Реферат: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
Контрольная работа
Краткие сведенияи задачи по курсу векторной и линейной алгебры
Векторная алгебра
Вариант №21
Найти скалярное произведение />.
/>
/>
При каком значении α векторы />и />ортогональны?
/>;/>;/>;
/>;/>;/>;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
/>
Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(0,-3) М2(2,1).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
значит для прямой М1М2
у+3=kx
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
значит для прямой М1М2
/>
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
/>,
Здесь
/>
Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2
/>;/>
/>
В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-1,-2); М1(0,-3); М2(2,1)).
Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:
/>
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
уравнение для высоты М0М3:
/>
Найдём уравнение прямой М1М2:
/>
Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
тогда уравнение для высоты примет вид:
y+1= (x+2)/2
или
x+2y=0.
Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
/>
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):
/>
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).
Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).
Уравнение прямой EF:
y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.
По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
/>
/>
/>
/>
/>(1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))
/>(2)
Подставим (2) в (1), получим
/>/>
кривая второго порядка является эллипсом.
F1(c;0); F2(-c;0).
/>
т.к./>
/>
Координаты центра: O’(-3,-1).
/>
Преобразовать к полярным координатам уравнения линии./>
/>
/>
/>
--PAGE_BREAK--/>
1)/>
2) />
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:
/>
Линейная алгебра
Матрицы
Ответы на вопросы
Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную />.
Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: />.
Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:
/>
Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
Задача1.
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>
X4-свободная переменная
r = 3
система совместима.
/>/>
Задача2
/>
/>
т.к. detA/>0, то матрица является невырожденной.
А11=3; А12= -1; А13= -10; А21=0; А22=0; А23= -1; А31=0; А32= -1; А33= -1.
/>;
/>.
/>
/>/>
/>/>
/>/>.
/>.
5. Найти скалярное произведение />.
/>
/>
При каком значении α векторы />и />ортогональны?
/>;/>;/>;
/>;/>;/>;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
/>
Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(2,-2) М2(1,0).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
значит для прямой М1М2
у+2=k(x-2)
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
значит для прямой М1М2
/>
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
/>,
здесь />
Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2
/>;/>
y=-2x+2
/>
В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-3,-5); М1(2,-2); М2(1,0)).
Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
уравнение для высоты ММ3:
/>
Найдём уравнение прямой М1М2:
/>
Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=-1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
тогда уравнение для высоты примет вид:
y+5= -(x+3)/2
или
x+2y+13=0.
Расстояние от точки М(x,y) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
/>
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):
/>
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).
Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).
Уравнение прямой EF:
y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.
По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
/>
/>
/>
/>
/> (1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))
/> (2)
Подставим (2) в (1), получим
/>/>
кривая второго порядка является эллипсом.
F1(c;0); F2(-c;0).
/>
т.к./>
/>
Координаты центра: O’(-2,2).
/>
Преобразовать к полярным координатам уравнения линии./>
/>
/>
/>
/>
1) />
2) />
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:
/>
Ответы на вопросы
продолжение--PAGE_BREAK--
Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную />.
Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:
/>.
Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:
/>
Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
Задача1.
/>/>/>
/>/>/>
/>/> r=2; система совместима.
х 3,x4 – свободные переменные
/>
/>;/>.
Задача2.
/>
/>
т.к. detA/>0, то матрица невырождена.
А11=-1; А12=-3; А13=-1; А21=-3; А22=1; А23=2; А31=2; А32=-1; А33= -3.
/>
/>
/>/>/>/>/>/>/>
/>
/>.