Реферат: Сжатие данных

--PAGE_BREAK--60% от H. На первый взгляд это выглядит невозможным, поскольку H есть

теоретический информационный минимум, но алгоритм расширения преодолевает его за

счет использования марковских характеристик источников.

Последние 3 файла были искусственно созданы для изучения класса источников, где

алгоритм расширяемого префикса превосходит ( файлы 11, 12 и 13 ) все остальные.

Все они содержат одинаковое количество каждого из 256 кодов символов, поэтому H

одинакова для всех 3-х файлов и равна длине строки в битах. Файл 11, где полное

множество символов повторяется 64 раза, алгоритм расширения префикса преобразует

незначительно лучше по сравнению с H. В файле 12 множество символов повторяется

64 раза, но биты каждого символа обращены, что препятствует расширению

совершенствоваться относительно H. Ключевое отличие между этими двумя случаями

состоит в том, что в файле 11 следующие друг за другом символы вероятно исходят

из одного поддерева кодов, в то время как в файле 12 это маловероятно. В файле

13 множество символов повторяется 7 раз, причем последовательность, образуемая

каждым символом после второго повторения множества, увеличивается вдвое.

Получается, что файл заканчивается группой из 32 символов «a», за которой

следуют 32 символа «b» и т.д. В этом случае алгоритм расширяемого префикса

принимает во внимание длинные последовательности повторяющихся символов, поэтому

результат был всего 25% от H, когда как Л-алгоритм никогда не выделял символ,

вдвое более распространенный в тексте относительно других, поэтому на всем

протяжении кодирования он использовал коды одинаковой длины.

Когда символ является повторяющимся алгоритм расширяемого префикса

последовательно назначает ему код все меньшей длины: после по крайней мере log n

повторений любой буквы n-буквенного алфавита, ей будет соответствовать код

длиной всего лишь в 1 бит. Это объясняет блестящий результат применения

алгоритма расширения к файлу 13. Более того, если буквы из одного поддерева

дерева кодов имеют повторяющиеся ссылки, алгоритм уменьшит длину кода сразу для

всех букв поддерева. Это объясняет, почему алгоритм хорошо отработал для файла

11.

Среди графических данных редко когда бывает, чтобы несколько последовательных

точек одной графической линии имели одинаковую цветовую интенсивность, но в

пределах любой области с однородной структурой изображения, может быть применено

свое распределение статичной вероятности. При сжатии последовательных точек

графической линии, происходит присвоение коротких кодов тем точкам, цвета

которых наиболее распространены в текущей области. Когда алгоритм переходит от

области с одной структурой к области с другой структурой, то короткие коды

быстро передаются цветам, более распространенным в новой области, когда как коды

уже не используемых цветов постепенно становятся длиннее. Исходя из характера

такого поведения, алгоритм расширяемого префикса можно назвать ЛОКАЛЬНО

АДАПТИВНЫМ. Подобные локально адаптивные алгоритмы способны достигать приемлимых

результатов пpи сжатии любого источника Маркова, который в каждом состоянии

имеет достаточную длину, чтобы алгоритм приспособился к этому состоянию.

Другие локально адаптированные алгоритмы сжатия данных были предложены Кнутом и

Бентли. Кнут предложил локально адаптированный алгоритм Хаффмана, в котором

код, используемый для очередной буквы определяется n последними буквами. Такой

подход с точки зрения вычислений ненамного сложнее, чем простые адаптированные

алгоритмы Хаффмана, но соответствующее значение n зависит от частоты изменения

состояний источника. Бентли предлагает использовать эвристическую технику

перемещения в начало ( move-to-front ) для организации списка последних

использованных слов ( предполагая, что текст источника имеет лексическую (

словарную ) структуру ) в соединении с локально адаптированным кодом Хаффмана

для кодирования количества пробелов в списке. Этот код Хаффмана включает

периодическое уменьшение весов всех букв дерева посредством умножения их на

постоянное число, меньше 1. Похожий подход использован и для арифметических

кодов. Периодическое уменьшение весов всех букв в адаптивном коде Хаффмана или в

арифметическом коде даст результат во многих отношениях очень схожий с

результатом работы описанного здесь алгоритм расширения.

Компактные структуры данных, требуемые алгоритмом расширяемого префикса,

позволяют реализуемым моделям Маркова иметь дело с относительно большим числом

состояний. Например, модели более чем с 30 состояниями могут быть реализованы в

196К памяти, как это сделано в команде сжатия в системе ЮНИКС Беркли.

Предлагаемая здесь программа может быть изменена для модели Маркова посредством

добавления одной переменной state и массива состояний для каждого из 3-х

массивов, реализующих дерево кодов. Деревья кодов для всех состояний могут

бытьинициированы одинаково, и один оператор необходимо добавить в конец

процедуры splay для изменения состояния на основании анализа предыдущей буквы (

или в более сложных моделях, на основании анализа предыдущей буквы и предыдущего

состояния ).

Для системы с n состояниями, где предыдущей буквой была С, легко использовать

значение С mod n для определения следующего состояния. Такая модель Маркова

слепо переводит каждую n-ю букву алфавита в одно состояние. Для сжатия

текстового, объектного и графического ( файл 8 ) файлов значения n изменялись в

пределах от 1 до 64. Результаты этих опытов показаны на рисунке 6. Для

объектного файла было достаточно модели с 64 состояниями, чтобы добиться

результата, лучшего чем у команды сжатия, основанной на методе Зива-Лемпела, а

модель с 4 состояниями уже перекрывает H. Для текстового файла модель с 64

состояниями уже близка по результату к команде сжатия, а модель с 8 состояниями

достаточна для преодоления барьера H. Для графических данных ( файл 8 ) модели

с 16 состояниями достаточно, чтобы улучшить результат команды сжатия, при этом

все модели по своим результатам великолепно перекрывают H. Модели Маркова более

чем с 8 состояниями были менее эффективны, чем простая статичная модель,

применяемая к графическим данным, а самый плохой результат наблюдался для модели

с 3 состояниями. Это получилось по той причине, что использование модели Маркова

служит помехой локально адаптированному поведению алгоритма расширяемого

префикса.

Оба алгоритма, Л- и расширяемого префикса, выполняются по времени прямо

пропорционально размеру выходного файла, и в обоих случаях, выход в наихудшем

варианте имеет длину O(H ), т.о. оба должны выполняться в худшем случае за время

O(H ). Постоянные коэффициенты отличаются, поскольку алгоритм расширяемого

префикса производит меньше работы на бит вывода, но в худшем случае производя на

выходе больше битов. Для 13 файлов, представленных в таблице I, Лалгоритм

выводит в среднем 2К битов в секунду, когда как алгоритм расширяемого префикса —

более 4К битов в секунду, т.о. второй алгоритм всегда намного быстрее. Эти

показатели были получены на рабочей станции М68000, серии 200 9836CU Хьюлет

Паккард, имеющей OC HP-UX. Оба алгоритма были реализованы на Паскале, сходным по

описанию с представленным здесь языком.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КОДЫ.
Tекст, полученный при сжатии арифметических данных, рассматривается в качестве

дроби, где каждая буква в алфавите связывается с некоторым подинтервалом

открытого справа интервала [0,1). Текст источника можно рассматривать как

буквальное представление дроби, использующей систему исчисления, где каждая

буква в алфавите используется в качестве числа, а интервал значений, связанных с

ней зависит от частоты встречаемости этой буквы. Первая буква сжатого текста

(самая «значащая» цифра) может быть декодирована нахождением буквы, полуинтеpвал

которой включает значение пpедставляющей текст дроби. После определения

очередной буквы исходного текста, дробь пересчитывается для нахождения

следующей. Это осуществляется вычитанием из дроби основы связанной с найденной

буквой подобласти, и делением результата на ширину ее полуинтервала. После

завершения этой операции можно декодировать следующую букву.

В качестве примера арифметического кодирования рассмотрим алфавит из 4-х букв

(A, B, C, D) с вероятностями ( 0.125, 0.125, 0.25, 0.5 ). Интервал [ 0,1) может

быть разделен следующим образом:

A = [ 0, 0.125 ), B = [ 0.125, 0.25 ), C = [ 0.25, 0.5 ), D = [ 0.5, 1 ).

Деление интервала легко осуществляется посредством накопления вероятностей

каждой буквы алфавита и ее предшественников. Дан сжатый текст 0.6 (

представленный в виде десятичной дроби ), тогда первой его буквой должна быть D,

потому что это число лежит в интервале [ 0.5, 1 ). Пересчет дает результат:

( 0.6 — 0.5 ) / 0.5 = 0.2

Второй буквой будет B, т.к. новая дробь лежит в интервале [ 0.125, 0.25 ).

Пересчет дает:

( 0.2 — 0.125 ) / 0.125 = 0.6.

Это значит, что 3-я буква есть D, и исходный текст при отсутствии информации о

его длине, будет повторяющейся строкой DBDBDB ...

Первоочередной проблемой здесь является высокая точность арифметики для

понимания и опеpиpования со сплошным битовым потоком, каковым выглядит сжатый

текст, рассматриваемый в качестве числа. Эта проблема была решена в 1979 году.

Эффективность сжатия методом статичного арифметического кодирования будет равна

H, только при использовании арифметики неограниченной точности. Но и

ограниченной точности большинства машин достаточно, чтобы позволять осуществлять

очень хорошее сжатие. Целых переменных длиной 16 битов, 32-битовых произведений

и делимых достаточно, чтобы результат адаптивного арифметического сжатия лежал в

нескольких процентах от предела и был едва ли не всегда немного лучше, чем у

оптимального адаптированного кода Хаффмана, предложенного Уитером.

Как и в случае кодов Хаффмана, статичные арифметические коды требуют двух

проходов или первоначального знания частот букв. Адаптированные арифметические

коды требуют эффективного алгоритма для поддержания и изменения информации о

бегущей и накапливаемой частотах по мере обработки букв. Простейший путь для

этого — завести счетчик для каждой буквы, увеличивающий свое значение на единицу

всякий раз, когда встречена сама эта буква или любая из следующих после нее в

алфавите. В соответствии с этим подходом, частота буквы есть разница между

числом ее появлений и числом появлений ее предшественников. Этот простой подход

может потребовать O(n) операций над буквой n-арного алфавита. В реализованном на

Си Уиттеном, Нейлом и Клири алгоритме сжатия арифметических данных, среднее

значение было улучшено посредством использования дисциплины move-to-front, что

сократило количество счетчиков, значения которых измененяются каждый раз, когда

обрабатывается буква.

Дальнейшее улучшение организации распределения накопленной частоты требует

коренного отхода от простых СД. Требования, которым должна отвечать эта СД лучше

изучить, если выразить ее через абстрактный тип данных со следующими пятью

операциями: initialize, update, findletter, findrange и maxrange. Операция

инициализации устанавливает частоту всех букв в 1, и любое не равное нулю

значение будет действовать до тех пор, пока алгоритм кодирования и

раскодирования используют одинаковые начальные частоты. Начальное значение

частоты, равное нулю, будет присваиваться символу в качестве пустого интервала,

т.о. предупреждая его от передачи или получения.

Операция update(c) увеличивает частоту буквы с. Функции findletter и findrange

обратны друг другу, и update может выполнять любое изменение порядка алфавита,

пока сохраняется эта обратная связь. В любой момент времени findletter ( f, c,

min, max ) будет возвращать букву c и связанный с нею накапливаемый частотный

интервал [ min, max ), где f [ min, max ). Обратная функция findrange( c, min,

max ) будет возвращать значения min и max для данной буквы c.

Функция maxrange возвращает сумму всех частот всех букв алфавита, она нужна

для перечисления накопленных частот в интервале [ 0, 1 ).
Применение расширения к арифметическим кодам.
Ключом к реализации СД, накапливающей значение частот и в худшем случае

требующей для каждой буквы менее, чем O(n) операций для n-буквенного алфавита,

является представление букв алфавита в качестве листьев дерева. Каждый лист

дерева имеет вес, равный частоте встречаемой буквы, вес каждого узла

представляет собой сумму весов его наследников. Рисунок 7 демонстрирует такое

дерево для 4-х-буквенного алфавита ( A, B, C, D ) с вероятностями ( 0.125,

0.125, 0.25, 0.5 ) и частотами ( 1, 1, 2, 4 ). Функция maxrange на таком дереве

вычисляется элементарно — она просто возвращает вес корня. Функции update и

findrange могут быть вычислены методом обхода дерева от листа к корню, а функция

findletter — от корня к листу.
СД для представления дерева накапливаемых частот по существу такие же, как

и рассмотренные ранее для представления дерева кодов префиксов, с добавлением

массива, хранящего частоты каждого узла.
const

maxchar =… { maximum source character code };

succmax = maxchar + 1;

twicemax = 2 * maxchar + 1;

root = 1;

type

codetype = 0..maxchar { source character code range };

bit = 0..1;

upindex = 1..maxchar;

downindex = 1..twicemax;

var

up: array[downindex] of upindex;

freq: array[downindex] of integer;

left,right: array[upindex] of downindex;
Инициализация этой структуры включает в себя не только построение древовидной

СД, но и инициализацию частот каждого листа и узла следующим образом:
procedure initialize;

var

u: upindex;

d: downindex;
begin

for d := succmax to twicemax do freq[d] := 1;

for u := maxchar downto 1 do begin

left[u] := 2 * u;

right[u] := ( 2 * u ) + 1;

freq[u] := freq[left[u]] + freq[right[u]];

up[left[u]] := u;

up[right[u]] := u;

end;

end { initialize };
Для того, чтобы отыскать букву и соответствующий ей интервал накопленной

частоты, когда известна отдельная накопленная частота, необходимо обойти дерево

начиная с корня по направлению к букве, производя беглое вычисление интервала

частот, соответствующего текущей ветке дерева. Интервал, соответствующий корню,

есть [0, freq[root]], он должен содержать f. Если отдельный узел деpева i связан

с интервалом [a, b), где a — b = freq[i], то интервалами, связанными с двумя

поддеревьями будут интервалы [a, a+freq[left[i]] ) и [a+freq[left[i]], b). Они

не пересекаются, поэтому путь вниз по дереву будет таким, что f содержится в

подинтервале, связанном с каждым узлом на этом пути. Это показано в

следующей процедуре:
procedure findsymbol( f: integer; var c: codetype; var a, b: integer );

var

i: downindex;

t: integer;
begin

a := 0;

i := root;

b := freq[root];

repeat

t := a + freq[left[i]];

if f < t then begin { повоpот налево }

i := left[i];

b := t;

end else begin { повоpот напpаво }

i := right[i];

a := t;

end;

until i > maxchar;

c := i — succmax;

end { findsymbol };
Чтобы найти связанный с буквой частотный интервал, процесс, описанный в

findsymbol должен происходить в обратном направлении. Первоначально единственной

информацией, известной о букве узла дерева i, есть частота этой буквы freq[i].

Это означает, что интервал [0, freq[i]) будет соответствовать какойлибо букве,

если весь алфавит состоит из нее одной. Дано: интервал [a, b) связан с некоторым

листом поддерева с корнем в узле i, тогда может быть вычислен интервал,

связанный с этим листом в поддереве up[i]. Если i — левый наследник, то это

просто интервал [ a, b ), если правый, то — [ a + d, b + d ), где

d = freq[up[i]] — freq[i], или, что одно и то же: d = freq[left[up[i]]].
procedure findrange( c: codetype; var a, b: integer );

var

i: downindex;

d: integer;
begin

a := 0;

i := c + succmax;

b := freq[i];

repeat

if right[up[i]] = i then begin { i is right child }

d := freq[left[up[i]]];

a := a + d;

b := b + d;

end;

i := up[i];

until i = root;

end { findrange };
Если проблема сохранения сбалансированности в дереве накапливаемых частот не

стоит, то функция update будет тривиальной, состоящей из обхода дерева от

изменяемого листа до корня, сопровождающегося увеличением значения каждого

встреченного узла на единицу. В противном случае время, затраченное на операции

findletter, findrange и update при первоначально сбалансированном дереве будет в

сpеднем O(log n) на одну букву для n-буквенного алфавита. Это лучше, чем худший

вариант O(n), достигаемый посредством применения линейной СД (с организацией

move-to-front или без нее ), но может быть улучшено еще.

Заметьте, что каждая буква, сжатая арифметическим методом требует обращения к

процедуре findrange, за которым следует вызов update. Т.о. путь от корня к букве

в дереве накапливаемых частот будет проделан дважды во время сжатия и дважды во

время развертывания. Минимизация общего времени сжатия или развертывания

сообщения требует минимизации общей длины всех путей, пройденных в дереве. Если

частоты букв известны заранее, то статичное дерево Хаффмана будет минимизировать

длину этого маршрута! Длина пути для сообщения S будет ограничена значением

2(Hs(S) + C(S)), где C(S) — количество букв в строке, а множитель 2 отражает тот

факт, что каждый маршрут проходится дважды.

Нет смысла в использовании дерева накапливаемых частот, если все вероятности

известны заранее, что позволяет применять простую поисковую таблицу для

нахождения вероятностей. Если они неизвестны, то оптимальный Л-алгоритм Уиттера

может быть легко модифицирован для управления деревом накапливаемых частот,

причем длина пути обхода дерева, имеющая место во время сжатия или развертывания

не будет превышать значение 2( H (S) + C(S) ). Аналогично можно использовать

алгоритм расширяющегося префикса, дающего ограничение O(H (S)) для длины пути,

но при большем постоянном множителе. Ранее пpиведенные опытные результаты

показывают, что эти постоянные множители более чем компенсируются простотой

алгоритма расширяющегося префикса.
В соответствии с этим алгоритмом операции расширения не нужно затрагивать

информации внутренних узлов дерева. Когда расширение выполняется как часть

операции update, каждая операция полувpащения должна предохранять инвариацию

регулирования весов узлов дерева. На рисунке 8 дерево полувpащается вокруг А,

имея результатом то, что вес Х сокращается весом А и наращивается весом С. В то

же время, поскольку это есть часть повторного пути от А к корню, вес А

увеличивается. Итоговый код будет:
procedure update( c: codetype );

var

c, d: upindex { пара полувpащаемых узлов };

a, b: downindex { наследники полувpащемых узлов };
begin

a := c + succmax;

repeat { вверх по дереву, чередуя и наращивая }

c := up[a];

if c # root then begin { оставшаяся пара }

d := up[c];

{ обмен между наследниками пары }

b := left[d];

if c = b then begin b := right[d];

right[d] := a;

end else left[d] := a;

if a = left[c] then left[c] := b

else right[c] := b;

up[a] := d;

up[b] := c;

freq[c] := ( freq[c] — freq[a] ) + freq[b];

freq[a] := freq[a] + 1;

a := d;

end else begin { помещение непарного ( нечетного ) узла в конец пути }

freq[a] := freq[a] + 1;

a := up[a];

end;

until a = root;

freq[root] := freq[root] + 1;

end { update };
Программа игнорирует проблему переполнения счетчиков частот. Арифметическое

сжатие данных постоянно производит вычисление по формуле a * b / c, и предел

точности результата вычисления определяется размером памяти, выделяемой

промежуточным произведениям и делимым, а не самим целочисленным перемен ным.

Многие 32-битные машины накладывают 32-битовое ограничение на произведения и

делимые, и т.о. на самом деле устанавливают 16-битовый предел на представление

целых чисел a, b и c в вышеуказанном выражении. Когда это ограничение передается

коду самой программе архиватора, то чистый результат имеет ограничение в 16383

для максимального значения, возвращаемого функцией maxrange или значения

freq[root]. Поэтому, если сжатый файл имеет длину более 16383 байтов, необходимо

периодически пересчитывать все частоты в СД, чтобы втиснуть их в этот интервал.

Простой путь для этого — разделить значения всех частот на маленькую константу,

например 2, и округлением вверх предохранить частоты от обнуления.

Значения листьев в дереве накапливаемых частот легко могут быть пересчитаны

делением на 2, но значения внутренних узлов пересчитать на так легко изза

трудности распространения округляемых результатов вверх по дереву. Простейший

способ перестройки дерева показан в следующей процедуре:
    продолжение
--PAGE_BREAK--