Реферат: Интеграл по комплексной переменной

--PAGE_BREAK--(3)

<img width=«259» height=«47» src=«ref-1_729921376-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">        (4)

<img width=«251» height=«47» src=«ref-1_729921937-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">           (5)

Причем | Z| < R,  R .
Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z= ix  и   Z= — ix;

<img width=«267» height=«44» src=«ref-1_729922475-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

<img width=«405» height=«47» src=«ref-1_729923029-831.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

<img width=«121» height=«21» src=«ref-1_729923860-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">                                                        (6)

Аналогично взяв Z= — ix  получим :

<img width=«127» height=«21» src=«ref-1_729924160-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">                                                      (7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

<img width=«240» height=«44» src=«ref-1_729924454-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">                 (8)

В общем случае :

<img width=«280» height=«24» src=«ref-1_729924881-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">    (9)

Известно, что :

<img width=«271» height=«44» src=«ref-1_729925283-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">      (10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

<img width=«97» height=«45» src=«ref-1_729925805-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">
Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

<img width=«186» height=«181» src=«ref-1_729926187-1612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

Однозначная функция  f(Z) аналитическая в круге радиусом  |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса rточку Z, а на границе области точку , тогда  f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом rи на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :

<img width=«152» height=«49» src=«ref-1_729927799-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">                                                                                        (13)

<img width=«368» height=«65» src=«ref-1_729928275-682.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">                (11)

Поскольку

<img width=«140» height=«45» src=«ref-1_729928957-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">, то выражение <img width=«73» height=«67» src=«ref-1_729929389-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем <img width=«51» height=«47» src=«ref-1_729929720-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">, т.е. :

<img width=«461» height=«73» src=«ref-1_729930020-1006.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_729931026-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

<img width=«405» height=«48» src=«ref-1_729931195-792.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">                     (12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2i) и интегрируя по Lпри фиксированном  Z, получим: слева интеграл (13) который равен f(Z), а справа будет сумма интегралов :

<img width=«524» height=«99» src=«ref-1_729931987-1491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">
Обозначая <img width=«148» height=«45» src=«ref-1_729933478-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">, получим: <img width=«156» height=«45» src=«ref-1_729933957-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">            (14)

Это разложение функции f(Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что <img width=«224» height=«48» src=«ref-1_729934382-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">                                                                                 (15)
ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0|, то она представляется рядом :

<img width=«261» height=«48» src=«ref-1_729934986-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">                                                                        (16)

где  h— ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r(сколь угодно большое число). Если обозначить <img width=«160» height=«47» src=«ref-1_729935653-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">  (17), получим :

<img width=«161» height=«45» src=«ref-1_729936144-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">                                                (18)
ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0|<R, где  0 Z<R<, то она раскладывается в сходящийся степенной ряд :

<img width=«256» height=«45» src=«ref-1_729936567-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">                                  (19)

f1и  f2можно представить в виде двух рядов :

<img width=«269» height=«45» src=«ref-1_729937092-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">                              (20)

<img width=«279» height=«45» src=«ref-1_729937616-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">                           (21)

Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса Rфункции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между   r и R.

f1(Z) – правильная часть.

f2(Z) – главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка   Z=Z0 G в которой аналитичность функции  f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция  f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :

1)                    Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует <img width=«100» height=«36» src=«ref-1_729938139-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">, где А – конечное число.

2)                    Если для особой точки существует предел <img width=«100» height=«36» src=«ref-1_729938481-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">, то такая особая точка называется полюсом.

3)                    Если <img width=«72» height=«36» src=«ref-1_729938818-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> не существует, то точка Z=Zназывается существенной особой точкой.

Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

<img width=«395» height=«45» src=«ref-1_729939127-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">

Пусть f(Z0)=C0и C-n  для всех  n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех  n  m+1   C-n=0, тогда Z=Z0будет являться полюсом порядка  m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

<img width=«252» height=«47» src=«ref-1_729939746-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, если m , то в этом случае в точке Z=Z0имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге  |Z-Z0|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл: <img width=«185» height=«45» src=«ref-1_729940376-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> , где L– ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Zравен первому коэффициенту ряда главной части Лорана: <img width=«113» height=«37» src=«ref-1_729940887-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Если полюс имеет кратность m 1, то для определения вычетов используется формула :

<img width=«320» height=«48» src=«ref-1_729941257-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">                             (3)

при m=1 :

<img width=«207» height=«37» src=«ref-1_729942013-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">
Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области Gкроме конечного числа полюсов Z= a1, a2, …, ak.  –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл <img width=«60» height=«41» src=«ref-1_729942523-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, akи т.д. умноженный на 2i:

<img width=«204» height=«52» src=«ref-1_729942803-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">                                         (5)
Пример :

Найти вычет <img width=«135» height=«47» src=«ref-1_729943388-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">

Особые точки: Z1=1, Z2= — 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :

<img width=«243» height=«47» src=«ref-1_729943786-648.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

<img width=«256» height=«47» src=«ref-1_729944434-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">
Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)                    <img width=«149» height=«48» src=«ref-1_729945104-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

2)                    Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3)                    Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие: |f(t)|<MeSt
Рассмотрим функцию f(t)e-pt, где р – комплексное число р = ( а + i
b).

<img width=«277» height=«24» src=«ref-1_729945529-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">                                  (1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

<img width=«231» height=«24» src=«ref-1_729946069-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

Проинтегрировав это равенство получим :

<img width=«337» height=«51» src=«ref-1_729946533-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">                (2)

Оценим левую часть равенства (2) :

<img width=«531» height=«53» src=«ref-1_729947221-915.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">

А согласно свойству (3)  |f(t)| < MeSt

<img width=«504» height=«51» src=«ref-1_729948136-959.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

В случае если a>Sимеем :

<img width=«213» height=«45» src=«ref-1_729949095-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>Sинтеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:

<img width=«131» height=«51» src=«ref-1_729949627-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">             (3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t)  F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

<img width=«143» height=«51» src=«ref-1_729950029-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">  — это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции  tиtимеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы: если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций 0(
t
),
sin
(
t
),
cos
(
t
).

Определение: <img width=«116» height=«48» src=«ref-1_729950438-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

<img width=«480» height=«51» src=«ref-1_729950806-957.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">

Изображение единичной функции <img width=«76» height=«44» src=«ref-1_729951763-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

<img width=«512» height=«51» src=«ref-1_729952064-1035.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

интегрируя по частям получим :

<img width=«265» height=«45» src=«ref-1_729953099-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">  т.е. <img width=«104» height=«45» src=«ref-1_729953633-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

Аналогично можно доказать, что cos(t) переходит в функцию <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_729953957-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">в области преобразований. Откуда: <img width=«109» height=«45» src=«ref-1_729954224-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

<img width=«581» height=«51» src=«ref-1_729954561-1182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">где а – константа.

Таким образом: <img width=«115» height=«41» src=«ref-1_729955743-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

<img width=«124» height=«45» src=«ref-1_729956117-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">  и <img width=«127» height=«45» src=«ref-1_729956487-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
Свойства линейности изображения.

Теорема: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

<img width=«113» height=«45» src=«ref-1_729956864-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

Если <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_729957243-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">, то <img width=«127» height=«45» src=«ref-1_729957542-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, где <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_729957940-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">

Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-tf(t)                                 (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

<img width=«368» height=«48» src=«ref-1_729958239-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:

F(p)

f(t)

F(p)

f(p)

<img width=«19» height=«44» src=«ref-1_729958938-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">

1

<img width=«95» height=«45» src=«ref-1_729959155-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

<img width=«75» height=«24» src=«ref-1_729959479-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">

<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_729959762-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

<img width=«48» height=«21» src=«ref-1_729960054-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">

<img width=«95» height=«45» src=«ref-1_729960300-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

<img width=«77» height=«24» src=«ref-1_729960659-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_729960932-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

<img width=«51» height=«21» src=«ref-1_729961225-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">

<img width=«43» height=«45» src=«ref-1_729961463-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_729961725-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

<img width=«44» height=«44» src=«ref-1_729961922-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

<img width=«28» height=«21» src=«ref-1_729962159-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

<img width=«79» height=«45» src=«ref-1_729962364-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

<img width=«56» height=«21» src=«ref-1_729962720-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_729962977-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

<img width=«44» height=«21» src=«ref-1_729963259-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">

<img width=«79» height=«48» src=«ref-1_729963506-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

<img width=«59» height=«21» src=«ref-1_729963881-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_729964130-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

<img width=«45» height=«21» src=«ref-1_729964418-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

<img width=«63» height=«45» src=«ref-1_729964667-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

<img width=«32» height=«21» src=«ref-1_729964948-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">


    продолжение
--PAGE_BREAK--