Реферат: Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах
Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.
Демидов Р.А., ФТФ, 2105
Введение
Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида
/>.
Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.
В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.
1. Метод
1.1 Случай бесконечного промежутка
Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида
/>(1)
— это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует, если выполняются 2 условия:
/>,
а также условие сходимости нормы u(x):
/>.
Эти условия работают при действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения – один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты. Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив, что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образ свертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k) – образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:
/>(2)
/>
Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1)на />и интегрированием по всей действительной оси:
/>
Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем
/>,
что и требовалось доказать.
Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x), производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:
/>=>
=>/>/>(3)
Второйспособ: вычисляем резольвенту уравнения как
/>(4)
В виде Фурье — образов это равенство выглядит так:
/>,
где G(k) вычисляется как
/>(5)
V(k) – Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x), применив обратное преобразование Фурье к (5), и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f, она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.
На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком – и опишем метод Винера-Хопфа.
1.2 Полубесконечный промежуток
Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска – f+(x) и f-(x), (f(x)= f+(x) + f-(x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом:
/>
выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:
--PAGE_BREAK--f+:/>,
при />причем здесь />— комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=τ> τ—. Причем
/>
Обратное преобразование выглядит так:
/>,
и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=τ> τ— .
f-: При/>
для прямого преобразования Фурье имеем
/>,
к здесь та же к.п., это верно в области с Im(k)=τ< τ+. Обратное преобразование для f-выглядит аналогично:
/>
Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=τ< τ+
При τ-<τ+образ F(k) задаётся уравнением
/>
как раз в полосе τ-< Im(τ) <τ+. При τ-< 0,τ+> 0 функция полоса Im(τ)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть τ нулем.
Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)
/>(6)
Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u+, u-:
/>
/>
При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:
/>,
/>µ<τ+.
При их выполнении в полосе µ < Im(k) < τ+функции u+ ,u-являются аналитическими.
Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1, мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u+ ,u— .Итак, получаем:
/>,
что видно из представления u(x)= u+(x)+u-(x), U(k)=U+(k)+U-(k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что
продолжение--PAGE_BREAK--
/>,
если так задать функцию L(k).
/>
Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1, неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L+(k),L-(k), уравнение принимает при этом вид
/>,
и известно следующее – “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области />, “минусовая” часть аналитическая функция в области />,µ <τ+, а значит, в полосе />(которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U+ ,U-в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+,L-растут не быстрее степенной функции kn, то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену Pn(k) (это получается, если учесть стремление U+,U— к нулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:
Если степень роста функций Lесть единица(растут не быстрее линейной функции), то мы имеем для кусков функции L(k) следующее:
/>,
и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.
/>
— интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой fдля простоты. Решим его м.В.-Х.
Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k):
/>
/>
— является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так:
/>
При 0 < λ< 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при λ > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L+(k),L-(k). Далее – обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе – это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L+U+ ,L-U-.Значит
/>,
и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u+(x):
/>,
что верно для />Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:
/>
Как видим, решение получено с точностью до константы.
1.3 В общем виде
продолжение--PAGE_BREAK--
Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение
/>
и поставим задачу: найти функции Ψ1, Ψ2, удовлетворяющие нашему уравнению в полосе />, стремящихся к нулю при />.A,B,C– аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,Bне равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/Bкак частное функций L+ ,L-,
/>,
причем L+аналитическая в области Im(k) > τ-,L-аналитическая в области Im(k) < τ+.Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:
/>
Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ, на два, как
/>,
что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:
/>
— это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении kпо модулю к бесконечности, сходимости L+L-не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ1, Ψ2, мы получаем следующие соотношения:
/>
Рn(k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1, Ψ2.
Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.
Лемма1:Пусть образ F(k) аналитический в полосе />,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции Fкак />,F+(k) аналитическая в Im(k)>τ— , F-(k) аналитическая в Im(k)<τ+ .
/>
Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A->∞, и устремим контур к полосе.
/>
Тогда в пределе получаем
/>,
где эти части есть
/>
Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F+(k),F-(k) в рассматриваемой полосе.
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма2:Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе />, причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда />, где функции Ф+, Ф-соответственно аналитические в
/>и />
Доказательство:
Заметим, что для функции />выполнены условия леммы1, значит, мы имеем право ее представить суммой F+ , F-, а Ф – произведением:
/>, Ф=Ф+*Ф-.
Условия на границы по мнимой оси для функций Ф+, Ф-сохранятся => лемма доказана.
Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения
/>(7)
Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля
/>
в полосе />мы можем переходить к образам функций и мы получим
/>
предварительно разбив Fна две. Принимая за функцию L(x) ф-ю
/>,
аналитическую в стандартной полосе />и равномерно стремящуюся к 1 при />наше алгебраическое уравнение перепишется как
/>
Далее, точно также разделяем Lна две части как
/>,
И L+— аналитическая в />, L-— аналитическая в />. По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U+,U— :
/>
При успешном разложении последнего члена как
/>,
где по все той же аналогии D+ и D-аналитические в областях />соответственно, мы записываем решения в виде
/>.
При этом мы воспользовались той же сходимостью – L+,L-растут не быстрее чем kn, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.
Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.
Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики.
2. Применение метода Винера-Хопфа
До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.
Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
/>
Для этого решим к. задачу на уравнении />, />, и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.
Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>,
где f(k) — произвольная функция комплексного параметра k,
/>
Для удовлетворения функции uграничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u):
/>
Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ-< Im(k) < τ+, если при этом τ-< 0, τ+> 0. Тогда
/>,
где L+ аналитическая в верхней полуплоскости τ-< Im(k), L-аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ+.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения
/>,
где константа определяется как
/>
Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L
/>
нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем
/>и
/>,
что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:
/>
вычисляя интеграл, получаем
/>
Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:
/>-
если вводим вспомогательную функцию так, то
/>,z=x+iy.
Получили ответ задачи.
Вывод
В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений, и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.
В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0, и получали гармоническое уравнение.
В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.
Список использованной литературы
1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.”
2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”