах конденсатора та сили струму в котушці називаються електромагнітними коливаннями. Якщо втрати енергії на нагрівання відсутні (контур ідеальний, R=0), то коливання будуть незгасаючими. Запишемо для такого контура 2-й закон Кірхгофа: <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image286.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb207946.zip» v:shapes="_x0000_i1194">, де <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image288.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb207947.zip» v:shapes="_x0000_i1195"> – напруга на конденсаторі, <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image290.wmz» o:><img width=«168» height=«25» src=«dopb207948.zip» v:shapes="_x0000_i1196">–е.р.с. самоіндукції. Підставивши вирази для цих двох величин в 2-й закон Кірхгофа, після нескладних перетворень отримаємо
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image292.wmz» o:><img width=«99» height=«29» src=«dopb207949.zip» v:shapes="_x0000_i1197">, (4.48)
де <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image294.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb207950.zip» v:shapes="_x0000_i1198"> – циклічна частота вільних електромагнітних коливань (власна частота). (4.48) являє собою диференціальне рівняння вільних електромагнітних коливань; його розв’язок має вигляд
<shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image296.wmz» o:><img width=«107» height=«25» src=«dopb207951.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> (4.49)
(кінетичне рівняння вільних електромагнітних коливань). Період вільних електромагнітних коливань
<shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image298.wmz» o:><img width=«135» height=«52» src=«dopb207952.zip» v:shapes="_x0000_i1200"> (4.50)
(формула Томсона).
Знайдемо тепер вираз для сили струму в котушці контура: <shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image300.wmz» o:><img width=«331» height=«25» src=«dopb207953.zip» v:shapes="_x0000_i1201">, або
<shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image302.wmz» o:><img width=«152» height=«79» src=«dopb207954.zip» v:shapes="_x0000_i1202"> (4.51)
Видно, що коливання сили струму І випереджують коливання заряду q на чверть періода (мал. 4.20).
При вільних гар-монічних коливан-нях в коливному контурі відбуває-ться періодичне перетворення енер-гії електричного поля конденсатора <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image304.wmz» o:><img width=«80» height=«52» src=«dopb207955.zip» v:shapes="_x0000_i1203"> в енер-гію магнітного поля котушки: <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image306.wmz» o:><img width=«97» height=«32» src=«dopb207956.zip» v:shapes="_x0000_i1204">.
Величини <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image308.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb207957.zip» v:shapes="_x0000_i1205"> та <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image310.wmz» o:><img width=«31» height=«25» src=«dopb207958.zip» v:shapes="_x0000_i1206"> змінюються від 0 до максимальних значень, рівних, відповідно, <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image312.wmz» o:><img width=«144» height=«29» src=«dopb207959.zip» v:shapes="_x0000_i1207"> та <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image314.wmz» o:><img width=«136» height=«29» src=«dopb207960.zip» v:shapes="_x0000_i1208">. Коливання <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image316.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb207957.zip» v:shapes="_x0000_i1209"> і Wм зміщені за фазою: в ті моменти часу, коли <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image317.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb207961.zip» v:shapes="_x0000_i1210">, <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image319.wmz» o:><img width=«116» height=«25» src=«dopb207962.zip» v:shapes="_x0000_i1211"> і навпаки. Повна енергія електромагнітних коливань в контурі з часом не змінюється:
 <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image321.wmz» o:><img width=«299» height=«53» src=«dopb207963.zip» v:shapes="_x0000_i1212">. (4.52)
§ 4.12. Згасаючі електромагнітні коливання
Згасання коливань в реальному коливному контурі, опір якого R<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image323.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb207964.zip» v:shapes="_x0000_i1213">, обумовлене втратою енергії на нагрівання провідників.
Запишемо для реального контура (мал.4.21) 2-й закон Кірхгофа:
 <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image325.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb207965.zip» v:shapes="_x0000_i1214"><shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1215"> (4.53)
де <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image329.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb207967.zip» v:shapes="_x0000_i1216"> – напруга на конденсаторі, <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image331.wmz» o:><img width=«115» height=«25» src=«dopb207968.zip» v:shapes="_x0000_i1217"> – напруга на опорі, <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image333.wmz» o:><img width=«167» height=«25» src=«dopb207969.zip» v:shapes="_x0000_i1218">– е.р.с. самоіндукції. Підставивши вирази для цих величин в (4.53), після нескладних перетворень одержимо диференціальне рівняння згасаючих електромагнітних коливань
<shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image335.wmz» o:><img width=«151» height=«29» src=«dopb207970.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, (4.54)
де <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image337.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb207971.zip» v:shapes="_x0000_i1220"> – коефіцієнт згасання, <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image339.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb207950.zip» v:shapes="_x0000_i1221"> – власна циклічна частота. Розв’язок (4.54) має вигляд
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image340.wmz» o:><img width=«177» height=«31» src=«dopb207972.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> , (4.55)
що є кінематичним рівнянням згасаючих електромагнітних коливань. Частота згасаючих коливань
<shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image342.wmz» o:><img width=«216» height=«59» src=«dopb207973.zip» v:shapes="_x0000_i1223">. (4.56)
Графік згасаючих коливань, побудований згідно (4.55), зображений на (мал.4.22).
Логарифмічний декремент згасання – це логарифм відношення двох амплітуд, розділених в часі на один період:
<shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image344.wmz» o:><img width=«321» height=«60» src=«dopb207974.zip» v:shapes="_x0000_i1224"><shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image346.wmz» o:><img width=«77» height=«23» src=«dopb207975.zip» v:shapes="_x0000_i1225">. (4.57)
Ця формула встановлює зв’язок між логарифмічним декрементом, коефіцієнтом згасання та періодом згасаючих коливань.
§ 4.13. Вимушені електромагнітні коливання
Для здійснення вимушених електромагнітних коливань в коливний контур потрібно включити джерело змінної напруги <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image348.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb207976.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> (мал.4.23).
Запишемо 2-й закон Кірхгофа для такого контура
<shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image350.wmz» o:><img width=«205» height=«25» src=«dopb207977.zip» v:shapes="_x0000_i1227">, (4.58)
де <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image352.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb207967.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> – напруга на конденсаторі, <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image353.wmz» o:><img width=«115» height=«25» src=«dopb207968.zip» v:shapes="_x0000_i1229"> – напруга на опорі, <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image354.wmz» o:><img width=«168» height=«25» src=«dopb207948.zip» v:shapes="_x0000_i1230">– е.р.с. самоіндукції. Підставивши вирази для цих величин в (4.58) після перетворень отримаємо
 <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image355.wmz» o:><img width=«213» height=«47» src=«dopb207978.zip» v:shapes="_x0000_i1231">, (4.59)
тобто диференціальне рівняння вимушених електромагнітних коливань, в якому <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image337.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb207971.zip» v:shapes="_x0000_i1232">; <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image357.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb207950.zip» v:shapes="_x0000_i1233">. Його розв’язок для коливань, що встановились, має вигляд
<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image358.wmz» o:><img width=«144» height=«25» src=«dopb207979.zip» v:shapes="_x0000_i1234">, (4.60)
де <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image360.wmz» o:><img width=«223» height=«59» src=«dopb207980.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> – (4.61)
амплітуда вимушених коливань,
<shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image362.wmz» o:><img width=«147» height=«53» src=«dopb207981.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> – (4.62)
початкова фаза вимушених коливань.
Графік вимушених коливань приведений на (мал.4.24).Як видно з (4.61), амплітуда вимушених коливань залежить від співвідношення між частотою змінної напруги <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image364.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb207982.zip» v:shapes="_x0000_i1237"> і власною частотою контура <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image366.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb207983.zip» v:shapes="_x0000_i1238">.
Графік залежності q0<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image364.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb207982.zip» v:shapes="_x0000_i1239">приведений на мал.4.25. При деякій частоті змінної напруги, яка називається резонансною, амплітуда вимушених коливань досягає максимуму (мал.4.25). Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змінної напруги до резонансної називається резонансом. Можна показати, що
<shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image368.wmz» o:><img width=«236» height=«59» src=«dopb207984.zip» v:shapes="_x0000_i1240">. (4.63)
В ідеальному контурі (R=0), як видно з (4.63), <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image370.wmz» o:><img width=«64» height=«28» src=«dopb207985.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> і <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image372.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb207986.zip» v:shapes="_x0000_i1242">, коли <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image374.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb207987.zip» v:shapes="_x0000_i1243">(див.4.61).
Знайдемо вираз сили струму <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image376.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb207988.zip» v:shapes="_x0000_i1244">. З урахуванням (4.60) і (4.61) після перетворень отримаємо
<shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image378.wmz» o:><img width=«239» height=«76» src=«dopb207989.zip» v:shapes="_x0000_i1245">,<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1246">(4.64)
Вираз (4.64) являє собою закон Ома для кола змінного струму, де повний опір (імпеданс) контура
 <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image380.wmz» o:><img width=«184» height=«52» src=«dopb207990.zip» v:shapes="_x0000_i1247">, (4.65)
<shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image382.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb207991.zip» v:shapes="_x0000_i1248"> – індуктивний опір котушки, <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image384.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb207992.zip» v:shapes="_x0000_i1249"> – ємнісний опір конденсатора, R – активний опір контура.
§ 4.14. Рівняння Максвела для електромагнітного поля. Електромагнітні хвилі
Максвел створив теорію електромагнітного поля, яка дозволила з єдиної точки зору пояснити електричні та магнітні явища. В її основі лежать 4 рівняння (рівняння Максвела в інтегральній формі):
1)                <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image386.wmz» o:><img width=«152» height=«53» src=«dopb207993.zip» v:shapes="_x0000_i1250">
це рівняння показує, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні магнітні поля: в кожній точці простору, внаслідок зміни з часом індукції магнітного поля, утворюється вихрове електричне поле, напруженість якого <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image388.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> лежить в площині, перпендикулярній <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image009.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207815.zip» v:shapes="_x0000_i1252">.
2)                <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image390.wmz» o:><img width=«172» height=«53» src=«dopb207995.zip» v:shapes="_x0000_i1253">
це рівняння показує, що магнітні поля можуть створюватись як електричним струмом, так і змінним електричним полем. Змінний струм, на відміну від постійного, проходить через конденсатор; але цей струм не являється струмом провідності; він називається струмом зміщення. Струм зміщення являє собою змінне електричне поле; його густина <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image392.wmz» o:><img width=«93» height=«25» src=«dopb207996.zip» v:shapes="_x0000_i1254">
3)                <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image394.wmz» o:><img width=«109» height=«44» src=«dopb207997.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> – теорема Гауса для електричного поля.
4)                <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image396.wmz» o:><img width=«81» height=«44» src=«dopb207998.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> – теорема Гауса для магнітного поля.
Величини, що входять в рівняння Максвела зв’язані між собою співвідношеннями
<shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image398.wmz» o:><img width=«73» height=«28» src=«dopb207999.zip» v:shapes="_x0000_i1257">, <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image400.wmz» o:><img width=«79» height=«28» src=«dopb207828.zip» v:shapes="_x0000_i1258">, <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image401.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb208000.zip» v:shapes="_x0000_i1259">
(<shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image403.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208001.zip» v:shapes="_x0000_i1260"><shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image405.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208002.zip» v:shapes="_x0000_i1261">– електрична і магнітна сталі, відповідно,
<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image407.wmz» o:><img width=«29» height=«19» src=«dopb208003.zip» v:shapes="_x0000_i1262"> – діелектрична та магнітна проникності,
<shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i1263"> – питома електропровідність).
Сукупність змінних електричного та магнітного полів, що нерозривно зв’язані одне з одним, називається електромагнітним полем.
Можна показати, що перші два рівняння Максвела можна перетворити таким чином:
 <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image411.wmz» o:><img width=«348» height=«119» src=«dopb208005.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> (4.66)
тобто вектори напруженостей <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image413.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1265"> та <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image414.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb207811.zip» v:shapes="_x0000_i1266"> змінного електромагнітного поля задовольняють хвильовому рівнянню <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image415.wmz» o:><img width=«115» height=«56» src=«dopb208006.zip» v:shapes="_x0000_i1267"> Будь-яка функція, що задовольняє хвильовому рівнянню, описує деяку хвилю. Отже, з рівнянь Максвела випливає, що електромагнітне поле існує у вигляді електромагнітних хвиль. Їх основні властивості:
а) вектори напруженостей електричного і магнітного полів <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image417.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208007.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> та <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image419.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb208008.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> в електромагнітній хвилі перпендикулярні, як один до одного, так і до напрямку поширення хвилі.
б) коливання векторів <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image421.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1270"> та <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image422.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb207811.zip» v:shapes="_x0000_i1271"> відбуваються синфазно в часі і просторі, тобто <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image388.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> та <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image064.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb207811.zip» v:shapes="_x0000_i1273"> одночасно досягають максимуму і одночасно перетворюються на нуль (див. мал.4.26);
в) миттєві значення Е та Н зв’язані співвідношенням
<shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image423.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb208009.zip» v:shapes="_x0000_i1274">; (4.67)
г) швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі залежить від властивостей середовища
<shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image425.wmz» o:><img width=«68» height=«53» src=«dopb208010.zip» v:shapes="_x0000_i1275"> (4.68)
де <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image427.wmz» o:><img width=«188» height=«31» src=«dopb208011.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> – швидкість світла у вакуумі, <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image429.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb208012.zip» v:shapes="_x0000_i1277"> та <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image026.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207823.zip» v:shapes="_x0000_i1278"> – електрична та магнітна проникності середовища. Оскільки <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image431.wmz» o:><img width=«39» height=«23» src=«dopb208013.zip» v:shapes="_x0000_i1279">, а <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image433.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb208014.zip» v:shapes="_x0000_i1280">, то <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image435.wmz» o:><img width=«41» height=«16» src=«dopb208015.zip» v:shapes="_x0000_i1281">, тобто швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищах завжди менша ніж у вакуумі.
Хвильовому рівнянню (4.66) задовольняє, зокрема, плоска біжуча хвиля. Рівняння плоскої електромагнітної хвилі, що розповсюджується вздовж осі х:
    продолжение
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image437.wmz» o:><img width=«215» height=«108» src=«dopb208016.zip» v:shapes="_x0000_i1282">, (4.69)
де <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image439.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208017.zip» v:shapes="_x0000_i1283"> і <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image441.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208018.zip» v:shapes="_x0000_i1284">– амплітуди напруженостей електричного і магнітного полів, відповідно,<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image443.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb208019.zip» v:shapes="_x0000_i1285">– циклічна частота, х – координата, v – швидкість розповсюдження хвилі, <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image445.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208020.zip» v:shapes="_x0000_i1286"> – початкова фаза хвилі.
Електромагнітні хвилі переносять енергію. Об’ємна густина енергії електромагнітної хвилі дорівнює сумі об’ємних густин енергії електричного <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image447.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb208021.zip» v:shapes="_x0000_i1287">і магнітного <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image449.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb208022.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> полів:
<shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image451.wmz» o:><img width=«296» height=«52» src=«dopb208023.zip» v:shapes="_x0000_i1289">.
З використанням (4.67) останнє рівняння можна привести до вигляду
<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image453.wmz» o:><img width=«353» height=«48» src=«dopb208024.zip» v:shapes="_x0000_i1290">, (4.70)
де <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image455.wmz» o:><img width=«116» height=«31» src=«dopb208025.zip» v:shapes="_x0000_i1291"> – швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищі.
Перенос енергії електромагнітною хвилею характеризується вектором Пойнтінга <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image457.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb208026.zip» v:shapes="_x0000_i1292">, модуль якого дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу через площадку одиничної площі, перпендикулярну до напрямку розповсюдження хвилі.
<shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image459.wmz» o:><img width=«157» height=«68» src=«dopb208027.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> (4.71)
Електромагнітні хвилі мають широкий діапазон частот, відрізняються за способами генерації та застосуванням (див. шкалу електромагнітних хвиль).
Шкала електромагнітних хвиль
Вид
випромінювання
Довжини хвиль,
м
Частоти,
Гц
Основні способи генерації та застосування
 Радіохвилі
<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image461.wmz» o:><img width=«63» height=«24» src=«dopb208028.zip» v:shapes="_x0000_i1294">
<shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image463.wmz» o:><img width=«81» height=«24» src=«dopb208029.zip» v:shapes="_x0000_i1295">
Генератори електромагніт-них коливань різних конст-рукцій. Використовуються в телеграфії, телебаченні, раді-олокації, радіоастрономії.
Інфрачервоні
промені
<shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image465.wmz» o:><img width=«92» height=«24» src=«dopb208030.zip» v:shapes="_x0000_i1296">
<shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image467.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb208031.zip» v:shapes="_x0000_i1297">
Випромінювання нагрітих тіл (дугові та газорозрядні лампи). Використовуються в інфрачервоній спектроскопії, при фотографуванні в темно-ті.
Видиме світло <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image469.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb208032.zip» v:shapes="_x0000_i1298">
<shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image471.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb208033.zip» v:shapes="_x0000_i1299">
Лампи, лазери.
Ультрафіолетові промені
<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image473.wmz» o:><img width=«83» height=«24» src=«dopb208034.zip» v:shapes="_x0000_i1300">
<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image475.wmz» o:><img width=«99» height=«25» src=«dopb208035.zip» v:shapes="_x0000_i1301">
Випромінювання Сонця, ртутні лампи. Використову-ються в ультрафіолетовій мі-кроскопії, в медицині.
Рентгенівські промені
<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image477.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb208036.zip» v:shapes="_x0000_i1302">
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image479.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb208037.zip» v:shapes="_x0000_i1303">
Трубки Рентгена (Пулюя). Використовуються в медич- ній діагностиці, дефектоско-
пії.
<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image481.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb208038.zip» v:shapes="_x0000_i1304">промені
<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image483.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb208039.zip» v:shapes="_x0000_i1305">
<shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image485.wmz» o:><img width=«49» height=«24» src=«dopb208040.zip» v:shapes="_x0000_i1306">
Виникають при радіоактив- них розпадах ядер. Викорис- товуються в <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image481.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb208038.zip» v:shapes="_x0000_i1307">спектроско- пії.

Розділ V. Оптика. Теорія відносності.
§ 5.1. Закони відбивання і заломлення світла. Явище повного внутрішнього відбивання
В основі геометричної оптики лежать закони відбивання і заломлення світла.
Закон відбивання твердить, що відбитий промінь лежить в одній площині з падаючим променем і нормаллю, проведеною в точці падіння; при цьому кут відбивання рівний куту падіння (<shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image487.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb208041.zip» v:shapes="_x0000_i1308">.
Закон заломлення: промінь падаючий, заломлений і нормаль в точці падіння лежать в одній площині. Відношення синуса кута падіння <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image489.wmz» o:><img width=«15» height=«25» src=«dopb208042.zip» v:shapes="_x0000_i1309"> до синуса кута заломлення <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image491.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb208043.zip» v:shapes="_x0000_i1310"> є величина стала для даної пари двох середовищ і рівна відносному показнику заломлення другого середовища відносно першого <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image493.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208044.zip» v:shapes="_x0000_i1311"> (мал.5.1)
<shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image495.wmz» o:><img width=«93» height=«52» src=«dopb208045.zip» v:shapes="_x0000_i1312"><shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1313">                                     (5.1)
Відносний показник заломлення <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image497.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208044.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> – це відношення абсолютних показників заломлення середовищ <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image498.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208046.zip» v:shapes="_x0000_i1315"> і <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image500.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208047.zip» v:shapes="_x0000_i1316">, де <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image502.wmz» o:><img width=«67» height=«52» src=«dopb208048.zip» v:shapes="_x0000_i1317"> <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image504.wmz» o:><img width=«65» height=«52» src=«dopb208049.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> (с – швидкість світла у вакуумі, <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image506.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208050.zip» v:shapes="_x0000_i1319"> і<shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image508.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208051.zip» v:shapes="_x0000_i1320">– швидкості світла в першому і другому середовищах).
Отже,
<shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image510.wmz» o:><img width=«116» height=«52» src=«dopb208052.zip» v:shapes="_x0000_i1321"> (5.2)
Якщо промінь поширюється з оптично більш густого середовища в менш густе (<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image512.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208053.zip» v:shapes="_x0000_i1322">то при деякому граничному куті падіння <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image514.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208054.zip» v:shapes="_x0000_i1323"> заломлений промінь буде ковзати по межі поділу двох середовищ, тобто <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image516.wmz» o:><img width=«67» height=«29» src=«dopb208055.zip» v:shapes="_x0000_i1324"> При куті падіння <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image518.wmz» o:><img width=«47» height=«28» src=«dopb208056.zip» v:shapes="_x0000_i1325"> світловий промінь повністю відбивається. В цьому полягає суть явища повного внутрішнього відбивання (мал.5.2). Очевидно, в цьому випадку
<shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image520.wmz» o:><img width=«96» height=«28» src=«dopb208057.zip» v:shapes="_x0000_i1326">                                       (5.3)
На явищі повного внутрішнього відбивання базується робота приладів (рефрактометрів), які дозволяють визначати показник заломлення середовища.
§ 5.2. Тонкі лінзи.
Лінза називається тонкою, якщо її товщина d мала порівняно з радіусами кривизни її поверхонь R1 і R2 (мал.5.3).
Головною оптичною віссю лінзи називають пряму, що проходить через центри кривизни її поверхонь. Можна вважати, що в такій лінзі точки перетину головної оптичної осі з обома поверхнями лінзи співпадають. Цю точку називають центром лінзи. Промені, які проходять через центр лінзи, не зазнають заломлень.
Величину
<shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image522.wmz» o:><img width=«181» height=«52» src=«dopb208058.zip» v:shapes="_x0000_i1327"> (5.4)
називають оптичною силою тонкої лінзи <shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image524.wmz» o:><img width=«107» height=«25» src=«dopb208059.zip» v:shapes="_x0000_i1328"> <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image526.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208046.zip» v:shapes="_x0000_i1329"> і<shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image527.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208047.zip» v:shapes="_x0000_i1330">– абсолютні показники заломлення для матеріалу лінзи і оточуючого середовища). Для збирної (додатньої) лінзи Ф>0, для розсівної (від’ємної) Ф<0. Точки, що лежать на головній оптичній осі лінзи по обидві сторони від оптичного центру на відстанях, f, <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image528.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb208060.zip» v:shapes="_x0000_i1331"> називають головними фокусами лінзи (мал.5.4).
Для першого головного фокуса F
<shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image530.wmz» o:><img width=«191» height=«76» src=«dopb208061.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> (5.5)
Аналогічно друга головна фоку-
сна відстань
<shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image532.wmz» o:><img width=«183» height=«76» src=«dopb208062.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> (5.6)
Площини, які проходять через головні фокуси F і <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image534.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb208063.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> лінзи ерпендикулярно до головної оптичної осі, називаються фокальними площинами лінзи.
Найчастіше буває, що речовина по обидва боки від лінзи одна й таж (наприклад, повітря). Тоді головні фокусні відстані чисельно дорівнюють одна одній. Протилежні знаки означають, що головні фокуси лежать з різних боків від лінзи. Для збирної лінзи (оскільки Ф>0) <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image536.wmz» o:><img width=«87» height=«24» src=«dopb208064.zip» v:shapes="_x0000_i1335">, для розсівної лінзи (оскільки Ф<0) <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image538.wmz» o:><img width=«91» height=«24» src=«dopb208065.zip» v:shapes="_x0000_i1336">
Для лінз справедлива формула
<shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image540.wmz» o:><img width=«80» height=«48» src=«dopb208066.zip» v:shapes="_x0000_i1337">, (5.7)
або у вигляді
<shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image542.wmz» o:><img width=«79» height=«48» src=«dopb208067.zip» v:shapes="_x0000_i1338"> (5.8)
де всі відрізки відраховуються від центра лінзи, а радіуси кривизни завжди напрямлені від вершини поверхні до центра сферичної поверхні. Вони вважаються додатніми, якщо напрямлені в сторону поширення світла. Кути відраховуються від напрямку головної оптичної осі і вважаються додатніми, якщо вони відраховані за стрілкою годинника. Відрізки, перпендикулярні до оптичної осі, відраховуються від оптичної осі; вони додатні вище оптичної осі і від’ємні нижче оптичної осі.
При розв’язуванні задач основне рівняння тонкої лінзи (5.7) записують у вигляді:
<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image544.wmz» o:><img width=«95» height=«53» src=«dopb208068.zip» v:shapes="_x0000_i1339"> (5.9)
де <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image546.wmz» o:><img width=«44» height=«28» src=«dopb208069.zip» v:shapes="_x0000_i1340">, <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image548.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb208070.zip» v:shapes="_x0000_i1341">, знак плюс відповідає збирній лінзі, знак мінус – розсівній.
Лінійне збільшення для тонкої лінзи визначається як
<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image550.wmz» o:><img width=«84» height=«51» src=«dopb208071.zip» v:shapes="_x0000_i1342">. (5.10)
Для дійсних зображень Г<0, тобто вони обернені; для уявних зображень Г>0, тобто вони прямі.
Оптична сила Ф центрованої системи двох тонких лінз на відстані d одна від одної з оптичними силами Ф1 і Ф2 дорівнює
<shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image552.wmz» o:><img width=«176» height=«25» src=«dopb208072.zip» v:shapes="_x0000_i1343">. (5.11)
§ 5.3. Інтерференція світла
Інтерференція світла – це явище накладання когерентних світлових хвиль, в результаті якого відбувається перерозподіл світлової енергії в просторі. В точках простору, куди когерентні хвилі приходять у фазі, вони підсилюють одна одну; в точках, куди вони попадають в протифазі, відбувається послаблення світла. На екрані спостерігається характерна інтерференційна картина у вигляді чергування темних і світлих смуг – максимумів і мінімумів освітленості, якщо падаюче світло моно- хроматичне.
Хвилі називаються когерентними, якщо їхня різниця фаз не залежить від часу.
У випадку максимуму інтенсивності інтерференційної картини в оптичній різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число довжин хвиль (у вакуумі) <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image554.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb208073.zip» v:shapes="_x0000_i1344"> тобто
<shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image556.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb208074.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> (k=0, 1, 2, …) (5.12)
У середовищі довжина хвилі <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image558.wmz» o:><img width=«61» height=«47» src=«dopb208075.zip» v:shapes="_x0000_i1346"> Мінімум інтерференції спостерігається, коли в оптичній різниці ходу вкладається непарне число півхвиль, тобто
 ∆=<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image560.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb208076.zip» v:shapes="_x0000_i1347">(2k+1)<shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image562.wmz» o:><img width=«33» height=«47» src=«dopb208077.zip» v:shapes="_x0000_i1348">(k=0, 1, 2, …) (5.13)
Оптичною довжиною шляху променя називають добуток геометричного шляху променя на показник заломлення середовища.
Природні джерела світла не є когерентними. Це зумовлене тим, що акти випромінювань атомів відбуваються при хаотичній зміні різниці фаз. Для отримання когерентних світлових хвиль за допомогою звичайних джерел світла застосовують метод поділу світла від одного джерела (метод поділу амплітуди або фронту хвилі) на дві або декілька систем хвиль. В кожній з них представлене випромінювання одних і тих же атомів джерела, тому внаслідок однакового походження ці хвилі когерентні.
Поділ фронту хвилі відбувається при інтерференції на двох щілинах (дослід Юнга), дзеркалах Френеля, біпризмі Френеля. Поділ амплітуди світлових хвиль має місце при інтерференції на тонких плівках (плоскопаралельна пластинка, клин).
Можна показати, що відстань від центра інтерференційної картини до k–го інтерференційного максимуму
<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image564.wmz» o:><img width=«112» height=«48» src=«dopb208078.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> (5.14)
а мінімуму
<shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image566.wmz» o:><img width=«163» height=«69» src=«dopb208079.zip» v:shapes="_x0000_i1350"> (5.15)
де <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1351"> – довжина хвилі, L – відстань від екрана до джерел світла, d – відстань між джерелами. Зі співвідношень (5.14) і (5.15) видно, що відстань між інтерференційними смугами дорівнює
<shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image570.wmz» o:><img width=«73» height=«48» src=«dopb208081.zip» v:shapes="_x0000_i1352"><shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image572.wmz» o:><img width=«23» height=«40» src=«dopb208082.zip» v:shapes="_x0000_i1353">                                                 (5.16)
Умови максимумів і мінімумів інтерференції світла на плоскопаралельній пластинці (клину) у відбитому світлі визначаються співвідношеннями:
<shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image574.wmz» o:><img width=«229» height=«47» src=«dopb208083.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> (k=0, 1, 2, …) (5.17)
<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image576.wmz» o:><img width=«177» height=«35» src=«dopb208084.zip» v:shapes="_x0000_i1355"> (k=0, 1, 2, …) (5.18)
де d – товщина пластинки, <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image578.wmz» o:><img width=«24» height=«28» src=«dopb208085.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image580.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208046.zip» v:shapes="_x0000_i1357">– абсолютні показники заломлення середовищ, і – кут падіння променя на пластинку (мал.5.6).
У прохідному світлі умови підсилення і послаблення світла міняються місцями.
Інтерференційна картина на плоско-паралельній пластинці локалізована в нескінченності. Вона являє собою смуги рівного нахилу.
Умови (5.17) і (5.18) справедливі також для клину (клиноподібних плівок). У цьому випадку інтерференційна картина являє собою смуги рівної товщини і локалізована біля поверхні клину.
Явище інтерференції використовують в точних вимірювальних приладах – інтерферометрах, які з високою точністю дозволяють вимірювати відрізки довжин (похибка порядку <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image581.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb208086.zip» v:shapes="_x0000_i1358">м), показники заломлення (інтерференційний рефрактометр). Інтерферометри також застосовують для спектрального аналізу світла (інтерференційний спектрометр), чистоти обробки поверхні металевих виробів (інтерферометр Лінника).
Вертикальний пучок монохроматичного світла від джерела S падає під кутом <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image583.wmz» o:><img width=«31» height=«25» src=«dopb208087.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> на плоско-паралельну напівпрозору пластинку А. Частина світла відбивається пластиною (промінь 1), а частина–проходить крізь пластинку (промінь 2). Промінь 1 відбивається від дзеркала Д<shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image585.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208088.zip» v:shapes="_x0000_i1360">і частково проходить через пластинку А (промінь <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image587.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb208089.zip» v:shapes="_x0000_i1361">. Промінь 2 відбивається від дзеркала Д<shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image589.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb208090.zip» v:shapes="_x0000_i1362">і повертається до пластинки <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image591.wmz» o:><img width=«23» height=«23» src=«dopb208091.zip» v:shapes="_x0000_i1363"> двічі проходячи через скляну пластинку К, яка компенсує оптичну різницю ходу в обох плечах інтерферометра. Хвилі <shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image593.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208092.zip» v:shapes="_x0000_i1364"> і <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image595.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb208093.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> когерентні, їх оптична різниця ходу
 <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image597.wmz» o:><img width=«116» height=«25» src=«dopb208094.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> (5.19)
де n – абсолютний показник заломлення повітря, а <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image599.wmz» o:><img width=«15» height=«25» src=«dopb208095.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> і <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image601.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb208096.zip» v:shapes="_x0000_i1368">– відстані від точки О до дзеркал Д<shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image585.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208088.zip» v:shapes="_x0000_i1369">і Д<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image603.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208097.zip» v:shapes="_x0000_i1370">Якщо <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image605.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb208098.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> то спостерігається інтерференційний максимум. Зміщення одного з дзеркал на відстань <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image607.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb208099.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> приводить до появи інтерференційного мінімуму. Таким чином, по зміні інтерференційної картини можна фіксувати малі переміщення.
§ 5.4. Дифракція світла.
1. Принцип Гюйгенса — Френеля. Метод зон Френеля
Дифракція – це явище огинання світловими хвилями перешкод і проникнення світла в область геометричної тіні. Для спостереження дифракції необхідно, щоб розміри перешкод були співмірні з довжиною хвилі світла.
Проникнення світла в область геометричної тіні пояснює принцип Гюйгенса: кожна точка фронту хвилі являється джерелом вторинної сферичної хвилі. Положення фронту хвилі в наступний момент визначається огинаючою фронтів всіх вторинних хвиль. Принцип Гюйгенса не дозволяє знайти інтенсивність дифрагованої хвилі. Цей недолік усунув Френель, який доповнив принцип Гюйгенса уявленням про інтерференцію вторинних хвиль.
Нехай S (мал.5.8) – хвильова поверхня світла, яке поширюється від деякого джерела. Кожен елемент поверхні служить джерелом вторинної хвилі. Ці хвилі –когерентні. Від кожного елемента поверхні dS в точку Р приходить коливання
<shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image609.wmz» o:><img width=«259» height=«47» src=«dopb208100.zip» v:shapes="_x0000_i1373"> (5.20)
Тут <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image611.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208101.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image613.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb208102.zip» v:shapes="_x0000_i1375"> – амплітуда і фаза коливання в місці знаходження хвильової поверхні S, k – хвильове число, r – відстань від елемента dS до точки Р. Коефіцієнт <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image615.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb208103.zip» v:shapes="_x0000_i1376"> залежить від орієнтації елемента dS відносно r.
Результуюче коливання в точці Р, згідно Френелю, являє суперпозицію коливань всієї хвильової поверхні S:
<shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image617.wmz» o:><img width=«261» height=«53» src=«dopb208104.zip» v:shapes="_x0000_i1377"> (5.21)
Формула (5.21) є аналітичним виразом принципу Гюйгенса-Френеля.
В ряді дифракційних задач, що мають осьову симетрію, розрахунок інтерференції вторинних хвиль спрощується за допомогою розбиття фронту хвилі на кільцеві зони Френеля. Розбиття на зони проводиться таким чином, що оптична різниця ходу від відповідних точок кожної пари сусідніх зон до точки спостереження Р дорівнює <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image619.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb208105.zip» v:shapes="_x0000_i1378"> Вторинні хвилі від відповідних точок двох сусідніх зон приходять в точку Р в протифазі і послаблюють одна одну при накладанні (мал.5.9).
Нехай <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image621.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb208106.zip» v:shapes="_x0000_i1379"> <shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image623.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208107.zip» v:shapes="_x0000_i1380"> <shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image625.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208108.zip» v:shapes="_x0000_i1381"> …, <shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image627.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb208109.zip» v:shapes="_x0000_i1382">– величини результуючих амплітуд хвиль, які приходять в точку Р від кожної зони. Сумарна амплітуда в точці Р від усього фронту буде дорівнювати
<shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image629.wmz» o:><img width=«233» height=«25» src=«dopb208110.zip» v:shapes="_x0000_i1383">. (5.22)
За рахунок збільшення кута нахилу<shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i1384">з ростом номера зони, амплітуди хвиль монотонно зменшуються <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image633.wmz» o:><img width=«168» height=«25» src=«dopb208112.zip» v:shapes="_x0000_i1385">
Можна вважати, що
<shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image635.wmz» o:><img width=«103» height=«47» src=«dopb208113.zip» v:shapes="_x0000_i1386"> <shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image637.wmz» o:><img width=«105» height=«47» src=«dopb208114.zip» v:shapes="_x0000_i1387"> <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image639.wmz» o:><img width=«17» height=«8» src=«dopb208115.zip» v:shapes="_x0000_i1388"> (5.23)
Тепер результуючу амплітуду А можна записати у вигляді
<shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image641.wmz» o:><img width=«347» height=«52» src=«dopb208116.zip» v:shapes="_x0000_i1389"><shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image643.wmz» o:><img width=«45» height=«47» src=«dopb208117.zip» v:shapes="_x0000_i1390">
Очевидно, що вирази в дужках дорівнюють нулю, тоді
<shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image645.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb208118.zip» v:shapes="_x0000_i1391">                                       (5.24)
для парного числа зон Френеля. Результуюча амплітуда при цьому мінімальна і в точці Р буде мінімум освітленості. Якщо ж N – непарне, то
<shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image647.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb208119.zip» v:shapes="_x0000_i1392"> (5.25)
і в точці Р спостерігається максимум освітленості.
Для повністю відкритої хвильової поверхні <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image649.wmz» o:><img width=«59» height=«20» src=«dopb208120.zip» v:shapes="_x0000_i1393"> і <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image651.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb208121.zip» v:shapes="_x0000_i1394"> тому <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image653.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb208122.zip» v:shapes="_x0000_i1395"> тобто дія всієї хвильової поверхні еквівалентна дії половини центральної зони Френеля.
Якщо дифракція світла відбувається на круглому диску, який закриває N перших зон Френеля, то результуюча амплітуда в точці Р буде визначатися величиною
<shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image655.wmz» o:><img width=«81» height=«47» src=«dopb208123.zip» v:shapes="_x0000_i1396"> (5.26)
Дифракційна картина у цьому випадку має вигляд концентричних світлих і темних кілець. В центрі картини при довільному N (парному, чи непарному) спостерігається світла пляма (пляма Пуасона). При збільшенні розмірів диска величина амплітуди <shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image657.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb208124.zip» v:shapes="_x0000_i1397"> буде зменшуватись. Врешті-решт при досить великих розмірах диска <shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image659.wmz» o:><img width=«55» height=«16» src=«dopb208125.zip» v:shapes="_x0000_i1398"> і <shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image661.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb208126.zip» v:shapes="_x0000_i1399"> При цьому в точці Р буде темна пляма – геометрична тінь.
Таким чином, закони геометричної оптики можна застосовувати у тих випадках, коли розміри перешкод і отворів великі порівняно з довжиною хвилі світла.

2. Дифракція Фраунгофера
Дифракцією Фраунгофера називається дифракція плоских хвиль. Дифракція Фраунгофера має більше практичне значення, ніж дифракція Френеля (дифракція сферичних хвиль).
Розглянемо довгу прямокутну щілину BС шириною b, на яку нормально падає паралельний пучок монохроматич- ного світла (мал.5.10). Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля, точки щілини являються когерентними вторинними джерелами, що коливаються в одній фазі (площина щілини співпадає з фронтом хвилі).
За допомогою лінзи Л на екрані Е спостерігається дифракційна картина, яка являє собою систему максимумів і мінімумів. Знайдемо умови спостереження максимумів і мінімумів. Для цього розіб’ємо фронт хвилі ВС на зони Френеля таким чином, щоб оптична різниця ходу від країв сусідніх зон у певному напрямку поширення дифрагованої хвилі під кутом дифракції <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i1400"> складала половину довжини хвилі <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image619.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb208105.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> З мал.5.10 видно, що ширина зони Френеля дорівнює <shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image663.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb208127.zip» v:shapes="_x0000_i1402"> Якщо число зон парне, тобто
<shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image665.wmz» o:><img width=«115» height=«47» src=«dopb208128.zip» v:shapes="_x0000_i1403"> (m<shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image105.wmz» o:><img width=«15» height=«12» src=«dopb207860.zip» v:shapes="_x0000_i1404">1,2,3,…), (5.27)
то під кутом <shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i1405"> спостерігається дифракційний мінімум. Випромінювання відповідних точок сусідніх зон відбувається у протифазі, через те сусідні зони гасять одна одну.
Якщо число зон непарне, тобто
<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image667.wmz» o:><img width=«155» height=«47» src=«dopb208129.zip» v:shapes="_x0000_i1406">, (m<shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image105.wmz» o:><img width=«15» height=«12» src=«dopb207860.zip» v:shapes="_x0000_i1407">1, 2, 3, …), (5.28)
то спостерігається дифракційний максимум, який відповідає дії однієї нескомпенсованої зони Френеля. Величина m називається порядком дифракційного максимуму.
Амплітуда хвилі в точці спостереження одержується на основі принципу Гюйгенса-Френеля:
<shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image669.wmz» o:><img width=«184» height=«92» src=«dopb208130.zip» v:shapes="_x0000_i1408"> (5.29)
де <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image671.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208131.zip» v:shapes="_x0000_i1409">– амплітуда в центрі дифракційної картини при <shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image673.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb208132.zip» v:shapes="_x0000_i1410">
Розподіл інтенсивностей <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image675.wmz» o:><img width=«63» height=«28» src=«dopb208133.zip» v:shapes="_x0000_i1411">:
<shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image677.wmz» o:><img width=«177» height=«92» src=«dopb208134.zip» v:shapes="_x0000_i1412"> (5.30)
Цей розподіл показаний на мал.5.11.
Перейдемо до дифракції на одномірній дифракційній решітці, яка являє собою систему N однакових паралельних щілин шириною а, розміщених на однакових відстанях b. Величина d=a+b називається періодом решітки. Сучасна дифракційна решітка має до 1200 щілин (штрихів) на 1 мм.
Дифракційна картина після решітки складніша порівняно з картиною від однієї щілини. Це зумовлене тим, що відбувається інтерференція хвиль, які йдуть від різних щілин решітки. Крім того, має місце підсилення максимумів і їх звуження.
Якщо світло падає нормально на решітку, то виконуються слідуючі умови:
для головних максимумів: <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image679.wmz» o:><img width=«109» height=«23» src=«dopb208135.zip» v:shapes="_x0000_i1413"> (m<shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image105.wmz» o:><img width=«15» height=«12» src=«dopb207860.zip» v:shapes="_x0000_i1414">0, 1, 2, …); (5.31)
    продолжение
--PAGE_BREAK--для головних мінімумів: <shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image681.wmz» o:><img width=«104» height=«23» src=«dopb208136.zip» v:shapes="_x0000_i1415"> (n<shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image105.wmz» o:><img width=«15» height=«12» src=«dopb207860.zip» v:shapes="_x0000_i1416">1, 2, 3, …); (5.32)
для додаткових мінімумів: <shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image683.wmz» o:><img width=«111» height=«48» src=«dopb208137.zip» v:shapes="_x0000_i1417"> (5.33)
(k–довільні цілі додатні числа крім 0, N, 2N, 3N, …).
Розподіл інтенсивності на екрані спостереження:
 <shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image685.wmz» o:><img width=«288» height=«92» src=«dopb208138.zip» v:shapes="_x0000_i1418"> (5.34)
де <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image687.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb208139.zip» v:shapes="_x0000_i1419">–інтенсивність в напрямку <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image689.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb208140.zip» v:shapes="_x0000_i1420"> для однієї щілини. В головних максимумах інтенсивність в <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image691.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208141.zip» v:shapes="_x0000_i1421"> разів більша, ніж дає у відповідних місцях щілина. При великому значенні N вторинні максимуми майже непомітні на екрані, їх інтенсивність не більша 5% від інтенсивності головного максимуму.
На мал.5.12 показана дифракційна картина після дифракційної решітки в білому (<shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image693.wmz» o:><img width=«81» height=«25» src=«dopb208142.zip» v:shapes="_x0000_i1422">світлі (вторинні максимуми не зображені).
З умови головних максимумів випливає, що для всіх порядків, крім m<shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image695.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb208143.zip» v:shapes="_x0000_i1423">, біле світло розкладається в спектр. Тому дифракційна решітка використовується як диспергуючий елемент в спектрометрах.
Важливою характеристикою оптичних приладів є їхня роздільна здатність. Згідно з критерієм Релея, зображення двох близьких точок можна вважати розділеними, якщо центральний дифракційний максимум від однієї точки співпадає з першим дифракційним мінімумом для другої точки.
Для об’єктива роздільна здатність
<shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image697.wmz» o:><img width=«85» height=«51» src=«dopb208144.zip» v:shapes="_x0000_i1424"> (5.35)
де D – діаметр об’єктива, <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1425"> – довжина хвилі світла.
Мірою роздільної здатності дифракційної решітки (спектрального приладу) прийнято вважати відношення довжини хвилі <shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1426"> біля якої виконується вимірювання до мінімального роздільного інтервалу <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image699.wmz» o:><img width=«29» height=«23» src=«dopb208145.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> тобто <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image701.wmz» o:><img width=«64» height=«48» src=«dopb208146.zip» v:shapes="_x0000_i1428"> Користуючись критерієм Релея, можна показати, що
<shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image703.wmz» o:><img width=«81» height=«23» src=«dopb208147.zip» v:shapes="_x0000_i1429"> (5.36)
де m – порядок спектру, N – кількість щілин дифракційної решітки.

3.     Дифракція рентгенівських променів
Відстань між атомами в кристалі (<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image705.wmz» o:><img width=«75» height=«29» src=«dopb208148.zip» v:shapes="_x0000_i1430">співмірна з довжиною хвилі рентгенівського випромінювання, тому кристалічна решітка може служити просторовою дифракційною решіткою для рентгенівських променів.
Якщо на кристал спрямувати потік рентгенівського випромінювання від рентгенівської трубки з неперервним спектром, то для даного кристалу знайдуться промені з такою довжиною хвилі <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image707.wmz» o:><img width=«20» height=«23» src=«dopb208149.zip» v:shapes="_x0000_i1431"> що умови дифракції будуть виконуватись.
Розрахунок дифракційної картини від кристалічної решітки можна провести слідуючим простим способом. Проведемо через вузли кристалічної решітки паралельні рівновіддалені площини (атомні площини). Якщо падаюча на кристал хвиля – плоска, то і огинаюча вторинних хвиль, які породжені атомами даного атомного шару, також буде площиною. Плоскі вторинні хвилі, відбиті від різних атомних площин, – когерентні і будуть давати інтерференційну картину. При цьому, як і у випадку дифракційної решітки, вторинні хвилі будуть практично гасити одна одну у всіх напрямках крім тих, для яких різниця ходу між сусідніми хвилями буде кратною <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image709.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb208150.zip» v:shapes="_x0000_i1432">.
З мал 5.13 видно, що різниця ходу для хвиль, які відбились від сусідніх атомних площин, дорівнює 2dsin<shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image711.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208151.zip» v:shapes="_x0000_i1433">, де d – період кристалічної решітки, <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image711.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208151.zip» v:shapes="_x0000_i1434">– кут ковзання падаючих променів.
Напрямки, в яких спостеріга-ються дифракційні максимуми, визначаються умовою Вульфа-Брегга:
2dsin<shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image713.wmz» o:><img width=«68» height=«20» src=«dopb208152.zip» v:shapes="_x0000_i1435">(m<shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image105.wmz» o:><img width=«15» height=«12» src=«dopb207860.zip» v:shapes="_x0000_i1436">1, 2, 3, …). (5.37)
Наявність багатьох атомних площин призводить лише до того, що максимуми інтенсивностей стають більш гострими, як і при збільшенні числа щілин дифракційної решітки.
Дифракція рентгенівських променів від кристалів має два основних практичних застосування. Вона використовується для визначення спектрального складу рентгенівського випромінювання (рентгенівська спектроскопія). Визначаючи напрямки дифракційних максимумів досліджуваного рентгенівського випромінювання від кристалів з відомою структурою можна обчислити (за формулою 5.37) довжини хвиль.
Друге практичне використання – вивчення структури кристалів (рентгеноструктурний аналіз). У цьому випадку за відомим спектральним складом падаючого випромінювання знаходять міжатомні відстані в кристалі. Існують різні методики рентгеноструктурного аналізу (метод Лауе, метод Дебая).
§ 5.5. Поляризація світла.
1.                 Типи поляризації. Поляризація при відбиванні
Світлова хвиля складається з багатьох цугів електромагнітних хвиль, що випромінюються окремими атомами. Площина коливань (площина коливань вектора <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image388.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1437">) для кожного цугу орієнтована випадково. Тому в природному світлі коливання різних напрямків швидко і хаотично змінюють одне одного.
Світло, в якому напрямок коливань якимось чином впорядкований, називається поляризованим. Якщо коливання світлового вектора (вектора <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image388.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1438">) відбувається в одній площині, світло називають плоско- (або лінійно-) поляризованим.
Площиною поляризації називають площину, перпендикулярну до площини коливань (мал.5.14).
Якщо кінець вектора <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image388.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> описує еліпс, то світло називається еліптично-поляризованим. Таке світло можна представити як суму двох когерентних плоскополяри-зованих хвиль, площини коливань яких взаємно перпендикулярні. Проекції світлових векторів на відповідні осі змінюються по закону:
<shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image715.wmz» o:><img width=«163» height=«60» src=«dopb208153.zip» v:shapes="_x0000_i1440">. (5.38)
При різниці фаз <shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image717.wmz» o:><img width=«45» height=«16» src=«dopb208154.zip» v:shapes="_x0000_i1441"> еліпс вироджується в пряму – маємо плоскополяризоване світло. При різниці фаз <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image719.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb208155.zip» v:shapes="_x0000_i1442"> і рівності амплітуд еліпс перетворюється в коло. В цьому випадку маємо циркулярно-поляризоване світло (кругова поляризація).
В залежності від напрямку обертання вектора <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image721.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb207994.zip» v:shapes="_x0000_i1443">розрізняють праву і ліву еліптичну і кругову поляризації.
Плоскополяризоване світло можна отримати з природного за допомогою поляризаторів. Ці прилади вільно пропускають коливання паралельно площині поляризатора і повністю затримують коливання, перпендикулярні до цієї площини.
Нехай на поляризатор падає плоскополяризоване світло амплітуди <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image722.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208131.zip» v:shapes="_x0000_i1444"> з інтенсивністю <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image723.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb208139.zip» v:shapes="_x0000_i1445"> (мал.5.15). Крізь прилад пройде складова коливання з амплітудою <shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image724.wmz» o:><img width=«104» height=«25» src=«dopb208156.zip» v:shapes="_x0000_i1446"> де <shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> – кут між площиною коливань падаючого світла і площиною поляризатора. Інтенсивність світла, що пройшло через поляризатор
<shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image726.wmz» o:><img width=«97» height=«29» src=«dopb208157.zip» v:shapes="_x0000_i1448"> (5.39)
Це співвідношення носить назву закону Малюса.
Поляризований промінь можна також отримати при відбиванні світла на межі поділу двох середовищ. При куті падіння, який задовольняє умові
<shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image728.wmz» o:><img width=«84» height=«28» src=«dopb208158.zip» v:shapes="_x0000_i1449"> (5.40)
(закон Брюстера) відбитий промінь – повністю поляризований. Коливання у відбитому промені відбуваються у площині, перпендикулярній до площини падіння. Ступінь поляризації заломленого променя при куті падіння <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image730.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb208159.zip» v:shapes="_x0000_i1450"> – максимальний, однак цей промінь лишається поляризованим лише частково (мал.5.16).
2.                 Поляризація при подвійному променезаломленні. Поляроїди і поляризаційні призми
При проходженні світла через анізотропні кристали відбувається явище подвійного променезаломлення. Падаючий на кристал природний промінь ділиться на два плоскополяризовані – звичайний (0) і незвичайний (е). Звичайний промінь підкоряється закону заломлення. Незвичайний – ні; для нього показник заломлення різний в різних напрямках.
В кожному анізотропному кристалі існує напрямок (або два), вздовж якого подвійне променезаломлення не відбувається. Звичайний і незвичайний промені рухаються з однаковою швидкістю. Такий напрямок називається оптичною віссю кристалу. Існують одноосні кристали (кварц, ісландський шпат) і двоосні (слюда, гіпс). Довільна площина, яка проходить через оптичну вісь, називається головною площиною кристалу. На мал.5.17 <shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image732.wmz» o:><img width=«28» height=«21» src=«dopb208160.zip» v:shapes="_x0000_i1451"> – оптична вісь, тому площина малюнка є головною площиною.
Подвійне променезаломлення лежить в основі роботи поляризаторів: поляризаційних призм і поляроїдів.
Поляризаційна призма Ніколя являє собою призму з ісландського шпату, розрізану по діагоналі і склеєну канадським бальзамом. Показ-ник заломлення канадського бальзаму n лежить між показниками заломлення <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image734.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208161.zip» v:shapes="_x0000_i1452"> і <shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image736.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208162.zip» v:shapes="_x0000_i1453"> звичайного і незвичайного променів в кристалі (<shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image738.wmz» o:><img width=«91» height=«28» src=«dopb208163.zip» v:shapes="_x0000_i1454">). Кут падіння такий, що звичайний промінь зазнає на прошарку клею повне внутрішнє відбивання і не проходить крізь призму. З мал.5.17 видно, що призма Ніколя пропускає лише незвичайний лінійнополяризований промінь.
В деяких кристалах один з променів поглинається сильніше іншого. Це явище називається дихроїзмом. Так, наприклад, в кристалі турмаліну звичайний промінь на довжині 1 мм поглинається практично повністю. Таку ж властивість має поляроїд-целулоїдна плівка, в яку введена велика кількість однаково орієнтованих кристалів сульфату йодистого хініну.
3.                 Інтерференція поляризованих променів. Штучна оптична анізотропія
Звичайна і незвичайна хвилі, які поширюються в одноосному кристалі при падінні на нього природного світла, – некогерентні. Якщо ж на одноосний кристал падає лінійнополяризоване світло, то звичайна і незвичайна хвилі в кристалі будуть когерентні. Ці хвилі мають попарно когерентні складові кожного з цугів хвиль, які проходять через поляризатор. Інтерференція поляризованих променів має практичне застосування. Нехай плоскопаралельна пластинка, яка вирізана з одноосного кристалу паралельно його оптичній осі, знаходиться між двома ніколями (мал.5.19). На виході з пластинки між звичайною і незвичайною хвилями виникає різниця фаз
 <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image740.wmz» o:><img width=«151» height=«48» src=«dopb208164.zip» v:shapes="_x0000_i1455">. (5.41)
Хоча ці хвилі після пластинки – когерентні, однак вони не можуть давати інтерференцію через те, що вони поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах. Для спостереження інтерфере-нції цих хвиль необхідно за допомогою аналізатора виді- лити з них складові, які поляризовані в одній площині і тому здатні давати інтерферен-
цію.
Інтерференційна картина після аналізатора залежить від різниці фаз <shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image742.wmz» o:><img width=«32» height=«23» src=«dopb208165.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> довжини хвилі <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1457"> падаючого світла, від кута <shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1458"> між його площиною поляризації і оптичною віссю пластини, а також від взаємної орієнтації площин поляризації поляризатора і аналізатора.
Інтерференцію поляризованих променів спостерігають при штучній анізотропії, яка може бути зумовлена деформацією або електричним полем.
Зеебек і Брюстер (1816) відкрили явище фотопружності, яке полягає в тому, що оптично ізотропне тверде тіло під впливом механічної деформації стає оптично анізотропним (тіло набуває властивостей одноосного кристалу вісь якого направлена вздовж напрямку стиску або розтягу). Різниця показників заломлення <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image744.wmz» o:><img width=«96» height=«28» src=«dopb208166.zip» v:shapes="_x0000_i1459"> де <shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i1460">–нормальна напруга. Таким чином, помістивши деформоване тіло між поляризатором і аналізатором можна спостерігати інтерференційну картину. По вигляду інтерференційних смуг можна судити про розподіл напруг в досліджуваному тілі ( кожна ізохромата проходить через точки, в яких <shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i1461">однакові). Оптичний метод вивчення на прозорих моделях розподілу внутрішніх напруг в деталях і конструкціях широко використовується в сучасній техніці і будівництві.
Штучна анізотропія, викликана електричним полем, була відкрита Кером (1875) і носить назву ефекту Кера. Схема його спостереження зображена на мал.5.20, де П і А – поляризатор і схрещений з ним аналізатор, К – комірка Кера (кювета з рідиною і плоским конденсатором). Під дією однорідного електричного поля ізотропна рідина набуває властивостей одноосного кристалу. При цьому
<shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image746.wmz» o:><img width=«136» height=«32» src=«dopb208167.zip» v:shapes="_x0000_i1462"> (5.42)
де <shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image748.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208168.zip» v:shapes="_x0000_i1463"> –довжина хвилі світла у вакуумі, В – стала Кера, Е – напруженість електричного поля.
Анізотропія пояснюється тим, що рідина в електричному полі поляризується і набуває анізотропних властивостей. Орієнтація і дезорієнтація молекул відбувається на протязі <shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image750.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb208169.zip» v:shapes="_x0000_i1464"> секунди, тому при вимиканні електричного поля практично миттєво зникає світло після аналізатора, тобто комірка Кера працює як безінерційний світловий перемикач.
4.                 Обертання площини поляризації
При проходженні лінійно-поляризованого світла через оптично активні речовини (кварц, розчин цукру) площина поляризації світла обертається навколо напрямку поширення променя. Кут повороту <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i1465"> пропорційний шляху <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1466">, пройденому променем в речовині:
<shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image754.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb208171.zip» v:shapes="_x0000_i1467"> (5.43)
Коефіцієнт <shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1468"> називають постійною обертання.
В розчинах кут повороту площини поляризації пропорційний шляху променя в розчині <shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1469"> і концентрації розчину С:
<shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image756.wmz» o:><img width=«75» height=«24» src=«dopb208172.zip» v:shapes="_x0000_i1470"> (5.44)
де <shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image758.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb208173.zip» v:shapes="_x0000_i1471">– питома постійна обертання.
Залежність (5.44) використовується для вимірювання невідомої концентрації <shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image760.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb208174.zip» v:shapes="_x0000_i1472"> за відомою концентрацією розчину <shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image762.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208175.zip» v:shapes="_x0000_i1473">
<shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image764.wmz» o:><img width=«100» height=«52» src=«dopb208176.zip» v:shapes="_x0000_i1474"> (5.45)
де <shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image766.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208177.zip» v:shapes="_x0000_i1475">– кут повороту для невідомої концентрації, <shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image768.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208020.zip» v:shapes="_x0000_i1476">– кут повороту для відомої концентрації.
Явище оптичної активності покладене в основу роботи цукрометрів – приладів для вимірювання концентрації розчинів.
§ 5.6. Квантова природа випромінювання. Теплове випромінювання
Нагріті тіла випромінюють електромагнітні хвилі. Це відбувається внаслідок перетворення енергії теплового руху молекул тіла в енергію випромінювання. Теплове випромінювання знаходиться в рівновазі з випромінюючим тілом, тобто розподіл енергії між тілом і випромінюванням лишається незмінним для кожної довжини хвилі. Таке випромінювання називається рівноважним.
Розглянемо закони теплового випромінювання. Введемо випромінювальну здатність <shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image769.wmz» o:><img width=«36» height=«28» src=«dopb208178.zip» v:shapes="_x0000_i1477"> – кількість енергії, яка випромінюється одиницею площі поверхні тіла за одиницю часу в одиничному інтервалі частот. Енергетична світність, або інтегральна випромінювальна здатність <shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image771.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208179.zip» v:shapes="_x0000_i1478">– це кількість енергії, яка випромінюється одиницею площі за одиницю часу у всьому спектральному діапазоні, тобто
<shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image773.wmz» o:><img width=«109» height=«57» src=«dopb208180.zip» v:shapes="_x0000_i1479"> (5.46)
Поглинальна здатність <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image775.wmz» o:><img width=«39» height=«28» src=«dopb208181.zip» v:shapes="_x0000_i1480"> визначає долю енергії <shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image777.wmz» o:><img width=«51» height=«27» src=«dopb208182.zip» v:shapes="_x0000_i1481"> падаючих електромагнітних хвиль за одиницю часу на одиницю площі поверхні тіла в діапазоні частот від <shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image779.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208183.zip» v:shapes="_x0000_i1482"> до <shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image781.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb208184.zip» v:shapes="_x0000_i1483"> яка поглинається тілом:
<shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image783.wmz» o:><img width=«120» height=«53» src=«dopb208185.zip» v:shapes="_x0000_i1484"> (5.47)
Тіло називається абсолютно чорним, якщо воно при будь-якій температурі повністю поглинає всі падаючі на нього електромагнітні хвилі:
<shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image785.wmz» o:><img width=«64» height=«32» src=«dopb208186.zip» v:shapes="_x0000_i1485">. (5.48)
Для довільної частоти і температури відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності однакове для всіх тіл і дорівнює випромінювальній здатності <shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image787.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208187.zip» v:shapes="_x0000_i1486"> абсолютно чорного тіла:
<shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image789.wmz» o:><img width=«99» height=«61» src=«dopb208188.zip» v:shapes="_x0000_i1487">. (5.49)
Це є закон Кірхгофа в диференціальній формі.
Інтегральна випромінювальна здатність <shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image791.wmz» o:><img width=«24» height=«31» src=«dopb208189.zip» v:shapes="_x0000_i1488"> абсолютно чорного тіла:
<shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image793.wmz» o:><img width=«107» height=«60» src=«dopb208190.zip» v:shapes="_x0000_i1489"> (5.50)
Планк у 1900р. на основі квантових уявлень про випромінювання отримав аналітичний вираз <shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image795.wmz» o:><img width=«43» height=«33» src=«dopb208191.zip» v:shapes="_x0000_i1490"> Згідно Планку енергія кванта випромінювання пропорційна частоті:
<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image797.wmz» o:><img width=«59» height=«23» src=«dopb208192.zip» v:shapes="_x0000_i1491"> (5.51)
де <shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image799.wmz» o:><img width=«161» height=«28» src=«dopb208193.zip» v:shapes="_x0000_i1492"> – стала Планка.
В результаті,
<shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image801.wmz» o:><img width=«37» height=«33» src=«dopb208194.zip» v:shapes="_x0000_i1493"><shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image803.wmz» o:><img width=«131» height=«69» src=«dopb208195.zip» v:shapes="_x0000_i1494">(5.52)
На мал.5.21 зображена залежність спектральної випромінювальної здат-ності абсолютно чорного тіла для різних температур. Площа під кривою <shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image801.wmz» o:><img width=«37» height=«33» src=«dopb208194.zip» v:shapes="_x0000_i1495"> визначає інтегральну випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла.
Підставляючи (5.52) в (5.50) і інтегруючи, знайдемо
 <shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image805.wmz» o:><img width=«73» height=«33» src=«dopb208196.zip» v:shapes="_x0000_i1496"> (5.53)
Отже, інтегральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла пропорційна четвертій степені абсолютної температури. Це є закон Стефана-Больцмана. У формулі (5.53) <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image807.wmz» o:><img width=«176» height=«29» src=«dopb208197.zip» v:shapes="_x0000_i1497">– постійна Стефана-Больцмана.
Досліджуючи вираз спектральної випромінювальної здатності на екстремум, знайдемо, що частота <shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image809.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208198.zip» v:shapes="_x0000_i1498"> при якій спостерігається максимум спектральної випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, пропорційна температурі, або відповідна довжина хвилі
<shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image811.wmz» o:><img width=«67» height=«47» src=«dopb208199.zip» v:shapes="_x0000_i1499"> (5.54)
Це – закон зміщення Віна. Стала <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image813.wmz» o:><img width=«136» height=«28» src=«dopb208200.zip» v:shapes="_x0000_i1500">. Згідно закону Віна, максимум спектральної випромінювальної здатності при зростанні температури тіла зміщується у високочастотну ділянку спектра.
На законах Стефана-Больцмана і Віна базується робота пірометрів – приладів, які дозволяють вимірювати високі температури.

§ 5.7. Фотоефект
Розрізняють зовнішній і внутрішній фотоефект. Внутрішній фотоефект спостерігається в напівпровідниках і полягає в тому, що під дією світла електрони відриваються від атома, але залишаються всередині кристалу, в результаті чого збільшується провідність напівпровідника.
Зовнішній фотоефект – це явище виривання електронів з поверхні металу під дією світла. Зовнішній фотоефект був відкритий Герцем у 1887 р. і досліджений Столєтовим у 1888-89 рр. Схема дослідів Столєтова приведена на мал 5.22.
Основні закономірності фотоефекту:
1.                 сила фотоструму прямо пропор-ційна інтенсивності світла, яке падає на катод;
2.                 фотоефект – безінерційний;
3.                 кінетична енергія вирваних елек-тронів збільшується зі збільшенням частоти падаючого світла. Існує мінімальна частота, з якої починається фотоефект. Це – червона межа фотоефекту.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Теоретичне пояснення фото-ефекту дав Ейнштейн у 1905 р. Він використав гіпотезу Планка про квантову природу випромінювання світла і припустив, що енергія поглинутого кванта йде на роботу виходу електрона з металу і на надання електрону кінетичної енергії:
<shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image815.wmz» o:><img width=«116» height=«51» src=«dopb208201.zip» v:shapes="_x0000_i1501"> (5.55)
Це – рівняння Ейнштейна для фотоефекту. З рівняння (5.55) можна знайти найменшу частоту <shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image817.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb208202.zip» v:shapes="_x0000_i1502"> при якій починається фотоефект. Це і є червона межа фотоефекту:
<shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image819.wmz» o:><img width=«59» height=«47» src=«dopb208203.zip» v:shapes="_x0000_i1503"> (5.56)

§ 5.8. Тиск світла
Тиск світла можна пояснити з квантової точки зору. Кванти світла (фотони) мають масу та імпульс. Маса фотона <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image821.wmz» o:><img width=«29» height=«28» src=«dopb208204.zip» v:shapes="_x0000_i1504"> визначається з релятивістського співвідношення Ейнштейна <shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image823.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb208205.zip» v:shapes="_x0000_i1505"> Звідки, враховуючи (5.51), отримаємо
<shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image825.wmz» o:><img width=«115» height=«49» src=«dopb208206.zip» v:shapes="_x0000_i1506"> (5.57)
Залежність маси від швидкості <shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image827.wmz» o:><img width=«157» height=«35» src=«dopb208207.zip» v:shapes="_x0000_i1507"> в застосуванні до фотона <shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image829.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb208208.zip» v:shapes="_x0000_i1508"> має зміст лише при <shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image831.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb208209.zip» v:shapes="_x0000_i1509"> Це означає, що маса спокою фотона рівна нулю.
Імпульс фотона, з врахуванням (5.57),
<shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image833.wmz» o:><img width=«101» height=«48» src=«dopb208210.zip» v:shapes="_x0000_i1510"> (5.58)
Нехай на одиницю поверхні тіла за одиницю часу падає n фотонів. При цьому <shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image835.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb208211.zip» v:shapes="_x0000_i1511"> – число відбитих фотонів (R – коефіцієнт відбивання), і (1-R)n – число поглинутих фотонів. Тоді, за другим законом Ньютона, зміна імпульсу площадки визначатиме тиск світла:
<shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image837.wmz» o:><img width=«305» height=«48» src=«dopb208212.zip» v:shapes="_x0000_i1512"> (5.59)
Враховуючи, що <shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image839.wmz» o:><img width=«73» height=«25» src=«dopb208213.zip» v:shapes="_x0000_i1513"> – інтенсивність світла, отримаємо:
<shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image841.wmz» o:><img width=«96» height=«48» src=«dopb208214.zip» v:shapes="_x0000_i1514">. (5.60)
Для дзеркальної поверхні <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image843.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb208215.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image845.wmz» o:><img width=«80» height=«27» src=«dopb208216.zip» v:shapes="_x0000_i1516">, а для чорної (<shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image847.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb208217.zip» v:shapes="_x0000_i1517"><shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image849.wmz» o:><img width=«65» height=«25» src=«dopb208218.zip» v:shapes="_x0000_i1518">. Таким чином, тиск на дзеркальну поверхню – вдвічі більший, ніж на чорну, що і спостерігав П.М.Лєбєдєв в своїх дослідах з вимірювання тиску світла.

§ 5.9. Ефект Комптона
Досліджуючи розсіювання рентгенівських променів в кристалах, Комптон (1923 р.) встановив, що в розсіяному випромінюванні, крім незміщеної компоненти з довжиною хвилі <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image748.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208168.zip» v:shapes="_x0000_i1519">, існує зміщена компонента з довжиною хвилі <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image851.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb208219.zip» v:shapes="_x0000_i1520">. При розсіюванні легкими атомами (<shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image853.wmz» o:><img width=«25» height=«23» src=«dopb208220.zip» v:shapes="_x0000_i1521"><shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image855.wmz» o:><img width=«29» height=«23» src=«dopb208221.zip» v:shapes="_x0000_i1522"> В) практично все розсіяне випромінювання має зміщену довжину хвилі. По мірі збільшення атомного номера все більша частина випромінювання розсіюється без зміни довжини хвилі.
Ефект Комптона можна пояснити з квантової точки зору, як процес непружного розсіювання рентгенівських фотонів на вільних електронах. Вільними можна вважати слабо зв’язані з атомами електрони.
Нехай <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image857.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb208222.zip» v:shapes="_x0000_i1523"> і <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image859.wmz» o:><img width=«100» height=«28» src=«dopb208223.zip» v:shapes="_x0000_i1524"> – значення енергії і імпульсу фотона до розсіювання. Після зіткнення енергія і імпульс фотона зменшуються: <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image861.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb208224.zip» v:shapes="_x0000_i1525"> і <shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image863.wmz» o:><img width=«104» height=«25» src=«dopb208225.zip» v:shapes="_x0000_i1526">. Звідси випливає, що <shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image865.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb208226.zip» v:shapes="_x0000_i1527">. Тобто, в результаті розсіювання частота фотона зменшується (довжина хвилі збільшується). Згідно законів збереження енергії і імпульсу, зміна довжини хвилі фотона при розсіюванні
<shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image867.wmz» o:><img width=«233» height=«52» src=«dopb208227.zip» v:shapes="_x0000_i1528">, (5.61)
де <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image869.wmz» o:><img width=«77» height=«52» src=«dopb208228.zip» v:shapes="_x0000_i1529"> – стала величина, яка називається комптонівською довжиною хвилі тієї вільної частинки, на якій відбувається розсіювання (<shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image871.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208229.zip» v:shapes="_x0000_i1530">– маса спокою вільної частинки).
Для електрона <shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image873.wmz» o:><img width=«131» height=«29» src=«dopb208230.zip» v:shapes="_x0000_i1531">.
Формула (5.61) добре узгоджується з результатами експериментальних досліджень ефекту Комптона.
Таким чином, світло одночасно має властивості неперервних електромагнітних хвиль (інтерференція, дифракція) і властивості дискретних фотонів (фотоефект, ефект Комптона). Воно являє собою діалектичну єдність цих протилежних властивостей. В прояві хвильових і корпускулярних властивостей світла є закономірність: при зменшенні довжини хвилі більш чітко проявляються квантові властивості і навпаки, у довгохвильового випромінювання основну роль відіграють його хвильові характеристики.
Можна зробити висновок, що корпускулярні і хвильові властивості світла не виключають, а, навпаки, взаємно доповнюють одна одну. Зв’язок між корпускулярними і хвильовими характеристиками світла виражається формулою
<shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image875.wmz» o:><img width=«47» height=«51» src=«dopb208231.zip» v:shapes="_x0000_i1532">, (5.62)
де <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1533"> – довжина хвилі, p – імпульс фотона, h – стала Планка.
Квадрат амплітуди світлової хвилі в деякій точці простору являється мірою імовірності попадання фотонів в цю точку. Корпускулярні властивості зумовлені тим, що енергія, імпульс і маса випромінювання локалізовані в дискретних частинках – фотонах, хвильові – статистичними закономірностями розподілу фотонів у просторі.
§ 5.10. Гальмівне рентгенівське випромінювання
Рентгенівські промені (<shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image877.wmz» o:><img width=«137» height=«24» src=«dopb208232.zip» v:shapes="_x0000_i1534">виникають при бомбардуванні швидкими електронами твердих тіл. Такий процес реалізується в рентгені-вських трубках. У найпростішому випадку це – двоелектродна ва-куумна трубка (мал.5. 23), катод К якої є джерелом електронів, що виникають внаслідок явища термоелектронної емісії. Анод А, виготовлений із важких металів (Cu, Fe, Co, W тощо), служить мішенню.
Якщо між катодом і анодом прикладена велика напруга U, то електрони розганяються до енергій еU=104–105еВ. Попадаючи в речовину анода, електрони сильно гальмуються і тому випромінюють електромагнітні хвилі – гальмівне рентгенівське випромінювання.
Відомо, що заряд, який рухається прискорено, є джерелом електромагнітних хвиль із неперервним спектром. Спектр гальмівного рентгенівського випромі-нювання (мал.5.24) хоч і суцільний, але обмежений з боку малих довжин хвиль так званою короткохвильовою межею <shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image879.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb208233.zip» v:shapes="_x0000_i1535">. З ростом прискорюючої напруги U <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image879.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb208233.zip» v:shapes="_x0000_i1536"> зменшується. Класична електродинаміка не пояснює появи короткохвильової межі гальмівного випромінювання. Її існування безпосередньо випливає з квантової природи випромінювання. Якщо врахувати, що максимальна енергія рентгенівського кванта не може перевищувати кінетичної енергії електрона, то
<shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image881.wmz» o:><img width=«91» height=«25» src=«dopb208234.zip» v:shapes="_x0000_i1537">. (5.63)
Звідси
<shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image883.wmz» o:><img width=«83» height=«48» src=«dopb208235.zip» v:shapes="_x0000_i1538"> , (5.64)
що відповідає експериментальним вимірюванням. Оскільки електрон віддає довільну частину своєї енергії, то поява електромагнітного випромінювання різних довжин хвиль цілком зрозуміла.
При достатньо великій швидкості електронів, крім гальмівного випромінювання, виникає також характеристичне випромінювання. Воно зумовлене збудженням внутрішніх електронних оболонок атомів. Рентгенівський спектр характеристичного випромінювання – дискретний.
§ 5.11. Елементи теорії відносності (релятивістська механіка)
Рух тіл зі швидкостями значно меншими від швидкості світла у вакуумі (<shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image885.wmz» o:><img width=«112» height=«29» src=«dopb208236.zip» v:shapes="_x0000_i1539">описується законами класичної механіки.
Розглянемо будь-які дві інерціальні системи відліку К і <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image887.wmz» o:><img width=«23» height=«20» src=«dopb208237.zip» v:shapes="_x0000_i1540"> (мал.5.25). Перетворення координат Галілея для переходу від однієї інерціальної системи відліку <shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image889.wmz» o:><img width=«91» height=«25» src=«dopb208238.zip» v:shapes="_x0000_i1541"> до іншої К(х, у,z) у випадку, показаному на мал.5.25, мають вигляд:
<shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image891.wmz» o:><img width=«92» height=«108» src=«dopb208239.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> (5.65)
де v0 – швидкість руху системи <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image887.wmz» o:><img width=«23» height=«20» src=«dopb208237.zip» v:shapes="_x0000_i1543"> відносно К (при t=0 початки координат систем відліку співпадають). З перетворень координат Галілея випливає правило додавання швидкостей <shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image893.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb208240.zip» v:shapes="_x0000_i1544"> (5.66)
де <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image895.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208241.zip» v:shapes="_x0000_i1545"> – швидкість тіла у системі К, <shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image897.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb208242.zip» v:shapes="_x0000_i1546"> – його швидкість у системі відліку <shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image899.wmz» o:><img width=«25» height=«21» src=«dopb208243.zip» v:shapes="_x0000_i1547"> 
Величини відрізків і проміжки часу при переході від однієї системи відліку до іншої не змінюються:
<shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image901.wmz» o:><img width=«71» height=«49» src=«dopb208244.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> (5.67)
В класичній механіці простір і час розглядаються незалежно один від одного. Механічні закони незмінні (інваріантні) при переході від однієї системи відліку до іншої. Інваріантність законів механіки відносно перетворень координат Галілея є математичним виразом механічного принципу відносності: у різних інерціальних системах відліку всі механічні процеси при рівних умовах протікають однаково, тобто всі інерціальні системи відліку рівноправні між собою.
Якщо швидкість тіл наближається до швидкості світла у вакуумі, то закони класичної механіки перестають бути справедливими. У цьому випадку слід користуватись спеціальною теорією відносності – релятивістською механікою.
Спеціальна теорія відносності грунтується на двох постулатах Ейнштейна. Перший постулат: всі закони природи інваріантні при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Ейнштейн, фактично, поширив механічний принцип відносності Галілея на всі фізичні явища. Другий постулат: швидкість світла у вакуумі однакова у всіх інерціальних системах відліку і не залежить від руху джерел і приймачів світла.
Ці два принципи являють собою основу спеціальної теорії відносності, яка, в свою чергу, є теорією простору і часу.
В спеціальній теорії відносності замість перетворень Галілея слід користуватись перетвореннями Лоренца. У простому випадку, коли координатні осі 0Х і <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image903.wmz» o:><img width=«37» height=«21» src=«dopb208245.zip» v:shapes="_x0000_i1549">співпадають, перетворення координат Лоренца мають вигляд:
<shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image905.wmz» o:><img width=«107» height=«83» src=«dopb208246.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image907.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb208247.zip» v:shapes="_x0000_i1551"> <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image909.wmz» o:><img width=«49» height=«24» src=«dopb208248.zip» v:shapes="_x0000_i1552"> <shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image911.wmz» o:><img width=«101» height=«107» src=«dopb208249.zip» v:shapes="_x0000_i1553"> (5.68)
Зауважимо, що перетворення Лоренца при v<<c переходять у перетворення Галілея.
З перетворень Лоренца випливають два важливих наслідки. По-перше, довжина тіла l, виміряна в системі (К), відносно якої воно рухається, виявляється меншою довжини тіла l0, виміряної в системі (<shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image913.wmz» o:><img width=«23» height=«20» src=«dopb208237.zip» v:shapes="_x0000_i1554">), відносно якої тіло нерухоме
<shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image914.wmz» o:><img width=«103» height=«59» src=«dopb208250.zip» v:shapes="_x0000_i1555">. (5.69)
Систему відліку (<shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image916.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb208251.zip» v:shapes="_x0000_i1556">, відносно якої тіло нерухоме, називають власною системою відліку.
По-друге, власний проміжок часу <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image918.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208252.zip» v:shapes="_x0000_i1557"> менший проміжку часу <shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image920.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb208253.zip» v:shapes="_x0000_i1558">, відрахованого за годинником, який рухається відносно тіла
<shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image922.wmz» o:><img width=«95» height=«83» src=«dopb208254.zip» v:shapes="_x0000_i1559">. (5.70)
Власний час <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image924.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb208252.zip» v:shapes="_x0000_i1560"> відраховується за годинником системи відліку, яка рухається разом з тілом.
Залежність маси m від швидкості його руху дається рівнянням:
 m<shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image925.wmz» o:><img width=«83» height=«83» src=«dopb208255.zip» v:shapes="_x0000_i1561">, (5.71)
де m0 – маса спокою тіла.
Динаміка руху тіла в релятивістській механіці описується рівнянням
<shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image927.wmz» o:><img width=«55» height=«48» src=«dopb208256.zip» v:shapes="_x0000_i1562">, (5.72)
де <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image929.wmz» o:><img width=«108» height=«83» src=«dopb208257.zip» v:shapes="_x0000_i1563"> (5.73)
є релятивістський імпульс.
Між повною енергією тіла і його релятивістською масою існує взаємозв’язок,
 W=mc2. (5.74)
Цю залежність називають законом взаємозв’язку маси і енергії.
Енергію W0=m0c2 (5.75)
називають енергією спокою тіла.
Кінетична енергія тіла
<shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image931.wmz» o:><img width=«304» height=«83» src=«dopb208258.zip» v:shapes="_x0000_i1564"> (5.76)
У випадку малих швидкостей ця формула переходить у відомий вираз
<shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image933.wmz» o:><img width=«95» height=«51» src=«dopb208259.zip» v:shapes="_x0000_i1565">. (5.77)
Зв’язок між повною енергією та імпульсом
<shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image935.wmz» o:><img width=«144» height=«35» src=«dopb208260.zip» v:shapes="_x0000_i1566">. (5.78)
Головний висновок теорії відносності: простір і час органічно взаємно пов’язані і утворюють єдину форму існування матерії – простір-час. Саме тому просторово-часовий інтервал між двома подіями – абсолютний (однаковий у всіх інерціальних системах):
<shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image937.wmz» o:><img width=«221» height=«25» src=«dopb208261.zip» v:shapes="_x0000_i1567"><shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1568"> (5.79)
Окремо взяті просторові і часові проміжки між подіями – відносні.
Таким чином, перетворення Лоренца і всі висновки, які з них випливають, визначають об’єктивно існуючі просторово-часові співвідношення рухомої матерії.

Розділ VI. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла.
§ 6. 1. Ядерна модель атома. Воднеподібний атом Бора. Спектральні серії
Оскільки світло випромінюється і поглинається атомами речовини, то виникає питання: яка структура атомів забезпечує квантовий (дискретний) характер вказаних процесів? Відповідь на це питання дав Резерфорд (1911р), аналізуючи результати експериментального дослідження розсіяння <shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1569">-частинок на тонких металічних плівках. Він запропонував ядерну модель атома, згідно з якою в центрі атома <shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image939.wmz» o:><img width=«99» height=«29» src=«dopb208262.zip» v:shapes="_x0000_i1570">розміщене позитивно заряджене ядро <shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image941.wmz» o:><img width=«160» height=«29» src=«dopb208263.zip» v:shapes="_x0000_i1571">, в якому сконцентрована практично вся маса атома. Навколо ядер по колових чи еліптичних орбітах рухаються електрони. Якщо в нейтральному атомі Z електронів, то заряд ядра <shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image943.wmz» o:><img width=«83» height=«27» src=«dopb208264.zip» v:shapes="_x0000_i1572">, де <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image945.wmz» o:><img width=«124» height=«28» src=«dopb208265.zip» v:shapes="_x0000_i1573"> – елементарний заряд.
Рух електрона по орбіті є прискореним. І тому, з точки зору класичної фізики, електрон, що рухається прискорено, повинен випромінювати електромагнітні хвилі, втрачати енергію і кінець кінцем впасти на ядро. Але атом – стійка система електричних зарядів. І тому, приймаючи ядерну модель атома, потрібно відмовитись від класичного опису орбітального руху електронів.
Перший крок в цьому напрямку зробив Н. Бор (1913 р.), сформулювавши наступні постулати:
а) із усіх можливих механічних станів (орбіт) електрона в атомі здійснюються лише такі, для яких момент імпульсу орбітального руху електрона кратний до постійної Планка h, тобто
 <shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image947.wmz» o:><img width=«155» height=«48» src=«dopb208266.zip» v:shapes="_x0000_i1574">, (6.1)
де <shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image949.wmz» o:><img width=«80» height=«23» src=«dopb208267.zip» v:shapes="_x0000_i1575"> – квантове число стану (номер орбіти), а <shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image951.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb208268.zip» v:shapes="_x0000_i1576"> – постійна Дірака; такі стани (орбіти) називаються стаціонарними;
б) перебуваючи в стаціонарному стані, електрон атома не випромінює і не поглинає енергії;
в) при переході з одного стаціонарного стану на інший (мал.6.1) електрон випромінює (поглинає) квант світла з енергією, рівною різниці енергій цих станів, тобто
<shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image953.wmz» o:><img width=«119» height=«35» src=«dopb208269.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> . (6.2)
Отже, основна ідея постулатів Бора полягає в квантуванні (дискретності) механічних характеристик руху електронів в атомі (моменту імпульса, енергії тощо) і в стрибкоподібній зміні цих характеристик.
Вперше ядерна модель атома з постулатами Бора була застосована до воднеподібних атомів <shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image955.wmz» o:><img width=«105» height=«29» src=«dopb208270.zip» v:shapes="_x0000_i1578">тощо), в яких навколо ядра рухається по коловій орбіті радіусом r лише один електрон. При цьому ядро вважається нерухомим, а електрон розглядається як класична матеріальна точка. Враховуючи, що в ролі доцентрової сили виступає кулонівська сила взаємодії між електроном та ядром, тобто <shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image957.wmz» o:><img width=«164» height=«29» src=«dopb208271.zip» v:shapes="_x0000_i1579">, і вираз (6.1), отримаємо для радіуса стаціонарної орбіти електрона вираз
<shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image959.wmz» o:><img width=«192» height=«55» src=«dopb208272.zip» v:shapes="_x0000_i1580"> , (6.3)
де <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image961.wmz» o:><img width=«147» height=«29» src=«dopb208273.zip» v:shapes="_x0000_i1581">– борівський радіус, який має зміст радіуса першої (<shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image963.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb208274.zip» v:shapes="_x0000_i1582">орбіти електрона в атомі водню (<shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image965.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb208275.zip» v:shapes="_x0000_i1583">. Отже, має місце квантування радіусів стаціонарних орбіт електрона, оскільки <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image967.wmz» o:><img width=«84» height=«23» src=«dopb208276.zip» v:shapes="_x0000_i1584"> .
Для повної механічної енергії електрона <shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image969.wmz» o:><img width=«111» height=«28» src=«dopb208277.zip» v:shapes="_x0000_i1585">легко отримати вираз
 <shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image971.wmz» o:><img width=«403» height=«56» src=«dopb208278.zip» v:shapes="_x0000_i1586">, (6.4)
де <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image973.wmz» o:><img width=«139» height=«28» src=«dopb208279.zip» v:shapes="_x0000_i1587">– постійна Рідберга.
Отже, енергія воднеподібних атомів в стаціонарних станах приймає дискретні значення, тобто квантується. Стан з найнижчою енергією <shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image975.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb208280.zip» v:shapes="_x0000_i1588">називається основним, усі інші стани – збудженими. Стан з найвищою енергією <shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image977.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb208281.zip» v:shapes="_x0000_i1589">відповідає іонізації атома. Отже, енергія іонізації воднеподібних атомів
 <shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image979.wmz» o:><img width=«169» height=«29» src=«dopb208282.zip» v:shapes="_x0000_i1590">, (еВ).
І тому зручно інколи (6.4) записувати у вигляді  <shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image981.wmz» o:><img width=«81» height=«51» src=«dopb208283.zip» v:shapes="_x0000_i1591">. (6.5)
Зобразимо енергетичну діаграму борівського атома водню (<shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image965.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb208275.zip» v:shapes="_x0000_i1592">(мал.6.2). В основному стані атом може перебувати як завгодно довго. Якщо ж його перевести певним чином (теплом, світлом, ударом вільних електронів тощо) в збуджений стан, то тривалість перебування в цьому стані складає <shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image983.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb208284.zip» v:shapes="_x0000_i1593">, і атом самовільно переходить в основний чи нижчі збуджені стани (мал.6.2), випромінюючи фотони з енергіями
<shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image985.wmz» o:><img width=«267» height=«55» src=«dopb208285.zip» v:shapes="_x0000_i1594">.
Довжини випромінюваних світлових хвиль розраховуються за серіальною формулою Бальмера:
<shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image987.wmz» o:><img width=«147» height=«53» src=«dopb208286.zip» v:shapes="_x0000_i1595">, (6.6)
де n2 – квантове число стану, з якого відбувається перехід, n1 – квантове число стану, в який переходить атом.
Усі спектральні лінії можна згрупувати в наступні серії: І–серія Лаймана (<shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image989.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb208287.zip» v:shapes="_x0000_i1596">n2<shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image991.wmz» o:><img width=«35» height=«24» src=«dopb208288.zip» v:shapes="_x0000_i1597">; ІІ–серія Бальмера (<shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image993.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb208289.zip» v:shapes="_x0000_i1598"><shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image995.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb208290.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> ІІІ–серія Пашена (<shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image997.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb208291.zip» v:shapes="_x0000_i1600"><shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image999.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb208292.zip» v:shapes="_x0000_i1601">тощо. Лінії серії Лаймана лежать в ультрафіолетовій області, серії Бальмера – у видимій області, серії Пашена – в інфрачервоній області.
Теорія Бора дуже добре описала положення спектральних ліній випромінювання воднеподібних атомів, але виявилась нездатною пояснити спектри випромінювання складних атомів, а також інтенсивності спектральних ліній навіть атомарного водню. Слабкість цієї теорії зумовлена її непослідовністю: вона – напівкласична, напівквантова.
§ 6.2. Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії; гіпотеза де Бройля. Співвідношення невизначеностей Гайзенберга
В 1924 р. Луі де Бройль висунув гіпотезу (постулат) про те, що корпускулярно-хвильовий дуалізм притаманний не тільки світлу, як це показано в розділі V, але матерії взагалі: усяка частинка, яка має імпульс <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1001.wmz» o:><img width=«57» height=«24» src=«dopb208293.zip» v:shapes="_x0000_i1602"> і енергію Е, володіє хвильовими властивостями, її рух супроводжується хвильовим процесом з довжиною хвилі де Бройля
<shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1003.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb208294.zip» v:shapes="_x0000_i1603"> (6.7)
та частотою <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1005.wmz» o:><img width=«48» height=«47» src=«dopb208295.zip» v:shapes="_x0000_i1604"> . (6.8)
В залежності від величини швидкості v (чи кінетичної енергії Т) частинок, їх імпульс розраховується або за класичною формулою (при v<<c, T<<E0)
<shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1007.wmz» o:><img width=«144» height=«31» src=«dopb208296.zip» v:shapes="_x0000_i1605">, (6.9)
або за релятивістською формулою (при <shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1009.wmz» o:><img width=«48» height=«16» src=«dopb208297.zip» v:shapes="_x0000_i1606">, Т співмірна з Е0)
<shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1011.wmz» o:><img width=«145» height=«48» src=«dopb208298.zip» v:shapes="_x0000_i1607">, (6.10)
де m0 – маса спокою частинки (таблична величина), <shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1608"><shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1013.wmz» o:><img width=«84» height=«29» src=«dopb208299.zip» v:shapes="_x0000_i1609">– її енергія спокою.
Відомо, що хвильові властивості світла найбільш чітко проявляються в явищі дифракції. І тому прояву хвильових властивостей електронних (нейтронних, атомних тощо) пучків слід очікувати в цьому явищі, при якому чітка дифракційна картина спостерігатиметься, коли довжина хвилі співмірна з розміром дифракційної неоднорідності.
Оцінимо довжину хвилі де Бройля електронів, які прискорились відносно слабким електричним полем (<shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1015.wmz» o:><img width=«107» height=«29» src=«dopb208300.zip» v:shapes="_x0000_i1610">. Саме такі напруги використовуються у вакуумних електронних приладах (радіолампи, ЕПТ, рентгенівські трубки тощо). Підставляючи в (6.9) значення кінетичної енергії <shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1017.wmz» o:><img width=«97» height=«29» src=«dopb208301.zip» v:shapes="_x0000_i1611">еВ, отримаємо за (6.7) значення довжин хвиль де Бройля <shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1019.wmz» o:><img width=«101» height=«24» src=«dopb208302.zip» v:shapes="_x0000_i1612">нм. Оскільки розміри макроприладів значно більші від <shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1613">, то хвильові властивості електронів в цьому випадку не відслідковуються. В цей же час розраховані значення <shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1614"> співмірні з розміром кристалічної гратки (<shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1021.wmz» o:><img width=«55» height=«23» src=«dopb208303.zip» v:shapes="_x0000_i1615">нм) твердих тіл. І тому така гратка повинна бути дифракційним пристроєм для електронних пучків. Дійсно, при проходженні електронних пучків через тонкі полікристалічні металічні плівки та при їх відбиванні від монокристалів спостерігається дифракційна картина, така ж як і у випадку рентгенівських променів.
Відмітимо, що довжина хвиль де Бройля рухомих макротіл, за рахунок великої маси, настільки мала, що їх хвильову природу виявити неможливо.
В класичній механіці стан частинки задається сукупністю точно заданих координат (x,y,z) та проекцій вектора імпульсу (рх, рy, рz). Зокрема, для одновимірного випадку неточності (невизначеності) координати (<shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1023.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb208304.zip» v:shapes="_x0000_i1616">та імпульсу (<shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1025.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb208305.zip» v:shapes="_x0000_i1617">рівні нулю, і тому: <shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1027.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb208306.zip» v:shapes="_x0000_i1618">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Корпускулярно-хвильовий дуалізм частинок в мікросвіті накладає обмеження на можливості класичного опису. Дійсно, вільна частинка, що рухається вздовж осі х, описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля
<shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1029.wmz» o:><img width=«199» height=«27» src=«dopb208307.zip» v:shapes="_x0000_i1619">, (6.11)
де <shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1031.wmz» o:><img width=«112» height=«25» src=«dopb208308.zip» v:shapes="_x0000_i1620"> – її циклічна частота, <shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1033.wmz» o:><img width=«115» height=«25» src=«dopb208309.zip» v:shapes="_x0000_i1621"> – її хвильове число. В цьому випадку <shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1035.wmz» o:><img width=«103» height=«16» src=«dopb208310.zip» v:shapes="_x0000_i1622">, і тому положення частинки повністю невизначене: <shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1037.wmz» o:><img width=«57» height=«19» src=«dopb208311.zip» v:shapes="_x0000_i1623">. З іншого боку, імпульс такої частинки (<shape id="_x0000_i1624" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1039.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb208312.zip» v:shapes="_x0000_i1624">строго визначений, бо <shape id="_x0000_i1625" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1041.wmz» o:><img width=«73» height=«20» src=«dopb208313.zip» v:shapes="_x0000_i1625"> і <shape id="_x0000_i1626" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1043.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb208314.zip» v:shapes="_x0000_i1626">. А отже, добуток <shape id="_x0000_i1627" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1045.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb208315.zip» v:shapes="_x0000_i1627"> є математично невизначеним (<shape id="_x0000_i1628" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1047.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb208316.zip» v:shapes="_x0000_i1628">.
В мікросвіті можна змоделювати об’єкти (наприклад, хвильовий пакет), для яких координата точно визначена (<shape id="_x0000_i1629" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1049.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb208317.zip» v:shapes="_x0000_i1629">, але імпульс повністю невизначений (<shape id="_x0000_i1630" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1051.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb208318.zip» v:shapes="_x0000_i1630">, і тому має місце математична невизначеність типу <shape id="_x0000_i1631" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1053.wmz» o:><img width=«64» height=«20» src=«dopb208319.zip» v:shapes="_x0000_i1631"> 
Аналізуючи умовні експерименти, пов’язані з проходженням мікрочастинок через щілини, Гайзенберг (1927 р.) встановив наступні співвідношення між невизначеностями координат та відповідних імпульсів мікрочастинок
<shape id="_x0000_i1632" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1055.wmz» o:><img width=«105» height=«89» src=«dopb208320.zip» v:shapes="_x0000_i1632"> . (6.12)
Інтерпретацію цих співвідношень дав Н. Бор у вигляді принципу доповнюваності:
1) інформація про стан мікрочастинок може бути отримана лише за допомогою макроприладів, які взаємодіють з мікрочастинками;
2) за допомогою конкретного макроприладу можна встановити точне значення або координати, або імпульсу; при цьому чим точніше встановлена одна характеристика, тим невизначеніша інша.
Із співвідношення Гайзенберга слідує, зокрема, що поняття електронної орбіти в атомі втрачає зміст. Дійсно, якщо невизначеність швидкості електрона співмірна з самою швидкістю, тобто <shape id="_x0000_i1633" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1057.wmz» o:><img width=«148» height=«29» src=«dopb208321.zip» v:shapes="_x0000_i1633">, то невизначеність координати <shape id="_x0000_i1634" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1059.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb208322.zip» v:shapes="_x0000_i1634">, що співмірно з розміром атома. А отже, електрон “розмазаний” по всьому об’ємі атома.
Пара “координата-імпульс” у співвідношенні (6.12) не є випадковою, оскільки вона входить як добуток в рівняння плоскої хвилі де Бройля (6.11), представлене у вигляді
<shape id="_x0000_i1635" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1061.wmz» o:><img width=«212» height=«47» src=«dopb208323.zip» v:shapes="_x0000_i1635">. (6.13)
І тому слід очікувати, що і для іншої пари “енергія-час” матиме місце співвідношення невизначеності
<shape id="_x0000_i1636" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1063.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb208324.zip» v:shapes="_x0000_i1636">, (6.14)
де <shape id="_x0000_i1637" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1065.wmz» o:><img width=«23» height=«20» src=«dopb208325.zip» v:shapes="_x0000_i1637">має зміст тривалості перебування (часу життя) мікрочастинки в певному стані. Зокрема, для основного стану електрона у воднеподібному атомі <shape id="_x0000_i1638" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1067.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb208326.zip» v:shapes="_x0000_i1638"> і тому <shape id="_x0000_i1639" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1069.wmz» o:><img width=«56» height=«20» src=«dopb208327.zip» v:shapes="_x0000_i1639">, тобто енергетичний рівень основного стану нерозмитий.
§ 6.3. Хвильова функція та її зміст. Рівняння Шрьодінгера
Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії встановлює межі застосування класичної механіки, і для опису мікросвіту використовуються закони квантової механіки, в якій стан мікрочастинок задається вже не координатами та імпульсами, а хвильовою функцією <shape id="_x0000_i1640" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1071.wmz» o:><img width=«152» height=«25» src=«dopb208328.zip» v:shapes="_x0000_i1640">. Зокрема, для вільної одновимірної частинки хвильовою функцією є плоска хвиля де Бройля, яку представимо тут у комплексній формі:
<shape id="_x0000_i1641" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1073.wmz» o:><img width=«187» height=«47» src=«dopb208329.zip» v:shapes="_x0000_i1641">, (6.15)
де <shape id="_x0000_i1642" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1075.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb208330.zip» v:shapes="_x0000_i1642">. Помноживши <shape id="_x0000_i1643" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1077.wmz» o:><img width=«17» height=«19» src=«dopb208331.zip» v:shapes="_x0000_i1643"> на комплексно спряжену функцію <shape id="_x0000_i1644" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1079.wmz» o:><img width=«24» height=«28» src=«dopb208332.zip» v:shapes="_x0000_i1644">, отримаємо
<shape id="_x0000_i1645" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1081.wmz» o:><img width=«87» height=«31» src=«dopb208333.zip» v:shapes="_x0000_i1645">.
З точки зору хвильових уявлень квадрат амплітуди хвилі визначає її інтенсивність; з точки зору корпускулярних уявлень – це ймовірність виявити мікрочастинку в певній області простору. Отже, фізичний зміст має не сама хвильова функція, а вираз <shape id="_x0000_i1646" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1083.wmz» o:><img width=«84» height=«33» src=«dopb208334.zip» v:shapes="_x0000_i1646">, який називається густиною імовірності. Імовірність знайти частинку в елементарному об’ємі <shape id="_x0000_i1647" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1085.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb208335.zip» v:shapes="_x0000_i1647"> становить
<shape id="_x0000_i1648" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1087.wmz» o:><img width=«97» height=«33» src=«dopb208336.zip» v:shapes="_x0000_i1648">. (6.16)
Для частинок, які не є вільними, хвильова функція не представляється хвилею де Бройля, але її ймовірнісна інтерпретація залишається в силі.
Оскільки імовірність повинна бути однозначною, неперервною і скінченною, то на хвильову функцію накладаються наступні стандартні вимоги:
1) вона повинна бути однозначною, неперервною і скінченною;
2)                перші похідні від хвильової функції по координатах і часу також повинні бути неперервними, що забезпечить “гладкість” імовірності;
3)                вона повинна бути інтегрованою; зокрема, <shape id="_x0000_i1649" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1089.wmz» o:><img width=«93» height=«52» src=«dopb208337.zip» v:shapes="_x0000_i1649">, як імовірність знайти частинку в будь-якій точці простору V (імовірність вірогідної події).
Для знаходження хвильової функції конкретного квантовомеханічного об’єкту необхідно розв’язати рівняння Шрьодінгера (1926 р.)
<shape id="_x0000_i1650" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1091.wmz» o:><img width=«93» height=«49» src=«dopb208338.zip» v:shapes="_x0000_i1650">, (6.17)
яке є аналогом ІІ закону Ньютона класичної механіки. В цьому рівнянні
<shape id="_x0000_i1651" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1093.wmz» o:><img width=«199» height=«53» src=«dopb208339.zip» v:shapes="_x0000_i1651">– (6.18)
оператор Гамільтона або оператор повної енергії частинки, де m – маса частинки, <shape id="_x0000_i1652" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1095.wmz» o:><img width=«28» height=«40» src=«dopb208340.zip» v:shapes="_x0000_i1652">– оператор Лапласа:
<shape id="_x0000_i1653" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1097.wmz» o:><img width=«175» height=«60» src=«dopb208341.zip» v:shapes="_x0000_i1653">, (6.19)
U – оператор потенціальної енергії, дія якого зводиться до простого множення на хвильову функцію.
Якщо потенціальна енергія частинки явно не залежить від часу, тобто <shape id="_x0000_i1654" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1099.wmz» o:><img width=«107» height=«24» src=«dopb208342.zip» v:shapes="_x0000_i1654">, то квантовомеханічна задача називається стаціонарною. І хвильову функцію можна представити у вигляді <shape id="_x0000_i1655" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1101.wmz» o:><img width=«203» height=«24» src=«dopb208343.zip» v:shapes="_x0000_i1655">.
Координатнозалежну складову хвильової функції знаходять із розв’язку рівняння Шрьодінгера для стаціонарних станів
 <shape id="_x0000_i1656" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1103.wmz» o:><img width=«77» height=«37» src=«dopb208344.zip» v:shapes="_x0000_i1656">, (6.20)
де параметр Е має зміст енергії частинки.
Розв’язок цього диференційного рівняння задовільняє стандартні вимоги до хвильової функції, як правило, не при усяких, а дозволених (дискретних) значеннях параметра Е. Ці значення Е називаються власними значеннями оператора <shape id="_x0000_i1657" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1105.wmz» o:><img width=«19» height=«33» src=«dopb208345.zip» v:shapes="_x0000_i1657">, а відповідні хвильові функції <shape id="_x0000_i1658" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1107.wmz» o:><img width=«73» height=«24» src=«dopb208346.zip» v:shapes="_x0000_i1658">– власними функціями цього оператора. В кожному конкретному випадку потрібно задати аналітичну форму оператора <shape id="_x0000_i1659" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1105.wmz» o:><img width=«19» height=«33» src=«dopb208345.zip» v:shapes="_x0000_i1659"> (6.18), тобто побудувати потенціальну модель квантомеханічного об’єкту.
§6.4. Частинка в одновимірній прямокутній потенціальній ямі (ящику). Проходження частинки через потенціальний бар’єр
Усякий зв’язаний стан частинки (електрон в атомі, вільний електрон в металі, нуклон в ядрі тощо), тобто стан з від’ємною потенціальною енергією, можна описати поняттям потенціальної ями.
Розглянемо найпростіший випадок, коли частинка масою m перебуває в одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною l.Оскільки початок відліку потенціальної енергії можна вибирати довільно, то задачу про “яму” замінимо задачею про “ящик”, на дні якого потенціальна енергія дорівнює нулю, а стінки якого нескінченно високі (мал.6.3). Оператор Гамільтона <shape id="_x0000_i1660" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1105.wmz» o:><img width=«19» height=«33» src=«dopb208345.zip» v:shapes="_x0000_i1660">(6.18) для цього випадку має вигляд
<shape id="_x0000_i1661" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1109.wmz» o:><img width=«167» height=«53» src=«dopb208347.zip» v:shapes="_x0000_i1661">, (6.21)
де <shape id="_x0000_i1662" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1111.wmz» o:><img width=«57» height=«24» src=«dopb208348.zip» v:shapes="_x0000_i1662"> <shape id="_x0000_i1663" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1113.wmz» o:><img width=«28» height=«55» src=«dopb208349.zip» v:shapes="_x0000_i1663"> <shape id="_x0000_i1664" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1115.wmz» o:><img width=«33» height=«47» src=«dopb208350.zip» v:shapes="_x0000_i1664"> <shape id="_x0000_i1665" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1665"><shape id="_x0000_i1666" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1117.wmz» o:><img width=«69» height=«49» src=«dopb208351.zip» v:shapes="_x0000_i1666">
Всередині ящика рівняння Шрьодінгера запишеться як
<shape id="_x0000_i1667" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1119.wmz» o:><img width=«139» height=«53» src=«dopb208352.zip» v:shapes="_x0000_i1667">. (6.22)
Розв’язок цього рівняння, з врахуванням стандартних вимог, зокрема, <shape id="_x0000_i1668" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1121.wmz» o:><img width=«117» height=«24» src=«dopb208353.zip» v:shapes="_x0000_i1668">, має вигляд
<shape id="_x0000_i1669" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1123.wmz» o:><img width=«168» height=«51» src=«dopb208354.zip» v:shapes="_x0000_i1669">, (6.23)
де n=1,2,3,… – квантове число стану частинки. Енергія частинки в різних квантових станах
<shape id="_x0000_i1670" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1125.wmz» o:><img width=«116» height=«53» src=«dopb208355.zip» v:shapes="_x0000_i1670"> , (6.24)
тобто приймає не довільні, а дискретні значення Е1, Е2, Е3, …, зображені на мал.6.3 відповідними енергетичними рівнями. Густина імовірності <shape id="_x0000_i1671" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1127.wmz» o:><img width=«31» height=«33» src=«dopb208356.zip» v:shapes="_x0000_i1671"> залежить від координати частинки, при цьому по різному в кожному квантовому стані.
Відстань між сусідніми енергетичними рівнями
<shape id="_x0000_i1672" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1129.wmz» o:><img width=«252» height=«53» src=«dopb208357.zip» v:shapes="_x0000_i1672">. (6.25)
Зокрема, для електрона в ямі шириною l<shape id="_x0000_i1673" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1131.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208358.zip» v:shapes="_x0000_i1673">, яка співмірна з розміром атома, отримаємо <shape id="_x0000_i1674" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1133.wmz» o:><img width=«87» height=«20» src=«dopb208359.zip» v:shapes="_x0000_i1674"> В цей же час для макрооб’єктів, коли m i l – дуже великі, відстань між рівнями стає зникаюче малою, і тому квантуванням енергії можна знехтувати. Задача про частинку в потенціальній ямі скінченної глибини має дещо складніший розв’язок, але висновок про квантування енергії залишається в силі і в цьому випадку.
Спорідненою до описаної є задача про проходження частинки через потенціальний бар’єр шириною l і висотою U0 (мал.6.4). Якщо частинка класична, то вона пролітає над бар’єром, коли Е>U0, і відбивається від нього, коли Е<U0, бо проникнення під бар’єр означало б, що її кінетична енергія від’ємна.
Для квантовомеханічної мікро-частинки розв’язок рівняння Шрьодінгера дає, що хвильові функції в усіх трьох областях (<shape id="_x0000_i1675" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1135.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb208360.zip» v:shapes="_x0000_i1675">відмінні від нуля, тобто мікрочастинка проникає під бар’єр і за бар’єр. Це явище називається тунелюванням. Від’ємні значення кінетичної енергії в області ІІ не можуть турбувати, бо в квантовій механіці, в силу дії співвідношення Гайзенберга (§ 6.2), кінетична енергія <shape id="_x0000_i1676" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1137.wmz» o:><img width=«100» height=«29» src=«dopb208361.zip» v:shapes="_x0000_i1676">, як і потенціальна енергія U(x), не є точно визначеними. Прозорість бар’єру <shape id="_x0000_i1677" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1139.wmz» o:><img width=«124» height=«39» src=«dopb208362.zip» v:shapes="_x0000_i1677">тим більша, чим менша його ширина і висота, а також, чим менша маса частинки, тобто ефект тунелювання помітний лише в мікросвіті.
§ 6.5. Квантовий лінійний гармонічний осцилятор
Лінійний гармонічний осцилятор – це матеріальна точка, яка здійснює рух вздовж осі х під дією квазіпружної сили <shape id="_x0000_i1678" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1141.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb208363.zip» v:shapes="_x0000_i1678">. Потенціальна енергія осцилятора (мал.6.5):
 <shape id="_x0000_i1679" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1143.wmz» o:><img width=«145» height=«51» src=«dopb208364.zip» v:shapes="_x0000_i1679">, (6.26)
де m – маса осцилятора, <shape id="_x0000_i1680" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1145.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208365.zip» v:shapes="_x0000_i1680"> – його власна циклічна частота, х – зміщення від положення рівноваги. Підставляючи (6.26) в рівняння Шрьодінгера (6.20), отримаємо
<shape id="_x0000_i1681" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1147.wmz» o:><img width=«228» height=«53» src=«dopb208366.zip» v:shapes="_x0000_i1681">. (6.27)
Розв’язок цього рівняння, виражений через поліноми Чебишева-Ерміта, задовільняє стандартні вимоги до хвильових функцій лише тоді, коли енергія осцилятора квантується за законом
<shape id="_x0000_i1682" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1149.wmz» o:><img width=«232» height=«47» src=«dopb208367.zip» v:shapes="_x0000_i1682">, (6.28)
де <shape id="_x0000_i1683" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1151.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208368.zip» v:shapes="_x0000_i1683">=0,1,2,… – коливальне квантове число.
Відмітимо, що найменша енергія квантового осцилятора при <shape id="_x0000_i1684" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1151.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208368.zip» v:shapes="_x0000_i1684">=0, так звана нульова енергія, на відміну від класичного осцилятора не дорівнює нулю. Наявність нульових коливань підтверджується експериментально фактом розсіяння світла кристалами при дуже низьких температурах.
Перебуваючи в певному квантовому стані, осцилятор не поглинає і не випромінює енергії. Випромінювання (поглинання) енергії відбувається при переході осцилятора між квантовими станами, при цьому дозволяються (правила відбору) переходи лише між сусідніми енергетичними рівнями (мал.6.5), тобто <shape id="_x0000_i1685" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1153.wmz» o:><img width=«63» height=«20» src=«dopb208369.zip» v:shapes="_x0000_i1685">. Енергія випромінюваного (поглинутого) кванту <shape id="_x0000_i1686" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1155.wmz» o:><img width=«219» height=«25» src=«dopb208370.zip» v:shapes="_x0000_i1686">, що підтверджує квантовий постулат Планка.
§ 6.6. Воднеподібні атоми в квантовій механіці. Квантові числа електрона в атомі
Потенціальна енергія електрона в кулонівському полі ядра воднеподібного атома має вигляд
<shape id="_x0000_i1687" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1157.wmz» o:><img width=«109» height=«56» src=«dopb208371.zip» v:shapes="_x0000_i1687">, (6.29)
де r – відстань від центру ядра.
З врахуванням (6.29) стаціонарне рівняння Шрьодінгера (6.20) запишеться як
<shape id="_x0000_i1688" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1159.wmz» o:><img width=«220» height=«59» src=«dopb208372.zip» v:shapes="_x0000_i1688">. (6.30)
Оскільки кулонівське поле володіє центральною симетрією, то зручно перейти до сферичних координат, де положення довільної точки описується однією лінійною координатою (r) і двома кутовими (<shape id="_x0000_i1689" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1161.wmz» o:><img width=«39» height=«24» src=«dopb208373.zip» v:shapes="_x0000_i1689">. В цьому випадку у хвильовій функції електрона можна провести розділення змінних:
<shape id="_x0000_i1690" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1163.wmz» o:><img width=«363» height=«35» src=«dopb208374.zip» v:shapes="_x0000_i1690">.
Стандартні вимоги як до хвильової функції в цілому, так і до окремих складових виконуються лише при певних (дискретних) значеннях не тільки енергії електрона Еn, але і квадрату моменту імпульсу його орбітального руху <shape id="_x0000_i1691" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1165.wmz» o:><img width=«24» height=«29» src=«dopb208375.zip» v:shapes="_x0000_i1691">, а також проекції цього моменту <shape id="_x0000_i1692" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1167.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb208376.zip» v:shapes="_x0000_i1692">на вибраний напрямок (вісь z). Квантування вказаних характеристик визначається трьома квантовими числами: головним n, орбітальним (азімутальним) <shape id="_x0000_i1693" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1693"> та магнітним <shape id="_x0000_i1694" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1169.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1694"> наступним чином:
<shape id="_x0000_i1695" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1171.wmz» o:><img width=«113» height=«53» src=«dopb208378.zip» v:shapes="_x0000_i1695">, (6.31)
де n=1,2,3,…; відмітимо, що (6.31) співпадає з (6.4) для борівського воднеподібного атома;
<shape id="_x0000_i1696" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1173.wmz» o:><img width=«116» height=«29» src=«dopb208379.zip» v:shapes="_x0000_i1696">, (6.32)
де <shape id="_x0000_i1697" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1697">=0,1,2,…, n-1;
<shape id="_x0000_i1698" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1175.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb208380.zip» v:shapes="_x0000_i1698">, (6.33)
де <shape id="_x0000_i1699" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1177.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1699">=0,<shape id="_x0000_i1700" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1178.wmz» o:><img width=«92» height=«23» src=«dopb208381.zip» v:shapes="_x0000_i1700">.
Оскільки енергія електрона Еn визначається лише головним квантовим числом n, а хвильова функція <shape id="_x0000_i1701" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1180.wmz» o:><img width=«61» height=«35» src=«dopb208382.zip» v:shapes="_x0000_i1701">– трьома квантовими числами, то декільком станам з різними <shape id="_x0000_i1702" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1702"> та <shape id="_x0000_i1703" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1182.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1703"> відповідає одне значення енергії. Така ситуація називається квантовомеханічним виродженням. Наприклад, енергія Е2 реалізується в чотирьох станах з хвильовими функціями <shape id="_x0000_i1704" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1183.wmz» o:><img width=«43» height=«28» src=«dopb208383.zip» v:shapes="_x0000_i1704"> <shape id="_x0000_i1705" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1185.wmz» o:><img width=«43» height=«28» src=«dopb208384.zip» v:shapes="_x0000_i1705"> <shape id="_x0000_i1706" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1187.wmz» o:><img width=«41» height=«28» src=«dopb208385.zip» v:shapes="_x0000_i1706"> <shape id="_x0000_i1707" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1189.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb208386.zip» v:shapes="_x0000_i1707">. В загальному, кратність виродження дорівнює n2. Традиційно, стани з різними <shape id="_x0000_i1708" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1708"> позначаються наступними буквами:
 <shape id="_x0000_i1709" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1709">: 0, 1, 2, 3, …
стан: s, p, d, f, …
Для попереднього прикладу енергія Е2 реалізується в станах 2s i 2p.
Основний стан (1s) є невиродженим і описується хвильовою функцією
<shape id="_x0000_i1710" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1191.wmz» o:><img width=«179» height=«59» src=«dopb208387.zip» v:shapes="_x0000_i1710">. (6.34)
Для цього стану імовірність перебування електрона в сферичному шарі одиничної товщини на відстані r від центру ядра
<shape id="_x0000_i1711" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1193.wmz» o:><img width=«123» height=«48» src=«dopb208388.zip» v:shapes="_x0000_i1711">~<shape id="_x0000_i1712" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1195.wmz» o:><img width=«97» height=«52» src=«dopb208389.zip» v:shapes="_x0000_i1712">. (6.35)
Як видно з мал.6.6, де представлена залежність <shape id="_x0000_i1713" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1197.wmz» o:><img width=«53» height=«48» src=«dopb208390.zip» v:shapes="_x0000_i1713">, максимальна імовірність реалізується на відстанях, рівних борівському радіусу а0. Отже, борівські траєкторії можна інтерпретувати в квантовій механіці як геометричне місце точок з максимальною імовірністю перебування електрона. Хоч в дійсності його заряд “розмазаний” по всьому об’єму атома.
§ 6.7. Власний момент (спін) електрона. Принцип Паулі. Забудова складних атомів. Характеристичне рентгенівське випромінювання
Орбітальний рух електрона в атомі можна розглядати як коловий струм, з яким пов’язаний магнітний момент <shape id="_x0000_i1714" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1199.wmz» o:><img width=«31» height=«28» src=«dopb208391.zip» v:shapes="_x0000_i1714">. Проекція цього моменту на вибраний напрямок, який задається магнітним полем індукцією В,
<shape id="_x0000_i1715" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1201.wmz» o:><img width=«248» height=«52» src=«dopb208392.zip» v:shapes="_x0000_i1715">, (6.36)
де mел – маса електрона, <shape id="_x0000_i1716" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1203.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1716"> – магнітне квантове число. В s-стані <shape id="_x0000_i1717" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1204.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1717">=0, і тому такий електрон не повинен володіти магнітним моментом, що суперечить ряду експериментальних спостережень. І тому була висунута
(1925 р.) гіпотеза про те, що електрони володіють власним, не пов’язаним з просторовим переміщенням, моментом імпульсу і відповідним магнітним моментом. Ця властивість електронів була названа спіном. Спіновий момент імпульсу електрона визначається формулою
<shape id="_x0000_i1718" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1205.wmz» o:><img width=«119» height=«31» src=«dopb208393.zip» v:shapes="_x0000_i1718">, (6.37)
де s – cпінове квантове число, рівне <shape id="_x0000_i1719" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1207.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208394.zip» v:shapes="_x0000_i1719">.
Проекція цього моменту на вибраний напрямок (наприклад, напрямок магнітного поля)
<shape id="_x0000_i1720" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1209.wmz» o:><img width=«79» height=«25» src=«dopb208395.zip» v:shapes="_x0000_i1720">, (6.38)
де ms=<shape id="_x0000_i1721" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1211.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb208396.zip» v:shapes="_x0000_i1721">–магнітне спінове число.
Пізніше виявилось, що спіном володіють усі мікрочастинки. При цьому частинки з напівцілим спіном <shape id="_x0000_i1722" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1213.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb208397.zip» v:shapes="_x0000_i1722"><shape id="_x0000_i1723" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1215.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208398.zip» v:shapes="_x0000_i1723"><shape id="_x0000_i1724" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1217.wmz» o:><img width=«24» height=«24» src=«dopb208399.zip» v:shapes="_x0000_i1724"> утворюють клас ферміонів (електрони, протони, нейтрони тощо), а частинки з цілим спіном (s=0,1,…) утворюють клас бозонів (фотони, мезони тощо). Для ферміонів справедливий принцип Паулі: два тотожні ферміони не можуть одночасно перебувати в однаковому стані.
В багатоелектронних атомах стан кожного електрона описується четвіркою квантових чисел: n, <shape id="_x0000_i1725" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1725">, <shape id="_x0000_i1726" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1219.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208377.zip» v:shapes="_x0000_i1726">, ms. Принцип Паулі в цьому випадку гласить: в атомі не може бути двох електронів з ідентичним набором чотирьох квантових чисел. Електрони, які мають однакове головне квантове число n, утворюють шар. Максимальна кількість електронів у шарі визначається формулою 2n2. Класифікація шарів: К(n=1), L(n=2), M(n=3), N(n=4) тощо. Електрони з однаковими квантовими числами n i <shape id="_x0000_i1727" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1727"> утворюють оболонку. Максимальна кількість електронів в оболонці визначається формулою 2(2<shape id="_x0000_i1728" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1728">+1). Класифікація оболонок: s(<shape id="_x0000_i1729" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1729">=0), p(<shape id="_x0000_i1730" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1730">=1), d(<shape id="_x0000_i1731" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1731">=2), f(<shape id="_x0000_i1732" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1732">=3) тощо.
При забудові електронами шарів і оболонок, крім принципу Паулі, необхідно врахувати принцип мінімальності енергії. Це означає, що забудова починається з шарів і оболонок, де енергія електронів найменша. У воднеподібних атомах енергія електрона залежить лише від головного квантового числа n. В складних атомах на окремий електрон діє поле не тільки ядра, але і решти електронів. Це приводить до того, що виродження по <shape id="_x0000_i1733" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1733"> знімається, і енергія починає залежати як від n, так і від <shape id="_x0000_i1734" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1734">. Але, як правило, залежність від n сильніша. І тому заповнення починається з глибоких шарів. Наприклад, електронна конфігурація атома міді має наступний вигляд (цифри над символами вказують на кількість електронів в оболонках): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1. Видно, що оболонки шарів K, L, M повністю заповнені, і лише оболонка 4s заповнена частково. Відмітимо, що повні моменти імпульсів як орбітального, так і спінового рухів електронів заповнених оболонок рівні нулю. І тому стан атома визначається електронами частково заповненої оболонки; такі електрони називаються валентними. В нашому прикладі атом міді має один валентний електрон в s-стані. Саме валентні електрони забезпечують хімічний зв’язок між атомами в молекулах і в кристалічній гратці твердих тіл. Вони відповідальні за спектри випромінювання та поглинання атомів.
Зрозуміло, що переходи між енергетичними рівнями повністю заповнених шарів і оболонок неможливі. Але така можливість з’являється, якщо певним чином вибити електрон з глибокого шару, наприклад, при бомбардуванні металічного анода (антикатода) рентгенівської трубки швидкими електронами. В цьому випадку на вакантне місце глибокого шару може перейти електрон вищого шару. При такому переході випромінюється фотон з енергією <shape id="_x0000_i1735" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1220.wmz» o:><img width=«119» height=«35» src=«dopb208400.zip» v:shapes="_x0000_i1735">, у відповідності з енергетичною діаграмою (мал.6.7), на якій кожен шар зображений одним енергетичним рівнем. (В дійсності всі шари, крім К-шару, володіють декількома близькими рівнями, бо енергія залежить як від головного квантового числа n, так і від орбітального квантового числа <shape id="_x0000_i1736" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image752.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb208170.zip» v:shapes="_x0000_i1736">).
Оскільки відстань між енергетичними рівнями глибоких шарів дуже велика (<shape id="_x0000_i1737" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1222.wmz» o:><img width=«73» height=«31» src=«dopb208401.zip» v:shapes="_x0000_i1737">, то довжини хвиль випромінюваних фотонів <shape id="_x0000_i1738" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1224.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208402.zip» v:shapes="_x0000_i1738">, що відповідає рентгенівському діапазону. Зрозуміло, що спектр такого випромінювання, яке називають характеристичним, – дискретний. Спектральні лінії характеристичного рентгенівського випромінювання групуються в серії: K, L, М, N – серії. Наприклад, К-серія формується при переході електронів на вакантне місце в К-шари (n1=1) з шарів L, M, N, …(n2=2, 3, 4, …) – відповідно: <shape id="_x0000_i1739" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1226.wmz» o:><img width=«105» height=«28» src=«dopb208403.zip» v:shapes="_x0000_i1739"> – лінії. Довжини хвиль спектральних ліній в серіях описуються формулою Мозлі
    продолжение
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1740" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1228.wmz» o:><img width=«97» height=«48» src=«dopb208404.zip» v:shapes="_x0000_i1740"><shape id="_x0000_i1741" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1230.wmz» o:><img width=«97» height=«53» src=«dopb208405.zip» v:shapes="_x0000_i1741">, (6.39)
де R – постійна Рідберга (§ 6.1), <shape id="_x0000_i1742" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i1742">– постійна екранування (<shape id="_x0000_i1743" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i1743"><shape id="_x0000_i1744" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1232.wmz» o:><img width=«25» height=«19» src=«dopb208406.zip» v:shapes="_x0000_i1744">для К-серії). Ця формула переходить у формулу Бальмера (6.6), якщо покласти <shape id="_x0000_i1745" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1234.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb208407.zip» v:shapes="_x0000_i1745">. Постійна екранування враховує цю обставину, що “випромінюючий” електрон перебуває не тільки в кулонівському полі ядра, як це мало місце у воднеподібних атомах, але і в екрануючому полі інших електронів складних атомів.
§ 6.8. Теплові коливання кристалічної гратки і теплоємність твердих тіл
Більшість твердих тіл володіють кристалічною структурою, тобто є сукупністю великого числа атомів, впорядковано розміщених в просторі, і які тим самим утворюють кристалічну гратку. Оскільки атоми, що перебувають в сусідніх вузлах кристалічної гратки, зазнають взаємного притягання і відштовхування, то потенціальна енергія взаємодії між ними має вигляд потенціальної ями (мал.6.8).
В рамках класичної фізики при абсо-лютному нулю атоми повинні перебувати на дні потенціальної ями, на відстані r0 один від іншого. І, звичайно, бути нерухомими. З підвищенням температури енергія атомів зростає, і кожен атом починає здійснювати коливний рух відносно рівноважного положення між точками А і В. При дуже низьких температурах ці коливання можна вважати гармонічними, бо залежність Ер(r) – приблизно параболічна. При вищих температурах, як видно з мал.6.8, з’являється асиметрія відхилень від рівноважного положення r0: коливання стають ангармонічними. За рахунок ангармонізму середня відстань між атомами з ростом температури збільшується – має місце теплове розширення твердих тіл.
Оскільки три взаємноперпендикулярні напрямки коливань є рівноправними, то можна вважати, що атом в кристалічній гратці володіє трьома коливними ступенями вільності (і=3). Якщо знехтувати ефектом ангармонізму, то теплові коливання окремого атома можна моделювати сукупністю трьох незалежних лінійних осциляторів. Будемо вважати коливання окремих атомів незалежними. Тоді для одного моля речовини кількість ступенів вільності коливного руху складатиме 3NA, де NA – число Авогадро. В класичній фізиці на одну ступінь вільності коливного руху припадає енергія к0Т, де к0 – постійна Больцмана. Отже, внутрішня енергія моля твердого тіла
<shape id="_x0000_i1746" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1236.wmz» o:><img width=«153» height=«25» src=«dopb208408.zip» v:shapes="_x0000_i1746">, (6.40)
де R – універсальна газова стала.
Молярна теплоємність тіла
<shape id="_x0000_i1747" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1238.wmz» o:><img width=«112» height=«48» src=«dopb208409.zip» v:shapes="_x0000_i1747"> . (6.41)
Такий результат (закон Дюлонга-Пті) підтверджується експериментально для багатьох простих кристалічних речовин при високих температурах. Але при низьких температурах експеримент (мал.6.9) і класична теорія катастрофічно розходяться. Зокрема, при дуже низьких температурах виконується “закон кубів Дебая”, у відповідності з яким <shape id="_x0000_i1748" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1240.wmz» o:><img width=«65» height=«32» src=«dopb208410.zip» v:shapes="_x0000_i1748">.
Першу спробу узгодити експери-мент з теорією здійснив А. Ейнштейн
(1907 р.), який залишивши тезу про незалежність осциляторів, запропонував вважати останні не класичними, а квантовими.
Як показано в § 6.5, енергія квантового лінійного осцилятора
<shape id="_x0000_i1749" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1242.wmz» o:><img width=«116» height=«47» src=«dopb208411.zip» v:shapes="_x0000_i1749">. (6.42)
Ейнштейн припустив, що всі осцилятори коливаються з однаковою частотою <shape id="_x0000_i1750" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image779.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208183.zip» v:shapes="_x0000_i1750">, а їх розподіл за енергією описується класичною функцією розподілу Максвелла-Больцмана
<shape id="_x0000_i1751" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1244.wmz» o:><img width=«128» height=«113» src=«dopb208412.zip» v:shapes="_x0000_i1751"> , (6.43)
де N0 – загальна кількість атомів, а N<shape id="_x0000_i1752" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1246.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb208413.zip» v:shapes="_x0000_i1752">– кількість атомів, коливна енергія яких складає <shape id="_x0000_i1753" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1246.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb208413.zip» v:shapes="_x0000_i1753">. Тоді середня енергія одного осцилятора, тобто енергія, що припадає на одну ступінь вільності,
<shape id="_x0000_i1754" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1248.wmz» o:><img width=«316» height=«127» src=«dopb208414.zip» v:shapes="_x0000_i1754">. (6.44)
Після математичних перетворень останній вираз запишеться як
<shape id="_x0000_i1755" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1250.wmz» o:><img width=«176» height=«75» src=«dopb208415.zip» v:shapes="_x0000_i1755">. (6.45)
Внутрішня енергія одного моля твердого тіла
<shape id="_x0000_i1756" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1252.wmz» o:><img width=«285» height=«75» src=«dopb208416.zip» v:shapes="_x0000_i1756"> ,
а молярна теплоємність
<shape id="_x0000_i1757" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1254.wmz» o:><img width=«216» height=«109» src=«dopb208417.zip» v:shapes="_x0000_i1757">. (6.46)
При високих температурах, коли к0Т>>h<shape id="_x0000_i1758" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image779.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208183.zip» v:shapes="_x0000_i1758">, формула (6.46) дає <shape id="_x0000_i1759" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1256.wmz» o:><img width=«140» height=«28» src=«dopb208418.zip» v:shapes="_x0000_i1759">, тобто закон Дюлонга-Пті. При низьких температурах, коли к0Т<<h<shape id="_x0000_i1760" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image779.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208183.zip» v:shapes="_x0000_i1760">, отримаємо
<shape id="_x0000_i1761" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1258.wmz» o:><img width=«173» height=«72» src=«dopb208419.zip» v:shapes="_x0000_i1761"> . (6.47)
Оскільки експоненційна залежність сильніша від степеневої, то (6.47) дає зменшення теплоємності з пониженням температури, що лише якісно узгоджується з експериментом (мал.6.9), але не забезпечує кількісно виконання “закону кубів Дебая”. Для розділення областей високотемпературного і низькотемпературного наближень вводиться характеристична температура Ейнштейна <shape id="_x0000_i1762" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1260.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208420.zip» v:shapes="_x0000_i1762">, при якій <shape id="_x0000_i1763" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1262.wmz» o:><img width=«81» height=«25» src=«dopb208421.zip» v:shapes="_x0000_i1763">; звідси <shape id="_x0000_i1764" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1264.wmz» o:><img width=«67» height=«52» src=«dopb208422.zip» v:shapes="_x0000_i1764">. Отже, при <shape id="_x0000_i1765" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1266.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb208423.zip» v:shapes="_x0000_i1765"> виконується закон Дюлонга-Пті; при <shape id="_x0000_i1766" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1268.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb208424.zip» v:shapes="_x0000_i1766">виконується залежність (6.47).
Подальше удосконалення теорії, здійснене Дебаєм (1912 р.), полягає в тому, що коливання атомів кристалічної гратки вже не вважаються незалежними; в кристалі встановлюється система т.з. нормальних коливань з частотою від 0 до <shape id="_x0000_i1767" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1270.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb208425.zip» v:shapes="_x0000_i1767">; при цьому в коливанні певної частоти беруть участь всі атоми гратки. Розглядаючи кожне коливання як квантовий лінійний осцилятор, після математичних перетворень отримаємо для внутрішньої енергії моля твердого тіла
 <shape id="_x0000_i1768" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1272.wmz» o:><img width=«233» height=«79» src=«dopb208426.zip» v:shapes="_x0000_i1768">,
а для молярної теплоємності <shape id="_x0000_i1769" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1274.wmz» o:><img width=«84» height=«48» src=«dopb208427.zip» v:shapes="_x0000_i1769">, ввівши позначення <shape id="_x0000_i1770" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1276.wmz» o:><img width=«65» height=«52» src=«dopb208428.zip» v:shapes="_x0000_i1770">,
<shape id="_x0000_i1771" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1278.wmz» o:><img width=«209» height=«60» src=«dopb208429.zip» v:shapes="_x0000_i1771">. (6.48)
За аналогією з попереднім введемо характеристичну температуру Дебая <shape id="_x0000_i1772" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1280.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb208430.zip» v:shapes="_x0000_i1772">, використавши співвідношення <shape id="_x0000_i1773" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1282.wmz» o:><img width=«173» height=«28» src=«dopb208431.zip» v:shapes="_x0000_i1773">; звідси
<shape id="_x0000_i1774" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1284.wmz» o:><img width=«163» height=«52» src=«dopb208432.zip» v:shapes="_x0000_i1774">. (6.49)
Оскільки <shape id="_x0000_i1775" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1286.wmz» o:><img width=«85» height=«49» src=«dopb208433.zip» v:shapes="_x0000_i1775">, то (6.48) після інтегрування набуде вигляду
<shape id="_x0000_i1776" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1288.wmz» o:><img width=«303» height=«92» src=«dopb208434.zip» v:shapes="_x0000_i1776">. (6.50)
При високих температурах (Т>><shape id="_x0000_i1777" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1280.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb208430.zip» v:shapes="_x0000_i1777">), коли х<shape id="_x0000_i1778" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1290.wmz» o:><img width=«36» height=«20» src=«dopb208435.zip» v:shapes="_x0000_i1778">, використавши наближення <shape id="_x0000_i1779" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1292.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb208436.zip» v:shapes="_x0000_i1779">, отримаємо <shape id="_x0000_i1780" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1294.wmz» o:><img width=«68» height=«28» src=«dopb208437.zip» v:shapes="_x0000_i1780">, тобто закон Дюлонга-Пті. При низьких температурах (Т<<<shape id="_x0000_i1781" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1296.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb208430.zip» v:shapes="_x0000_i1781">), коли <shape id="_x0000_i1782" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1297.wmz» o:><img width=«81» height=«25» src=«dopb208438.zip» v:shapes="_x0000_i1782">, отримаємо “закон кубів Дебая”
<shape id="_x0000_i1783" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1299.wmz» o:><img width=«133» height=«55» src=«dopb208439.zip» v:shapes="_x0000_i1783">, (6.51)
який кількісно узгоджується з експериментом (мал.6.9).
В рамках концепції корпускулярно-хвильового дуалізму речовини зміну енергії коливного руху кристалічної гратки можна описати процесами випромінювання чи поглинання особливої квазічастинки – фонона, яка володіє нульовим спіном і тому належить до класу бозонів (§6.7) .

§ 6.9. Елементи зонної теорії твердих тіл
При утворенні кристалічної гратки твердих тіл, тобто при зближенні окремих атомів на відстані <shape id="_x0000_i1784" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1301.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208402.zip» v:shapes="_x0000_i1784">, атомні енергетичні рівні повинні розщеплюватись в зони рівнів, оскільки принцип Паулі тепер стосується не окремих атомів, а кристалічної гратки в цілому. Розщеплення тим сильніше, чим менша відстань між атомами і чим вищий енергетичний рівень (мал.6.10). Таким чином шкала енергій електронів в кристалічній гратці розбивається на зони дозволених енергій і зони заборонених енергій (на мал.6.10б заштриховані зони дозволених енергій, які відповідають рівноважній відстані між атомами R0).
Кількість енергетичних рівнів в зонах співмірна з кількістю атомів речовини, тобто <shape id="_x0000_i1785" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1302.wmz» o:><img width=«101» height=«25» src=«dopb208440.zip» v:shapes="_x0000_i1785">. Оскільки ширина зон <shape id="_x0000_i1786" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1304.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb208441.zip» v:shapes="_x0000_i1786">, то відстань між окремими рівнями <shape id="_x0000_i1787" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1306.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb208442.zip» v:shapes="_x0000_i1787">, що значно менше від енергії теплового руху к0Т. І тому можна вважати розподіл енергій в зонах неперервним.
У відповідності з принципом Паулі на кожному енергетичному рівні в зонах може перебувати не більше двох електронів з протилежними спінами. Якщо зона утворена з повністю заповненого електронами атомного рівня, то всі рівні такої зони також повністю заповнені. Зрозуміло, що це стосується зон, утворених з глибоких атомних рівнів. Електрони таких зон не можуть брати участь в електричних і теплових явищах, бо ні енергія електричного поля, ні теплова енергія не є достатніми для переводу електрона в сусідню вищу зону, а переходи в межах заповненої зони неможливі.
Інша ситуація в зонах, утворених з частково заповнених рівнів, тобто рівнів валентних електронів. Зрозуміло, що такі зони будуть заповнені також частково. Для прикладу розглянемо зону, утворену з атомного s-рівня, на якому перебуває лише один (валентний) електрон (Li, Na, K тощо). Якщо кристалічна гратка утворена з N атомів, то вказана зона має N рівнів, на яких може розміститись 2N електронів. Оскільки валентних електронів лише N, то заповниться лише половина зони (мал.6.11а ). А це означає, що під впливом зовнішнього збудження (тепло, електричне поле) електрони можуть вільно переходити на вищі рівні в межах однієї зони, тим самим збільшувати свою енергію, тобто прискорюватися. Отже, електрони в частково заповненій зоні є носіями струму. І тому така зона, яку ми назвемо валентною, є одночасно зоною провідності.
В залежності від характеру заповнення валентної зони всі тверді тіла поділяються на метали, з одного боку (мал.6.11а), і напівпро- відники та діелектрики, з іншого (мал.6.11б). В металах валентна зона (V-зона) заповнена частково, всі вищі зони порожні, всі нижчі зони заповнені повністю. В напівпровідниках і діелектриках V-зона заповнена повністю (при Т=0) і тому не може бути зоною провідності. Наступна вища зона при Т=0 повністю порожня. Ця зона називається зоною провідності (С-зоною), бо при певних умовах (Т<shape id="_x0000_i1788" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image323.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb207964.zip» v:shapes="_x0000_i1788">) в ній можуть з’явитися електрони, які будуть носіями струму. Енергетична відстань між дном С-зони (Ес) і стелею V-зони (Еv) називається забороненою зоною Еg=Ec–Ev. Якщо Еg<2,5eB, то речовина – напівпровідник, якщо Еg>2,5eB, то – діелектрик.
Появу носіїв струму в напівпровідниках пояснимо, використавши плоску модель кристалічної гратки атомного напівпровідника, наприклад, Ge (мал.6.12). Такий напівпро- відник має тетраедричну криста- лічну структуру, при якій кожен атом оточений чотирма сусідами. Зв’язок між сусідніми атомами забезпечується двома валентними електронами з протилежними спінами. При Т=0 всі валентні електрони перебувають на зв’язках, “зайвих” електронів немає, що відповідає повністю заповненій валентній зоні і порожній зоні провідності.
При нагріванні кристалу деякі електрони за рахунок енергії теплового руху можуть вийти із зв’язків, стати вільними і в електричному полі напруженістю <shape id="_x0000_i1789" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1308.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb208443.zip» v:shapes="_x0000_i1789"> набути швидкості напрямленого руху <shape id="_x0000_i1790" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1310.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb208444.zip» v:shapes="_x0000_i1790">. На звільнене вакантне місце може перейти електрон із сусіднього зв’язку, що рівнозначне рухові дірки (hole) в протилежному напрямку зі швидкістію <shape id="_x0000_i1791" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1312.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208445.zip» v:shapes="_x0000_i1791">. Оскільки дірка рухається за полем (електрон – проти поля), то дірку слід розглядати як позитивний заряд +е. На енергетичній діаграмі теплова генерація вільних електронів і дірок зображається як перехід електрона з V-зони у C-зону (мал.6.13). Зрозуміло, що чим вища інтенсивність теплового збудження (чим вища температура), тим вища концентрація електронів (n) і дірок (р) у відповідних зонах. Відмітимо, що ця концентрація не перевищує, як правило, 0,1% від кількості енергетичних рівнів в зонах. Отже, електрони є носіями струму в майже порожній зоні провідності, а дірки – в майже повністю заповненій валентній зоні.
Енергія вільного електрона
<shape id="_x0000_i1792" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1314.wmz» o:><img width=«212» height=«56» src=«dopb208446.zip» v:shapes="_x0000_i1792">, (6.52)
де р – імпульс електрона. В багатьох випадках для опису енергії електронів в металах і напівпровідниках можна користуватись цією ж формулою, але ввівши замість маси спокою електрона m0 ефективну масу mn*, яка може бути як більшою, так і меншою m0, і яка враховує взаємодію зонних електронів з полем кристалічної гратки. Аналогічно вводиться і ефективна маса зонних дірок mp*. І тому енергії електронів і дірок виражаються через їх імпульси наступним чином
<shape id="_x0000_i1793" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1316.wmz» o:><img width=«81» height=«57» src=«dopb208447.zip» v:shapes="_x0000_i1793">; <shape id="_x0000_i1794" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1318.wmz» o:><img width=«83» height=«60» src=«dopb208448.zip» v:shapes="_x0000_i1794">, (6.53)
де відлік енергії ведеться від краю відповідної зони: вверх від Ес для електронів і вниз від Еv для дірок. Співвідношення (6.53) називаються законами дисперсії.

§ 6.10. Розподіл і концентрація носіїв в зонах
Розподіл частинок з напівцілим спіном (ферміонів), в т.ч. і електронів, за енергіями описується квантовою функцією розподілу Фермі-Дірака
f(E)=<shape id="_x0000_i1795" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1320.wmz» o:><img width=«71» height=«75» src=«dopb208449.zip» v:shapes="_x0000_i1795">, (6.54)
де f(E) – імовірність електрону перебувати на рівні з енергією Е, а F – енергія (рівень) Фермі. Зміст останньої зрозумілий з аналізу f(F) при Т=0. Якщо Е>F, то f(Е)=0, тобто рівень порожній; якщо Е<F, то f(F)=1, тобто рівень заповнений. Отже, енергія Фермі відповідає найвищому рівню, який ще заповнений при Т=0 (мал.6.14). При Т>0 f(F)=1/2, якщо Е=F, тобто енергія Фермі відповідає рівню, який при ненульовій температурі заповнений наполовину (мал.6.14). При певних умовах, а саме, коли Е-F>>к0Т, квантовий розподіл Фермі-Дірака переходить в класичний розподіл Максвелла-Больцмана
 f(Е)=A(T)<shape id="_x0000_i1796" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1322.wmz» o:><img width=«48» height=«52» src=«dopb208450.zip» v:shapes="_x0000_i1796">.<shape id="_x0000_i1797" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1324.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb208451.zip» v:shapes="_x0000_i1797">(6.55)
Електронний газ, що описується таким розподілом, називається невиродженим газом. В цей же час електронний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака, називається виродженим. Критерієм виродження є нерівність
<shape id="_x0000_i1798" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1326.wmz» o:><img width=«161» height=«57» src=«dopb208452.zip» v:shapes="_x0000_i1798">, (6.56)
тобто виродження має місце при високій концентрації електронів, малій їх ефективній масі та низьких температурах. В металах електронний газ завжди вироджений (n<shape id="_x0000_i1799" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1328.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb208453.zip» v:shapes="_x0000_i1799">, в напівпровідниках, як правило, невироджений (n<<shape id="_x0000_i1800" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1330.wmz» o:><img width=«80» height=«29» src=«dopb208454.zip» v:shapes="_x0000_i1800">.
В металах при низьких температурах концентрація електронів зони провідності, енергія яких лежить в інтервалі <shape id="_x0000_i1801" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1332.wmz» o:><img width=«87» height=«20» src=«dopb208455.zip» v:shapes="_x0000_i1801">,
dn(E)=2dg(E),
де dg(E) – кількість енергетичних рівнів у вказаному інтервалі. Якщо справедливий параболічний закон дисперсії (6.53), то нескладний розрахунок дає
<shape id="_x0000_i1802" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1334.wmz» o:><img width=«215» height=«53» src=«dopb208456.zip» v:shapes="_x0000_i1802">.<shape id="_x0000_i1803" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i1803">(6.57)
Тоді повна концентрація носіів в с-зоні металу при низьких температурах
<shape id="_x0000_i1804" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1336.wmz» o:><img width=«239» height=«57» src=«dopb208457.zip» v:shapes="_x0000_i1804"> (6.58)
і від температури не залежить. Енергія Фермі
<shape id="_x0000_i1805" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1338.wmz» o:><img width=«145» height=«57» src=«dopb208458.zip» v:shapes="_x0000_i1805">, (6.59)
що дає <shape id="_x0000_i1806" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1340.wmz» o:><img width=«63» height=«20» src=«dopb208459.zip» v:shapes="_x0000_i1806"> при <shape id="_x0000_i1807" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1342.wmz» o:><img width=«101» height=«25» src=«dopb208460.zip» v:shapes="_x0000_i1807">. Середня енергія зонних електронів в металах <shape id="_x0000_i1808" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1344.wmz» o:><img width=«168» height=«80» src=«dopb208461.zip» v:shapes="_x0000_i1808">, що значно більше к0Т.
А це означає, що лише незначна кількість електронів, що перебувають на рівнях, близьких до рівня Фермі, може змінити свою енергію при зміні температури. Таким чином, електронний газ в металах практично не вносить вкладу в теплоємність кристалу (див. § 6.8), незважаючи на високу загальну концентрацію електронів.
В напівпровідниках рівень Фермі, як правило, лежить в забороненій зоні (мал.6.13), і тому при розрахунку концентрації невироджених електронів в зоні провідності потрібно врахувати, що функція розподілу (6.55) в усьому діапазоні енергій Е>Ec менша від одиниці і залежить від температури. І тому
<shape id="_x0000_i1809" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1346.wmz» o:><img width=«223» height=«91» src=«dopb208462.zip» v:shapes="_x0000_i1809"> , (6.60)
де Аn – множник, який слабо залежить від температури і визначається ефективною масою носіїв, а Еg – ширина забороненої зони.
Як слідує з (6.60) з ростом температури концентрація зонних (вільних) електронів збільшується за експоненційним законом. Ця формула справедлива лише для бездомішкового, т.з. власного, напівпровідника. Зрозуміло (див. мал. 6.13), що концентрація дірок у валентній зоні дорівнює концентрації електронів в зоні провідності: n=p=ni – власна концентрація носіїв струму.
Ситуація радикально змінюється, коли в напівпровідник ввести домішки. Зокрема, коли вводяться донорні домішки, тобто домішки, які легко віддають електрони в С-зону, то n>>p; такий домішковий напівпровідник називається електронним (n-типу). Якщо ж вводяться акцепторні домішки, тобто домішки, які легко захоплюють електрони з V-зони, то p>>n; такий домішковий напівпровідник називається дірковим (р-типу). В класичних напівпровідниках Ge i Si в ролі донорних домішок виступають As, P, а акцепторних – Ga, Іn.
§ 6.11. Електричні властивості металів і напівпровідників
Відомо (розділ ІІІ), що густина електричного струму в провідниках (металах, напівпровідниках, електролітах тощо) визначається зарядом носіїв, їх концентрацією n та середньою швидкістю напрямленого (впорядкованого) руху <<shape id="_x0000_i1810" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1348.wmz» o:><img width=«29» height=«20» src=«dopb208463.zip» v:shapes="_x0000_i1810">, зумовленого електричним полем напруженістю <shape id="_x0000_i1811" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1308.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb208443.zip» v:shapes="_x0000_i1811">. Якщо носіями струму є електрони, то густина струму (j=<shape id="_x0000_i1812" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1350.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208464.zip» v:shapes="_x0000_i1812">
 j=en<un>. (6.61)
В слабких електричних полях, де виконується закон Ома, швидкість напрямленого руху лінійно залежить від напруженості електричного поля, тобто
<shape id="_x0000_i1813" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1352.wmz» o:><img width=«109» height=«25» src=«dopb208465.zip» v:shapes="_x0000_i1813">, (6.62)
де <shape id="_x0000_i1814" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1354.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208466.zip» v:shapes="_x0000_i1814"> – рухливість електронів.
Підставляючи (6.62) в (6.61), отримаємо
<shape id="_x0000_i1815" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1356.wmz» o:><img width=«127» height=«25» src=«dopb208467.zip» v:shapes="_x0000_i1815">, (6.63)
тобто закон Ома в диференційній формі, де
<shape id="_x0000_i1816" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1358.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb208468.zip» v:shapes="_x0000_i1816"> – (6.64)
питома електропровідність електронного провідника (металу, напівпровідника n-типу).
Питома електропровідність власного напівпровідника
<shape id="_x0000_i1817" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1360.wmz» o:><img width=«215» height=«28» src=«dopb208469.zip» v:shapes="_x0000_i1817">, (6.65)
де <shape id="_x0000_i1818" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1362.wmz» o:><img width=«24» height=«28» src=«dopb208470.zip» v:shapes="_x0000_i1818"> – рухливість дірок.
Рухливість носіїв визначається так званим часом релаксації <shape id="_x0000_i1819" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image920.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb208253.zip» v:shapes="_x0000_i1819">, який формально можна розглядати як проміжок часу між двома послідовними актами зіткнення (розсіяння) носіїв з недосконалостями кристалу. Основними недосконалостями (відхиленнями від ідеальності) є коливання кристалічної гратки (фонони) і домішки кристалу. В рамках вказаного формалізму середній час релаксації носіїв
<shape id="_x0000_i1820" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1364.wmz» o:><img width=«97» height=«48» src=«dopb208471.zip» v:shapes="_x0000_i1820">, (6.66)
де <shape id="_x0000_i1821" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1366.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb208472.zip» v:shapes="_x0000_i1821"> – середня довжина вільного (між двома послідовними зіткненнями) пробігу носіїв, <<shape id="_x0000_i1822" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1151.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208368.zip» v:shapes="_x0000_i1822">> – середня швидкість теплового (хаотичного) руху носіїв.
Строга квантова теорія дає
<shape id="_x0000_i1823" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1368.wmz» o:><img width=«183» height=«49» src=«dopb208473.zip» v:shapes="_x0000_i1823"> . (6.67)
Підставляючи (6.67) у (6.64), отримаємо для питомої електропровідності металів
<shape id="_x0000_i1824" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1370.wmz» o:><img width=«107» height=«57» src=«dopb208474.zip» v:shapes="_x0000_i1824">. (6.68)
Оскільки в металах концентрація носіїв (електронів у С-зоні) від температури не залежить, то залежність питомої електропровідності визначається лише відношенням <shape id="_x0000_i1825" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1372.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb208475.zip» v:shapes="_x0000_i1825">. Виявляється, що, за винятком дуже низьких температур, <shape id="_x0000_i1826" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1374.wmz» o:><img width=«133» height=«29» src=«dopb208476.zip» v:shapes="_x0000_i1826">. І тому <shape id="_x0000_i1827" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1376.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb208477.zip» v:shapes="_x0000_i1827">, а питомий опір <shape id="_x0000_i1828" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1378.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb208478.zip» v:shapes="_x0000_i1828">, у відповідності з відомим експериментальним законом <shape id="_x0000_i1829" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1380.wmz» o:><img width=«107» height=«25» src=«dopb208479.zip» v:shapes="_x0000_i1829">. Відмітимо, що при оціночних розрахунках можна покладати <shape id="_x0000_i1830" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1382.wmz» o:><img width=«71» height=«29» src=«dopb208480.zip» v:shapes="_x0000_i1830">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Принципово інша ситуація в напівпровідниках, де концентрація носіїв експоненційно залежить від температури (6.60). Рухливість носіїв в напівпровідниках також залежить від температури, але за слабшим, степеневим законом:
<shape id="_x0000_i1831" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1384.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb208481.zip» v:shapes="_x0000_i1831">, (6.69)
де <shape id="_x0000_i1832" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1832"> при різних температурах приймає значення від –1,5 до +1,5. Підставляючи (6.60) та (6.69) у (6.65), отримаємо вираз для питомої електропровідності власного (n=p) напівпровідника
<shape id="_x0000_i1833" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1386.wmz» o:><img width=«207» height=«68» src=«dopb208482.zip» v:shapes="_x0000_i1833">, (6.70)
де передекспоненційний множник В можемо наближено вважати від температури незалежним. Узагальнюючи (6.70) на випадок домішкового напівпровідника, запишемо
 <shape id="_x0000_i1834" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1388.wmz» o:><img width=«108» height=«64» src=«dopb208483.zip» v:shapes="_x0000_i1834">, (6.71)
де <shape id="_x0000_i1835" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1390.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb208484.zip» v:shapes="_x0000_i1835">а – енергія активації провідності, яка у власному напівпровіднику дорівнює <shape id="_x0000_i1836" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1392.wmz» o:><img width=«45» height=«28» src=«dopb208485.zip» v:shapes="_x0000_i1836">, а в домішкових напівпровідниках має зміст енергії іонізації донорів чи акцепторів. Отже, питома електропровідність напівпровідників експоненційно збільшується з ростом температури, чим останні принципово відрізняються від металів.

Розділ VII. Фізика ядра та елементарних часток.
§ 7.1. Склад і характеристики ядра
Ядро атома, як центральну позитивно заряджену масивну частину атома, навколо якої рухаються електрони, відкрив англійський фізик Е.Резерфорд на основі своїх дослідів по розсіюванню <shape id="_x0000_i1837" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1837"> — частинок речовиною (1911 р). Позитивний заряд ядра чисельно рівний сумі негативних зарядів електронів нейтрального атома. За обрахунками Резерфорда радіус ядра rя~10-15м (радіус атома ra~10-10м). Плідність ядерної моделі атома підтвердила теорія атома водню Н.Бора (1913 р). Після того, як Г. Мозлі (1913 р) експериментально показав, що позитивний заряд ядра
 <shape id="_x0000_i1838" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1394.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb208486.zip» v:shapes="_x0000_i1838">, (7.1)
де Z – порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва, а е – елементарний електричний заряд, чисельно рівний зарядові електрона (<shape id="_x0000_i1839" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1396.wmz» o:><img width=«131» height=«29» src=«dopb208487.zip» v:shapes="_x0000_i1839">, уявлення про ядро атома стало загальноприйнятим.
Ядра атомів різних хімічних елементів мають загальну назву нукліди. В ядерній фізиці за одиницю заряду приймають елементарний електричний заряд е, а за одиницю маси – атомну одиницю маси (а.о.м.). 1а.о.м. рівна 1/12 маси найбільш поширеного нукліда вуглецю. Очевидно, 1а.о.м.<shape id="_x0000_i1840" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1398.wmz» o:><img width=«380» height=«56» src=«dopb208488.zip» v:shapes="_x0000_i1840">
де mc – маса нукліда вуглецю, <shape id="_x0000_i1841" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1400.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb208489.zip» v:shapes="_x0000_i1841"> – маса моля вуглецю, NA – число Авогадро. В таких одиницях заряд ядра Q=Z (Z називають зарядовим числом ядра), а маси нуклідів різних елементів виражаються дробовими числами. Заокруглена до найближчого цілого маса нукліда даного елемента, виражена в а.о.м., співпадає з так званим масовим числом нукліда А.
Зарядове число Z і масове число А являються основними характеристиками будь-якого ядра, тому ядро даного елемента позначається хімічним символом цього елемента з індексами Z та А, а саме – <shape id="_x0000_i1842" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1402.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb208490.zip» v:shapes="_x0000_i1842">. Наприклад, ядро атома водню позначається <shape id="_x0000_i1843" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1404.wmz» o:><img width=«25» height=«29» src=«dopb208491.zip» v:shapes="_x0000_i1843">; цю частинку Резерфорд назвав протон (р). На момент відкриття ядра була вже відома легка негативно заряджена частинка електрон (<shape id="_x0000_i1844" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1406.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb208492.zip» v:shapes="_x0000_i1844">–). Оскільки маса електорна <shape id="_x0000_i1845" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1408.wmz» o:><img width=«120» height=«28» src=«dopb208493.zip» v:shapes="_x0000_i1845">, електрон, іноді, позначається <shape id="_x0000_i1846" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1410.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb208494.zip» v:shapes="_x0000_i1846">. При розгляді ядерних реакцій на основі законів збереження енергії та імпульсу Д.Чедвік (1932р.) відкрив нову важку елементарну частинку нейтрон (n). Д.Іваненко (1932р.) висунув гіпотезу, що ядро атома складається з нуклонів: протонів і нейтронів; ця гіпотеза була розвинута В. Гейзенбергом (1932 р) і дістала дослідне підтвердження.
Детальне вивчення нуклонів показало, що протон – стабільна елементарна частинка з зарядом +1 і масою mp=1,00728 а.о.м.; він також має спін j=1/2 і магнітний момент <shape id="_x0000_i1847" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1412.wmz» o:><img width=«95» height=«28» src=«dopb208495.zip» v:shapes="_x0000_i1847">, де <shape id="_x0000_i1848" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1414.wmz» o:><img width=«124» height=«29» src=«dopb208496.zip» v:shapes="_x0000_i1848">Дж/Тл – так званий ядерний магнетон (одиниця магнітного моменту). Нейтрон – нейтральна частинка з масою mn=1,00867 а.о.м., спіном j=1/2 і власним магнітним моментом <shape id="_x0000_i1849" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1416.wmz» o:><img width=«101» height=«25» src=«dopb208497.zip» v:shapes="_x0000_i1849">; mn>mp, при чому mn–mp=2,5me. У вільному стані нейтрон – нестабільний з періодом напіврозпаду Т~12 хв.
Згідно з нуклонною моделлю ядро <shape id="_x0000_i1850" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1402.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb208490.zip» v:shapes="_x0000_i1850"> містить всього А нуклонів; власне, під масовим числом ядра і розуміють загальне число нуклонів (протонів і нейтронів) у ядрі. При цьому, число протонів у ядрі є Z, а число нейтронів – N=A–Z. Ядра з однаковими Z називаються ізотопами, з однаковими А – ізобарами, з однаковими N – ізотонами, з однаковими Z i A, але різними періодами напіврозпаду,– ізомерами. Всього відомо ~ 1500 різних ядер, які чим-небудь відрізняються; приблизно 1/5 з них – стабільні, решта – радіоактивні.
В природі зустрічаються елементи з атомним номером Z від 1 до 92 (крім технецію <shape id="_x0000_i1851" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1418.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb208498.zip» v:shapes="_x0000_i1851"> і прометію <shape id="_x0000_i1852" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1420.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb208499.zip» v:shapes="_x0000_i1852">). Трансуранові елементи, починаючи з Z=93, були одержані штучно за допомогою різних ядерних реакцій. Згідно з сучасними уявленнями хімічні елементи виникли в процесі нуклеосинтезу на етапі зоряної еволюції Всесвіту. За час існування Землі (~5<shape id="_x0000_i1853" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1422.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb208500.zip» v:shapes="_x0000_i1853">трансуранові елементи із-за відносно малого часу життя не збереглися в земній корі (за винятком <shape id="_x0000_i1854" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1424.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb208501.zip» v:shapes="_x0000_i1854"> і <shape id="_x0000_i1855" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1426.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb208502.zip» v:shapes="_x0000_i1855">, мікросліди яких знайдені в уранових рудах). Межу періодичної системи елементів повинна визначати нестабільність відносно самовільного ділення ядер; є теоритичні вказівки, що ця межа може знаходитися поблизу Z=114 (можливо, Z=126).
Ефективний радіус ядра виражається формулою
 <shape id="_x0000_i1856" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1428.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb208503.zip» v:shapes="_x0000_i1856">, (7.2)
де <shape id="_x0000_i1857" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1430.wmz» o:><img width=«119» height=«29» src=«dopb208504.zip» v:shapes="_x0000_i1857">. З (7.2) випливає, що об’єм ядра пропорційний числу нуклонів у ядрі, а це означає, що густина ядерної речовини приблизно однакова для всіх ядер (~1017кг/м3).
Спіни і магнітні моменти нуклонів складаються в результуючий спін і магнітний момент ядра. Оскільки спін нуклона <shape id="_x0000_i1858" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1207.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb208394.zip» v:shapes="_x0000_i1858">, квантове число спіну ядра буде напівцілим при непарному числі нуклонів і – цілим або нулем при парному А. Спіни ядер не перевищують декількох одиниць, це свідчить, що спіни більшості нуклонів у ядрі компенсуються, розміщуючись антипаралельно.
Взаємодією магнітних моментів ядра та електронів атома обумовлюється так звана надтонка структура атомних спектрів. Пов’язаний зі спіном ядра магнітний момент знайшов широкі застосування в експериментальній методиці ядерного магнітного резонансу.
§ 7.2. Дефект маси та енергія зв’язку ядра. Ядерні сили. Моделі ядра
Користуючись таблицею мас ізотопів, можна пересвідчитись, що маса ядра mя менша суми мас нуклонів, з яких воно складається. Величину
<shape id="_x0000_i1859" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1432.wmz» o:><img width=«239» height=«28» src=«dopb208505.zip» v:shapes="_x0000_i1859"> (7.3)
називають дефектом маси ядра. Його існування обумовлене тим, що при об’єднанні нуклонів у ядро виділяється енергія у виді квантів, які виносять частину маси. Цю енергію можна розрахувати за формулою Ейнштейна про взаємозв’язок маси-енергії
<shape id="_x0000_i1860" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1434.wmz» o:><img width=«80» height=«19» src=«dopb208506.zip» v:shapes="_x0000_i1860">с2, (7.4)
де с – швидкість світла у вакуумі. Очевидно, щоб розкласти ядро на невзаємодіючі нуклони, потрібно таку ж енергію затратити. Ця енергія
<shape id="_x0000_i1861" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1436.wmz» o:><img width=«275» height=«32» src=«dopb208507.zip» v:shapes="_x0000_i1861"> (7.5)
називається енергією зв’язку ядра.
Для практичних застосувань співвідношення (7.5) зручно записувати у вигляді:
<shape id="_x0000_i1862" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1438.wmz» o:><img width=«255» height=«25» src=«dopb208508.zip» v:shapes="_x0000_i1862">с2, (7.6)
де mн – маса атома водню, ma – маса атома елемента, ядро якого розглядається. При переході до наближеної формули (7.6) нехтують малою енергією зв’язку електронів з ядром; зручність (7.6) полягає у тому, що в довідниках наводяться не маси ядер mя, а маси атомів ізотопів ma. На основі (7.4) можна пересвідчитись, що 1а.о.м. еквівалентна енергії 931,5 МеВ, тому, виражаючи квадратну дужку формули (7.6) в а.о.м., для енергії зв’язку ядра в МеВ одержують:
<shape id="_x0000_i1863" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1440.wmz» o:><img width=«123» height=«23» src=«dopb208509.zip» v:shapes="_x0000_i1863">. (7.7)
Очевидно, енергія зв’язку характеризує міцність ядра. Прийнято розглядати так звану питому енергію зв’язку <shape id="_x0000_i1864" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1442.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb208510.zip» v:shapes="_x0000_i1864">(енергія зв’язку, що припадає на один нуклон). Розрахунки показують, що вона залежить від масового числа елемента (мал.7.1).
Для легких ядер (<shape id="_x0000_i1865" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1444.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb208511.zip» v:shapes="_x0000_i1865"><shape id="_x0000_i1866" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1446.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb208510.zip» v:shapes="_x0000_i1866"> стрибкоподібно зростає до (6–7) МеВ, далі більш повільно зростає до максимального значення 8,7 МеВ у елементів з масовим числом
А~50–60, а тоді повільно зменшується у важких елементів (наприклад, для <shape id="_x0000_i1867" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i1867"> <shape id="_x0000_i1868" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1449.wmz» o:><img width=«137» height=«25» src=«dopb208513.zip» v:shapes="_x0000_i1868"> З (мал.7.1) видно, що найбільш стійкими є ядра середньої частини таблиці Менделєєва. Стає зрозумілим також, що енергетично можливими є два процеси, які повинні супроводжуватися виділенням енергії: 1) поділ важких ядер на більш легкі; 2) злиття (синтез) легких ядер у більш важкі. Обидва ці процеси реалізовані на Землі: перший – в ланцюговій реакції ділення важких ядер (атомна бомба, реактори), другий – в термоядерній реакції синтезу легких ядер (воднева бомба).
Величезна питома енергія зв’язку свідчить, що між нуклонами в ядрі діють особливі сили притягання, які значно переважають електромагнітну та гравітаційну взаємодію нуклонів. Взаємодія між нуклонами в ядрі одержала назву сильної взаємодії. Ядерні сили мають ряд характерних особливостей, вони:
1 – короткодіючі, радіус їх дії~10–15м;
2 – зарядовонезалежні, мають неелектричну природу;
3 – спіновозалежні, залежать від орієнтації спінів нуклонів;
4 є нецентральними, не напрямлені вздовж прямої, що з’єднує центри нуклонів;
5 мають властивість насичення, діють лише між найближчими сусідами.
У 1934 р. І.Є. Тамм висунув гіпотезу, що сильна взаємодія повинна мати обмінну природу. По аналогії з електромагнітною взаємодією, яка квантовою електродинамікою описується як процес віртуального обміну електронів фотонами:
<shape id="_x0000_i1869" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1451.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb208514.zip» v:shapes="_x0000_i1869">, (7.8)
нуклони в ядрі повинні обмінюватись деякими віртуальними частинками з масою спокою відмінною від нуля. Віртуальними називаються частинки, час життя яких менший того, що визначається співвідношенням невизначеностей
 <shape id="_x0000_i1870" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1453.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb208515.zip» v:shapes="_x0000_i1870">, (7.9)
де <shape id="_x0000_i1871" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1455.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb208516.zip» v:shapes="_x0000_i1871"> – невизначеність енергії квантового стану, <shape id="_x0000_i1872" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1457.wmz» o:><img width=«23» height=«20» src=«dopb208325.zip» v:shapes="_x0000_i1872"> – тривалість існування цього стану, <shape id="_x0000_i1873" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1458.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb208268.zip» v:shapes="_x0000_i1873"> – стала Дірака. З (7.9) випливає, що радіус дії обмінних сил оцінюється величиною
 <shape id="_x0000_i1874" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1459.wmz» o:><img width=«281» height=«52» src=«dopb208517.zip» v:shapes="_x0000_i1874">, (7.10)
тобто він може бути скінченним, якщо маса спокою віртуальної частинки відмінна від нуля.
У 1935 р. Х. Юкава показав, що для пояснення величини ядерних сил слід припустити існування віртуальних частинок з масою спокою у 200–300 разів більшою маси спокою електрона. Віртуальна частинка може стати реальною, якщо їй надати достатньої енергії. Такі частинки були відкриті Поуелом і Оккіаліні (1947 р.) в космічних променях; вони дістали
назву <shape id="_x0000_i1875" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1875">-мезонів. Існують <shape id="_x0000_i1876" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1463.wmz» o:><img width=«24» height=«39» src=«dopb208519.zip» v:shapes="_x0000_i1876">–мезони. Заряд <shape id="_x0000_i1877" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1465.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb208520.zip» v:shapes="_x0000_i1877">–мезонів рівний елементарному зарядові е. Їх маса <shape id="_x0000_i1878" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1467.wmz» o:><img width=«55» height=«32» src=«dopb208521.zip» v:shapes="_x0000_i1878">273 me, маса <shape id="_x0000_i1879" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1469.wmz» o:><img width=«108» height=«32» src=«dopb208522.zip» v:shapes="_x0000_i1879">, спін усіх <shape id="_x0000_i1880" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1880">–мезонів j=0, всі вони – нестабільні; час життя <shape id="_x0000_i1881" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1471.wmz» o:><img width=«32» height=«32» src=«dopb208523.zip» v:shapes="_x0000_i1881">=2,6<shape id="_x0000_i1882" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1473.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb208524.zip» v:shapes="_x0000_i1882">, <shape id="_x0000_i1883" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1475.wmz» o:><img width=«133» height=«36» src=«dopb208525.zip» v:shapes="_x0000_i1883">. За рахунок процесів:
 <shape id="_x0000_i1884" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1477.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb208526.zip» v:shapes="_x0000_i1884">, (7.11)
 <shape id="_x0000_i1885" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1479.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb208527.zip» v:shapes="_x0000_i1885">, (7.12)
 <shape id="_x0000_i1886" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1481.wmz» o:><img width=«88» height=«29» src=«dopb208528.zip» v:shapes="_x0000_i1886">, <shape id="_x0000_i1887" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1483.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb208529.zip» v:shapes="_x0000_i1887"> (7.13)
здійснюється обмін нуклонів віртуальними <shape id="_x0000_i1888" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1888">–мезонами в ядрі, що приводить до сильної взаємодії між нуклонами.
Обмін нуклонів віртуальними <shape id="_x0000_i1889" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1889">–мезонами підтверджується, зокрема, дослідами по розсіюванню нейтронів на протонах, в яких були виявлені процеси перетворення нейтронів в протони і навпаки при проходженні пучка нейтронів через водень. На основі процесів (7.11), (7.12) можна пояснити магнітні моменти протона і нейтрона. Згідно з (7.11), магнітний момент протона (більший одного магнетона) обумовлений орбітальним рухом <shape id="_x0000_i1890" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1890">+–мезона у віртуальному стані протона n+<shape id="_x0000_i1891" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1891">+. Від’ємний магнітний момент нейтрона обумовлений орбітальним рухом <shape id="_x0000_i1892" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1892">––мезона, коли, згідно з (7.12), нейтрон частину часу проводить у віртуальному стані р+<shape id="_x0000_i1893" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i1893">–.
Незважаючи на пояснення природи ядерних сил, послідовна кількісна теорія ядра не побудована, бо являє собою громіздку квантову задачу багатьох тіл (А нуклонів). Це спонукає йти по шляху створення моделей ядра, які, за рахунок введення певних параметрів, що підбираються в узгодженні з дослідом, дозволяють простими засобами описувати деяку сукупність властивостей ядра. Найбільш аргументованими з них є краплинна та оболонкова моделі ядра.
Краплинна модель ядра (Я.І. Френкель, Н. Бор, 1935–1939 р.), базуючись на властивості насичення ядерних сил і молекулярних сил в рідині, а також на малій стисливості рідини і ядерної речовини, уподібнює ядро зарядженій краплині рідини. Це дозволило вивести напівемпіричну формулу для енергії зв’язку ядра і, зокрема, пояснити процеси ділення важких ядер.
Оболонкова модель ядра (М. Гепперт-Мейєр, 1949–1950 р.) базується на уявленні, що нуклони рухаються незалежно в усередненому центральносиметричному полі. У зв’язку з цим виникають дискретні енергетичні рівні, які заповнюються нуклонами на основі принципу Паулі. Ці рівні групуються в оболонки, в кожній з яких може знаходитись певне число нуклонів. Повністю заповнена оболонка являється особливо стійким утворенням. Такими особливо стійкими (магічними) є ядра, у яких число протонів Z або число нейтронів N рівні 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Ядра, у яких магічними є Z та N, називаються двічі магічними. Їх відомо п’ять: <shape id="_x0000_i1894" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1485.wmz» o:><img width=«36» height=«29» src=«dopb208530.zip» v:shapes="_x0000_i1894">, <shape id="_x0000_i1895" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1487.wmz» o:><img width=«37» height=«29» src=«dopb208531.zip» v:shapes="_x0000_i1895"> <shape id="_x0000_i1896" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1489.wmz» o:><img width=«47» height=«29» src=«dopb208532.zip» v:shapes="_x0000_i1896"> <shape id="_x0000_i1897" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1491.wmz» o:><img width=«47» height=«29» src=«dopb208533.zip» v:shapes="_x0000_i1897"> <shape id="_x0000_i1898" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1493.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb208534.zip» v:shapes="_x0000_i1898"> вони – особливо стійкі. Зокрема, мабуть тому <shape id="_x0000_i1899" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1899">-частинка (<shape id="_x0000_i1900" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1495.wmz» o:><img width=«61» height=«37» src=«dopb208535.zip» v:shapes="_x0000_i1900">) – єдина складна частинка, яка випромінюється важкими ядрами при радіоактивності.
§ 7.3. Радіоактивність
Радіоактивність – процес самовільного перетворення нестабільних ядер в інші з випромінюванням часток. До радіоактивних перетворень відносяться: <shape id="_x0000_i1901" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1901">-розпад, <shape id="_x0000_i1902" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1902">-розпад (з випромінюванням електрона, позитрона чи захопленням орбітального електрона), самовільне ділення ядер, протонна та нейтронна радіоактивність, інші види розпадів. Радіоактивність нестабільних ядер, які існують в природніх умовах, називається природньою (А.Беккерель, 1896 р.), а тих, що одержані шляхом ядерних реакцій,– штучною (І. та Ф. Жоліо-Кюрі,1934 р). Обидва види радіоактивності підкоряються одному законові радіоактивного розпаду.
Із-за незалежності радіоактивних перетворень окремих ядер можна вважати, що число ядер dN, які розпадаються за проміжок часу dt, пропорційне наявному числу ядер N і величині проміжку dt:
 <shape id="_x0000_i1903" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1499.wmz» o:><img width=«119» height=«20» src=«dopb208537.zip» v:shapes="_x0000_i1903">, (7.14)
де <shape id="_x0000_i1904" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image568.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208080.zip» v:shapes="_x0000_i1904"> – постійна розпаду, яка характеризує ймовірність розпаду ядра за одиницю часу; знак мінус вказує, що число ядер зменшується з часом. Інтегруючи (7.14) при умові <shape id="_x0000_i1905" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1501.wmz» o:><img width=«84» height=«25» src=«dopb208538.zip» v:shapes="_x0000_i1905">, одержуємо
<shape id="_x0000_i1906" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1503.wmz» o:><img width=«93» height=«31» src=«dopb208539.zip» v:shapes="_x0000_i1906">. (7.15)
Закон радіоактивного розпаду (7.15) показує, що число радіоактивних ядер N, які не розпалися до моменту часу t, зменшується з часом експоненційно (мал.7.2).
Кількість ядер, які розпались за час t,
 <shape id="_x0000_i1907" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1505.wmz» o:><img width=«220» height=«31» src=«dopb208540.zip» v:shapes="_x0000_i1907">, (7.16)
Час Т, протягом якого розпадається половина початкової кількості ядер, називається періодом напіврозпаду. З (7.16) при t=T i <shape id="_x0000_i1908" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1507.wmz» o:><img width=«91» height=«25» src=«dopb208541.zip» v:shapes="_x0000_i1908">випливає
<shape id="_x0000_i1909" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1509.wmz» o:><img width=«63» height=«48» src=«dopb208542.zip» v:shapes="_x0000_i1909"> . (7.17)
Період напіврозпаду відомих радіонуклідів змінюється в дуже широких межах: від <shape id="_x0000_i1910" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1511.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb208543.zip» v:shapes="_x0000_i1910">с до <shape id="_x0000_i1911" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1513.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb208544.zip» v:shapes="_x0000_i1911">років. Очевидно, величина <shape id="_x0000_i1912" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1515.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb208545.zip» v:shapes="_x0000_i1912">характеризує середній час життя ядра, тому з (7.14) випливає
<shape id="_x0000_i1913" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1517.wmz» o:><img width=«44» height=«48» src=«dopb208546.zip» v:shapes="_x0000_i1913">. (7.18)
Виявляється, що в процесі радіоактивного перетворення материнського ядра виникає дочірнє ядро, яке теж може бути радіоактивним, і т.д. Тому виникає ряд радіоактивних елементів, генетично зв’язаних між собою. Для природньорадіоактивних елементів відомо 3 таких ряди: ряд торію <shape id="_x0000_i1914" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1519.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb208547.zip» v:shapes="_x0000_i1914"> ряд урану <shape id="_x0000_i1915" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1521.wmz» o:><img width=«45» height=«29» src=«dopb208548.zip» v:shapes="_x0000_i1915"> ряд актинію <shape id="_x0000_i1916" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1523.wmz» o:><img width=«45» height=«29» src=«dopb208549.zip» v:shapes="_x0000_i1916"> які закінчуються стабільними ізотопами свинцю <shape id="_x0000_i1917" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1525.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb208550.zip» v:shapes="_x0000_i1917"> <shape id="_x0000_i1918" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1527.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb208551.zip» v:shapes="_x0000_i1918"> <shape id="_x0000_i1919" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1529.wmz» o:><img width=«51» height=«29» src=«dopb208552.zip» v:shapes="_x0000_i1919"> З часом в кожному радіоактивному ряді встановлюється так звана вікова рівновага, при якій швидкості утворення і розпаду проміжних членів ряду рівні, що дає
 <shape id="_x0000_i1920" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1531.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb208553.zip» v:shapes="_x0000_i1920">. (7.19)
Вікова рівновага встановлюється на протязі проміжку часу <shape id="_x0000_i1921" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1533.wmz» o:><img width=«88» height=«25» src=«dopb208554.zip» v:shapes="_x0000_i1921"> найбільш довгоживучого члена ряду. По мірі його розпаду загальний вміст членів ряду в земній корі повільно зменшується. Наприклад, для <shape id="_x0000_i1922" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i1922">через великі проміжки часу виникає стільки ядер свинцю, скільки розпадається ядер урану. Тому, вимірюючи концентрацію урану і свинцю в уранових рудах, можна оцінити середній вік Землі, що дає величину ~4,5<shape id="_x0000_i1923" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1535.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb208555.zip» v:shapes="_x0000_i1923">років.
Вже перші дослідники природньої радіоактивності (П. та М. Кюрі, Е.Резерфорд) виявили, що радіоактивна речовина є джерелом трьох видів випромінювань: <shape id="_x0000_i1924" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1924">-, <shape id="_x0000_i1925" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1925"> — і <shape id="_x0000_i1926" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1926">-променів. <shape id="_x0000_i1927" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1927">-промені являють собою потік ядер гелію <shape id="_x0000_i1928" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1539.wmz» o:><img width=«36» height=«29» src=«dopb208530.zip» v:shapes="_x0000_i1928">. <shape id="_x0000_i1929" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1929">-розпад відбувається за схемою
 <shape id="_x0000_i1930" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1540.wmz» o:><img width=«136» height=«29» src=«dopb208557.zip» v:shapes="_x0000_i1930">. (7.20)
Індекси дочірнього ядра встановлюються на основі законів збереження зарядового і масового чисел: зарядове чи масове число до реакції рівне сумі відповідних чисел після реакції. Звідси випливають так звані правила зміщення; зокрема, при <shape id="_x0000_i1931" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1931">-розпаді Z дочірнього ядра на 2, а А на 4 менше, ніж у материнського ядра, наприклад
 <shape id="_x0000_i1932" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1542.wmz» o:><img width=«147» height=«29» src=«dopb208558.zip» v:shapes="_x0000_i1932">.
Енергія реакції <shape id="_x0000_i1933" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1933">-розпаду визначається на основі формули (7.7), де дефект маси реакції
 <shape id="_x0000_i1934" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1544.wmz» o:><img width=«239» height=«36» src=«dopb208559.zip» v:shapes="_x0000_i1934">. (7.21)
Ця енергія виділяється у вигляді кінетичної енергії продуктів реакції, яку можна розрахувати на основі законів збереження енергії та імпульсу.
У більшості випадків радіоактивний елемент випромінює <shape id="_x0000_i1935" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1935">-частинки декількох чітко визначених груп. Це обумовлено тим, що дочірнє ядро може виникати не тільки в основному стані 1, але і в збуджених станах 2,3,… (мал.7.3). За час існування збуджених станів <shape id="_x0000_i1936" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1546.wmz» o:><img width=«136» height=«29» src=«dopb208560.zip» v:shapes="_x0000_i1936">с дочірнє ядро переходить в більш низький чи нормальний стан, випромінюючи <shape id="_x0000_i1937" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1937">-квант. Так виникають <shape id="_x0000_i1938" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1938">-промені, які, звичайно, супроводжують <shape id="_x0000_i1939" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1939">-розпад, хоча дочірнє ядро може звільнитись від надлишку енергії також іншими способами: випромінюючи яку-небудь частинку, або йонізуючи атом (процес внутрішньої конверсії).
    продолжение
--PAGE_BREAK--Процес <shape id="_x0000_i1940" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1940">-розпаду не можна пояснити на основі класичної механіки: з радіоактивних ядер випромінюються <shape id="_x0000_i1941" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1941">-частинки з енергією ~6МеВ, в той же час, при бомбардуванні ядер <shape id="_x0000_i1942" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1942">-частинками з енергією ~8МеВ такі <shape id="_x0000_i1943" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1943">-частинки не проникають в ядро. Ядро для <shape id="_x0000_i1944" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1944">-частинки є потенціальним бар’єром, висота якого U0 більша енергії <shape id="_x0000_i1945" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1945">-частинки Е (мал.7.4). Внутрішня сторона бар’єру обумовлена ядерними силами, зовнішня – силами кулонівського відштовхування. Явище стає зрозумілим на основі квантової механіки: <shape id="_x0000_i1946" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1946">-частинка виникає в момент радіоактивного розпаду ядра і долає бар’єр ядра на основі тунельного ефекту (для мікро- частинки існує відмінна від нуля ймовірність проникнути через бар’єр з енергією, меншою висоти бар’єру; Г. Гамов, 1929 р).
Маючи великий заряд і масу, <shape id="_x0000_i1947" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1947">-частинки інтенсивно йонізу- ють молекули речовини, тому пробіг <shape id="_x0000_i1948" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1948">-частинок в речовині – незначний; вони, наприклад, повністю затримуються аркушем паперу. Проникна здатність <shape id="_x0000_i1949" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1949"> — променів – значна: щоб зменшити їх інтенсивність вдвічі, потрібний шар свинцю товщиною~1см.
Існує три різновиди <shape id="_x0000_i1950" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1950">-розпаду: <shape id="_x0000_i1951" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1951">-розпад (ядро випромінює електрон <shape id="_x0000_i1952" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1410.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb208494.zip» v:shapes="_x0000_i1952">), <shape id="_x0000_i1953" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1550.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208562.zip» v:shapes="_x0000_i1953">-розпад (ядро випромінює позитрон <shape id="_x0000_i1954" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1552.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb208563.zip» v:shapes="_x0000_i1954">) і так зване електронне захоплення (ядро поглинає один з електронів К–, рідше L–, чи М– шару свого атома).
<shape id="_x0000_i1955" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1955">-розпад відбувається за схемою
<shape id="_x0000_i1956" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1554.wmz» o:><img width=«147» height=«29» src=«dopb208564.zip» v:shapes="_x0000_i1956">; (7.22)
звідси видно, що при <shape id="_x0000_i1957" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1957">-розпаді масове число дочірнього ядра не змінюється, а зарядове число змінюється на одиницю, наприклад, <shape id="_x0000_i1958" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1556.wmz» o:><img width=«179» height=«29» src=«dopb208565.zip» v:shapes="_x0000_i1958">. Пояснення <shape id="_x0000_i1959" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1959">-розпаду зустрілося з труднощами:
1.                 незрозумілим було походження електрона (електронів у ядрах немає);
2.                 незрозумілим був неперервний характер <shape id="_x0000_i1960" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1960">-спектрів ядер (мал.7.5);
3.                 було незрозуміло, чому при <shape id="_x0000_i1961" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1961">-розпаді не змінюється спін ядра?
Ці труднощі усунули В. Паулі та Е.Фермі (1932–1934 р.р.). Вони висунули гіпотезу, що електрон при <shape id="_x0000_i1962" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1962">-розпаді виникає в ядрі разом з антинейтрино <shape id="_x0000_i1963" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1558.wmz» o:><img width=«24» height=«29» src=«dopb208566.zip» v:shapes="_x0000_i1963">за рахунок процесу
 <shape id="_x0000_i1964" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1560.wmz» o:><img width=«123» height=«29» src=«dopb208567.zip» v:shapes="_x0000_i1964">. (7.23)
Антинейтрино не має маси спокою і електричного заряду, але має спін 1/2. Процес (7.23) – можливий енергетично, бо <shape id="_x0000_i1965" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1562.wmz» o:><img width=«77» height=«28» src=«dopb208568.zip» v:shapes="_x0000_i1965"> він пояснює походження електрона при <shape id="_x0000_i1966" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1966">-розпаді, а також – незмінність масового числа і зростання зарядового числа дочірнього ядра на одиницю (протон <shape id="_x0000_i1967" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1564.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb208569.zip» v:shapes="_x0000_i1967">залишається в ядрі). Виліт з ядра двох партнерів (електрона і антинейтрино), спіни яких компенсуються, усуває трудність зі спіном при <shape id="_x0000_i1968" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1968">-розпаді, а також пояснює неперервний характер <shape id="_x0000_i1969" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1969">-спектру, бо максимальна енергія <shape id="_x0000_i1970" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i1970">-розпаду <shape id="_x0000_i1971" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1566.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb208570.zip» v:shapes="_x0000_i1971">розподіляється між двома партнерами статистично. Походження <shape id="_x0000_i1972" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1972">-променів, що супроводжують <shape id="_x0000_i1973" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1973">-розпад – таке ж, як і при <shape id="_x0000_i1974" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1974">-розпаді: дочірнє ядро може виникати у збуджених станах, висвічуючи <shape id="_x0000_i1975" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1975">-кванти при переходах у більш низькі стани.
<shape id="_x0000_i1976" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1550.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208562.zip» v:shapes="_x0000_i1976">-розпад відбувається за схемою
<shape id="_x0000_i1977" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1568.wmz» o:><img width=«149» height=«29» src=«dopb208571.zip» v:shapes="_x0000_i1977">, (7.24)
наприклад, <shape id="_x0000_i1978" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1570.wmz» o:><img width=«139» height=«29» src=«dopb208572.zip» v:shapes="_x0000_i1978">. Він супроводжується випромінюванням позитрона <shape id="_x0000_i1979" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1572.wmz» o:><img width=«28» height=«29» src=«dopb208573.zip» v:shapes="_x0000_i1979"> і нейтрино <shape id="_x0000_i1980" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1574.wmz» o:><img width=«23» height=«29» src=«dopb208574.zip» v:shapes="_x0000_i1980">, які є античастинками, відповідно, для електрона <shape id="_x0000_i1981" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1576.wmz» o:><img width=«28» height=«29» src=«dopb208575.zip» v:shapes="_x0000_i1981"> і антинейтрино <shape id="_x0000_i1982" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1578.wmz» o:><img width=«24» height=«29» src=«dopb208566.zip» v:shapes="_x0000_i1982">. Цей вид <shape id="_x0000_i1983" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1983">-розпаду має місце для штучнорадіоактивних ядер, які мають надлишок протонів над нейтронами. Його можна пояснити за рахунок процесу
 <shape id="_x0000_i1984" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1579.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb208576.zip» v:shapes="_x0000_i1984">. (7.25)
Для вільного протона цей процес – неможливий, бо <shape id="_x0000_i1985" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1581.wmz» o:><img width=«71» height=«28» src=«dopb208577.zip» v:shapes="_x0000_i1985">; в ядрі ж протон може запозичити потрібну енергію від інших нуклонів ядра.
Реакція електронного захоплення має вигляд
<shape id="_x0000_i1986" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1583.wmz» o:><img width=«149» height=«29» src=«dopb208578.zip» v:shapes="_x0000_i1986">, (7.26)
що можна пояснити перетворенням протона в нейтрон
<shape id="_x0000_i1987" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1585.wmz» o:><img width=«116» height=«29» src=«dopb208579.zip» v:shapes="_x0000_i1987">. (7.27)
Захоплення електрона ядром супроводжується характеристичним рентгенівським випромінюванням, яке обумовлене перебудовою електронної оболонки атома внаслідок виникнення електронної вакансії в ній. По цьому випромінюванню і було відкрите К-захоплення експериментально (Альварец, 1937 р.).
Суттєва для пояснення <shape id="_x0000_i1988" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1497.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb208536.zip» v:shapes="_x0000_i1988">-розпаду гіпотеза нейтрино Паулі-Фермі стала початком вивчення так званої слабкої взаємодії, відповідальної за ряд перетворень елементарних часток. Ця гіпотеза була підтверджена експериментально Рейнсом і Коуеном (1953–1956р.р.), яким при роботі на реакторі вдалось підтвердити реакцію
<shape id="_x0000_i1989" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1587.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb208580.zip» v:shapes="_x0000_i1989">, (7.28)
що є, фактично, оберненням реакції (7.23).
Важливим для практичних застосувань радіоактивності є поняття активності радіоактивного препарату. Під активністю радіоактивного зразка розуміють число розпадів, які відбуваються в ньому за одиницю часу
<shape id="_x0000_i1990" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1589.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb208581.zip» v:shapes="_x0000_i1990">. (7.29)
З (7.15) випливає, що
<shape id="_x0000_i1991" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1591.wmz» o:><img width=«55» height=«20» src=«dopb208582.zip» v:shapes="_x0000_i1991">, (7.30)
тобто активність змінюється з часом за законом
<shape id="_x0000_i1992" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1593.wmz» o:><img width=«77» height=«29» src=«dopb208583.zip» v:shapes="_x0000_i1992">, (7.31)
де <shape id="_x0000_i1993" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1595.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208584.zip» v:shapes="_x0000_i1993">– активність при <shape id="_x0000_i1994" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1597.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb208585.zip» v:shapes="_x0000_i1994">. Одиницею активності в системі СІ є Ібеккерель (Бк), що відповідає одному розпадові за секунду. Позасистемними одиницями активності є Ік’юрі (Кі) та Ірезерфорд (Рд); ІКі<shape id="_x0000_i1995" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1599.wmz» o:><img width=«81» height=«28» src=«dopb208586.zip» v:shapes="_x0000_i1995">Бк, ІРд<shape id="_x0000_i1996" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1601.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb208587.zip» v:shapes="_x0000_i1996">Бк. За відомою активністю може бути розрахована експозиційна доза радіації та поглинута доза (енергія йонізуючого випромінювання, розрахована на одиницю маси поглинаючої речовини). Для вимірювання експозиційної та поглинутої доз використовуються прилади різних типів – дозиметри.
§ 7.4. Ядерні реакції
Ядерні реакції – перетворення ядер при їх взаємодії з легкими частинками або іншими ядрами. Така взаємодія виникає при зближенні реагуючих часток до відстаней ~10-13см. Найбільш поширеним типом ядерної реакції є взаємодія легкої частинки a з ядром Х, в результаті якої утворюється легка частинка b і ядро Y
<shape id="_x0000_i1997" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1603.wmz» o:><img width=«115» height=«20» src=«dopb208588.zip» v:shapes="_x0000_i1997">, (7.32)
що скорочено позначають Х(а,b)Y. В якості легких часток можуть фігурувати: нейтрон, протон, дейтон, <shape id="_x0000_i1998" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image015.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb207818.zip» v:shapes="_x0000_i1998">-частинка, <shape id="_x0000_i1999" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i1999">-квант. Ядерні реакції–основний метод вивчення структури ядра і його властивостей.
У будь-якій ядерній реакції виконуються закони збереження зарядового і масового чисел, а також енергії, імпульсу та момента імпульсу. Енергію реакції можна розрахувати на основі формули (7.7), де дефект маси реакції <shape id="_x0000_i2000" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1605.wmz» o:><img width=«31» height=«19» src=«dopb208589.zip» v:shapes="_x0000_i2000"> визначається співвідношенням
<shape id="_x0000_i2001" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1607.wmz» o:><img width=«231» height=«28» src=«dopb208590.zip» v:shapes="_x0000_i2001">. (7.33)
Якщо <shape id="_x0000_i2002" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1609.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb208591.zip» v:shapes="_x0000_i2002"> енергія виділяється; якщо <shape id="_x0000_i2003" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1611.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb208592.zip» v:shapes="_x0000_i2003"> енергія поглинається.
Тип ядерної реакції залежить від енергії бомбардуючих часток. При малих енергіях реакція здійснюється в два етапи (Н. Бор, 1936 р.). На першому етапі ядро Х захоплює частинку а, в резулттаті чого виникає збуджене проміжне компаунд-ядро П. На другому етапі ядро П випромінює частинку b і перетворюється в ядро Y; в цілому процес має вигляд
<shape id="_x0000_i2004" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1613.wmz» o:><img width=«153» height=«20» src=«dopb208593.zip» v:shapes="_x0000_i2004">. (7.34)
Середній час життя компаунд-ядра складає (10-15–10-16)с, він значно більший часу проходження нуклоном ядра <shape id="_x0000_i2005" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1615.wmz» o:><img width=«80» height=«29» src=«dopb208594.zip» v:shapes="_x0000_i2005">c, тому захоплення частинки а і випромінення частинки b – незалежні процеси. Якщо <shape id="_x0000_i2006" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1617.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb208595.zip» v:shapes="_x0000_i2006">, процес (7.34) називають розсіюванням; власне ядерна реакція має місце, якщо <shape id="_x0000_i2007" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1619.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb208596.zip» v:shapes="_x0000_i2007">. При енергії збудження ядра П, яка менша необхідної для відокремлення від нього часток, єдиний шлях його розпаду – випромінювання <shape id="_x0000_i2008" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1537.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb208556.zip» v:shapes="_x0000_i2008">-квантів; такий процес називають радіаційним захопленням. При великих енергіях бомбардуючих часток проміжне ядро не утворюється, процес має вигляд (7.32) і носить назву прямої ядерної взаємодії.
Ймовірність різних взаємодій в ядерній фізиці прийнято характеризувати за допомогою ефективного перерізу взаємодії
<shape id="_x0000_i2009" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1621.wmz» o:><img width=«93» height=«48» src=«dopb208597.zip» v:shapes="_x0000_i2009">, (7.35)
де N – потік часток, що падають на деяку мішень, <shape id="_x0000_i2010" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1623.wmz» o:><img width=«31» height=«20» src=«dopb208598.zip» v:shapes="_x0000_i2010">– число часток, які зазнають взаємодії, d – товщина мішені, n – концентрація ядер мішені. Ця величина характеризує ймовірність взаємодії в розрахунку на одне ядро в шарі одиничної товщини. Її прийнято вимірювати в барнах:1барн=10-24см2.
Велике значення мають реакції, які викликаються нейтронами. Із-за відсутності електричного заряду нейтрону не доводиться долати потенціальний бар’єр ядра, тому в ядра легко проникають навіть теплові нейтрони з енергією Е~0,03еВ. Звичайно для захоплення нейтронів має місце монотонна залежність <shape id="_x0000_i2011" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1625.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb208599.zip» v:shapes="_x0000_i2011">, однак спостерігаються випадки резонансного захоплення нейтронів. Так, для <shape id="_x0000_i2012" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1627.wmz» o:><img width=«44» height=«31» src=«dopb208600.zip» v:shapes="_x0000_i2012"> <shape id="_x0000_i2013" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i2013">різко зростає при Е=7еВ, досягаючи 23000 барн. Таке резонансне поглинання має місце, коли енергія, внесена нейтроном в ядро, рівна тій, яка необхідна для його переводу на збуджений енергетичний рівень.
Важливу групу ядерних реакцій складають реакції ділення важких ядер при їх бомбардуванні нейтронами (О.Ган, Р.Штрасман, О.Фріш, Л. Мейтнер, 1939 р.). При цьому ядро ділиться на декілька більш легких ядер (найчастіше – на два осколки зі співвідношенням мас 2:3) з випроміненням 2-3 вторинних нейтронів і виділенням величезної енергії (~ІМеВ на нуклон), наприклад,
<shape id="_x0000_i2014" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1629.wmz» o:><img width=«280» height=«29» src=«dopb208601.zip» v:shapes="_x0000_i2014">. (7.36)
Мінімальна енергія, необхідна для поділу ядра, називається енергією активації; її вносить в ядро бомбардуючий нейтрон. Це приводить до деформації ядра внаслідок порушення рівноваги кулонівських сил і сил поверхневого натягу, поділу ядра і розлітання осколків з великими швидкостями (Н.Бор, Я.І.Френкель, 1940 р.). Осколки виносять понад 80% енергії ділення, декілька МеВ виносять нейтрони, решта енергії виділяється пізніше під час <shape id="_x0000_i2015" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i2015">-розпаду продуктів ділення.
Оскільки відношення числа нейтронів до числа протонів <shape id="_x0000_i2016" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1631.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb208602.zip» v:shapes="_x0000_i2016"> для середніх ядер рівне 1,3, а для важких ядер – 1,6, звільнення осколків від надлишку нейтронів і приводить до виникнення вторинних нейтронів. Переважна більшість з них виникає в момент ділення (миттєві нейтрони); однак, 0,75% вторинних нейтронів виникають з запізненням (запізнілі нейтрони). Вони “випаровуються” <shape id="_x0000_i2017" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i2017">-радіоактивними осколками вже після ділення ядра з розкидом в часі від 0,05с до десятків секунд. Саме це дозволяє плавно керувати ланцюговою реакцією ділення.
Ядерна реакція стає ланцюговою, якщо частинки, що її викликають, виникають як продукти цієї реакції. В реакції типу (7.36), викликаній тепловим нейтроном, вторинні нейтрони виникають швидкими в середній кількості <shape id="_x0000_i2018" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1633.wmz» o:><img width=«56» height=«23» src=«dopb208603.zip» v:shapes="_x0000_i2018"> на кожний акт ділення. Якщо частина f загальної кількості вторинних нейтронів буде використана для продовження реакції ділення, то на один нейтрон першого покоління прийдеться
<shape id="_x0000_i2019" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1635.wmz» o:><img width=«52» height=«20» src=«dopb208604.zip» v:shapes="_x0000_i2019"> (7.37)
нейтронів другого покоління, тому швидкість зміни потоку нейтронів<shape id="_x0000_i2020" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1637.wmz» o:><img width=«139» height=«25» src=«dopb208605.zip» v:shapes="_x0000_i2020">і
<shape id="_x0000_i2021" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1639.wmz» o:><img width=«93» height=«48» src=«dopb208606.zip» v:shapes="_x0000_i2021">, (7.38)
де n0-потік нейтронів при <shape id="_x0000_i2022" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1641.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb208585.zip» v:shapes="_x0000_i2022">, <shape id="_x0000_i2023" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image920.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb208253.zip» v:shapes="_x0000_i2023">-час життя покоління нейтронів. Якщо <shape id="_x0000_i2024" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1642.wmz» o:><img width=«67» height=«20» src=«dopb208607.zip» v:shapes="_x0000_i2024">, здійснюється самопідтримувана ланцюгова реакція, що має місце в ядерних реакторах. При <shape id="_x0000_i2025" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1644.wmz» o:><img width=«67» height=«20» src=«dopb208608.zip» v:shapes="_x0000_i2025"> реакція перестає бути регульованою і закінчується вибухом; при <shape id="_x0000_i2026" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1646.wmz» o:><img width=«65» height=«20» src=«dopb208609.zip» v:shapes="_x0000_i2026"> ланцюгова реакція згасає.
Вивчення можливостей реалізації цих умов показало, що природній уран містить ~99,3% ізотопу <shape id="_x0000_i2027" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i2027"> і ~0,7% ізотопу <shape id="_x0000_i2028" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1648.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208610.zip» v:shapes="_x0000_i2028">. Ядра <shape id="_x0000_i2029" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1648.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208610.zip» v:shapes="_x0000_i2029"> діляться як швидкими, так і тепловими нейтронами, ядра <shape id="_x0000_i2030" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i2030">діляться лише швидкими нейтронами з енергією Е > 1МеВ, але ефективний переріз поділу <shape id="_x0000_i2031" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image409.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb208004.zip» v:shapes="_x0000_i2031"> для них малий. Конкуруючими процесами є непружне розсіяння і радіаційне захоплення нейтронів, тому в природньому урані ланцюгова реакція ділення самочинно розвинутись не може. Якщо природній уран збагатити ізотопом <shape id="_x0000_i2032" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1648.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208610.zip» v:shapes="_x0000_i2032">, то на швидких нейтронах реалізується співвідношення типу (7.37):
<shape id="_x0000_i2033" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1650.wmz» o:><img width=«85» height=«29» src=«dopb208611.zip» v:shapes="_x0000_i2033">, (7.39)
де <shape id="_x0000_i2034" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1652.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208612.zip» v:shapes="_x0000_i2034">-середнє число нейтронів на кожний захоплений нейтрон, <shape id="_x0000_i2035" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1654.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb208613.zip» v:shapes="_x0000_i2035">-коефіцієнт використання швидких нейтронів. З умови <shape id="_x0000_i2036" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1656.wmz» o:><img width=«39» height=«19» src=«dopb208614.zip» v:shapes="_x0000_i2036"> визначаються критичні розміри і критична маса атомної бомби, що для <shape id="_x0000_i2037" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1648.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208610.zip» v:shapes="_x0000_i2037"> дає <shape id="_x0000_i2038" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1658.wmz» o:><img width=«33» height=«28» src=«dopb208615.zip» v:shapes="_x0000_i2038">~9см і <shape id="_x0000_i2039" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1660.wmz» o:><img width=«33» height=«28» src=«dopb208616.zip» v:shapes="_x0000_i2039">~50кг. При <shape id="_x0000_i2040" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1662.wmz» o:><img width=«67» height=«28» src=«dopb208617.zip» v:shapes="_x0000_i2040"> ядерні заряди можна зберігати; при з’єднанні докритичних мас у надкритичні відбувається атомний вибух еквівалентний вибуху <shape id="_x0000_i2041" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1664.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb208618.zip» v:shapes="_x0000_i2041"> тон тротилу (США, 1945; СРСР, 1949р).
При реалізації ланцюгової реакції ділення на теплових нейтронах необхідне використання сповільнювача нейтронів (важка вода <shape id="_x0000_i2042" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1666.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb208619.zip» v:shapes="_x0000_i2042">, графіт, які мало поглинають нейтрони). Тоді стає можливим використання природнього урану. Коефіцієнт розмноження теплових нейтронів у цьому випадку визначається співвідношенням:
<shape id="_x0000_i2043" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1668.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb208620.zip» v:shapes="_x0000_i2043">. (7.40)
Це – так звана формула чотирьох співмножників, де <shape id="_x0000_i2044" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1670.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb208621.zip» v:shapes="_x0000_i2044">-коефіцієнт зростання потоку нейтронів за рахунок поділу ядер швидкими нейтронами, <shape id="_x0000_i2045" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image631.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb208111.zip» v:shapes="_x0000_i2045">-доля сповільнюваних нейтронів, які не зазнають поглинання ядрами <shape id="_x0000_i2046" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i2046">, <shape id="_x0000_i2047" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image711.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb208151.zip» v:shapes="_x0000_i2047"> — коефіцієнт використання теплових нейтронів (не поглинутих домішками і не вилітаючих за межі активної зони). Якщо перші два співмножники залежать лише від активно подільного матеріалу, другі два суттєво залежать від конструкції реактора. Оптимізація цих коефіцієнтів в уран-графітовому реакторі, де стержні з природнього урану відповідного діаметра складаються у своєрідну решітку з блоками графітового сповільнювача, дозволяє досягти <shape id="_x0000_i2048" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1672.wmz» o:><img width=«39» height=«19» src=«dopb208614.zip» v:shapes="_x0000_i2048"> і за допомогою автоматично регульованих стержнів з <shape id="_x0000_i2049" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1673.wmz» o:><img width=«27» height=«20» src=«dopb208622.zip» v:shapes="_x0000_i2049"> і В, які активно поглинають нейтрони, підтримувати регульовану ланцюгову реакцію ділення ядер на заданому рівні (США, 1942р; СРСР, 1945р). Використання відповідного теплоносія (вода, рідкі метали), який циркулює через активну зону, дозволяє виводити з неї тепло, що виділяється за рахунок утилізації кінетичної енергії осколків ділення, і перетворювати її в енергію пари (атомні двигуни) та електричну енергію (атомні електростанції). Запуск і плавне регулювання роботи атомного реактора можливі за рахунок використання запізнілих нейтронів; його зупинка досягається скиданням в реактор поглинаючих стержнів з Cd і В, внаслідок чого k стає меншим одиниці.
Миттєві нейтрони реактора використовуються частково для підтримання ланцюгової реакції, а частково – для відтворення ядерного пального. За рахунок радіаційного захоплення нейтронів ядрами <shape id="_x0000_i2050" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1447.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208512.zip» v:shapes="_x0000_i2050"> виникає ізотоп <shape id="_x0000_i2051" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1675.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208623.zip» v:shapes="_x0000_i2051">, який після двох <shape id="_x0000_i2052" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1548.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb208561.zip» v:shapes="_x0000_i2052">-розпадів перетворюється в <shape id="_x0000_i2053" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1677.wmz» o:><img width=«48» height=«29» src=«dopb208624.zip» v:shapes="_x0000_i2053">. Цей ізотоп, як і <shape id="_x0000_i2054" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1679.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb208610.zip» v:shapes="_x0000_i2054">, є активно подільним матеріалом, тому після хімічного виділення з відпрацьованих уранових стержнів реактора може використовуватись для виготовлення ядерних боєзарядів. На цих засадах базується сучасна ядерна енергетика з усіма її використаннями у мирних та військових цілях і екологічними проблемами, які вона породила. Зокрема, все більш актуальною стає проблема поховання радіоактивних відходів, що накопичуються.
Іншою групою ядерних реакцій, які супроводжуються виділенням величезної енергії, є термоядерні реакції синтезу важких ядер (наприклад, <shape id="_x0000_i2055" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1485.wmz» o:><img width=«36» height=«29» src=«dopb208530.zip» v:shapes="_x0000_i2055">) з більш легких (наприклад, ізотопів водню <shape id="_x0000_i2056" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1680.wmz» o:><img width=«29» height=«29» src=«dopb208625.zip» v:shapes="_x0000_i2056"> <shape id="_x0000_i2057" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1682.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb208626.zip» v:shapes="_x0000_i2057"> <shape id="_x0000_i2058" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1684.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb208627.zip» v:shapes="_x0000_i2058">). Для їх реалізації потрібні високі температури (<shape id="_x0000_i2059" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1686.wmz» o:><img width=«64» height=«29» src=«dopb208628.zip» v:shapes="_x0000_i2059">, щоб за рахунок кінетичної енергії ядра могли зблизитись до відстані порядку радіуса дії ядерних сил (10-13см). В природніх умовах такі реакції мають місце в надрах зірок, обумовлюючи їх величезне випромінювання. Як показав Г.Бете (1938 р), перетворення водню в гелій на зірках здійснюється за допомогою водневого і вуглецевого циклів, які в кінцевому результаті еквівалентні реакції
 <shape id="_x0000_i2060" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1688.wmz» o:><img width=«179» height=«29» src=«dopb208629.zip» v:shapes="_x0000_i2060">. (7.41)
Завдяки величезним розмірам і масам зірок на них ідеально вирішується проблема гравітаційного утримування і термоізоляції плазми (речовина при Т~<shape id="_x0000_i2061" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1690.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208630.zip» v:shapes="_x0000_i2061">К являє собою високойонізовану плазму). На Землі для <shape id="_x0000_i2062" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image327.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb207966.zip» v:shapes="_x0000_i2062">цього треба шукати інші підходи.
Термоядерна реакція синтезу на Землі поки що здійснена лише як вибухова у водневій бомбі (СРСР, США, 1953 р.), де детонатором служить атомна бомба, внаслідок вибуху якої у рівнокомпонентній суміші дейтерію і тритію виникають температура Т~<shape id="_x0000_i2063" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1692.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208630.zip» v:shapes="_x0000_i2063">К і тиск Р~<shape id="_x0000_i2064" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1693.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb208631.zip» v:shapes="_x0000_i2064">атм, що приводить до “підпалювання” термоядерної реакції
 <shape id="_x0000_i2065" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1695.wmz» o:><img width=«143» height=«29» src=«dopb208632.zip» v:shapes="_x0000_i2065">. (7.42)
В реакції (7.42) виділяється енергія ~17,6МеВ, яка на одиницю маси реагуючої речовини в 4 рази більша, ніж в реакції ділення, тому енергія термоядерних бомб становить ~(105–106)т тротилового еквіваленту.
Надзвичайно привабливими видаються перспективи керованого термоядерного синтезу (КТС), як з точки зору практичної невичерпності дешевого для КТС пального (дейтерію у водах океанів), так і з огляду на суттєво меншу радіаційну загрозу реакторів КТС, ніж у реакторів ділення, тому вивчення КТС розпочалося ще у 50-і роки ХХ століття. Створення реактора КТС передбачає: 1) одержання плазми, нагрітої до температур ~<shape id="_x0000_i2066" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1692.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208630.zip» v:shapes="_x0000_i2066">К; 2) утримання плазмової конфігурації протягом часу, необхідного для протікання термоядерних реакцій. Керовано нагріти речовину до таких температур можна газовим розрядом, гігантським лазерним імпульсом або бомбардуванням інтенсивним пучком часток. Тому дослідження проблем КТС ведуться в напрямку створення квазістаціонарних реакторів з магнітним утримуванням плазми та імпульсних реакторів з інерційним утримуванням плазми. В обох підходах ще є принципові труднощі, пов’язані з нестійкістю плазмових конфігурацій та проблемою домішок у плазмі, що ведуть до надмірних енергетичних втрат. Проте, небезпідставним є оптимізм, що реактор енергетики майбутнього буде побудований.
§ 7.5. Елементарні частинки та фундаментальні взаємодії
Елементарні частинки в точному розумінні цього терміну – первинні, далі неподільні частинки, з яких за припущенням складається вся матерія. В сучасній фізиці цей термін вживається менш точно – для найменування всіх мікрочастинок, які (за винятком протонів) не є атомами, чи атомними ядрами. Крім протонів, сюди відносяться: нейтрони, електрони, фотони, <shape id="_x0000_i2067" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1461.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb208518.zip» v:shapes="_x0000_i2067">-мезони, м’юони <shape id="_x0000_i2068" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image026.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb207823.zip» v:shapes="_x0000_i2068">, важкі лептони <shape id="_x0000_i2069" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image920.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb208253.zip» v:shapes="_x0000_i2069">, нейтрино трьох типів (<shape id="_x0000_i2070" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1697.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb208633.zip» v:shapes="_x0000_i2070"><shape id="_x0000_i2071" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1699.wmz» o:><img width=«29» height=«28» src=«dopb208634.zip» v:shapes="_x0000_i2071"> <shape id="_x0000_i2072" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1701.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb208635.zip» v:shapes="_x0000_i2072"> дивні частинки (к-мезони, гіперони), різноманітні резонанси, <shape id="_x0000_i2073" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1703.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb208636.zip» v:shapes="_x0000_i2073">-частинки, “чарівні” частинки, іпсилон-частинки ۷, “красиві” частинки, проміжні векторні бозони (<shape id="_x0000_i2074" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«42610.files/image1705.wmz» o:><img width=«60» height=«28» src=«dopb208637.zip» v:shapes="_x0000_i2074">) – всього ~ 400 часток, здебільшого нестабільних, кількість яких продовжує зростати. Фактично, більшість з них не є елементарними; частинки, що претендують на роль первинних елементів матерії, прийнято називати істинно елементарними.

еще рефераты
Еще работы по физике